Номер 132, страница 37, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 3. Переменная и кванторы - номер 132, страница 37.

Условие 2023.

132 Вычисли наиболее удобным способом. Какие свойства арифметических действий при этом использовались?

1) $(846 + 2008) + (17 992 + 154);$

2) $0,02 + 0,04 + 0,06 + \ldots + 0,98;$

3) $2,5 \cdot 7,89 \cdot 0,04 \cdot 100;$

4) $\frac{7}{18} \cdot (20 \cdot 16,2) \cdot (\frac{18}{7} \cdot 0,5);$

5) $(\frac{1}{8} + 1\frac{1}{16} - \frac{13}{24} + \frac{1}{3}) \cdot 48;$

6) $(9,09 + 999,9 + 900,09) : 9;$

7) $(1,5 \cdot 4,28 \cdot 0,04) : 4,28;$

8) $(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11) : (2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11);$

9) $(1\frac{3}{11} + 5\frac{2}{79} + 7\frac{8}{11}) - 4\frac{2}{79};$

10) $7\frac{3}{25} - (4\frac{3}{25} + 1\frac{5}{18}).$

Решение 2 (2023).

1) Для вычисления наиболее удобным способом воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами сложения. Сгруппируем слагаемые так, чтобы их суммы были круглыми числами.
$(846 + 2008) + (17 992 + 154) = (846 + 154) + (2008 + 17 992) = 1000 + 20000 = 21000$.
Использовались сочетательное и переместительное свойства сложения.
Ответ: 21000.

2) Данная сумма представляет собой арифметическую прогрессию. Можно вынести общий множитель $0,02$ за скобки, используя распределительное свойство.
$0,02 + 0,04 + 0,06 + \dots + 0,98 = 0,02 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 49)$.
Сумму чисел от 1 до 49 найдем по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}$.
Здесь $a_1 = 1$, $a_{49} = 49$, $n=49$.
$S_{49} = \frac{(1+49) \cdot 49}{2} = \frac{50 \cdot 49}{2} = 25 \cdot 49 = 1225$.
Теперь умножим на вынесенный множитель: $0,02 \cdot 1225 = 24,5$.
Использовалось распределительное свойство умножения и формула суммы арифметической прогрессии.
Ответ: 24,5.

3) Воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами умножения, чтобы сгруппировать множители, произведение которых является круглым числом.
$2,5 \cdot 7,89 \cdot 0,04 \cdot 100 = 7,89 \cdot (2,5 \cdot 0,04 \cdot 100) = 7,89 \cdot (2,5 \cdot 4) = 7,89 \cdot 10 = 78,9$.
Использовались сочетательное и переместительное свойства умножения.
Ответ: 78,9.

4) Раскроем скобки и воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами умножения, чтобы сгруппировать взаимно обратные числа и числа, дающие в произведении круглое число.
$\frac{7}{18} \cdot (20 \cdot 16,2) \cdot (\frac{18}{7} \cdot 0,5) = (\frac{7}{18} \cdot \frac{18}{7}) \cdot (20 \cdot 0,5) \cdot 16,2 = 1 \cdot 10 \cdot 16,2 = 162$.
Использовались сочетательное и переместительное свойства умножения.
Ответ: 162.

5) Воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения и вычитания. Умножим каждый член в скобках на 48.
$(\frac{1}{8} + 1\frac{1}{16} - \frac{13}{24} + \frac{1}{3}) \cdot 48 = \frac{1}{8}\cdot48 + \frac{17}{16}\cdot48 - \frac{13}{24}\cdot48 + \frac{1}{3}\cdot48$.
$= 6 + 17\cdot3 - 13\cdot2 + 16 = 6 + 51 - 26 + 16 = 57 - 26 + 16 = 31 + 16 = 47$.
Использовалось распределительное свойство умножения.
Ответ: 47.

6) Используем распределительное свойство деления относительно сложения. Разделим каждое слагаемое в скобках на 9.
$(9,09 + 999,9 + 900,09) : 9 = 9,09:9 + 999,9:9 + 900,09:9 = 1,01 + 111,1 + 100,01 = 212,12$.
Использовалось распределительное свойство деления.
Ответ: 212,12.

7) Удобнее всего заметить, что один из множителей в скобках совпадает с делителем. На основе свойства частного $(a \cdot b \cdot c) : b = a \cdot c$, можно сократить одинаковые числа.
$(1,5 \cdot 4,28 \cdot 0,04) : 4,28 = (1,5 \cdot 0,04) \cdot (4,28 : 4,28) = 1,5 \cdot 0,04 \cdot 1 = 0,06$.
Использовалось свойство деления произведения на число.
Ответ: 0,06.

8) Представим деление в виде дроби и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе, используя основное свойство дроби.
$(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11) : (2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11) = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11}{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11}$.
Сокращаем общие множители: один множитель 2, два множителя 3 и один множитель 11.
Остается: $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.
Использовалось основное свойство дроби.
Ответ: 70.

9) Раскроем скобки и применим переместительное и сочетательное свойства сложения, чтобы сгруппировать числа с одинаковыми знаменателями.
$(1\frac{3}{11} + 5\frac{2}{79} + 7\frac{8}{11}) - 4\frac{2}{79} = 1\frac{3}{11} + 5\frac{2}{79} + 7\frac{8}{11} - 4\frac{2}{79} = (1\frac{3}{11} + 7\frac{8}{11}) + (5\frac{2}{79} - 4\frac{2}{79})$.
Вычисляем первую скобку: $1\frac{3}{11} + 7\frac{8}{11} = 8\frac{11}{11} = 9$.
Вычисляем вторую скобку: $5\frac{2}{79} - 4\frac{2}{79} = 1$.
Складываем результаты: $9 + 1 = 10$.
Использовались сочетательное и переместительное свойства сложения.
Ответ: 10.

10) Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак "минус", знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные. Затем сгруппируем числа с одинаковыми знаменателями.
$7\frac{3}{25} - (4\frac{3}{25} + 1\frac{5}{18}) = 7\frac{3}{25} - 4\frac{3}{25} - 1\frac{5}{18}$.
Сгруппируем: $(7\frac{3}{25} - 4\frac{3}{25}) - 1\frac{5}{18} = 3 - 1\frac{5}{18}$.
$3 - 1\frac{5}{18} = 2\frac{18}{18} - 1\frac{5}{18} = 1\frac{13}{18}$.
Использовалось правило раскрытия скобок и сочетательное свойство вычитания.
Ответ: $1\frac{13}{18}$.

Условие 2010-2022.

132 Вычисли наиболее удобным способом. Какие свойства арифметических действий при этом использовались?

1) $(8.46 + 2.008) + (17.992 + 1.54);$

2) $0.02 + 0.04 + 0.06 + \dots + 0.98;$

3) $2.5 \cdot 7.89 \cdot 0.04 \cdot 100;$

4) $\frac{7}{18} \cdot (20 \cdot 16.2) \cdot (\frac{18}{7} \cdot 0.5);$

5) $(\frac{1}{8} + 1\frac{1}{16} - \frac{13}{24} + \frac{1}{3}) \cdot 48;$

6) $(9.09 + 999.9 + 900.09) : 9;$

7) $(1.5 \cdot 4.28 \cdot 0.04) : 4.28;$

8) $(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11) : (2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11);$

9) $(1\frac{3}{11} + 5\frac{2}{79} + 7\frac{8}{11}) - 4\frac{2}{79};$

10) $7\frac{3}{25} - (4\frac{3}{25} + 1\frac{5}{18}).$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).