Номер 136, страница 35, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 4. Пропорциональные величины. 1. Зависимости между величинами - номер 136, страница 35.

Условие 2023.

136 Две машины едут по одному шоссе со скоростями соответственно $v_1$ и $v_2$ ($v_1 > v_2$). Сейчас расстояние между ними равно $s_0$. Построй формулу зависимости расстояния $d$ между машинами (до встречи) от времени движения $t$, если машины движутся:

1) навстречу друг другу;

2) в противоположных направлениях;

3) вдогонку;

4) с отставанием.

Вырази из этих формул величины $t$ и $v_1$.

Решение 2 (2023).

Введем обозначения:

• $v_1$ и $v_2$ – скорости первой и второй машины соответственно (причем $v_1 > v_2$);
• $s_0$ – начальное расстояние между машинами;
• $d$ – расстояние между машинами через время $t$;
• $t$ – время движения.

Рассмотрим четыре случая движения, описанные в задаче.

1) навстречу друг другу

Когда машины движутся навстречу друг другу, они сближаются. Скорость их сближения равна сумме скоростей $v_{сбл} = v_1 + v_2$. За время $t$ расстояние между ними уменьшится на величину $(v_1 + v_2)t$. Таким образом, расстояние $d$ через время $t$ можно найти по формуле:

$d = s_0 - (v_1 + v_2)t$

Теперь выразим из этой формулы величины $t$ и $v_1$.

Для нахождения времени $t$ преобразуем формулу:

$(v_1 + v_2)t = s_0 - d$

$t = \frac{s_0 - d}{v_1 + v_2}$

Для нахождения скорости $v_1$ преобразуем исходную формулу:

$d = s_0 - v_1 t - v_2 t$

$v_1 t = s_0 - d - v_2 t$

$v_1 = \frac{s_0 - d - v_2 t}{t} = \frac{s_0 - d}{t} - v_2$

Ответ: $d = s_0 - (v_1 + v_2)t$; $t = \frac{s_0 - d}{v_1 + v_2}$; $v_1 = \frac{s_0 - d}{t} - v_2$.

2) в противоположных направлениях

Когда машины движутся в противоположных направлениях, они удаляются друг от друга. Скорость их удаления равна сумме скоростей $v_{уд} = v_1 + v_2$. За время $t$ расстояние между ними увеличится на величину $(v_1 + v_2)t$. Формула для расстояния $d$ через время $t$:

$d = s_0 + (v_1 + v_2)t$

Выразим из этой формулы $t$ и $v_1$.

Выражение для $t$:

$(v_1 + v_2)t = d - s_0$

$t = \frac{d - s_0}{v_1 + v_2}$

Выражение для $v_1$:

$d = s_0 + v_1 t + v_2 t$

$v_1 t = d - s_0 - v_2 t$

$v_1 = \frac{d - s_0 - v_2 t}{t} = \frac{d - s_0}{t} - v_2$

Ответ: $d = s_0 + (v_1 + v_2)t$; $t = \frac{d - s_0}{v_1 + v_2}$; $v_1 = \frac{d - s_0}{t} - v_2$.

3) вдогонку

Движение "вдогонку" означает, что обе машины едут в одном направлении, и более быстрая машина ($v_1$) догоняет более медленную ($v_2$). Скорость их сближения равна разности скоростей $v_{сбл} = v_1 - v_2$. За время $t$ расстояние между ними уменьшится на $(v_1 - v_2)t$. Формула для расстояния $d$:

$d = s_0 - (v_1 - v_2)t$

Выразим из этой формулы $t$ и $v_1$.

Выражение для $t$:

$(v_1 - v_2)t = s_0 - d$

$t = \frac{s_0 - d}{v_1 - v_2}$

Выражение для $v_1$:

$d = s_0 - v_1 t + v_2 t$

$v_1 t = s_0 - d + v_2 t$

$v_1 = \frac{s_0 - d + v_2 t}{t} = \frac{s_0 - d}{t} + v_2$

Ответ: $d = s_0 - (v_1 - v_2)t$; $t = \frac{s_0 - d}{v_1 - v_2}$; $v_1 = \frac{s_0 - d}{t} + v_2$.

4) с отставанием

Движение "с отставанием" означает, что обе машины едут в одном направлении, но более быстрая машина ($v_1$) находится впереди и удаляется от более медленной ($v_2$). Скорость их удаления равна разности скоростей $v_{уд} = v_1 - v_2$. За время $t$ расстояние между ними увеличится на $(v_1 - v_2)t$. Формула для расстояния $d$:

$d = s_0 + (v_1 - v_2)t$

Выразим из этой формулы $t$ и $v_1$.

Выражение для $t$:

$(v_1 - v_2)t = d - s_0$

$t = \frac{d - s_0}{v_1 - v_2}$

Выражение для $v_1$:

$d = s_0 + v_1 t - v_2 t$

$v_1 t = d - s_0 + v_2 t$

$v_1 = \frac{d - s_0 + v_2 t}{t} = \frac{d - s_0}{t} + v_2$

Ответ: $d = s_0 + (v_1 - v_2)t$; $t = \frac{d - s_0}{v_1 - v_2}$; $v_1 = \frac{d - s_0}{t} + v_2$.

Условие 2010-2022.

136. Две машины едут по одному шоссе со скоростями соответственно $v_1$ и $v_2$ ($v_1 > v_2$). Сейчас расстояние между ними равно $s_0$. Построй формулу зависимости расстояния $d$ между машинами (до встречи) от времени движения $t$, если машины движутся:

1) навстречу друг другу;

2) в противоположных направлениях;

3) вдогонку;

4) с отставанием.

Вырази из этих формул величины $t$ и $v_1$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).