Номер 125, страница 35, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 3. Переменная и кванторы - номер 125, страница 35.

Условие 2023.

125 Прочитай утверждения и докажи их истинность:

1) $\exists n \in N: n^2 > 30;$

2) $\exists a, b \in N: a = b^2;$

3) $\exists x, y, z \in N: x^2 + y^2 = z^2;$

4) $\exists x, y, z \in N: \frac{x}{y} = \frac{y}{z};$

5) $\forall n \in N: n+(n+1)$ – число нечётное;

6) $\forall n \in N: n(n+1)$ – число чётное;

7) $\forall n \in N: n(n+1)(n+2)$ – кратно шести;

8) $\forall m, n \in N: \left(\frac{m}{n}\right)^2 = \frac{m^2}{n^2}.$

Решение 2 (2023).

1) Утверждение гласит, что существует такое натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n^2 > 30$. Чтобы доказать истинность этого утверждения, достаточно привести один пример. Рассмотрим натуральные числа по порядку: $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$. Все эти значения меньше или равны 30. Возьмем следующее натуральное число, $n=6$. Тогда $n^2 = 6^2 = 36$. Так как $36 > 30$, то утверждение истинно. Ответ: Например, при $n=6$, $n^2 = 36 > 30$.

2) Утверждение гласит, что существуют такие натуральные числа $a$ и $b$, для которых выполняется равенство $a = b^2$. Для доказательства достаточно найти одну пару таких чисел. Пусть $b=3$. Тогда $a = b^2 = 3^2 = 9$. И $a=9$, и $b=3$ являются натуральными числами. Равенство $9 = 3^2$ верно. Следовательно, утверждение истинно. Ответ: Например, при $b=3$ и $a=9$ равенство $a=b^2$ выполняется.

3) Утверждение гласит, что существуют такие натуральные числа $x, y, z$, для которых выполняется равенство $x^2 + y^2 = z^2$. Это равенство известно как теорема Пифагора, а тройки натуральных чисел, удовлетворяющие ему, называются пифагоровыми тройками. Для доказательства достаточно привести один пример. Возьмем $x=3$, $y=4$, $z=5$. Проверим равенство: $x^2 + y^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. $z^2 = 5^2 = 25$. Так как $25 = 25$, равенство выполняется, и утверждение истинно. Ответ: Например, при $x=3, y=4, z=5$ равенство $x^2 + y^2 = z^2$ выполняется.

4) Утверждение гласит, что существуют такие натуральные числа $x, y, z$, для которых выполняется равенство $\frac{x}{y} = \frac{y}{z}$. Это равенство можно переписать как $y^2 = xz$, что означает, что $y$ является средним геометрическим для $x$ и $z$. Для доказательства достаточно привести один пример. Пусть $x=2$ и $y=4$. Тогда из равенства $y^2 = xz$ найдем $z$: $4^2 = 2 \cdot z$, откуда $16 = 2z$ и $z=8$. Все три числа, $x=2, y=4, z=8$, являются натуральными. Проверим исходное равенство: $\frac{x}{y} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $\frac{y}{z} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Равенство верно, следовательно, утверждение истинно. Ответ: Например, при $x=2, y=4, z=8$ равенство $\frac{x}{y} = \frac{y}{z}$ выполняется.

5) Утверждение гласит, что для любого натурального числа $n$ сумма $n + (n + 1)$ является нечётным числом. Преобразуем выражение: $n + (n + 1) = 2n + 1$. По определению, нечётное число — это целое число, которое можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое число. Так как $n$ — натуральное число, оно также является целым. Следовательно, выражение $2n+1$ всегда представляет собой нечётное число для любого натурального $n$. Утверждение истинно. Ответ: Выражение $n + (n + 1)$ равно $2n + 1$, что является общей формулой нечётного числа при натуральном $n$.

6) Утверждение гласит, что для любого натурального числа $n$ произведение $n(n + 1)$ является чётным числом. Рассмотрим два случая. 1. Если $n$ — чётное число, то его можно представить в виде $n=2k$ для некоторого натурального $k$. Тогда произведение $n(n+1) = 2k(2k+1)$ очевидно делится на 2, то есть является чётным. 2. Если $n$ — нечётное число, то его можно представить в виде $n=2k-1$ для некоторого натурального $k$. Тогда следующий за ним член $n+1 = (2k-1)+1 = 2k$ будет чётным. Произведение $n(n+1) = (2k-1)(2k)$ также очевидно делится на 2, то есть является чётным. Поскольку любое натуральное число является либо чётным, либо нечётным, в обоих случаях произведение $n(n+1)$ является чётным числом. Утверждение истинно. Ответ: Произведение $n(n+1)$ всегда чётно, так как один из двух последовательных множителей ($n$ или $n+1$) обязательно является чётным числом.

7) Утверждение гласит, что для любого натурального числа $n$ произведение $n(n + 1)(n + 2)$ кратно шести. Число кратно 6, если оно одновременно кратно 2 и 3. 1. Докажем кратность 2. В произведении $n(n + 1)(n + 2)$ участвуют три последовательных натуральных числа. Среди них всегда есть хотя бы одно чётное число. Произведение любого числа на чётное является чётным, следовательно, $n(n + 1)(n + 2)$ всегда кратно 2. 2. Докажем кратность 3. Среди любых трёх последовательных натуральных чисел всегда есть ровно одно, которое делится на 3. Если $n$ делится на 3, то и произведение делится на 3. Если $n$ даёт остаток 1 при делении на 3 ($n=3k+1$), то $n+2 = 3k+1+2=3(k+1)$ делится на 3. Если $n$ даёт остаток 2 при делении на 3 ($n=3k+2$), то $n+1 = 3k+2+1=3(k+1)$ делится на 3. В любом случае, один из множителей делится на 3, а значит и всё произведение делится на 3. Поскольку произведение $n(n + 1)(n + 2)$ делится и на 2, и на 3, а числа 2 и 3 взаимно простые, то оно делится на их произведение, то есть на 6. Утверждение истинно. Ответ: Произведение трёх последовательных натуральных чисел всегда делится на 2 (так как среди них есть хотя бы одно чётное) и на 3 (так как среди них есть ровно одно кратное трём), а значит, делится и на 6.

8) Утверждение гласит, что для любых натуральных чисел $m$ и $n$ выполняется равенство $(\frac{m}{n})^2 = \frac{m^2}{n^2}$. Докажем это, используя определение возведения в степень и правило умножения дробей. По определению, возведение в квадрат означает умножение числа на само себя: $(\frac{m}{n})^2 = \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n}$. По правилу умножения дробей, произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей: $\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} = \frac{m \cdot m}{n \cdot n}$. Наконец, по определению второй степени, $m \cdot m = m^2$ и $n \cdot n = n^2$. Таким образом, мы получаем $\frac{m^2}{n^2}$. Следовательно, $(\frac{m}{n})^2 = \frac{m^2}{n^2}$. Утверждение истинно. Ответ: Равенство следует из определения возведения в квадрат $(\frac{m}{n})^2 = \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n}$ и правила умножения дробей $\frac{m \cdot m}{n \cdot n} = \frac{m^2}{n^2}$.

Условие 2010-2022.

125 Прочитай утверждения и докажи их истинность:

1) $\exists n \in N: n^2 > 30$;

2) $\exists a, b \in N: a = b^2$;

3) $\exists x, y, z \in N: x^2 + y^2 = z^2$;

4) $\exists x, y, z \in N: \frac{x}{y} = \frac{y}{z}$;

5) $\forall n \in N: n+(n+1)$ - число нечетное;

6) $\forall n \in N: n(n+1)$ - число четное;

7) $\forall n \in N: n(n+1)(n+2)$ - кратно шести;

8) $\forall m, n \in N: (\frac{m}{n})^2 = \frac{m^2}{n^2}$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).