Номер 129, страница 36, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Переменная и кванторы. Параграф 2. Переменная. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 129, страница 36.

Условие 2023.

129. В число 7*2* подставь вместо звездочек цифры так, чтобы полученное число делилось:

а) на 18;

б) на 30;

в) на 45;

г) на 36. Укажи все возможные решения.

Решение 2 (2023).

Обозначим искомое число как $7a2b$, где $a$ и $b$ – это цифры, которые нужно найти.

а)

Чтобы число делилось на 18, оно должно одновременно делиться на 2 и на 9, так как $18 = 2 \times 9$ и числа 2 и 9 взаимно простые.

1. Признак делимости на 2: число должно оканчиваться на четную цифру. Следовательно, цифра $b$ может быть 0, 2, 4, 6 или 8.

2. Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9. Сумма цифр нашего числа: $S = 7 + a + 2 + b = 9 + a + b$. Чтобы $S$ делилось на 9, сумма $a + b$ должна делиться на 9. Так как $a$ и $b$ – это цифры от 0 до 9, их сумма может быть 0, 9 или 18.

Рассмотрим все возможные случаи для $b$:

• Если $b = 0$, то $a + 0$ должно делиться на 9. Отсюда $a = 0$ или $a = 9$. Получаем числа 7020 и 7920.
• Если $b = 2$, то $a + 2$ должно делиться на 9. Единственная возможность: $a + 2 = 9$, откуда $a = 7$. Получаем число 7722.
• Если $b = 4$, то $a + 4$ должно делиться на 9. Единственная возможность: $a + 4 = 9$, откуда $a = 5$. Получаем число 7524.
• Если $b = 6$, то $a + 6$ должно делиться на 9. Единственная возможность: $a + 6 = 9$, откуда $a = 3$. Получаем число 7326.
• Если $b = 8$, то $a + 8$ должно делиться на 9. Единственная возможность: $a + 8 = 9$, откуда $a = 1$. Получаем число 7128.

Ответ: 7020, 7920, 7722, 7524, 7326, 7128.

б)

Чтобы число делилось на 30, оно должно одновременно делиться на 3 и на 10, так как $30 = 3 \times 10$ и числа 3 и 10 взаимно простые.

1. Признак делимости на 10: число должно оканчиваться на 0. Следовательно, $b = 0$. Наше число имеет вид $7a20$.

2. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма цифр: $S = 7 + a + 2 + 0 = 9 + a$. Чтобы $S$ делилось на 3, $a$ также должно делиться на 3. Возможные значения для $a$: 0, 3, 6, 9.

Получаем следующие числа:

• Если $a = 0$, число 7020.
• Если $a = 3$, число 7320.
• Если $a = 6$, число 7620.
• Если $a = 9$, число 7920.

Ответ: 7020, 7320, 7620, 7920.

в)

Чтобы число делилось на 45, оно должно одновременно делиться на 5 и на 9, так как $45 = 5 \times 9$ и числа 5 и 9 взаимно простые.

1. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5. Следовательно, $b$ может быть 0 или 5.

2. Признак делимости на 9: сумма цифр $S = 7 + a + 2 + b = 9 + a + b$ должна делиться на 9. Это значит, что $a + b$ должно делиться на 9.

Рассмотрим возможные случаи для $b$:

• Если $b = 0$, то $a + 0$ должно делиться на 9. Отсюда $a = 0$ или $a = 9$. Получаем числа 7020 и 7920.
• Если $b = 5$, то $a + 5$ должно делиться на 9. Единственная возможность: $a + 5 = 9$, откуда $a = 4$. Получаем число 7425.

Ответ: 7020, 7920, 7425.

г)

Чтобы число делилось на 36, оно должно одновременно делиться на 4 и на 9, так как $36 = 4 \times 9$ и числа 4 и 9 взаимно простые.

1. Признак делимости на 4: число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4. В нашем случае число $2b$ (то есть $20 + b$) должно делиться на 4. Это возможно, если $b = 0$ (число 20), $b = 4$ (число 24) или $b = 8$ (число 28).

2. Признак делимости на 9: сумма цифр $S = 9 + a + b$ должна делиться на 9. Это значит, что $a + b$ должно делиться на 9.

Рассмотрим возможные случаи для $b$:

• Если $b = 0$, то $a + 0$ должно делиться на 9. Отсюда $a = 0$ или $a = 9$. Получаем числа 7020 и 7920.
• Если $b = 4$, то $a + 4$ должно делиться на 9. Единственная возможность: $a + 4 = 9$, откуда $a = 5$. Получаем число 7524.
• Если $b = 8$, то $a + 8$ должно делиться на 9. Единственная возможность: $a + 8 = 9$, откуда $a = 1$. Получаем число 7128.

Ответ: 7020, 7920, 7524, 7128.

Условие 2010-2022.

129. В число 7*2* подставь вместо звездочек цифры так, чтобы полученное число делилось:

а) на 18;

б) на 30;

в) на 45;

г) на 36.

Укажи все возможные решения.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).