Номер 137, страница 35, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 4. Пропорциональные величины. 1. Зависимости между величинами - номер 137, страница 35.

Условие 2023.

137 Запиши известные тебе формулы зависимостей величин, описывающие:

1) движение по реке;

$S = V \cdot t$
$V = \frac{S}{t}$
$t = \frac{S}{V}$
$V_{по} = V_{соб} + V_{теч}$
$V_{против} = V_{соб} - V_{теч}$
$V_{соб} = \frac{V_{по} + V_{против}}{2}$
$V_{теч} = \frac{V_{по} - V_{против}}{2}$

2) процентное отношение чисел;

$P = \frac{A}{B} \cdot 100\%$
$A = \frac{P \cdot B}{100}$
$B = \frac{A \cdot 100}{P}$

3) простой процентный рост;

$S_n = S_0 (1 + n \cdot i)$
$S_0 = \frac{S_n}{1 + n \cdot i}$
$n = \frac{\frac{S_n}{S_0} - 1}{i}$
$i = \frac{\frac{S_n}{S_0} - 1}{n}$

4) сложный процентный рост.

$S_n = S_0 (1 + i)^n$
$S_0 = \frac{S_n}{(1 + i)^n}$
$n = \frac{\ln(\frac{S_n}{S_0})}{\ln(1+i)}$
$i = (\frac{S_n}{S_0})^{1/n} - 1$

Вырази из этих формул (там, где это возможно) значения всех входящих в них величин.

Решение 2 (2023).

1) движение по реке

Введем обозначения:
$v_{соб}$ – собственная скорость объекта (например, катера),
$v_{теч}$ – скорость течения реки,
$v_{по\;теч}$ – скорость объекта по течению реки,
$v_{пр.\;теч}$ – скорость объекта против течения реки,
$s$ – расстояние,
$t$ – время.

Основные формулы:
Скорость по течению: $v_{по\;теч} = v_{соб} + v_{теч}$
Скорость против течения: $v_{пр.\;теч} = v_{соб} - v_{теч}$
Формула пути: $s = v \cdot t$

Выразим из этих формул все входящие в них величины:

Из формулы скорости по течению:
$v_{соб} = v_{по\;теч} - v_{теч}$
$v_{теч} = v_{по\;теч} - v_{соб}$

Из формулы скорости против течения:
$v_{соб} = v_{пр.\;теч} + v_{теч}$
$v_{теч} = v_{соб} - v_{пр.\;теч}$

Выражение собственной скорости и скорости течения через скорости по и против течения:
$v_{соб} = \frac{v_{по\;теч} + v_{пр.\;теч}}{2}$
$v_{теч} = \frac{v_{по\;теч} - v_{пр.\;теч}}{2}$

Из формулы пути (где $v$ – соответствующая скорость):
$v = \frac{s}{t}$
$t = \frac{s}{v}$

Ответ:

2) процентное отношение чисел

Введем обозначения:
$a$ и $b$ – два числа,
$p$ – процентное отношение числа $a$ к числу $b$.

Основная формула:
$p = \frac{a}{b} \cdot 100\%$

Выразим из этой формулы все входящие в нее величины:
Чтобы найти число $a$, которое составляет $p$ процентов от числа $b$:
$a = \frac{p \cdot b}{100}$
Чтобы найти число $b$, если число $a$ составляет от него $p$ процентов:
$b = \frac{a \cdot 100}{p}$

Ответ:

3) простой процентный рост

Введем обозначения:
$S_0$ – начальное значение величины (например, вклада),
$S_n$ – конечное значение величины через $n$ периодов,
$p$ – процентная ставка за один период (в процентах),
$n$ – количество периодов.

Основная формула:
$S_n = S_0 \cdot \left(1 + \frac{p \cdot n}{100}\right)$

Выразим из этой формулы все входящие в нее величины:
Начальное значение:
$S_0 = \frac{S_n}{1 + \frac{p \cdot n}{100}}$
Процентная ставка:
$p = \left(\frac{S_n}{S_0} - 1\right) \cdot \frac{100}{n}$
Количество периодов:
$n = \left(\frac{S_n}{S_0} - 1\right) \cdot \frac{100}{p}$

Ответ:

4) сложный процентный рост

Введем обозначения:
$S_0$ – начальное значение величины,
$S_n$ – конечное значение величины через $n$ периодов,
$p$ – процентная ставка за один период (в процентах),
$n$ – количество периодов.

Основная формула:
$S_n = S_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

Выразим из этой формулы все входящие в нее величины:
Начальное значение:
$S_0 = \frac{S_n}{\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n}$
Процентная ставка:
$p = \left(\sqrt[n]{\frac{S_n}{S_0}} - 1\right) \cdot 100$
Количество периодов (выражается с помощью логарифмов):
$n = \log_{1+\frac{p}{100}}\left(\frac{S_n}{S_0}\right)$ или в виде натуральных логарифмов $n = \frac{\ln\left(\frac{S_n}{S_0}\right)}{\ln\left(1 + \frac{p}{100}\right)}$

Ответ:

Условие 2010-2022.

137 Запиши известные тебе формулы зависимостей величин, описывающие:

1) Движение по реке

Скорость по течению: $v_{по\ течению} = v_{собственная} + v_{течения}$

Скорость против течения: $v_{против\ течения} = v_{собственная} - v_{течения}$

Пройденное расстояние: $S = v \cdot t$

Время: $t = S / v$

Скорость: $v = S / t$

Собственная скорость: $v_{собственная} = (v_{по\ течению} + v_{против\ течения}) / 2$

Скорость течения: $v_{течения} = (v_{по\ течению} - v_{против\ течения}) / 2$

2) Процентное отношение чисел

Процентное отношение: $P = (Часть / Целое) \cdot 100\%$

Часть: $Часть = (P \cdot Целое) / 100$

Целое: $Целое = (Часть / P) \cdot 100$

3) Простой процентный рост

Конечная сумма: $A = P \cdot (1 + (r \cdot t) / 100)$

Начальная сумма: $P = A / (1 + (r \cdot t) / 100)$

Процентная ставка: $r = ((A/P) - 1) \cdot 100 / t$

Время: $t = ((A/P) - 1) \cdot 100 / r$

4) Сложный процентный рост

Конечная сумма: $A = P \cdot (1 + r / 100)^t$

Начальная сумма: $P = A / (1 + r / 100)^t$

Процентная ставка: $r = ((A/P)^{1/t} - 1) \cdot 100$

Время: $t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 + r/100)}$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).