Номер 123, страница 35, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 3. Переменная и кванторы - номер 123, страница 35.

Условие 2023.

123 Преобразуй данные предложения с переменными в истинные высказывания, используя кванторы $\exists$ и $\forall$. Как ещё можно превратить предложения с переменными в высказывания?

1) Число $n(n+1)$ – простое.

2) Дробь $\frac{n}{n+4}$ – правильная.

3) Число $6k$ – составное.

4) Дробь $\frac{2p}{q+1}$ – сократимая.

Решение 2 (2023).

1) Число n(n + 1) – простое.
Данное предложение с переменной $n$ не всегда истинно. Например, если $n=2$, то $n(n+1) = 2(2+1) = 6$, а число 6 является составным. Однако, если $n=1$, то $n(n+1) = 1(1+1) = 2$, а число 2 является простым. Поскольку мы нашли хотя бы одно натуральное значение $n$, для которого утверждение истинно, мы можем использовать квантор существования ($\exists$) для преобразования предложения в истинное высказывание.
Ответ: Существует такое натуральное число $n$, что число $n(n+1)$ является простым.

2) Дробь $\frac{n}{n+4}$ – правильная.
Правильная дробь – это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В данном случае, для натуральных чисел $n$, это условие записывается как неравенство $n < n+4$. Это неравенство является истинным для любого числа $n$, так как при вычитании $n$ из обеих частей мы получаем верное неравенство $0 < 4$. Следовательно, данное утверждение истинно для всех натуральных значений $n$. Для преобразования предложения в истинное высказывание используем квантор всеобщности ($\forall$).
Ответ: Для любого натурального числа $n$ дробь $\frac{n}{n+4}$ является правильной.

3) Число 6k – составное.
Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым. Для любого натурального числа $k$ (т.е. $k \ge 1$), произведение $6k$ будет не меньше 6. Любое такое число имеет как минимум делители 2 и 3, помимо 1 и самого себя. Таким образом, число $6k$ является составным для любого натурального $k$. Используем квантор всеобщности ($\forall$).
Ответ: Для любого натурального числа $k$ число $6k$ является составным.

4) Дробь $\frac{2p}{q+1}$ – сократимая.
Сократимая дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой имеют общий делитель, больший 1. Данное утверждение не является истинным для всех натуральных $p$ и $q$. Например, при $p=3$ и $q=4$ дробь равна $\frac{2 \cdot 3}{4+1} = \frac{6}{5}$, и она несократима. Однако, можно найти такие значения $p$ и $q$, при которых дробь будет сократимой. Например, если $q$ — любое нечётное натуральное число, то $q+1$ будет чётным числом. Тогда числитель $2p$ и знаменатель $q+1$ будут иметь общий делитель 2, и дробь будет сократимой. Так как существуют такие $p$ и $q$, используем квантор существования ($\exists$).
Ответ: Существуют такие натуральные числа $p$ и $q$, что дробь $\frac{2p}{q+1}$ является сократимой.

---

Предложения с переменными можно превратить в высказывания не только с помощью кванторов. Другой способ — подставить вместо переменных их конкретные значения (константы). После подстановки предложение становится утверждением, которое является либо истинным, либо ложным, то есть становится высказыванием.
Например, рассмотрим предложение "Число $n(n + 1)$ – простое". Если подставить $n=1$, мы получим истинное высказывание "Число $1(1+1)=2$ – простое". Если же подставить $n=3$, мы получим ложное высказывание "Число $3(3+1)=12$ – простое".
Ответ: Превратить предложение с переменными в высказывание можно также путём подстановки вместо переменных их конкретных значений.

Условие 2010-2022.

123 Преобразуй данные предложения с переменными в истинные высказывания, используя кванторы $\exists$ и $\forall$. Как еще можно превратить предложения с переменными в высказывания?

1) Число $n(n+1)$ - простое.

2) Дробь $\frac{n}{n+4}$ - правильная.

3) Число $6k$ - составное.

4) Дробь $\frac{2p}{q+1}$ - сократимая.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).