Номер 161, страница 42, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 4. Отрицание утверждений с кванторами - номер 161, страница 42.

Условие 2023.

161 Реши задачи методом перебора. Укажи все возможные решения.

1) Сумма цифр двузначного числа равна 13, а произведение – 36. Чему равно число?

2) Двузначное число при перестановке его цифр увеличилось на 18. Какое это число?

3) Найти двузначное число, которое при перестановке его цифр уменьшается в 1,2 раза. ($10a + b = 1.2 \times (10b + a)$)

Решение 2 (2023).

1) Сумма цифр двузначного числа равна 13, а произведение – 36. Чему равно число?

Пусть искомое двузначное число состоит из цифр $a$ и $b$. Согласно условию, эти цифры должны удовлетворять двум условиям:

1. Сумма цифр равна 13: $a + b = 13$
2. Произведение цифр равно 36: $a \times b = 36$

Решим задачу методом перебора. Найдем все пары однозначных чисел (цифр от 1 до 9, так как если одна из цифр 0, произведение будет 0), произведение которых равно 36.

• $4 \times 9 = 36$. Проверим сумму этих цифр: $4 + 9 = 13$. Это соответствует условию задачи. Из этих цифр можно составить два числа: 49 и 94.
• $6 \times 6 = 36$. Проверим сумму: $6 + 6 = 12$. Это не равно 13, поэтому эта пара цифр не подходит.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют два числа.

Ответ: 49 и 94.

2) Двузначное число при перестановке его цифр увеличилось на 18. Какое это число?

Пусть исходное двузначное число записывается как $10a + b$, где $a$ - цифра десятков (от 1 до 9), а $b$ - цифра единиц (от 0 до 9). Число, полученное после перестановки цифр, будет $10b + a$.

По условию, новое число на 18 больше исходного. Составим уравнение:

$(10b + a) - (10a + b) = 18$

$9b - 9a = 18$

Разделив обе части на 9, получим:

$b - a = 2$, или $b = a + 2$

Это означает, что цифра единиц на 2 больше цифры десятков. Переберем все возможные пары цифр, удовлетворяющие этому условию:

• Если $a=1$, то $b=1+2=3$. Число: 13. Проверка: $31 - 13 = 18$. Подходит.
• Если $a=2$, то $b=2+2=4$. Число: 24. Проверка: $42 - 24 = 18$. Подходит.
• Если $a=3$, то $b=3+2=5$. Число: 35. Проверка: $53 - 35 = 18$. Подходит.
• Если $a=4$, то $b=4+2=6$. Число: 46. Проверка: $64 - 46 = 18$. Подходит.
• Если $a=5$, то $b=5+2=7$. Число: 57. Проверка: $75 - 57 = 18$. Подходит.
• Если $a=6$, то $b=6+2=8$. Число: 68. Проверка: $86 - 68 = 18$. Подходит.
• Если $a=7$, то $b=7+2=9$. Число: 79. Проверка: $97 - 79 = 18$. Подходит.
• Если $a=8$, то $b=8+2=10$, но 10 - это не цифра. Дальнейший перебор невозможен.

Таким образом, существует 7 чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79.

3) Найти двузначное число, которое при перестановке его цифр уменьшается в 1,2 раза.

Пусть искомое число равно $10a + b$. После перестановки цифр получится число $10b + a$. По условию, исходное число уменьшается, значит, оно было больше, чем новое. Составим уравнение:

$10a + b = 1,2 \times (10b + a)$

$10a + b = 12b + 1,2a$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$10 \times (10a + b) = 10 \times (12b + 1,2a)$

$100a + 10b = 120b + 12a$

Перенесем слагаемые с $a$ в левую часть, а с $b$ - в правую:

$100a - 12a = 120b - 10b$

$88a = 110b$

Сократим обе части уравнения, разделив их на наибольший общий делитель, который равен 22:

$4a = 5b$

Теперь подберем цифры $a$ (от 1 до 9) и $b$ (от 0 до 9), которые удовлетворяют этому равенству. Так как 4 и 5 взаимно простые числа, то $a$ должно быть кратно 5, а $b$ должно быть кратно 4.

• Единственная ненулевая цифра, кратная 5, это $a=5$.
• Подставим $a=5$ в равенство: $4 \times 5 = 5b \implies 20 = 5b \implies b=4$.

Получаем пару цифр $a=5$ и $b=4$. Искомое число - 54. Проверим условие: число после перестановки - 45. Найдем их отношение: $54 / 45 = 1,2$. Условие выполняется.

Ответ: 54.

Условие 2010-2022.

161 Реши задачи методом перебора. Укажи все возможные решения.

1) Сумма цифр двузначного числа равна 13, а произведение – 36. Чему равно число?

2) Двузначное число при перестановке его цифр увеличилось на 18. Какое это число?

3) Найти двузначное число, которое при перестановке его цифр уменьшается в 1,2 раза.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).