Страница 35, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

122 1) Придумай высказывание о существовании и запиши его с помощью квантора $\exists$.

2) Придумай общее высказывание и запиши его с помощью квантора $\forall$.

1) Высказывание о существовании – это утверждение, которое говорит о том, что существует хотя бы один объект, обладающий некоторым свойством. Для записи таких высказываний используется квантор существования $∃$, который читается как "существует".

Пример высказывания: "Существует натуральное число, квадрат которого равен 49".

Для того чтобы записать это высказывание с помощью квантора, введем обозначения. Пусть $N$ – это множество натуральных чисел. Пусть $x$ – это переменная, которая может принимать значения из множества $N$. Тогда свойство "квадрат числа равен 49" можно записать в виде предиката $P(x): x^2 = 49$.

Символьная запись высказывания будет выглядеть так: $∃x \in N : x^2 = 49$.

Данное высказывание является истинным, так как существует натуральное число 7, для которого выполняется условие $7^2 = 49$.

Ответ: Высказывание: "Существует натуральное число, квадрат которого равен 49". Запись с помощью квантора: $∃x \in N : x^2 = 49$.

2) Общее высказывание – это утверждение, которое говорит о том, что все без исключения объекты из некоторого множества обладают определенным свойством. Для записи таких высказываний используется квантор общности $∀$, который читается как "для любого" или "для каждого".

Пример высказывания: "Для любого действительного числа его квадрат является неотрицательным числом".

Для записи этого высказывания с помощью квантора введем обозначения. Пусть $R$ – это множество действительных чисел. Пусть $x$ – переменная, принимающая значения из множества $R$. Свойство "квадрат числа является неотрицательным" можно записать в виде предиката $P(x): x^2 \ge 0$.

Символьная запись высказывания будет выглядеть так: $∀x \in R : x^2 \ge 0$.

Это высказывание является истинным, так как квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда больше либо равен нулю.

Ответ: Высказывание: "Квадрат любого действительного числа неотрицателен". Запись с помощью квантора: $∀x \in R : x^2 \ge 0$.

122 1) Придумай высказывание о существовании и запиши его с помощью квантора $\exists$.

2) Придумай общее высказывание и запиши его с помощью квантора $\forall$.

123 Преобразуй данные предложения с переменными в истинные высказывания, используя кванторы $\exists$ и $\forall$. Как ещё можно превратить предложения с переменными в высказывания?

1) Число $n(n+1)$ – простое.

2) Дробь $\frac{n}{n+4}$ – правильная.

3) Число $6k$ – составное.

4) Дробь $\frac{2p}{q+1}$ – сократимая.

1) Число n(n + 1) – простое.
Данное предложение с переменной $n$ не всегда истинно. Например, если $n=2$, то $n(n+1) = 2(2+1) = 6$, а число 6 является составным. Однако, если $n=1$, то $n(n+1) = 1(1+1) = 2$, а число 2 является простым. Поскольку мы нашли хотя бы одно натуральное значение $n$, для которого утверждение истинно, мы можем использовать квантор существования ($\exists$) для преобразования предложения в истинное высказывание.
Ответ: Существует такое натуральное число $n$, что число $n(n+1)$ является простым.

2) Дробь $\frac{n}{n+4}$ – правильная.
Правильная дробь – это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В данном случае, для натуральных чисел $n$, это условие записывается как неравенство $n < n+4$. Это неравенство является истинным для любого числа $n$, так как при вычитании $n$ из обеих частей мы получаем верное неравенство $0 < 4$. Следовательно, данное утверждение истинно для всех натуральных значений $n$. Для преобразования предложения в истинное высказывание используем квантор всеобщности ($\forall$).
Ответ: Для любого натурального числа $n$ дробь $\frac{n}{n+4}$ является правильной.

3) Число 6k – составное.
Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым. Для любого натурального числа $k$ (т.е. $k \ge 1$), произведение $6k$ будет не меньше 6. Любое такое число имеет как минимум делители 2 и 3, помимо 1 и самого себя. Таким образом, число $6k$ является составным для любого натурального $k$. Используем квантор всеобщности ($\forall$).
Ответ: Для любого натурального числа $k$ число $6k$ является составным.

4) Дробь $\frac{2p}{q+1}$ – сократимая.
Сократимая дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой имеют общий делитель, больший 1. Данное утверждение не является истинным для всех натуральных $p$ и $q$. Например, при $p=3$ и $q=4$ дробь равна $\frac{2 \cdot 3}{4+1} = \frac{6}{5}$, и она несократима. Однако, можно найти такие значения $p$ и $q$, при которых дробь будет сократимой. Например, если $q$ — любое нечётное натуральное число, то $q+1$ будет чётным числом. Тогда числитель $2p$ и знаменатель $q+1$ будут иметь общий делитель 2, и дробь будет сократимой. Так как существуют такие $p$ и $q$, используем квантор существования ($\exists$).
Ответ: Существуют такие натуральные числа $p$ и $q$, что дробь $\frac{2p}{q+1}$ является сократимой.

Предложения с переменными можно превратить в высказывания не только с помощью кванторов. Другой способ — подставить вместо переменных их конкретные значения (константы). После подстановки предложение становится утверждением, которое является либо истинным, либо ложным, то есть становится высказыванием.
Например, рассмотрим предложение "Число $n(n + 1)$ – простое". Если подставить $n=1$, мы получим истинное высказывание "Число $1(1+1)=2$ – простое". Если же подставить $n=3$, мы получим ложное высказывание "Число $3(3+1)=12$ – простое".
Ответ: Превратить предложение с переменными в высказывание можно также путём подстановки вместо переменных их конкретных значений.

123 Преобразуй данные предложения с переменными в истинные высказывания, используя кванторы $\exists$ и $\forall$. Как еще можно превратить предложения с переменными в высказывания?

1) Число $n(n+1)$ - простое.

2) Дробь $\frac{n}{n+4}$ - правильная.

3) Число $6k$ - составное.

4) Дробь $\frac{2p}{q+1}$ - сократимая.

124 Запиши, используя квантор общности:

1) переместительное и сочетательное свойство сложения;

$ \forall a,b \in \mathbb{R}, a+b = b+a $
$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, (a+b)+c = a+(b+c) $

2) переместительное и сочетательное свойство умножения;

$ \forall a,b \in \mathbb{R}, a \cdot b = b \cdot a $
$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $

3) распределительное свойство умножения;

$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c $

4) правило вычитания числа из суммы;

$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, (a+b)-c = a+(b-c) $

5) правило вычитания суммы из числа;

$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, a-(b+c) = a-b-c $

6) правило деления числа на произведение;

$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, b \neq 0, c \neq 0, \frac{a}{b \cdot c} = \frac{a}{b} \div c $

7) правило деления произведения на число;

$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, c \neq 0, \frac{a \cdot b}{c} = \frac{a}{c} \cdot b $

8) правила деления суммы и разности на число.

$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, c \neq 0, \frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} $
$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, c \neq 0, \frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c} $

1) переместительное и сочетательное свойства сложения;

Переместительное свойство сложения (коммутативность) гласит, что от перемены мест слагаемых результат сложения не изменяется.
Ответ: $ \forall a, b: a + b = b + a $

Сочетательное свойство сложения (ассоциативность) гласит, что при сложении трёх и более чисел их можно группировать в любом порядке.
Ответ: $ \forall a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) $

2) переместительное и сочетательное свойства умножения;

Переместительное свойство умножения (коммутативность) гласит, что от перемены мест множителей произведение не изменяется.
Ответ: $ \forall a, b: a \cdot b = b \cdot a $

Сочетательное свойство умножения (ассоциативность) гласит, что при умножении трёх и более чисел их можно группировать в любом порядке.
Ответ: $ \forall a, b, c: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $

3) распределительное свойство умножения;

Распределительное свойство умножения относительно сложения (дистрибутивность) показывает, как связаны операции сложения и умножения. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Ответ: $ \forall a, b, c: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $

4) правило вычитания числа из суммы;

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного из слагаемых, а затем к результату прибавить другое слагаемое.
Ответ: $ \forall a, b, c: (a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c) $

5) правило вычитания суммы из числа;

Чтобы вычесть сумму из числа, можно из этого числа последовательно вычесть каждое слагаемое.
Ответ: $ \forall a, b, c: a - (b + c) = a - b - c $

6) правило деления числа на произведение;

Чтобы разделить число на произведение, можно разделить это число на один из множителей, а затем полученный результат разделить на другой множитель. (При условии, что множители не равны нулю).
Ответ: $ \forall a, \forall b \neq 0, \forall c \neq 0: a \div (b \cdot c) = (a \div b) \div c $

7) правило деления произведения на число;

Чтобы разделить произведение на число, можно разделить на это число один из множителей, а результат умножить на второй множитель. (При условии, что делитель не равен нулю).
Ответ: $ \forall a, b, \forall c \neq 0: (a \cdot b) \div c = (a \div c) \cdot b = a \cdot (b \div c) $

8) правила деления суммы и разности на число.

Правило деления суммы на число: чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. (При условии, что делитель не равен нулю).
Ответ: $ \forall a, b, \forall c \neq 0: (a + b) \div c = (a \div c) + (b \div c) $

Правило деления разности на число: чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого результата вычесть второй. (При условии, что делитель не равен нулю).
Ответ: $ \forall a, b, \forall c \neq 0: (a - b) \div c = (a \div c) - (b \div c) $

124 Запиши, используя квантор общности:

1) переместительное и сочетательное свойства сложения;

$ \forall a, b \in \mathbb{R}: a + b = b + a $

$ \forall a, b, c \in \mathbb{R}: (a + b) + c = a + (b + c) $

2) переместительное и сочетательное свойства умножения;

$ \forall a, b \in \mathbb{R}: a \cdot b = b \cdot a $

$ \forall a, b, c \in \mathbb{R}: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $

3) распределительное свойство умножения;

$ \forall a, b, c \in \mathbb{R}: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $

4) правило вычитания числа из суммы;

$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}: (a + b) - c = a + (b - c) $

5) правило вычитания суммы из числа;

$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}: c - (a + b) = c - a - b $

6) правило деления числа на произведение;

$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, b \neq 0, c \neq 0: a \div (b \cdot c) = (a \div b) \div c $

7) правило деления произведения на число;

$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, c \neq 0: (a \cdot b) \div c = (a \div c) \cdot b $

8) правила деления суммы и разности на число.

$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, c \neq 0: (a+b) \div c = a \div c + b \div c $

$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, c \neq 0: (a-b) \div c = a \div c - b \div c $

125 Прочитай утверждения и докажи их истинность:

1) $\exists n \in N: n^2 > 30;$

2) $\exists a, b \in N: a = b^2;$

3) $\exists x, y, z \in N: x^2 + y^2 = z^2;$

4) $\exists x, y, z \in N: \frac{x}{y} = \frac{y}{z};$

5) $\forall n \in N: n+(n+1)$ – число нечётное;

6) $\forall n \in N: n(n+1)$ – число чётное;

7) $\forall n \in N: n(n+1)(n+2)$ – кратно шести;

8) $\forall m, n \in N: \left(\frac{m}{n}\right)^2 = \frac{m^2}{n^2}.$

1) Утверждение гласит, что существует такое натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n^2 > 30$. Чтобы доказать истинность этого утверждения, достаточно привести один пример. Рассмотрим натуральные числа по порядку: $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$. Все эти значения меньше или равны 30. Возьмем следующее натуральное число, $n=6$. Тогда $n^2 = 6^2 = 36$. Так как $36 > 30$, то утверждение истинно. Ответ: Например, при $n=6$, $n^2 = 36 > 30$.

2) Утверждение гласит, что существуют такие натуральные числа $a$ и $b$, для которых выполняется равенство $a = b^2$. Для доказательства достаточно найти одну пару таких чисел. Пусть $b=3$. Тогда $a = b^2 = 3^2 = 9$. И $a=9$, и $b=3$ являются натуральными числами. Равенство $9 = 3^2$ верно. Следовательно, утверждение истинно. Ответ: Например, при $b=3$ и $a=9$ равенство $a=b^2$ выполняется.

3) Утверждение гласит, что существуют такие натуральные числа $x, y, z$, для которых выполняется равенство $x^2 + y^2 = z^2$. Это равенство известно как теорема Пифагора, а тройки натуральных чисел, удовлетворяющие ему, называются пифагоровыми тройками. Для доказательства достаточно привести один пример. Возьмем $x=3$, $y=4$, $z=5$. Проверим равенство: $x^2 + y^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. $z^2 = 5^2 = 25$. Так как $25 = 25$, равенство выполняется, и утверждение истинно. Ответ: Например, при $x=3, y=4, z=5$ равенство $x^2 + y^2 = z^2$ выполняется.

4) Утверждение гласит, что существуют такие натуральные числа $x, y, z$, для которых выполняется равенство $\frac{x}{y} = \frac{y}{z}$. Это равенство можно переписать как $y^2 = xz$, что означает, что $y$ является средним геометрическим для $x$ и $z$. Для доказательства достаточно привести один пример. Пусть $x=2$ и $y=4$. Тогда из равенства $y^2 = xz$ найдем $z$: $4^2 = 2 \cdot z$, откуда $16 = 2z$ и $z=8$. Все три числа, $x=2, y=4, z=8$, являются натуральными. Проверим исходное равенство: $\frac{x}{y} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $\frac{y}{z} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Равенство верно, следовательно, утверждение истинно. Ответ: Например, при $x=2, y=4, z=8$ равенство $\frac{x}{y} = \frac{y}{z}$ выполняется.

5) Утверждение гласит, что для любого натурального числа $n$ сумма $n + (n + 1)$ является нечётным числом. Преобразуем выражение: $n + (n + 1) = 2n + 1$. По определению, нечётное число — это целое число, которое можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое число. Так как $n$ — натуральное число, оно также является целым. Следовательно, выражение $2n+1$ всегда представляет собой нечётное число для любого натурального $n$. Утверждение истинно. Ответ: Выражение $n + (n + 1)$ равно $2n + 1$, что является общей формулой нечётного числа при натуральном $n$.

6) Утверждение гласит, что для любого натурального числа $n$ произведение $n(n + 1)$ является чётным числом. Рассмотрим два случая. 1. Если $n$ — чётное число, то его можно представить в виде $n=2k$ для некоторого натурального $k$. Тогда произведение $n(n+1) = 2k(2k+1)$ очевидно делится на 2, то есть является чётным. 2. Если $n$ — нечётное число, то его можно представить в виде $n=2k-1$ для некоторого натурального $k$. Тогда следующий за ним член $n+1 = (2k-1)+1 = 2k$ будет чётным. Произведение $n(n+1) = (2k-1)(2k)$ также очевидно делится на 2, то есть является чётным. Поскольку любое натуральное число является либо чётным, либо нечётным, в обоих случаях произведение $n(n+1)$ является чётным числом. Утверждение истинно. Ответ: Произведение $n(n+1)$ всегда чётно, так как один из двух последовательных множителей ($n$ или $n+1$) обязательно является чётным числом.

7) Утверждение гласит, что для любого натурального числа $n$ произведение $n(n + 1)(n + 2)$ кратно шести. Число кратно 6, если оно одновременно кратно 2 и 3. 1. Докажем кратность 2. В произведении $n(n + 1)(n + 2)$ участвуют три последовательных натуральных числа. Среди них всегда есть хотя бы одно чётное число. Произведение любого числа на чётное является чётным, следовательно, $n(n + 1)(n + 2)$ всегда кратно 2. 2. Докажем кратность 3. Среди любых трёх последовательных натуральных чисел всегда есть ровно одно, которое делится на 3. Если $n$ делится на 3, то и произведение делится на 3. Если $n$ даёт остаток 1 при делении на 3 ($n=3k+1$), то $n+2 = 3k+1+2=3(k+1)$ делится на 3. Если $n$ даёт остаток 2 при делении на 3 ($n=3k+2$), то $n+1 = 3k+2+1=3(k+1)$ делится на 3. В любом случае, один из множителей делится на 3, а значит и всё произведение делится на 3. Поскольку произведение $n(n + 1)(n + 2)$ делится и на 2, и на 3, а числа 2 и 3 взаимно простые, то оно делится на их произведение, то есть на 6. Утверждение истинно. Ответ: Произведение трёх последовательных натуральных чисел всегда делится на 2 (так как среди них есть хотя бы одно чётное) и на 3 (так как среди них есть ровно одно кратное трём), а значит, делится и на 6.

8) Утверждение гласит, что для любых натуральных чисел $m$ и $n$ выполняется равенство $(\frac{m}{n})^2 = \frac{m^2}{n^2}$. Докажем это, используя определение возведения в степень и правило умножения дробей. По определению, возведение в квадрат означает умножение числа на само себя: $(\frac{m}{n})^2 = \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n}$. По правилу умножения дробей, произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей: $\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} = \frac{m \cdot m}{n \cdot n}$. Наконец, по определению второй степени, $m \cdot m = m^2$ и $n \cdot n = n^2$. Таким образом, мы получаем $\frac{m^2}{n^2}$. Следовательно, $(\frac{m}{n})^2 = \frac{m^2}{n^2}$. Утверждение истинно. Ответ: Равенство следует из определения возведения в квадрат $(\frac{m}{n})^2 = \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n}$ и правила умножения дробей $\frac{m \cdot m}{n \cdot n} = \frac{m^2}{n^2}$.

125 Прочитай утверждения и докажи их истинность:

1) $\exists n \in N: n^2 > 30$;

2) $\exists a, b \in N: a = b^2$;

3) $\exists x, y, z \in N: x^2 + y^2 = z^2$;

4) $\exists x, y, z \in N: \frac{x}{y} = \frac{y}{z}$;

5) $\forall n \in N: n+(n+1)$ - число нечетное;

6) $\forall n \in N: n(n+1)$ - число четное;

7) $\forall n \in N: n(n+1)(n+2)$ - кратно шести;

8) $\forall m, n \in N: (\frac{m}{n})^2 = \frac{m^2}{n^2}$.

126 Прочитай утверждения и опровергни их. Построй их отрицания.

1) $ \forall a \in R: a^2 > a (\text{R - множество дробей});$

2) $ \forall b \in N: b^2 + b + 1 - \text{простое число};$

3) $ \forall x, y \in N: (x + y)^2 = x^2 + y^2;$

4) $ \forall m, n \in N: \frac{m}{n} = \frac{n}{m};$

5) $ \exists a, b \in N: (a + b)^2 = 5;$

6) $ \exists c, d \in N: c^2 + d^2 = 6;$

7) $ \exists x, y \in N: x + y = 7 \text{ и } xy = 7;$

8) $ \exists m, n, k \in N: \frac{m}{n} \neq \frac{mk}{nk}.$

Исходное утверждение: $ \forall a \in R: a^2 > a $ (где $R$ — множество дробей, то есть рациональных чисел $Q$).

Это утверждение ложно. Чтобы его опровергнуть, достаточно привести один контрпример. Утверждение гласит, что неравенство верно для любого рационального числа. Возьмем $a = \frac{1}{2}$. Тогда $a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Неравенство $ \frac{1}{4} > \frac{1}{2} $ является ложным. Также можно взять $a=1$, тогда $1^2 > 1$ тоже ложно, так как $1=1$.

Отрицанием данного утверждения является высказывание, в котором квантор всеобщности $ \forall $ (для любого) меняется на квантор существования $ \exists $ (существует), а знак неравенства меняется на противоположный ($ \le $).
Отрицание: $ \exists a \in R: a^2 \le a $.

Ответ: Утверждение ложно, контрпример $a=0.5$. Отрицание: $ \exists a \in R: a^2 \le a $.

Исходное утверждение: $ \forall b \in N: b^2 + b + 1 $ — простое число.

Это утверждение ложно. Проверим несколько натуральных значений $b$ по порядку:
При $b=1$: $1^2 + 1 + 1 = 3$ (простое число).
При $b=2$: $2^2 + 2 + 1 = 7$ (простое число).
При $b=3$: $3^2 + 3 + 1 = 13$ (простое число).
При $b=4$: $4^2 + 4 + 1 = 16 + 4 + 1 = 21$. Число $21$ является составным, так как $21 = 3 \cdot 7$. Следовательно, мы нашли контрпример.

Отрицанием данного утверждения является высказывание: существует такое натуральное число $b$, для которого $ b^2 + b + 1 $ не является простым числом (т.е. является составным, так как при $ b \ge 1 $ значение выражения больше 1).
Отрицание: $ \exists b \in N: b^2 + b + 1 $ — составное число.

Ответ: Утверждение ложно, контрпример $b=4$. Отрицание: $ \exists b \in N: b^2 + b + 1 $ — составное число.

Исходное утверждение: $ \forall x, y \in N: (x + y)^2 = x^2 + y^2 $.

Это утверждение ложно. Оно представляет собой распространенную ошибку. Правильная формула квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Равенство $(x + y)^2 = x^2 + y^2$ выполняется только если $2xy = 0$, что для натуральных чисел $x$ и $y$ (которые по определению $ \ge 1 $) невозможно.
В качестве контрпримера возьмем любые натуральные числа, например, $x=1$ и $y=2$:
Левая часть: $(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$.
Правая часть: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
Поскольку $9 \neq 5$, утверждение опровергнуто.

Отрицанием данного утверждения является: существует пара натуральных чисел $x, y$, для которых $(x + y)^2 \neq x^2 + y^2$.
Отрицание: $ \exists x, y \in N: (x + y)^2 \neq x^2 + y^2 $.

Ответ: Утверждение ложно, контрпример $x=1, y=2$. Отрицание: $ \exists x, y \in N: (x + y)^2 \neq x^2 + y^2 $.

Исходное утверждение: $ \forall m, n \in N: \frac{m}{n} = \frac{n}{m} $.

Это утверждение ложно. Равенство $\frac{m}{n} = \frac{n}{m}$ после преобразования ($m^2 = n^2$) для натуральных чисел $m$ и $n$ означает, что $m = n$. Утверждение же говорит, что это верно для любых натуральных $m$ и $n$, а не только для равных.
Возьмем контрпример, где $m \neq n$. Пусть $m=2$ и $n=3$. Тогда $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2}$. Утверждение опровергнуто.

Отрицанием данного утверждения является: существуют такие натуральные числа $m$ и $n$, что $\frac{m}{n} \neq \frac{n}{m}$.
Отрицание: $ \exists m, n \in N: \frac{m}{n} \neq \frac{n}{m} $.

Ответ: Утверждение ложно, контрпример $m=2, n=3$. Отрицание: $ \exists m, n \in N: \frac{m}{n} \neq \frac{n}{m} $.

Исходное утверждение: $ \exists a, b \in N: (a + b)^2 = 5 $.

Это утверждение ложно. Чтобы его опровергнуть, нужно доказать, что таких натуральных чисел не существует. Пусть $S = a+b$. Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа ($a \ge 1, b \ge 1$), их сумма $S$ также является натуральным числом, причем $S \ge 2$.
Уравнение принимает вид $S^2 = 5$. Отсюда $S = \sqrt{5}$.
Однако $\sqrt{5}$ является иррациональным числом, а $S$ должно быть натуральным. Так как не существует натурального числа, квадрат которого равен 5, то не существует и таких натуральных $a$ и $b$.

Отрицанием утверждения с квантором существования является утверждение с квантором всеобщности и отрицанием условия.
Отрицание: $ \forall a, b \in N: (a + b)^2 \neq 5 $.

Ответ: Утверждение ложно, так как сумма двух натуральных чисел является натуральным числом, а корень из 5 иррационален. Отрицание: $ \forall a, b \in N: (a + b)^2 \neq 5 $.

Исходное утверждение: $ \exists c, d \in N: c^2 + d^2 = 6 $.

Это утверждение ложно. Докажем это методом перебора. Так как $c$ и $d$ — натуральные числа, то $c \ge 1$ и $d \ge 1$.
Рассмотрим возможные значения для $c^2$, которые меньше 6:
- Если $c=1$, то $c^2 = 1$. Уравнение становится $1 + d^2 = 6$, откуда $d^2 = 5$. Нет натурального числа $d$, для которого $d^2=5$.
- Если $c=2$, то $c^2 = 4$. Уравнение становится $4 + d^2 = 6$, откуда $d^2 = 2$. Нет натурального числа $d$, для которого $d^2=2$.
- Если $c \ge 3$, то $c^2 \ge 9$, и сумма $c^2+d^2$ будет заведомо больше 6.
Поскольку мы перебрали все возможные случаи и ни один не подошел, таких натуральных чисел $c$ и $d$ не существует.

Отрицанием данного утверждения является: для любых натуральных чисел $c$ и $d$ их сумма квадратов не равна 6.
Отрицание: $ \forall c, d \in N: c^2 + d^2 \neq 6 $.

Ответ: Утверждение ложно, так как не существует двух натуральных чисел, сумма квадратов которых равна 6. Отрицание: $ \forall c, d \in N: c^2 + d^2 \neq 6 $.

Исходное утверждение: $ \exists x, y \in N: x + y = 7 \text{ и } xy = 7 $.

Это утверждение ложно. Мы ищем натуральные решения системы уравнений:
1) $x + y = 7$
2) $xy = 7$
Из второго уравнения $xy = 7$ и того факта, что $x, y$ — натуральные числа, а 7 — простое число, следует, что возможны только две пары решений: $x=1, y=7$ или $x=7, y=1$.
Проверим эти пары, подставив их в первое уравнение $x+y=7$:
В обоих случаях получаем $1+7 = 8$. Так как $8 \neq 7$, ни одна из пар не является решением системы. Следовательно, таких натуральных $x$ и $y$ не существует.

Отрицанием утверждения "$ \exists x,y: P(x,y) \text{ и } Q(x,y) $" является "$ \forall x,y: \neg P(x,y) \text{ или } \neg Q(x,y) $".
Отрицание: $ \forall x, y \in N: x + y \neq 7 \text{ или } xy \neq 7 $.

Ответ: Утверждение ложно, так как система уравнений не имеет решений в натуральных числах. Отрицание: $ \forall x, y \in N: x + y \neq 7 \text{ или } xy \neq 7 $.

Исходное утверждение: $ \exists m, n, k \in N: \frac{m}{n} \neq \frac{mk}{nk} $.

Это утверждение ложно. Оно противоречит основному свойству дроби, которое гласит, что при умножении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число значение дроби не меняется.
Поскольку $m, n, k$ — натуральные числа, то $k \neq 0$. Мы можем сократить дробь $\frac{mk}{nk}$ на общий множитель $k$:
$ \frac{mk}{nk} = \frac{m \cdot k}{n \cdot k} = \frac{m}{n} $
Таким образом, для любых натуральных $m, n, k$ всегда выполняется равенство $\frac{m}{n} = \frac{mk}{nk}$, и никогда не выполняется неравенство. Следовательно, таких чисел не существует.

Отрицанием данного утверждения является: для любых натуральных чисел $m, n, k$ выполняется равенство $\frac{m}{n} = \frac{mk}{nk}$.
Отрицание: $ \forall m, n, k \in N: \frac{m}{n} = \frac{mk}{nk} $.

Ответ: Утверждение ложно, так как оно противоречит основному свойству дроби. Отрицание: $ \forall m, n, k \in N: \frac{m}{n} = \frac{mk}{nk} $.

126 Прочитай утверждения и опровергни их. Построй их отрицания.

1) $\forall a \in R: a^2 > a$ (R – множество дробей);

2) $\forall b \in N: b^2 + b + 1$ – простое число;

3) $\forall x, y \in N: (x+y)^2 = x^2 + y^2$;

4) $\forall m, n \in N: \frac{m}{n} = \frac{n}{m}$;

5) $\exists a, b \in N: (a+b)^2 = 5$;

6) $\exists c, d \in N: c^2 + d^2 = 6$;

7) $\exists x, y \in N: x+y = 7$ и $xy = 7$;

8) $\exists m, n, k \in N: \frac{m}{n} \neq \frac{mk}{nk}$.

П 127 Из букв, соответствующих истинным высказываниям, составь слово. Что оно означает?

P 19 999 кратно 9.

A 1275 делится на 3 и на 5.

C 1275 кратно 15.

И 6 – делитель числа 360 106.

Н 12 345 678 делится на 18.

Т Сумма $1400 + 56$ кратна 5.

Я Разность $3737 - 36$ не делится на 37.

В Произведение $9 \cdot 36 \cdot 151$ – число нечётное.

Б Произведение $11 \cdot 25 \cdot 508$ кратно 10.

Е Сумма $452 \cdot 49 + 702$ делится на 7.

Для того чтобы составить слово, необходимо проверить истинность каждого высказывания.

Р: 19 999 кратно 9.

Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа 19 999 равна $1 + 9 + 9 + 9 + 9 = 37$. Число 37 не делится на 9 нацело ($37 = 9 \cdot 4 + 1$). Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: Ложь.

А: 1275 делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Число 1275 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5. Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа 1275 равна $1 + 2 + 7 + 5 = 15$. Число 15 делится на 3 ($15 : 3 = 5$). Так как 1275 делится и на 3, и на 5, высказывание истинно.
Ответ: Истина.

С: 1275 кратно 15.

Признак делимости на 15: число делится на 15, если оно делится одновременно на 3 и на 5 (так как 3 и 5 — взаимно простые числа). Как было установлено в предыдущем пункте, число 1275 делится и на 3, и на 5. Следовательно, 1275 кратно 15. Высказывание истинно.
Ответ: Истина.

И: 6 – делитель числа 360 106.

Это означает, что число 360 106 должно делиться на 6. Признак делимости на 6: число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. Число 360 106 оканчивается на 6, значит, оно чётное и делится на 2. Проверим делимость на 3: сумма цифр числа 360 106 равна $3 + 6 + 0 + 1 + 0 + 6 = 16$. Число 16 не делится на 3. Так как число не делится на 3, оно не делится и на 6. Высказывание ложно.
Ответ: Ложь.

Н: 12 345 678 делится на 18.

Признак делимости на 18: число делится на 18, если оно делится одновременно на 2 и на 9. Число 12 345 678 оканчивается на 8, значит, оно чётное и делится на 2. Проверим делимость на 9: сумма цифр числа 12 345 678 равна $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$. Число 36 делится на 9 ($36 : 9 = 4$). Так как число делится и на 2, и на 9, оно делится на 18. Высказывание истинно.
Ответ: Истина.

Т: Сумма 1400 + 56 кратна 5.

Вычислим сумму: $1400 + 56 = 1456$. Число кратно 5, если оно оканчивается на 0 или 5. Число 1456 оканчивается на 6, следовательно, оно не кратно 5. Высказывание ложно.
Ответ: Ложь.

Я: Разность 3737 – 36 не делится на 37.

Рассмотрим число 3737. Его можно представить как $3737 = 3700 + 37 = 37 \cdot 100 + 37 \cdot 1 = 37 \cdot 101$. Значит, 3737 делится на 37. Тогда разность $3737 - 36$ можно представить как $(\text{число, кратное 37}) - 36$. При делении этой разности на 37 первое слагаемое даст остаток 0, а второе ($-36$) даст остаток 1 ($ -36 = -1 \cdot 37 + 1 $). Общий остаток от деления равен 1. Так как остаток не равен 0, разность не делится на 37. Высказывание истинно.
Ответ: Истина.

В: Произведение 9 · 36 · 151 – число нечётное.

Произведение нескольких чисел является нечётным только в том случае, если все сомножители нечётные. В данном произведении есть чётный множитель 36. Произведение чётного числа на любое другое число всегда является чётным. Следовательно, $9 \cdot 36 \cdot 151$ — число чётное. Высказывание ложно.
Ответ: Ложь.

Б: Произведение 11 · 25 · 508 кратно 10.

Число кратно 10, если оно делится на 2 и на 5. Среди множителей есть число 25, которое делится на 5 ($25 = 5 \cdot 5$). Среди множителей есть число 508, которое является чётным и делится на 2 ($508 = 2 \cdot 254$). Поскольку в произведении есть множители, кратные 2 и 5, само произведение будет кратно $2 \cdot 5 = 10$. Высказывание истинно.
Ответ: Истина.

Е: Сумма 452 · 49 + 702 делится на 7.

Проверим делимость каждого слагаемого на 7. Первое слагаемое $452 \cdot 49$. Так как $49$ делится на 7 ($49 = 7 \cdot 7$), то и всё произведение $452 \cdot 49$ делится на 7. Второе слагаемое 702. $702 = 700 + 2 = 7 \cdot 100 + 2$. При делении на 7 число 702 даёт остаток 2. Сумма числа, кратного 7, и числа, которое при делении на 7 даёт остаток 2, будет давать остаток 2 при делении на 7. Следовательно, сумма не делится на 7. Высказывание ложно.
Ответ: Ложь.

Выпишем буквы, соответствующие истинным высказываниям: А, С, Н, Я, Б.

Составим из этих букв слово: БАСНЯ.

Басня — это короткое нравоучительное произведение, часто в стихотворной форме, в котором персонажами обычно выступают животные, растения или предметы, наделённые человеческими качествами.

Π 127 Из букв, соответствующих истинным высказываниям, составь слово.

Что оно означает?

Р 19 999 кратно 9.

Т Сумма $1400 + 56$ кратна 5.

А 1275 делится на 3 и на 5.

Я Разность $3737 - 36$ не делится на 37.

С 1275 кратно 15.

В Произведение $9 \cdot 36 \cdot 151$ – число нечетное.

И 6 – делитель числа 360 106.

Б Произведение $11 \cdot 25 \cdot 508$ кратно 10.

Н 12 345 678 делится на 18.

Е Сумма $452 \cdot 49 + 702$ делится на 7.

133 Построй формулу, устанавливающую зависимость:

1) числа n купленных тетрадей от их цены a, если стоимость всей покупки равна 600 р.

$n = \frac{600}{a}$

2) времени t набора рукописи на компьютере от производительности w, если в рукописи 240 страниц

$t = \frac{240}{w}$

3) массы m соли в растворе от массы M раствора, если концентрация раствора 30 %.

$m = 0.3M$

1) числа n купленных тетрадей от их цены a, если стоимость всей покупки равна 600 р.;

Стоимость всей покупки является произведением количества купленных тетрадей на цену одной тетради. Обозначим количество тетрадей как $n$, а цену одной тетради как $a$. По условию, общая стоимость равна 600 р. Таким образом, мы можем составить уравнение:
$n \cdot a = 600$
Чтобы выразить зависимость числа тетрадей $n$ от цены $a$, нужно решить это уравнение относительно $n$. Для этого разделим обе части уравнения на $a$:
$n = \frac{600}{a}$
Ответ: $n = \frac{600}{a}$

2) времени t набора рукописи на компьютере от производительности w, если в рукописи 240 страниц;

Общий объем работы (в данном случае, количество страниц) равен произведению производительности на время выполнения работы. Обозначим время набора как $t$, а производительность (количество страниц в единицу времени) как $w$. Объем рукописи составляет 240 страниц. Следовательно, справедливо равенство:
$w \cdot t = 240$
Чтобы найти зависимость времени $t$ от производительности $w$, выразим $t$ из этого уравнения, разделив обе части на $w$:
$t = \frac{240}{w}$
Ответ: $t = \frac{240}{w}$

3) массы m соли в растворе от массы M раствора, если концентрация раствора 30 % .

Концентрация раствора показывает, какую долю от общей массы раствора составляет масса растворенного вещества. Концентрация 30% означает, что масса соли составляет 30 сотых от массы всего раствора. Переведем проценты в десятичную дробь: $30\% = \frac{30}{100} = 0,3$.
Обозначим массу соли как $m$, а массу раствора как $M$. Тогда, чтобы найти массу соли, нужно массу всего раствора умножить на долю, которую составляет соль:
$m = M \cdot 0,3$
Или, в более привычном виде:
$m = 0,3M$
Ответ: $m = 0,3M$

133 Построй формулу, устанавливающую зависимость:

1) числа $n$ купленных тетрадей от их цены $a$, если стоимость всей покупки равна 600 р.;

2) времени $t$ набора рукописи на компьютере от производительности $w$, если в рукописи 240 страниц;

3) массы $m$ соли в растворе от массы $M$ раствора, если концентрация раствора 30%.

134 Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу единиц измерения величин в формулах.

1) $s = vt$

2) $A = wt$

3) $C = an$

1) $s = vt$

В этой формуле $s$ — это расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время. Единицы измерения этих величин связаны между собой.

• Если расстояние $s$ измеряется в метрах (м), а скорость $v$ — в метрах в секунду (м/с), то для нахождения единицы измерения времени $t$ нужно единицу измерения расстояния разделить на единицу измерения скорости. Формула для единиц измерения: $t = s/v$. Подставляем единицы: $м / (м/с) = с$.
  Ответ: с (секунды).

• Если скорость $v$ измеряется в километрах в час (км/ч), а время $t$ — в часах (ч), то для нахождения единицы измерения расстояния $s$ нужно единицу измерения скорости умножить на единицу измерения времени. Формула для единиц измерения: $s = v \times t$. Подставляем единицы: $(км/ч) \times ч = км$.
  Ответ: км (километры).

• Если расстояние $s$ измеряется в километрах (км), а время $t$ — в минутах (мин), то для нахождения единицы измерения скорости $v$ нужно единицу измерения расстояния разделить на единицу измерения времени. Формула для единиц измерения: $v = s/t$. Подставляем единицы: $км / мин$.
  Ответ: км/мин (километры в минуту).

• Если скорость $v$ измеряется в сантиметрах в секунду (см/с), а время $t$ — в секундах (с), то для нахождения единицы измерения расстояния $s$ нужно единицу измерения скорости умножить на единицу измерения времени. Формула для единиц измерения: $s = v \times t$. Подставляем единицы: $(см/с) \times с = см$.
  Ответ: см (сантиметры).

2) $A = wt$

В этой формуле $A$ — это выполненная работа или общее количество произведенной продукции, $w$ — производительность (скорость выполнения работы), а $t$ — время.

• Если общее количество $A$ измеряется в штуках (шт.), а время $t$ — в часах (ч), то для нахождения единицы измерения производительности $w$ нужно единицу измерения общего количества разделить на единицу измерения времени. Формула для единиц измерения: $w = A/t$. Подставляем единицы: $шт./ч$.
  Ответ: шт./ч (штук в час).

• Если общее количество $A$ измеряется в метрах (м), а производительность $w$ — в метрах в день (м/день), то для нахождения единицы измерения времени $t$ нужно единицу измерения общего количества разделить на единицу измерения производительности. Формула для единиц измерения: $t = A/w$. Подставляем единицы: $м / (м/день) = день$.
  Ответ: день.

• Если производительность $w$ измеряется в штуках в минуту (шт./мин), а время $t$ — в минутах (мин), то для нахождения единицы измерения общего количества $A$ нужно единицу измерения производительности умножить на единицу измерения времени. Формула для единиц измерения: $A = w \times t$. Подставляем единицы: $(шт./мин) \times мин = шт$.
  Ответ: шт. (штуки).

• Если общее количество $A$ измеряется в кубических дециметрах (дм³), а время $t$ — в секундах (с), то для нахождения единицы измерения производительности $w$ нужно единицу измерения общего количества разделить на единицу измерения времени. Формула для единиц измерения: $w = A/t$. Подставляем единицы: $дм³/с$.
  Ответ: дм³/с (кубических дециметров в секунду).

3) $C = an$

В этой формуле $C$ — это стоимость, $a$ — цена за единицу товара, а $n$ — количество товара.

• Если цена $a$ измеряется в рублях за штуку (р./шт.), а количество $n$ — в штуках (шт.), то для нахождения единицы измерения стоимости $C$ нужно единицу измерения цены умножить на единицу измерения количества. Формула для единиц измерения: $C = a \times n$. Подставляем единицы: $(р./шт.) \times шт. = р$.
  Ответ: р. (рубли).

• Если стоимость $C$ измеряется в рублях (р.), а цена $a$ — в рублях за килограмм (р./кг), то для нахождения единицы измерения количества $n$ нужно единицу измерения стоимости разделить на единицу измерения цены. Формула для единиц измерения: $n = C/a$. Подставляем единицы: $р. / (р./кг) = кг$.
  Ответ: кг (килограммы).

• Если стоимость $C$ измеряется в рублях (р.), а количество $n$ — в метрах (м), то для нахождения единицы измерения цены $a$ нужно единицу измерения стоимости разделить на единицу измерения количества. Формула для единиц измерения: $a = C/n$. Подставляем единицы: $р./м$.
  Ответ: р./м (рублей за метр).

• Если стоимость $C$ измеряется в рублях (р.), а цена $a$ — в рублях за тетрадь (р./тетр.), то для нахождения единицы измерения количества $n$ нужно единицу измерения стоимости разделить на единицу измерения цены. Формула для единиц измерения: $n = C/a$. Подставляем единицы: $р. / (р./тетр.) = тетр$.
  Ответ: тетр. (тетради).

134 Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу единиц измерения величин в формулах:

1) $s = vt$

s v t

М М/с ?

? км/ч ч

км ? мин

? см/с с

2) $A = wt$

A w t

шт. ? ч

м м/день ?

? шт./мин мин

дм³ ? с

3) $C = an$

C a n

? р./шт. шт.

р. р./кг ?

р. ? м

р. р./тетр. ?

135. Прочитай формулу одновременного движения: $s = v_{\text{сбл.}} \cdot t_{\text{встр.}}$. Что обозначают входящие в нее буквы? Перепиши эту формулу для случаев встречного движения и движения вдогонку, выразив $v_{\text{сбл.}}$ через скорости $v_1$ и $v_2$ движущихся объектов $(v_1 > v_2)$. По каждой из полученных формул вычисли:

1) $s$, если $v_1 = 36$ км/ч, $v_2 = 14$ км/ч, $t_{\text{встр.}} = 0,5$ ч;

2) $t_{\text{встр.}}$, если $s = 30$ км, $v_1 = 18$ км/ч, $v_2 = 12$ км/ч;

3) $v_1$, если $s = 120$ км, $t_{\text{встр.}} = 1,5$ ч, $v_2 = 20$ км/ч.

Формула одновременного движения $s = v_{сбл.} \cdot t_{встр.}$ читается так: расстояние равно скорости сближения, умноженной на время до встречи.

Входящие в неё буквы обозначают:

• $s$ — первоначальное расстояние между объектами.
• $v_{сбл.}$ — скорость сближения, то есть скорость, с которой уменьшается расстояние между объектами.
• $t_{встр.}$ — время до встречи объектов.

Перепишем эту формулу для двух случаев:

1. Для встречного движения: объекты движутся навстречу друг другу. Скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл.} = v_1 + v_2$.
   Формула принимает вид: $s = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр.}$.

2. Для движения вдогонку: один объект догоняет другой, движущийся в том же направлении. Скорость сближения равна разности их скоростей (при условии, что $v_1 > v_2$): $v_{сбл.} = v_1 - v_2$.
   Формула принимает вид: $s = (v_1 - v_2) \cdot t_{встр.}$.

Вычислим по полученным формулам:

1) s, если $v_1 = 36$ км/ч, $v_2 = 14$ км/ч, $t_{встр.} = 0,5$ ч;

• При встречном движении:
  $s = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр.} = (36 + 14) \cdot 0,5 = 50 \cdot 0,5 = 25$ (км).

• При движении вдогонку:
  $s = (v_1 - v_2) \cdot t_{встр.} = (36 - 14) \cdot 0,5 = 22 \cdot 0,5 = 11$ (км).

Ответ: при встречном движении расстояние $s$ равно 25 км; при движении вдогонку — 11 км.

2) $t_{встр.}$, если $s = 30$ км, $v_1 = 18$ км/ч, $v_2 = 12$ км/ч;

• При встречном движении:
  $t_{встр.} = \frac{s}{v_1 + v_2} = \frac{30}{18 + 12} = \frac{30}{30} = 1$ (ч).

• При движении вдогонку:
  $t_{встр.} = \frac{s}{v_1 - v_2} = \frac{30}{18 - 12} = \frac{30}{6} = 5$ (ч).

Ответ: при встречном движении время $t_{встр.}$ равно 1 ч; при движении вдогонку — 5 ч.

3) $v_1$, если $s = 120$ км, $t_{встр.} = 1,5$ ч, $v_2 = 20$ км/ч.

Сначала найдем скорость сближения: $v_{сбл.} = \frac{s}{t_{встр.}} = \frac{120}{1,5} = 80$ (км/ч).

• При встречном движении $v_{сбл.} = v_1 + v_2$, откуда $v_1 = v_{сбл.} - v_2$.
  $v_1 = 80 - 20 = 60$ (км/ч).

• При движении вдогонку $v_{сбл.} = v_1 - v_2$, откуда $v_1 = v_{сбл.} + v_2$.
  $v_1 = 80 + 20 = 100$ (км/ч).

Ответ: при встречном движении скорость $v_1$ равна 60 км/ч; при движении вдогонку — 100 км/ч.

135 Прочитай формулу одновременного движения: $s = v_{\text{сбл.}} \cdot t_{\text{встр.}}$. Что обозначают входящие в нее буквы? Перепиши эту формулу для случаев встречного движения и движения вдогонку, выразив $v_{\text{сбл.}}$ через скорости $v_1$ и $v_2$ движущихся объектов ($v_1 > v_2$). По каждой из полученных формул вычисли:

1) s, если $v_1 = 36$ км/ч, $v_2 = 14$ км/ч, $t_{\text{встр.}} = 0,5$ ч;

2) $t_{\text{встр.}}$, если $s = 30$ км, $v_1 = 18$ км/ч, $v_2 = 12$ км/ч;

3) $v_1$, если $s = 120$ км, $t_{\text{встр.}} = 1,5$ ч, $v_2 = 20$ км/ч.

136 Две машины едут по одному шоссе со скоростями соответственно $v_1$ и $v_2$ ($v_1 > v_2$). Сейчас расстояние между ними равно $s_0$. Построй формулу зависимости расстояния $d$ между машинами (до встречи) от времени движения $t$, если машины движутся:

1) навстречу друг другу;

2) в противоположных направлениях;

3) вдогонку;

4) с отставанием.

Вырази из этих формул величины $t$ и $v_1$.

Введем обозначения:

• $v_1$ и $v_2$ – скорости первой и второй машины соответственно (причем $v_1 > v_2$);
• $s_0$ – начальное расстояние между машинами;
• $d$ – расстояние между машинами через время $t$;
• $t$ – время движения.

Рассмотрим четыре случая движения, описанные в задаче.

1) навстречу друг другу

Когда машины движутся навстречу друг другу, они сближаются. Скорость их сближения равна сумме скоростей $v_{сбл} = v_1 + v_2$. За время $t$ расстояние между ними уменьшится на величину $(v_1 + v_2)t$. Таким образом, расстояние $d$ через время $t$ можно найти по формуле:

$d = s_0 - (v_1 + v_2)t$

Теперь выразим из этой формулы величины $t$ и $v_1$.

Для нахождения времени $t$ преобразуем формулу:

$(v_1 + v_2)t = s_0 - d$

$t = \frac{s_0 - d}{v_1 + v_2}$

Для нахождения скорости $v_1$ преобразуем исходную формулу:

$d = s_0 - v_1 t - v_2 t$

$v_1 t = s_0 - d - v_2 t$

$v_1 = \frac{s_0 - d - v_2 t}{t} = \frac{s_0 - d}{t} - v_2$

Ответ: $d = s_0 - (v_1 + v_2)t$; $t = \frac{s_0 - d}{v_1 + v_2}$; $v_1 = \frac{s_0 - d}{t} - v_2$.

2) в противоположных направлениях

Когда машины движутся в противоположных направлениях, они удаляются друг от друга. Скорость их удаления равна сумме скоростей $v_{уд} = v_1 + v_2$. За время $t$ расстояние между ними увеличится на величину $(v_1 + v_2)t$. Формула для расстояния $d$ через время $t$:

$d = s_0 + (v_1 + v_2)t$

Выразим из этой формулы $t$ и $v_1$.

Выражение для $t$:

$(v_1 + v_2)t = d - s_0$

$t = \frac{d - s_0}{v_1 + v_2}$

Выражение для $v_1$:

$d = s_0 + v_1 t + v_2 t$

$v_1 t = d - s_0 - v_2 t$

$v_1 = \frac{d - s_0 - v_2 t}{t} = \frac{d - s_0}{t} - v_2$

Ответ: $d = s_0 + (v_1 + v_2)t$; $t = \frac{d - s_0}{v_1 + v_2}$; $v_1 = \frac{d - s_0}{t} - v_2$.

3) вдогонку

Движение "вдогонку" означает, что обе машины едут в одном направлении, и более быстрая машина ($v_1$) догоняет более медленную ($v_2$). Скорость их сближения равна разности скоростей $v_{сбл} = v_1 - v_2$. За время $t$ расстояние между ними уменьшится на $(v_1 - v_2)t$. Формула для расстояния $d$:

$d = s_0 - (v_1 - v_2)t$

Выразим из этой формулы $t$ и $v_1$.

Выражение для $t$:

$(v_1 - v_2)t = s_0 - d$

$t = \frac{s_0 - d}{v_1 - v_2}$

Выражение для $v_1$:

$d = s_0 - v_1 t + v_2 t$

$v_1 t = s_0 - d + v_2 t$

$v_1 = \frac{s_0 - d + v_2 t}{t} = \frac{s_0 - d}{t} + v_2$

Ответ: $d = s_0 - (v_1 - v_2)t$; $t = \frac{s_0 - d}{v_1 - v_2}$; $v_1 = \frac{s_0 - d}{t} + v_2$.

4) с отставанием

Движение "с отставанием" означает, что обе машины едут в одном направлении, но более быстрая машина ($v_1$) находится впереди и удаляется от более медленной ($v_2$). Скорость их удаления равна разности скоростей $v_{уд} = v_1 - v_2$. За время $t$ расстояние между ними увеличится на $(v_1 - v_2)t$. Формула для расстояния $d$:

$d = s_0 + (v_1 - v_2)t$

Выразим из этой формулы $t$ и $v_1$.

Выражение для $t$:

$(v_1 - v_2)t = d - s_0$

$t = \frac{d - s_0}{v_1 - v_2}$

Выражение для $v_1$:

$d = s_0 + v_1 t - v_2 t$

$v_1 t = d - s_0 + v_2 t$

$v_1 = \frac{d - s_0 + v_2 t}{t} = \frac{d - s_0}{t} + v_2$

Ответ: $d = s_0 + (v_1 - v_2)t$; $t = \frac{d - s_0}{v_1 - v_2}$; $v_1 = \frac{d - s_0}{t} + v_2$.

136. Две машины едут по одному шоссе со скоростями соответственно $v_1$ и $v_2$ ($v_1 > v_2$). Сейчас расстояние между ними равно $s_0$. Построй формулу зависимости расстояния $d$ между машинами (до встречи) от времени движения $t$, если машины движутся:

1) навстречу друг другу;

2) в противоположных направлениях;

3) вдогонку;

4) с отставанием.

Вырази из этих формул величины $t$ и $v_1$.

137 Запиши известные тебе формулы зависимостей величин, описывающие:

1) движение по реке;

$S = V \cdot t$
$V = \frac{S}{t}$
$t = \frac{S}{V}$
$V_{по} = V_{соб} + V_{теч}$
$V_{против} = V_{соб} - V_{теч}$
$V_{соб} = \frac{V_{по} + V_{против}}{2}$
$V_{теч} = \frac{V_{по} - V_{против}}{2}$

2) процентное отношение чисел;

$P = \frac{A}{B} \cdot 100\%$
$A = \frac{P \cdot B}{100}$
$B = \frac{A \cdot 100}{P}$

3) простой процентный рост;

$S_n = S_0 (1 + n \cdot i)$
$S_0 = \frac{S_n}{1 + n \cdot i}$
$n = \frac{\frac{S_n}{S_0} - 1}{i}$
$i = \frac{\frac{S_n}{S_0} - 1}{n}$

4) сложный процентный рост.

$S_n = S_0 (1 + i)^n$
$S_0 = \frac{S_n}{(1 + i)^n}$
$n = \frac{\ln(\frac{S_n}{S_0})}{\ln(1+i)}$
$i = (\frac{S_n}{S_0})^{1/n} - 1$

Вырази из этих формул (там, где это возможно) значения всех входящих в них величин.

1) движение по реке

Введем обозначения:
$v_{соб}$ – собственная скорость объекта (например, катера),
$v_{теч}$ – скорость течения реки,
$v_{по\;теч}$ – скорость объекта по течению реки,
$v_{пр.\;теч}$ – скорость объекта против течения реки,
$s$ – расстояние,
$t$ – время.

Основные формулы:
Скорость по течению: $v_{по\;теч} = v_{соб} + v_{теч}$
Скорость против течения: $v_{пр.\;теч} = v_{соб} - v_{теч}$
Формула пути: $s = v \cdot t$

Выразим из этих формул все входящие в них величины:

Из формулы скорости по течению:
$v_{соб} = v_{по\;теч} - v_{теч}$
$v_{теч} = v_{по\;теч} - v_{соб}$

Из формулы скорости против течения:
$v_{соб} = v_{пр.\;теч} + v_{теч}$
$v_{теч} = v_{соб} - v_{пр.\;теч}$

Выражение собственной скорости и скорости течения через скорости по и против течения:
$v_{соб} = \frac{v_{по\;теч} + v_{пр.\;теч}}{2}$
$v_{теч} = \frac{v_{по\;теч} - v_{пр.\;теч}}{2}$

Из формулы пути (где $v$ – соответствующая скорость):
$v = \frac{s}{t}$
$t = \frac{s}{v}$

Ответ:

2) процентное отношение чисел

Введем обозначения:
$a$ и $b$ – два числа,
$p$ – процентное отношение числа $a$ к числу $b$.

Основная формула:
$p = \frac{a}{b} \cdot 100\%$

Выразим из этой формулы все входящие в нее величины:
Чтобы найти число $a$, которое составляет $p$ процентов от числа $b$:
$a = \frac{p \cdot b}{100}$
Чтобы найти число $b$, если число $a$ составляет от него $p$ процентов:
$b = \frac{a \cdot 100}{p}$

Ответ:

3) простой процентный рост

Введем обозначения:
$S_0$ – начальное значение величины (например, вклада),
$S_n$ – конечное значение величины через $n$ периодов,
$p$ – процентная ставка за один период (в процентах),
$n$ – количество периодов.

Основная формула:
$S_n = S_0 \cdot \left(1 + \frac{p \cdot n}{100}\right)$

Выразим из этой формулы все входящие в нее величины:
Начальное значение:
$S_0 = \frac{S_n}{1 + \frac{p \cdot n}{100}}$
Процентная ставка:
$p = \left(\frac{S_n}{S_0} - 1\right) \cdot \frac{100}{n}$
Количество периодов:
$n = \left(\frac{S_n}{S_0} - 1\right) \cdot \frac{100}{p}$

Ответ:

4) сложный процентный рост

Введем обозначения:
$S_0$ – начальное значение величины,
$S_n$ – конечное значение величины через $n$ периодов,
$p$ – процентная ставка за один период (в процентах),
$n$ – количество периодов.

Основная формула:
$S_n = S_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

Выразим из этой формулы все входящие в нее величины:
Начальное значение:
$S_0 = \frac{S_n}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n}$
Процентная ставка:
$p = \left(\sqrt[n]{\frac{S_n}{S_0}} - 1\right) \cdot 100$
Количество периодов (выражается с помощью логарифмов):
$n = \log_{1+\frac{p}{100}}\left(\frac{S_n}{S_0}\right)$ или в виде натуральных логарифмов $n = \frac{\ln\left(\frac{S_n}{S_0}\right)}{\ln\left(1 + \frac{p}{100}\right)}$

Ответ:

137 Запиши известные тебе формулы зависимостей величин, описывающие:

1) Движение по реке

Скорость по течению: $v_{по\ течению} = v_{собственная} + v_{течения}$

Скорость против течения: $v_{против\ течения} = v_{собственная} - v_{течения}$

Пройденное расстояние: $S = v \cdot t$

Время: $t = S / v$

Скорость: $v = S / t$

Собственная скорость: $v_{собственная} = (v_{по\ течению} + v_{против\ течения}) / 2$

Скорость течения: $v_{течения} = (v_{по\ течению} - v_{против\ течения}) / 2$

2) Процентное отношение чисел

Процентное отношение: $P = (Часть / Целое) \cdot 100\%$

Часть: $Часть = (P \cdot Целое) / 100$

Целое: $Целое = (Часть / P) \cdot 100$

3) Простой процентный рост

Конечная сумма: $A = P \cdot (1 + (r \cdot t) / 100)$

Начальная сумма: $P = A / (1 + (r \cdot t) / 100)$

Процентная ставка: $r = ((A/P) - 1) \cdot 100 / t$

Время: $t = ((A/P) - 1) \cdot 100 / r$

4) Сложный процентный рост

Конечная сумма: $A = P \cdot (1 + r / 100)^t$

Начальная сумма: $P = A / (1 + r / 100)^t$

Процентная ставка: $r = ((A/P)^{1/t} - 1) \cdot 100$

Время: $t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 + r/100)}$

138 При отправлении телеграммы оплата производится так: за подачу телеграммы оплачивается 18 р. и дополнительно за каждое слово – 1,1 р. Построй формулу зависимости стоимости $C$ телеграммы от числа $n$ слов в ней.

$C = 18 + 1.1n$

Для построения формулы зависимости стоимости телеграммы $C$ от числа слов $n$ в ней, проанализируем условия оплаты.

Общая стоимость $C$ складывается из двух частей:

1. Фиксированная плата за саму подачу телеграммы. Эта сумма не зависит от количества слов и, согласно условию, составляет 18 рублей.

2. Плата за слова в телеграмме. Эта часть стоимости зависит от количества слов $n$. Стоимость одного слова составляет 1,1 рубля. Следовательно, стоимость за $n$ слов будет равна произведению цены одного слова на их количество: $1,1 \cdot n$ рублей.

Чтобы получить общую стоимость телеграммы $C$, необходимо сложить фиксированную плату и плату за все слова.

Таким образом, формула зависимости имеет вид:

$C = 18 + 1,1n$

Эту формулу можно также записать в стандартном для линейной функции виде: $C = 1,1n + 18$.

Ответ: $C = 1,1n + 18$.

138 При отправлении телеграммы оплата производится так: за подачу телеграммы оплачивается 18 р. и дополнительно за каждое слово – 1,1 р. Построй формулу зависимости стоимости $C$ телеграммы от числа $n$ слов в ней.

139 Построй формулу, устанавливающую зависимость между:

$V = a^3$

$S = \frac{1}{2}ab$

$D = 2R$

$S = a(\frac{P}{2} - a)$

$S = 6a^2$

$S = 2(ab + ac + bc)$

1) объёмом V куба и его ребром a: Объём куба ($V$) вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты. Поскольку у куба все рёбра равны и имеют длину $a$, его объём равен произведению длины ребра на саму себя трижды. Таким образом, формула зависимости объёма куба от длины его ребра выглядит следующим образом: $V = a \cdot a \cdot a = a^3$.
Ответ: $V = a^3$

2) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами a и b: Площадь прямоугольного треугольника ($S$) равна половине произведения длин его катетов ($a$ и $b$), то есть сторон, образующих прямой угол. Один катет можно рассматривать как основание, а другой — как высоту. Формула для площади: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.
Ответ: $S = \frac{1}{2}ab$

3) диаметром D и радиусом R некоторой окружности: Диаметр окружности ($D$) — это отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки на окружности. Радиус ($R$) — это отрезок от центра до любой точки на окружности. Длина диаметра всегда в два раза больше длины радиуса.
Ответ: $D = 2R$

4) длиной стороны a прямоугольника, его периметром P и площадью S: Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Его периметр $P$ равен $2(a+b)$, а площадь $S$ равна $ab$. Чтобы установить зависимость между $a$, $P$ и $S$, сначала выразим сторону $b$ из формулы периметра:
$P = 2(a+b) \implies \frac{P}{2} = a+b \implies b = \frac{P}{2} - a$.
Теперь подставим полученное выражение для $b$ в формулу площади:
$S = a \cdot b = a \cdot (\frac{P}{2} - a)$.
Эта формула устанавливает требуемую зависимость.
Ответ: $S = a(\frac{P}{2} - a)$

5) площадью полной поверхности S куба и его ребром a: Полная поверхность куба состоит из 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом со стороной $a$. Площадь одного такого квадрата равна $a^2$. Чтобы найти площадь полной поверхности ($S$), нужно умножить площадь одной грани на их количество.
Ответ: $S = 6a^2$

6) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями a, b и c: Прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, которые являются прямоугольниками и попарно равны. Пусть его измерения (длина, ширина, высота) равны $a$, $b$ и $c$. Площади трёх пар граней будут $ab$, $ac$ и $bc$. Площадь полной поверхности ($S$) — это сумма площадей всех шести граней:
$S = 2ab + 2ac + 2bc$.
Эту формулу можно записать, вынеся общий множитель за скобки.
Ответ: $S = 2(ab + bc + ac)$

139 Построй формулу, устанавливающую зависимость между:

1) объемом $V$ куба и его ребром $a$;

$V = a^3$

2) площадью $S$ прямоугольного треугольника и его катетами $a$ и $b$;

$S = \frac{1}{2}ab$

3) диаметром $D$ и радиусом $R$ некоторой окружности;

$D = 2R$

4) длиной стороны $a$ прямоугольника, его периметром $P$ и площадью $S$;

$P = 2(a + \frac{S}{a})$

5) площадью полной поверхности $S$ куба и его ребром $a$;

$S = 6a^2$

6) площадью полной поверхности $S$ прямоугольного параллелепипеда и его измерениями $a, b$ и $c$.

$S = 2(ab + bc + ca)$

150 На двух элеваторах зерна было поровну. Когда из первого элеватора вывезли 140 т зерна, а из второго – в 2,5 раз больше, во втором элеваторе зерна осталось в 2,4 раза меньше, чем в первом. Сколько тонн зерна было на элеваторах первоначально?

Пусть $x$ (тонн) — первоначальное количество зерна на каждом элеваторе, поскольку по условию на них было зерна поровну.

Из первого элеватора вывезли 140 т зерна, значит, на нём осталось $(x - 140)$ т зерна.

Из второго элеватора вывезли в 2,5 раза больше, чем из первого. Рассчитаем это количество:

$140 \cdot 2,5 = 350$ т.

Следовательно, на втором элеваторе осталось $(x - 350)$ т зерна.

По условию задачи, во втором элеваторе зерна осталось в 2,4 раза меньше, чем в первом. Это означает, что если количество зерна на втором элеваторе умножить на 2,4, то получится количество зерна на первом. Составим и решим уравнение:

$2,4 \cdot (x - 350) = x - 140$

Раскроем скобки:

$2,4x - 2,4 \cdot 350 = x - 140$

$2,4x - 840 = x - 140$

Перенесём слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$2,4x - x = 840 - 140$

$1,4x = 700$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{700}{1,4}$

$x = \frac{7000}{14}$

$x = 500$

Таким образом, первоначально на каждом элеваторе было по 500 тонн зерна.

Ответ: 500 тонн.

150 На двух элеваторах зерна было поровну. Когда из первого элеватора вывезли 140 т зерна, а из второго – в 2,5 раза больше, во втором элеваторе зерна осталось в 2,4 раза меньше, чем в первом. Сколько тонн зерна было на элеваторах первоначально?

151 Семья заготовила на зиму 180 кг картофеля. К концу зимы картофеля было израсходовано на 40 % больше, чем его осталось. Сколько килограммов картофеля осталось к концу зимы?

Пусть $x$ кг — это количество картофеля, которое осталось к концу зимы.

По условию задачи, картофеля было израсходовано на 40% больше, чем его осталось. Выразим количество израсходованного картофеля через $x$. 40% от $x$ — это $0.4x$. Значит, было израсходовано:

$x + 0.4x = 1.4x$ кг.

Общее количество заготовленного картофеля (180 кг) равно сумме оставшегося и израсходованного картофеля. Составим уравнение:

$x + 1.4x = 180$

Решим полученное уравнение:

$2.4x = 180$

$x = \frac{180}{2.4}$

Для удобства вычислений избавимся от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{1800}{24}$

Выполним деление:

$x = 75$

Таким образом, к концу зимы осталось 75 кг картофеля.

Ответ: 75 кг.

151 Семья заготовила на зиму 180 кг картофеля. К концу зимы картофеля было израсходовано на $40\%$ больше, чем его осталось. Сколько килограммов картофеля осталось к концу зимы?

152 На обивку дивана и двух кресел потребовалось $12,3 \text{ м}^2$ ткани. На обивку одного кресла пошло на 68 % меньше ткани, чем на обивку дивана. Сколько ткани идёт на обивку одного кресла?

Пусть $x$ м² — количество ткани, которое требуется для обивки дивана.

Согласно условию, на обивку одного кресла пошло на 68% меньше ткани, чем на диван. Это означает, что количество ткани на кресло составляет $100\% - 68\% = 32\%$ от количества ткани на диван.

Выразим количество ткани для одного кресла через $x$:
$0,32 \cdot x$ м²

Общее количество ткани, которое пошло на обивку одного дивана и двух кресел, составляет 12,3 м². Составим уравнение на основе этих данных:

$x + 2 \cdot (0,32x) = 12,3$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$x + 0,64x = 12,3$
$1,64x = 12,3$
$x = \frac{12,3}{1,64}$
$x = \frac{1230}{164}$
$x = 7,5$

Таким образом, на обивку дивана требуется 7,5 м² ткани.

Вопрос задачи — найти, сколько ткани идёт на обивку одного кресла. Для этого подставим найденное значение $x$ в выражение для ткани на кресло:

$0,32 \cdot x = 0,32 \cdot 7,5 = 2,4$ (м²)

Ответ: на обивку одного кресла идёт 2,4 м² ткани.

152 На обивку дивана и двух кресел потребовалось 12,3 $m^2$ ткани. На обивку одного кресла пошло на 68% меньше ткани, чем на обивку дивана. Сколько ткани идет на обивку одного кресла?

153 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

а) $ \frac{510}{1122} $;

б) $ \frac{7,5 \cdot 3,6 - 3,6 \cdot 1,5}{1,8 \cdot 7,5 + 1,5 \cdot 1,8} $;

в) $ \frac{40a^2bc}{16ab^2c} $;

г) $ \frac{mx + my}{mxy} $;

д) $ \frac{2n^3}{3n^2} $.

а) $\frac{510}{1122}$

Для сокращения дроби найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя 510 и знаменателя 1122, разложив их на простые множители.

1. Оба числа чётные, значит, делятся на 2:

$510 = 2 \cdot 255$

$1122 = 2 \cdot 561$

$\frac{510}{1122} = \frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 561} = \frac{255}{561}$

2. Проверим делимость на 3. Сумма цифр числа 255 ($2+5+5=12$) делится на 3. Сумма цифр числа 561 ($5+6+1=12$) также делится на 3.

$255 = 3 \cdot 85$

$561 = 3 \cdot 187$

$\frac{255}{561} = \frac{3 \cdot 85}{3 \cdot 187} = \frac{85}{187}$

3. Теперь разложим на множители 85 и 187. Число 85 оканчивается на 5, значит, делится на 5:

$85 = 5 \cdot 17$

Проверим, делится ли 187 на 17:

$187 \div 17 = 11$

Таким образом, $187 = 11 \cdot 17$.

4. Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель 17:

$\frac{85}{187} = \frac{5 \cdot 17}{11 \cdot 17} = \frac{5}{11}$

Ответ: $\frac{5}{11}$

б) $\frac{7,5 \cdot 3,6 - 3,6 \cdot 1,5}{1,8 \cdot 7,5 + 1,5 \cdot 1,8}$

Для упрощения выражения воспользуемся распределительным свойством умножения (вынесение общего множителя за скобки).

1. В числителе вынесем за скобки общий множитель 3,6:

$7,5 \cdot 3,6 - 3,6 \cdot 1,5 = 3,6 \cdot (7,5 - 1,5) = 3,6 \cdot 6$

2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 1,8:

$1,8 \cdot 7,5 + 1,5 \cdot 1,8 = 1,8 \cdot (7,5 + 1,5) = 1,8 \cdot 9$

3. Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$\frac{3,6 \cdot 6}{1,8 \cdot 9}$

4. Сократим полученную дробь. Заметим, что $3,6$ делится на $1,8$ ($3,6 \div 1,8 = 2$), а также 6 и 9 делятся на 3:

$\frac{3,6 \cdot 6}{1,8 \cdot 9} = \frac{2 \cdot 6}{9} = \frac{12}{9} = \frac{12 \div 3}{9 \div 3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

в) $\frac{40a^2bc}{16ab^2c}$

Сократим дробь, разделив отдельно числовые коэффициенты и степени каждой переменной.

1. Сокращаем числовые коэффициенты $\frac{40}{16}$. Наибольший общий делитель для 40 и 16 равен 8:

$\frac{40}{16} = \frac{40 \div 8}{16 \div 8} = \frac{5}{2}$

2. Сокращаем переменные, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Для переменной $a$: $\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$

Для переменной $b$: $\frac{b}{b^2} = \frac{b^1}{b^2} = b^{1-2} = b^{-1} = \frac{1}{b}$

Для переменной $c$: $\frac{c}{c} = c^{1-1} = c^0 = 1$

3. Объединим полученные результаты:

$\frac{40a^2bc}{16ab^2c} = \frac{5}{2} \cdot a \cdot \frac{1}{b} \cdot 1 = \frac{5a}{2b}$

Ответ: $\frac{5a}{2b}$

г) $\frac{mx + my}{mxy}$

Чтобы сократить эту дробь, необходимо сначала разложить на множители числитель.

1. В числителе $mx + my$ вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$mx + my = m(x+y)$

2. Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{m(x+y)}{mxy}$

3. Теперь в числителе и знаменателе есть общий множитель $m$, который можно сократить:

$\frac{\cancel{m}(x+y)}{\cancel{m}xy} = \frac{x+y}{xy}$

Дальнейшее сокращение невозможно, так как в числителе стоит сумма.

Ответ: $\frac{x+y}{xy}$

д) $\frac{2n^3}{3n^2}$

Сократим данную алгебраическую дробь.

1. Числовые коэффициенты $\frac{2}{3}$ образуют несократимую дробь.

2. Сократим степени переменной $n$, используя правило деления степеней:

$\frac{n^3}{n^2} = n^{3-2} = n^1 = n$

3. Объединим числовую и переменную части:

$\frac{2}{3} \cdot n = \frac{2n}{3}$

Ответ: $\frac{2n}{3}$

153 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

а) $\frac{510}{1122}$;

б) $\frac{7,5 \cdot 3,6 - 3,6 \cdot 1,5}{1,8 \cdot 7,5 + 1,5 \cdot 1,8}$;

в) $\frac{40a^2bc}{16ab^2c}$;

г) $\frac{mx + my}{mxy}$;

д) $\frac{2n^3}{3n^2}$.

154 В субботу утром Иван Иванович вышел из дачного посёлка к автобусной остановке. Через 0,25 ч вслед за ним из того же посёлка и к той же остановке выехал на велосипеде со скоростью 14 км/ч Иван Петрович и через 6 мин догнал Ивана Ивановича. С какой скоростью шёл Иван Иванович? На сколько минут быстрее него проехал расстояние от посёлка до остановки Иван Петрович, если Иван Иванович прошёл это расстояние за 42 мин?

С какой скоростью шёл Иван Иванович?

Для ответа на этот вопрос нам нужно найти скорость Ивана Ивановича ($v_{ИИ}$). Известна скорость Ивана Петровича $v_{ИП} = 14$ км/ч.

Иван Петрович выехал на 0,25 часа позже Ивана Ивановича. Он догнал Ивана Ивановича через 6 минут своего движения. В момент встречи оба они прошли одинаковое расстояние от посёлка.

Сначала приведем все единицы времени к часам:
Задержка выезда Ивана Петровича: $0,25$ ч.
Время движения Ивана Петровича до встречи: $t_{ИП} = 6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = 0,1$ ч.

Общее время, которое Иван Иванович был в пути до момента встречи, складывается из его начального движения и времени, которое ехал Иван Петрович:
$t_{ИИ} = 0,25 \text{ ч} + t_{ИП} = 0,25 \text{ ч} + 0,1 \text{ ч} = 0,35$ ч.

Теперь найдем расстояние, которое проехал Иван Петрович (и, соответственно, прошёл Иван Иванович) до встречи:
$S = v_{ИП} \times t_{ИП} = 14 \text{ км/ч} \times 0,1 \text{ ч} = 1,4$ км.

Зная расстояние, которое прошёл Иван Иванович, и время, которое он на это затратил, можем найти его скорость:
$v_{ИИ} = \frac{S}{t_{ИИ}} = \frac{1,4 \text{ км}}{0,35 \text{ ч}} = 4$ км/ч.

Ответ: скорость Ивана Ивановича составляла 4 км/ч.

На сколько минут быстрее него проехал расстояние от посёлка до остановки Иван Петрович, если Иван Иванович прошёл это расстояние за 42 мин?

Чтобы найти разницу во времени, сначала нужно определить общее расстояние от посёлка до остановки. Мы знаем, что Иван Иванович прошёл это расстояние за $T_{ИИ} = 42$ минуты, двигаясь со скоростью $v_{ИИ} = 4$ км/ч, которую мы нашли в первой части задачи.

Переведём время Ивана Ивановича в часы:
$T_{ИИ} = 42 \text{ мин} = \frac{42}{60} \text{ ч} = 0,7$ ч.

Теперь вычислим общее расстояние $S_{общ}$:
$S_{общ} = v_{ИИ} \times T_{ИИ} = 4 \text{ км/ч} \times 0,7 \text{ ч} = 2,8$ км.

Далее найдём время, которое потребовалось Ивану Петровичу, чтобы проехать это расстояние на велосипеде со скоростью $v_{ИП} = 14$ км/ч:
$T_{ИП} = \frac{S_{общ}}{v_{ИП}} = \frac{2,8 \text{ км}}{14 \text{ км/ч}} = 0,2$ ч.

Переведём время Ивана Петровича в минуты для сравнения:
$T_{ИП} = 0,2 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 12$ мин.

Наконец, найдём разницу во времени. Иван Иванович шёл 42 минуты, а Иван Петрович ехал 12 минут:
$\Delta T = T_{ИИ} - T_{ИП} = 42 \text{ мин} - 12 \text{ мин} = 30$ мин.

Ответ: Иван Петрович проехал расстояние от посёлка до остановки на 30 минут быстрее.

154 В субботу утром Иван Иванович вышел из дачного поселка к автобусной остановке. Через $0.25 \text{ ч}$ вслед за ним их того же поселка и к той же остановке выехал на велосипеде со скоростью $14 \text{ км/ч}$ Иван Петрович и через $6 \text{ мин}$ догнал Ивана Ивановича. С какой скоростью шел Иван Иванович? На сколько минут быстрее него проехал расстояние от поселка до остановки Иван Петрович, если Иван Иванович прошел это расстояние за $42 \text{ мин}$?

155 Измерь стороны прямоугольников. Вычисли площадь каждого прямоугольника и отношение его большей стороны к меньшей. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

a

b

c

d

f

e

Для решения задачи необходимо измерить стороны каждого прямоугольника, вычислить их площади и отношения большей стороны к меньшей. Измерения могут незначительно отличаться в зависимости от масштаба изображения, но для расчетов примем следующие значения, полученные с помощью линейки:

• Прямоугольник a: 3 см × 3 см
• Прямоугольник b: 4 см × 2,5 см
• Прямоугольник c: 4 см × 2,5 см
• Прямоугольник d: 4 см × 1,5 см
• Прямоугольник e: 4 см × 1 см
• Прямоугольник f: 6 см × 1 см

Теперь проведем вычисления для каждого прямоугольника.

a

Это квадрат, так как его стороны равны 3 см.

Площадь: $S_a = 3 \text{ см} \times 3 \text{ см} = 9 \text{ см}^2$.

Отношение большей стороны к меньшей (стороны равны, поэтому отношение равно 1): $k_a = \frac{3}{3} = 1$.

Ответ: Площадь равна 9 см², отношение сторон равно 1.

b

Большая сторона равна 4 см, меньшая — 2,5 см.

Площадь: $S_b = 4 \text{ см} \times 2,5 \text{ см} = 10 \text{ см}^2$.

Отношение большей стороны к меньшей: $k_b = \frac{4}{2,5} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5} = 1,6$.

Ответ: Площадь равна 10 см², отношение сторон равно 1,6.

c

Этот прямоугольник идентичен прямоугольнику b. Большая сторона — 4 см, меньшая — 2,5 см.

Площадь: $S_c = 4 \text{ см} \times 2,5 \text{ см} = 10 \text{ см}^2$.

Отношение большей стороны к меньшей: $k_c = \frac{4}{2,5} = 1,6$.

Ответ: Площадь равна 10 см², отношение сторон равно 1,6.

d

Большая сторона равна 4 см, меньшая — 1,5 см.

Площадь: $S_d = 4 \text{ см} \times 1,5 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.

Отношение большей стороны к меньшей: $k_d = \frac{4}{1,5} = \frac{4}{3/2} = \frac{8}{3} \approx 2,67$.

Ответ: Площадь равна 6 см², отношение сторон примерно 2,67.

e

Большая сторона равна 4 см, меньшая — 1 см.

Площадь: $S_e = 4 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 4 \text{ см}^2$.

Отношение большей стороны к меньшей: $k_e = \frac{4}{1} = 4$.

Ответ: Площадь равна 4 см², отношение сторон равно 4.

f

Большая сторона равна 6 см, меньшая — 1 см.

Площадь: $S_f = 6 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.

Отношение большей стороны к меньшей: $k_f = \frac{6}{1} = 6$.

Ответ: Площадь равна 6 см², отношение сторон равно 6.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

На основе вычислений можно сделать следующие наблюдения:

1. Отношение большей стороны к меньшей характеризует форму прямоугольника. Чем больше это значение, тем более "вытянутым" и "узким" он выглядит. У квадрата (a) это отношение минимально и равно 1. У прямоугольника (f) — максимальное, и он выглядит самым вытянутым.
2. Прямоугольники (b) и (c) имеют одинаковые размеры, площади и отношения сторон, то есть они являются равными фигурами.
3. Прямоугольники (d) и (f) имеют одинаковую площадь ($6 \text{ см}^2$), но разную форму. Это видно из их внешнего вида и подтверждается разным отношением сторон (≈2,67 и 6). Это значит, что площадь не определяет форму прямоугольника.

Гипотеза: Отношение большей стороны прямоугольника к меньшей является числовой характеристикой его формы. Прямоугольники с одинаковым отношением сторон являются подобными фигурами (то есть имеют одинаковую форму, но могут отличаться размерами). Чем больше это отношение, тем более "вытянутой" является форма прямоугольника.

155 Измерь стороны прямоугольников. Вычисли площадь каждого прямоугольника и отношение его большей стороны к меньшей. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

$a$

$b$

$c$

$f$

$d$

$e$

156 Найди значение выражения:

a) $a(a + x) - x(a - x) - (-a^2 + x^2)$, если $a = -0.6$, $x = -2\frac{1}{6}$.

б) $-n(2n - 3k) - k(3n + 2k) + 3(n^2 - k^2)$, если $n = -\frac{1}{2}$, $k = 0.2$.

а)

Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки:

$a(a + x) - x(a - x) - (-a^2 + x^2) = a^2 + ax - (ax - x^2) + a^2 - x^2 = a^2 + ax - ax + x^2 + a^2 - x^2$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(a^2 + a^2) + (ax - ax) + (x^2 - x^2) = 2a^2$

После упрощения мы видим, что значение выражения зависит только от переменной $a$. Подставим в полученное выражение значение $a = -0,6$:

$2a^2 = 2 \cdot (-0,6)^2 = 2 \cdot 0,36 = 0,72$

Ответ: 0,72

б)

Сначала упростим данное выражение, раскрыв все скобки:

$-n(2n - 3k) - k(3n + 2k) + 3(n^2 - k^2) = -2n^2 + 3nk - (3nk + 2k^2) + 3n^2 - 3k^2 = -2n^2 + 3nk - 3nk - 2k^2 + 3n^2 - 3k^2$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(-2n^2 + 3n^2) + (3nk - 3nk) + (-2k^2 - 3k^2) = n^2 - 5k^2$

Подставим значения $n = -\frac{1}{2}$ и $k = 0,2$ в упрощенное выражение. Для удобства вычислений представим оба числа в виде десятичных дробей: $n = -0,5$ и $k = 0,2$.

$n^2 - 5k^2 = (-0,5)^2 - 5 \cdot (0,2)^2 = 0,25 - 5 \cdot 0,04 = 0,25 - 0,2 = 0,05$

Ответ: 0,05

Найди значение выражения:

а) $a(a + x) - x(a - x) - (-a^2 + x^2)$, если $a = -0.6, x = -2\frac{1}{6}$.

б) $-n(2n - 3k) - k(3n + 2k) + 3(n^2 - k^2)$, если $n = -\frac{1}{2}, k = 0.2$.