Номер 135, страница 37, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 3. Переменная и кванторы - номер 135, страница 37.

Условие 2023.

135 Переведи утверждения с математического языка на русский и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных утверждений.

1) $ \exists a \in N: 5a + 3 = 18; $

2) $ \exists b \in N: b < 1; $

3) $ \forall m, n \in N: mn \ge m \text{ и } mn \ge n; $

4) $ \forall x, y \in N: x = 5y. $

Решение 2 (2023).

1) $ \exists a \in \mathbb{N}: 5a + 3 = 18 $

Перевод на русский язык: "Существует такое натуральное число $a$, что выполняется равенство $5a + 3 = 18$".

Проверка истинности: Чтобы определить, истинно ли это утверждение, нужно проверить, есть ли среди натуральных чисел корень уравнения $5a + 3 = 18$.
Решим уравнение:

$5a = 18 - 3$

$5a = 15$

$a = 15 / 5$

$a = 3$

Мы получили $a=3$. Число 3 является натуральным числом ($3 \in \mathbb{N}$). Следовательно, такое число $a$ существует, и утверждение является истинным.

Ответ: утверждение истинно.

2) $ \exists b \in \mathbb{N}: b < 1 $

Перевод на русский язык: "Существует такое натуральное число $b$, которое меньше 1".

Проверка истинности: Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ — это множество $\{1, 2, 3, ...\}$. Самое маленькое натуральное число — это 1. Нет ни одного натурального числа, которое было бы меньше 1. Следовательно, утверждение является ложным.

Построение отрицания: Так как утверждение ложно, построим его отрицание. Отрицанием для высказывания с квантором существования ($\exists$) является высказывание с квантором всеобщности ($\forall$), в котором свойство отрицается.

Математическая форма отрицания: $ \forall b \in \mathbb{N}: \neg(b < 1) $, что равносильно $ \forall b \in \mathbb{N}: b \ge 1 $.
Отрицание на русском языке: "Любое натуральное число $b$ больше или равно 1".

Ответ: утверждение ложно. Отрицание: $ \forall b \in \mathbb{N}: b \ge 1 $ (любое натуральное число больше или равно 1).

3) $ \forall m, n \in \mathbb{N}: mn \ge m \text{ и } mn \ge n $

Перевод на русский язык: "Для любых натуральных чисел $m$ и $n$ их произведение больше или равно каждому из них".

Проверка истинности: Возьмём любые два натуральных числа $m$ и $n$. По определению, $m \ge 1$ и $n \ge 1$.
Рассмотрим первое неравенство: $mn \ge m$. Так как $m$ — натуральное число, $m > 0$, мы можем разделить обе части на $m$, не меняя знака неравенства: $n \ge 1$. Это верно для любого натурального числа $n$.
Рассмотрим второе неравенство: $mn \ge n$. Так как $n$ — натуральное число, $n > 0$, мы можем разделить обе части на $n$: $m \ge 1$. Это верно для любого натурального числа $m$.
Поскольку оба условия выполняются для любых натуральных $m$ и $n$, утверждение является истинным.

Ответ: утверждение истинно.

4) $ \forall x, y \in \mathbb{N}: x = 5y $

Перевод на русский язык: "Для любых натуральных чисел $x$ и $y$ выполняется равенство $x = 5y$".

Проверка истинности: Утверждение с квантором всеобщности является истинным, только если оно выполняется для всех без исключения элементов указанного множества. Чтобы доказать его ложность, достаточно найти хотя бы один контрпример.
Возьмём, например, $x=1, y=1$. Оба числа являются натуральными. Проверим равенство: $1 = 5 \cdot 1$. Это неверно, так как $1 \ne 5$.
Поскольку мы нашли пару натуральных чисел, для которых равенство не выполняется, утверждение является ложным.

Построение отрицания: Так как утверждение ложно, построим его отрицание. Отрицанием для высказывания с квантором всеобщности ($\forall$) является высказывание с квантором существования ($\exists$), в котором свойство отрицается.

Математическая форма отрицания: $ \exists x, y \in \mathbb{N}: \neg(x = 5y) $, что равносильно $ \exists x, y \in \mathbb{N}: x \ne 5y $.
Отрицание на русском языке: "Существуют такие натуральные числа $x$ и $y$, что $x$ не равен $5y$".

Ответ: утверждение ложно. Отрицание: $ \exists x, y \in \mathbb{N}: x \ne 5y $ (существуют такие натуральные числа $x$ и $y$, что $x$ не равен $5y$).

Условие 2010-2022.

135 Переведи утверждения с математического языка на русский и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных утверждений.

1) $\exists a \in N: 5a + 3 = 18;$

2) $\exists b \in N: b < 1;$

3) $\forall m, n \in N: mn \ge m \text{ и } mn \ge n;$

4) $\forall x, y \in N: x = 5y.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).