Номер 130, страница 36, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Переменная и кванторы. Параграф 2. Переменная. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 130, страница 36.

Условие 2023.

130 Построй математическую модель задачи.

1) В детском хоре «Весна» занимаются 148 детей. В младшей группе хора в 2 раза больше детей, чем в средней, и на 32 человека больше, чем в старшей. Сколько детей занимается в каждой группе хора?

2) Из пункта A в пункт B едет мотоциклист. Если он увеличит скорость на 4 км/ч, то проедет весь путь за 4,5 ч, а если уменьшит скорость на 6 км/ч, то проедет весь путь за 6 ч. С какой скоростью едет мотоциклист?

3) Оператор должен набрать на компьютере 240 страниц рукописи. За каждый час он набирал на 3 страницы больше, чем предполагал, и поэтому закончил работу на 4 ч раньше намеченного срока. За сколько времени оператор сделал свою работу, если он работал равномерно?

4) На пароходе 240 пассажиров расселили в одноместные, двухместные и трёхместные каюты так, что в каютах не осталось свободных мест. Всего было занято 108 кают, причём одноместных кают было в 2 раза меньше, чем трёхместных. Сколько кают каждого вида было на пароходе?

Решение 2 (2023).

1)

Пусть $x$ — количество детей в средней группе. Тогда в младшей группе $2x$ детей, а в старшей группе $(2x - 32)$ детей. Всего в хоре 148 детей.
Составим уравнение, сложив количество детей во всех группах:
$x + 2x + (2x - 32) = 148$
Решим уравнение:
$5x - 32 = 148$
$5x = 148 + 32$
$5x = 180$
$x = \frac{180}{5} = 36$ (детей в средней группе).
Теперь найдем количество детей в остальных группах:
В младшей группе: $2x = 2 \cdot 36 = 72$ (ребенка).
В старшей группе: $2x - 32 = 72 - 32 = 40$ (детей).
Проверка: $36 + 72 + 40 = 148$. Все сходится.
Ответ: В младшей группе 72 ребенка, в средней — 36, в старшей — 40.

2)

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость мотоциклиста, а $S$ (км) — расстояние от пункта А до пункта В.
Расстояние $S$ можно выразить двумя способами на основе условий задачи:
1. Если скорость $(v + 4)$ км/ч, то время 4,5 ч: $S = (v + 4) \cdot 4.5$.
2. Если скорость $(v - 6)$ км/ч, то время 6 ч: $S = (v - 6) \cdot 6$.
Так как расстояние в обоих случаях одинаковое, приравняем правые части уравнений:
$(v + 4) \cdot 4.5 = (v - 6) \cdot 6$
Раскроем скобки:
$4.5v + 18 = 6v - 36$
Перенесем слагаемые с $v$ в одну сторону, а числа — в другую:
$18 + 36 = 6v - 4.5v$
$54 = 1.5v$
$v = \frac{54}{1.5} = 36$.
Первоначальная скорость мотоциклиста — 36 км/ч.
Ответ: 36 км/ч.

3)

Пусть $p$ (страниц/час) — предполагаемая скорость набора, а $t$ (часы) — предполагаемое время работы.
Общий объем работы — 240 страниц. Тогда $p \cdot t = 240$.
Фактическая скорость набора была $(p + 3)$ страниц/час, а фактическое время работы составило $(t - 4)$ часа.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases} t = \frac{240}{p} \\ (p+3)(t-4) = 240 \end{cases}$
Подставим первое уравнение во второе:
$(p + 3)(\frac{240}{p} - 4) = 240$
Раскроем скобки:
$p \cdot \frac{240}{p} - 4p + 3 \cdot \frac{240}{p} - 12 = 240$
$240 - 4p + \frac{720}{p} - 12 = 240$
$-4p + \frac{720}{p} - 12 = 0$
Умножим все уравнение на $p$ (при $p \neq 0$):
$-4p^2 - 12p + 720 = 0$
Разделим на -4 для упрощения:
$p^2 + 3p - 180 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = 27$.
$p_1 = \frac{-3 + 27}{2} = 12$; $p_2 = \frac{-3 - 27}{2} = -15$.
Скорость не может быть отрицательной, поэтому предполагаемая скорость $p = 12$ страниц/час.
Фактическая скорость: $12 + 3 = 15$ страниц/час.
Фактическое время работы: $t_{факт} = \frac{240}{15} = 16$ часов.
Ответ: 16 часов.

4)

Пусть $x$ — количество одноместных кают, $y$ — двухместных, а $z$ — трёхместных.
Составим систему уравнений по условиям задачи:
1. По общему числу пассажиров: $x + 2y + 3z = 240$.
2. По общему числу кают: $x + y + z = 108$.
3. По соотношению одноместных и трёхместных кают: $z = 2x$.
Подставим третье уравнение в первые два:
$x + 2y + 3(2x) = 240 \implies 7x + 2y = 240$.
$x + y + 2x = 108 \implies 3x + y = 108$.
Из уравнения $3x + y = 108$ выразим $y$: $y = 108 - 3x$.
Подставим это выражение в уравнение $7x + 2y = 240$:
$7x + 2(108 - 3x) = 240$
$7x + 216 - 6x = 240$
$x = 240 - 216$
$x = 24$ (одноместные каюты).
Теперь найдем $z$ и $y$:
$z = 2x = 2 \cdot 24 = 48$ (трёхместные каюты).
$y = 108 - 3x = 108 - 3 \cdot 24 = 108 - 72 = 36$ (двухместные каюты).
Ответ: 24 одноместные каюты, 36 двухместных кают и 48 трёхместных кают.

Условие 2010-2022.

130 Построй математическую модель задачи:

1) В детском хоре “Весна” занимаются 148 детей. В младшей группе хора в 2 раза больше детей, чем в средней, и на 32 человека больше, чем в старшей. Сколько детей занимается в каждой группе хора?

2) Из пункта А в пункт В едет мотоциклист. Если он увеличит скорость на 4 км/ч, то проедет весь путь за 4,5 ч, а если уменьшит скорость на 6 км/ч, то проедет весь путь за 6 ч. С какой скоростью едет мотоциклист?

3) Оператор должен набрать на компьютере 240 страниц рукописи. За каждый час он набирал на 3 страницы больше, чем предполагал, и поэтому закончил работу на 4 часа раньше намеченного срока. За сколько времени оператор сделал свою работу, если он работал равномерно?

4) На пароходе 240 пассажиров расселили в одноместные, двухместные и трехместные каюты так, что в каютах не осталось свободных мест. Всего было занято 108 кают, причем одноместных кают было в 2 раза меньше, чем трехместных. Сколько кают каждого вида было на пароходе?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).