Номер 136, страница 37, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 3. Переменная и кванторы - номер 136, страница 37.

Условие 2023.

136 1) В число 1*25* подставь вместо звёздочек цифры так, чтобы полученное число делилось на 15. Укажи все возможные решения.

2) При каких натуральных значениях $a$ и $b$ значение выражения $5a + 3b$:

а) кратно 3;

б) кратно 5;

в) кратно 15;

г) не кратно 3;

д) не кратно 5?

Решение 2 (2023).

1)

Чтобы число делилось на 15, оно должно одновременно делиться на 3 и на 5. Обозначим искомое число в виде $1x25y$, где $x$ и $y$ — это цифры, которые нужно подставить вместо звёздочек.

Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5. Таким образом, цифра $y$ может быть либо 0, либо 5.

Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма цифр нашего числа равна $1 + x + 2 + 5 + y = 8 + x + y$.

Рассмотрим два возможных случая для цифры $y$.

Случай 1: последняя цифра $y = 0$.

Число имеет вид $1x250$. Сумма его цифр равна $8 + x + 0 = 8 + x$. Эта сумма должна быть кратна 3. Подбираем возможные значения для $x$ (от 0 до 9):

• Если $x = 1$, сумма цифр $8 + 1 = 9$. $9$ делится на 3. Получаем число 11250.
• Если $x = 4$, сумма цифр $8 + 4 = 12$. $12$ делится на 3. Получаем число 14250.
• Если $x = 7$, сумма цифр $8 + 7 = 15$. $15$ делится на 3. Получаем число 17250.

Случай 2: последняя цифра $y = 5$.

Число имеет вид $1x255$. Сумма его цифр равна $8 + x + 5 = 13 + x$. Эта сумма должна быть кратна 3. Подбираем возможные значения для $x$ (от 0 до 9):

• Если $x = 2$, сумма цифр $13 + 2 = 15$. $15$ делится на 3. Получаем число 12255.
• Если $x = 5$, сумма цифр $13 + 5 = 18$. $18$ делится на 3. Получаем число 15255.
• Если $x = 8$, сумма цифр $13 + 8 = 21$. $21$ делится на 3. Получаем число 18255.

Ответ: 11250, 14250, 17250, 12255, 15255, 18255.

2)

Анализируем выражение $5a + 3b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа.

а) кратно 3

Чтобы сумма $5a + 3b$ была кратна 3, необходимо, чтобы каждое слагаемое было кратно 3, либо их сумма давала число, кратное 3. Слагаемое $3b$ всегда делится на 3, так как один из множителей равен 3. Следовательно, слагаемое $5a$ также должно делиться на 3. Так как 5 не делится на 3, то $a$ должно быть кратно 3. Значение $b$ может быть любым натуральным числом.

Ответ: при любых натуральных $b$ и любых натуральных $a$, кратных 3.

б) кратно 5

Чтобы сумма $5a + 3b$ была кратна 5, рассмотрим слагаемые. Слагаемое $5a$ всегда делится на 5, так как содержит множитель 5. Следовательно, слагаемое $3b$ также должно делиться на 5. Так как 3 не делится на 5, то $b$ должно быть кратно 5. Значение $a$ может быть любым натуральным числом.

Ответ: при любых натуральных $a$ и любых натуральных $b$, кратных 5.

в) кратно 15

Чтобы выражение было кратно 15, оно должно быть кратно и 3, и 5. Из пункта (а) мы знаем, что для делимости на 3, $a$ должно быть кратно 3. Из пункта (б) мы знаем, что для делимости на 5, $b$ должно быть кратно 5. Оба эти условия должны выполняться одновременно.

Ответ: при натуральных $a$, кратных 3, и натуральных $b$, кратных 5.

г) не кратно 3

Сумма $5a + 3b$ не делится на 3, если слагаемое $5a$ не делится на 3 (поскольку $3b$ всегда делится на 3). Это условие выполняется, если $a$ не кратно 3. Значение $b$ может быть любым натуральным числом.

Ответ: при любых натуральных $b$ и любых натуральных $a$, не кратных 3.

д) не кратно 5

Сумма $5a + 3b$ не делится на 5, если слагаемое $3b$ не делится на 5 (поскольку $5a$ всегда делится на 5). Это условие выполняется, если $b$ не кратно 5. Значение $a$ может быть любым натуральным числом.

Ответ: при любых натуральных $a$ и любых натуральных $b$, не кратных 5.

Условие 2010-2022.

136 1) В число 1*25* подставь вместо звездочек цифры так, чтобы полученное число делилось на 15. Укажи все возможные решения.

2) При каких натуральных значениях $a$ и $b$ значение выражения $5a + 3b$:

а) кратно 3;

б) кратно 5;

в) кратно 15;

г) не кратно 3;

д) не кратно 5?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).