Номер 126, страница 35, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Переменная и кванторы. Параграф 2. Переменная. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 126, страница 35.

Условие 2023.

126 Прочитай утверждения и опровергни их. Построй их отрицания.

1) $ \forall a \in R: a^2 > a (\text{R - множество дробей});$

2) $ \forall b \in N: b^2 + b + 1 - \text{простое число};$

3) $ \forall x, y \in N: (x + y)^2 = x^2 + y^2;$

4) $ \forall m, n \in N: \frac{m}{n} = \frac{n}{m};$

5) $ \exists a, b \in N: (a + b)^2 = 5;$

6) $ \exists c, d \in N: c^2 + d^2 = 6;$

7) $ \exists x, y \in N: x + y = 7 \text{ и } xy = 7;$

8) $ \exists m, n, k \in N: \frac{m}{n} \neq \frac{mk}{nk}.$

Решение 2 (2023).

1)

Исходное утверждение: $ \forall a \in R: a^2 > a $ (где $R$ — множество дробей, то есть рациональных чисел $Q$).

Это утверждение ложно. Чтобы его опровергнуть, достаточно привести один контрпример. Утверждение гласит, что неравенство верно для любого рационального числа. Возьмем $a = \frac{1}{2}$. Тогда $a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Неравенство $ \frac{1}{4} > \frac{1}{2} $ является ложным. Также можно взять $a=1$, тогда $1^2 > 1$ тоже ложно, так как $1=1$.

Отрицанием данного утверждения является высказывание, в котором квантор всеобщности $ \forall $ (для любого) меняется на квантор существования $ \exists $ (существует), а знак неравенства меняется на противоположный ($ \le $).
Отрицание: $ \exists a \in R: a^2 \le a $.

Ответ: Утверждение ложно, контрпример $a=0.5$. Отрицание: $ \exists a \in R: a^2 \le a $.

2)

Исходное утверждение: $ \forall b \in N: b^2 + b + 1 $ — простое число.

Это утверждение ложно. Проверим несколько натуральных значений $b$ по порядку:
При $b=1$: $1^2 + 1 + 1 = 3$ (простое число).
При $b=2$: $2^2 + 2 + 1 = 7$ (простое число).
При $b=3$: $3^2 + 3 + 1 = 13$ (простое число).
При $b=4$: $4^2 + 4 + 1 = 16 + 4 + 1 = 21$. Число $21$ является составным, так как $21 = 3 \cdot 7$. Следовательно, мы нашли контрпример.

Отрицанием данного утверждения является высказывание: существует такое натуральное число $b$, для которого $ b^2 + b + 1 $ не является простым числом (т.е. является составным, так как при $ b \ge 1 $ значение выражения больше 1).
Отрицание: $ \exists b \in N: b^2 + b + 1 $ — составное число.

Ответ: Утверждение ложно, контрпример $b=4$. Отрицание: $ \exists b \in N: b^2 + b + 1 $ — составное число.

3)

Исходное утверждение: $ \forall x, y \in N: (x + y)^2 = x^2 + y^2 $.

Это утверждение ложно. Оно представляет собой распространенную ошибку. Правильная формула квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Равенство $(x + y)^2 = x^2 + y^2$ выполняется только если $2xy = 0$, что для натуральных чисел $x$ и $y$ (которые по определению $ \ge 1 $) невозможно.
В качестве контрпримера возьмем любые натуральные числа, например, $x=1$ и $y=2$:
Левая часть: $(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$.
Правая часть: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
Поскольку $9 \neq 5$, утверждение опровергнуто.

Отрицанием данного утверждения является: существует пара натуральных чисел $x, y$, для которых $(x + y)^2 \neq x^2 + y^2$.
Отрицание: $ \exists x, y \in N: (x + y)^2 \neq x^2 + y^2 $.

Ответ: Утверждение ложно, контрпример $x=1, y=2$. Отрицание: $ \exists x, y \in N: (x + y)^2 \neq x^2 + y^2 $.

4)

Исходное утверждение: $ \forall m, n \in N: \frac{m}{n} = \frac{n}{m} $.

Это утверждение ложно. Равенство $\frac{m}{n} = \frac{n}{m}$ после преобразования ($m^2 = n^2$) для натуральных чисел $m$ и $n$ означает, что $m = n$. Утверждение же говорит, что это верно для любых натуральных $m$ и $n$, а не только для равных.
Возьмем контрпример, где $m \neq n$. Пусть $m=2$ и $n=3$. Тогда $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2}$. Утверждение опровергнуто.

Отрицанием данного утверждения является: существуют такие натуральные числа $m$ и $n$, что $\frac{m}{n} \neq \frac{n}{m}$.
Отрицание: $ \exists m, n \in N: \frac{m}{n} \neq \frac{n}{m} $.

Ответ: Утверждение ложно, контрпример $m=2, n=3$. Отрицание: $ \exists m, n \in N: \frac{m}{n} \neq \frac{n}{m} $.

5)

Исходное утверждение: $ \exists a, b \in N: (a + b)^2 = 5 $.

Это утверждение ложно. Чтобы его опровергнуть, нужно доказать, что таких натуральных чисел не существует. Пусть $S = a+b$. Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа ($a \ge 1, b \ge 1$), их сумма $S$ также является натуральным числом, причем $S \ge 2$.
Уравнение принимает вид $S^2 = 5$. Отсюда $S = \sqrt{5}$.
Однако $\sqrt{5}$ является иррациональным числом, а $S$ должно быть натуральным. Так как не существует натурального числа, квадрат которого равен 5, то не существует и таких натуральных $a$ и $b$.

Отрицанием утверждения с квантором существования является утверждение с квантором всеобщности и отрицанием условия.
Отрицание: $ \forall a, b \in N: (a + b)^2 \neq 5 $.

Ответ: Утверждение ложно, так как сумма двух натуральных чисел является натуральным числом, а корень из 5 иррационален. Отрицание: $ \forall a, b \in N: (a + b)^2 \neq 5 $.

6)

Исходное утверждение: $ \exists c, d \in N: c^2 + d^2 = 6 $.

Это утверждение ложно. Докажем это методом перебора. Так как $c$ и $d$ — натуральные числа, то $c \ge 1$ и $d \ge 1$.
Рассмотрим возможные значения для $c^2$, которые меньше 6:
- Если $c=1$, то $c^2 = 1$. Уравнение становится $1 + d^2 = 6$, откуда $d^2 = 5$. Нет натурального числа $d$, для которого $d^2=5$.
- Если $c=2$, то $c^2 = 4$. Уравнение становится $4 + d^2 = 6$, откуда $d^2 = 2$. Нет натурального числа $d$, для которого $d^2=2$.
- Если $c \ge 3$, то $c^2 \ge 9$, и сумма $c^2+d^2$ будет заведомо больше 6.
Поскольку мы перебрали все возможные случаи и ни один не подошел, таких натуральных чисел $c$ и $d$ не существует.

Отрицанием данного утверждения является: для любых натуральных чисел $c$ и $d$ их сумма квадратов не равна 6.
Отрицание: $ \forall c, d \in N: c^2 + d^2 \neq 6 $.

Ответ: Утверждение ложно, так как не существует двух натуральных чисел, сумма квадратов которых равна 6. Отрицание: $ \forall c, d \in N: c^2 + d^2 \neq 6 $.

7)

Исходное утверждение: $ \exists x, y \in N: x + y = 7 \text{ и } xy = 7 $.

Это утверждение ложно. Мы ищем натуральные решения системы уравнений:
1) $x + y = 7$
2) $xy = 7$
Из второго уравнения $xy = 7$ и того факта, что $x, y$ — натуральные числа, а 7 — простое число, следует, что возможны только две пары решений: $x=1, y=7$ или $x=7, y=1$.
Проверим эти пары, подставив их в первое уравнение $x+y=7$:
В обоих случаях получаем $1+7 = 8$. Так как $8 \neq 7$, ни одна из пар не является решением системы. Следовательно, таких натуральных $x$ и $y$ не существует.

Отрицанием утверждения "$ \exists x,y: P(x,y) \text{ и } Q(x,y) $" является "$ \forall x,y: \neg P(x,y) \text{ или } \neg Q(x,y) $".
Отрицание: $ \forall x, y \in N: x + y \neq 7 \text{ или } xy \neq 7 $.

Ответ: Утверждение ложно, так как система уравнений не имеет решений в натуральных числах. Отрицание: $ \forall x, y \in N: x + y \neq 7 \text{ или } xy \neq 7 $.

8)

Исходное утверждение: $ \exists m, n, k \in N: \frac{m}{n} \neq \frac{mk}{nk} $.

Это утверждение ложно. Оно противоречит основному свойству дроби, которое гласит, что при умножении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число значение дроби не меняется.
Поскольку $m, n, k$ — натуральные числа, то $k \neq 0$. Мы можем сократить дробь $\frac{mk}{nk}$ на общий множитель $k$:
$ \frac{mk}{nk} = \frac{m \cdot k}{n \cdot k} = \frac{m}{n} $
Таким образом, для любых натуральных $m, n, k$ всегда выполняется равенство $\frac{m}{n} = \frac{mk}{nk}$, и никогда не выполняется неравенство. Следовательно, таких чисел не существует.

Отрицанием данного утверждения является: для любых натуральных чисел $m, n, k$ выполняется равенство $\frac{m}{n} = \frac{mk}{nk}$.
Отрицание: $ \forall m, n, k \in N: \frac{m}{n} = \frac{mk}{nk} $.

Ответ: Утверждение ложно, так как оно противоречит основному свойству дроби. Отрицание: $ \forall m, n, k \in N: \frac{m}{n} = \frac{mk}{nk} $.

Условие 2010-2022.

126 Прочитай утверждения и опровергни их. Построй их отрицания.

1) $\forall a \in R: a^2 > a$ (R – множество дробей);

2) $\forall b \in N: b^2 + b + 1$ – простое число;

3) $\forall x, y \in N: (x+y)^2 = x^2 + y^2$;

4) $\forall m, n \in N: \frac{m}{n} = \frac{n}{m}$;

5) $\exists a, b \in N: (a+b)^2 = 5$;

6) $\exists c, d \in N: c^2 + d^2 = 6$;

7) $\exists x, y \in N: x+y = 7$ и $xy = 7$;

8) $\exists m, n, k \in N: \frac{m}{n} \neq \frac{mk}{nk}$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).