Номер 120, страница 34, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Переменная и кванторы. Параграф 2. Переменная. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 120, страница 34.

Условие 2023.

К 120

Переведи высказывания на русский язык. Рассмотри различные варианты перевода.

1) $\forall a \in A: a$ – имеет дневник ($A$ – множество учеников);

2) $\exists b \in A: b$ – пишет стихи ($A$ – множество учеников);

3) $\exists x \in B: x$ – имеет синоним ($B$ – множество слов русского языка);

4) $\forall y \in B: y$ – является глаголом ($B$ – множество слов русского языка);

5) $\exists m, n \in P: m \parallel n$ ($P$ – множество прямых на плоскости; знак $\parallel$ обозначает параллельность прямых);

6) $\forall A, B \in C: AO = OB$ ($C$ – множество точек окружности с центром $O$);

7) $\forall a, b \in N: a > b$, или $a < b$, или $a = b$;

8) $\exists x, y, z \in N: x + y + z = xyz$.

Решение 2 (2023).

Для перевода высказываний с языка математической логики на русский язык необходимо понимать значение используемых символов:

• $∀$ — квантор всеобщности. Читается как «для любого», «для каждого», «всякий», «каждый». Означает, что утверждение верно для всех без исключения элементов множества.
• $∃$ — квантор существования. Читается как «существует», «найдётся». Означает, что есть хотя бы один элемент в множестве, для которого утверждение верно.
• $∈$ — знак принадлежности. Означает, что элемент принадлежит множеству. Например, $a ∈ A$ читается как «элемент $a$ принадлежит множеству $A$».
• $: $ (двоеточие) или $|$ (вертикальная черта) — знаки, отделяющие переменную и множество от предиката (утверждения). Читаются как «такой, что», «для которого верно, что» или просто опускаются при переводе.

1)

Высказывание: $∀a ∈ A: a$ - имеет дневник ($A$ – множество учеников).
Это утверждение с квантором всеобщности. Оно говорит о том, что свойством «иметь дневник» обладает каждый элемент множества $A$.
Варианты перевода:
- Для любого ученика $a$ из множества учеников $A$ верно, что $a$ имеет дневник.
- Каждый ученик имеет дневник.
- Все ученики имеют дневники.
- У любого ученика есть дневник.

Ответ: Каждый ученик имеет дневник.

2)

Высказывание: $∃b ∈ A: b$ - пишет стихи ($A$ – множество учеников).
Это утверждение с квантором существования. Оно говорит о том, что во множестве учеников $A$ найдётся как минимум один элемент, обладающий свойством «писать стихи».
Варианты перевода:
- Существует ученик $b$ из множества $A$ такой, что $b$ пишет стихи.
- Найдётся ученик, который пишет стихи.
- Хотя бы один ученик пишет стихи.
- Некоторые ученики пишут стихи.

Ответ: Существует ученик, который пишет стихи.

3)

Высказывание: $∃x ∈ B: x$ - имеет синоним ($B$ – множество слов русского языка).
Утверждается, что в русском языке есть хотя бы одно слово, для которого можно подобрать синоним.
Варианты перевода:
- Существует слово $x$ в русском языке, которое имеет синоним.
- В русском языке найдётся слово, имеющее синоним.
- Некоторые слова русского языка имеют синонимы.

Ответ: В русском языке существует слово, которое имеет синоним.

4)

Высказывание: $∀y ∈ B: y$ - является глаголом ($B$ – множество слов русского языка).
Утверждается, что абсолютно любое слово русского языка является глаголом. Хотя это утверждение ложно, его перевод должен быть точным.
Варианты перевода:
- Для любого слова $y$ из русского языка верно, что $y$ является глаголом.
- Каждое слово русского языка является глаголом.
- Все слова в русском языке — глаголы.

Ответ: Каждое слово русского языка является глаголом.

5)

Высказывание: $∃m, n ∈ P: m \parallel n$ ($P$ – множество прямых на плоскости; знак $\parallel$ обозначает параллельность прямых).
Утверждается, что на плоскости существует по крайней мере одна пара прямых ($m$ и $n$), которые параллельны друг другу.
Варианты перевода:
- Существуют прямые $m$ и $n$ на плоскости такие, что $m$ параллельна $n$.
- На плоскости найдутся две параллельные прямые.
- Существуют параллельные прямые на плоскости.

Ответ: На плоскости существуют параллельные прямые.

6)

Высказывание: $∀A, B ∈ C: AO = OB$ ($C$ – множество точек окружности с центром $O$).
Утверждается, что для любых двух точек $A$ и $B$, взятых на окружности с центром $O$, расстояние от центра до этих точек одинаково. Это одно из определений окружности.
Варианты перевода:
- Для любых двух точек $A$ и $B$, лежащих на окружности с центром в точке $O$, длины отрезков $AO$ и $OB$ равны.
- Все точки окружности равноудалены от ее центра.
- Расстояние от центра окружности до любой ее точки одинаково (и равно радиусу).

Ответ: Все точки окружности равноудалены от ее центра.

7)

Высказывание: $∀a, b ∈ N: a > b$, или $a < b$, или $a = b$.
Здесь $N$ — множество натуральных чисел. Утверждение гласит, что для любой пары натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется ровно одно из трех условий: либо первое число больше второго, либо меньше, либо они равны. Это свойство называется законом трихотомии.
Варианты перевода:
- Для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ верно, что $a$ больше $b$, или $a$ меньше $b$, или $a$ равно $b$.
- Любые два натуральных числа сравнимы между собой.
- Из двух натуральных чисел одно всегда либо больше, либо меньше, либо равно другому.

Ответ: Для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется ровно одно из соотношений: $a > b$, $a < b$ или $a = b$.

8)

Высказывание: $∃x, y, z ∈ N: x + y + z = xyz$.
Утверждается, что существуют такие три натуральных числа ($x, y, z$), сумма которых равна их произведению. (Например, числа 1, 2 и 3: $1+2+3 = 6$ и $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$).
Варианты перевода:
- Существуют натуральные числа $x, y, z$, для которых их сумма равна их произведению.
- Найдутся три натуральных числа, сумма которых равна их произведению.

Ответ: Существуют такие натуральные числа $x, y, z$, что их сумма равна их произведению.

Условие 2010-2022.

120 Переведи высказывания на русский язык. Рассмотри различные варианты перевода.

1) $\forall a \in A$: $a$ - имеет дневник ($A$ - множество учеников);

2) $\exists b \in A$: $b$ - пишет стихи ($A$ - множество учеников);

3) $\exists x \in B$: $x$ - имеет синоним ($B$ - множество слов русского языка);

4) $\forall y \in B$: $y$ - является глаголом ($B$ - множество слов русского языка);

5) $\exists m, n \in P$: $m \parallel n$ ($P$ - множество прямых на плоскости; знак $\parallel$ обозначает параллельность прямых);

6) $\forall A, B \in C$: $AO = OB$ ($C$ - множество точек окружности с центром $O$);

7) $\forall a, b \in N$: $a > b$, или $a < b$, или $a = b$;

8) $\exists x, y, z \in N$: $x + y + z = xyz$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).