Номер 168, страница 43, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Отрицание утверждений с кванторами. Параграф 2. Переменная. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 168, страница 43.

Условие 2023.

168 Прочитай высказывания и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных высказываний.

1) $\exists n \in N: 2n - 5 = 12$;

2) $\forall a, b \in N: a - 1 < b + 1$;

3) $\forall x, y \in R: xy = yx (R - \text{множество дробей})$;

4) $\exists c, d \in N: c^2 = d^2 - 1$.

Решение 2 (2023).

1) $∃n ∈ N: 2n - 5 = 12$
Данное высказывание утверждает, что существует такое натуральное число $n$ (принадлежащее множеству $N = \{1, 2, 3, ...\}$), для которого выполняется равенство $2n - 5 = 12$.
Чтобы проверить это, решим уравнение относительно $n$:
$2n = 12 + 5$
$2n = 17$
$n = \frac{17}{2} = 8.5$
Полученное значение $n = 8.5$ не является натуральным числом, так как натуральные числа — это целые положительные числа. Следовательно, не существует натурального числа $n$, удовлетворяющего данному равенству. Таким образом, высказывание ложно.
Отрицанием для высказывания с квантором существования ($∃$) является высказывание с квантором всеобщности ($∀$), а равенство заменяется на неравенство.
Отрицание: $∀n ∈ N: 2n - 5 ≠ 12$. (Для любого натурального числа $n$ неверно, что $2n - 5 = 12$).
Ответ: высказывание ложно, отрицание: $∀n ∈ N: 2n - 5 ≠ 12$.

2) $∀a, b ∈ N: a - 1 < b + 1$
Данное высказывание утверждает, что для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство $a - 1 < b + 1$.
Чтобы доказать ложность высказывания с квантором всеобщности, достаточно найти хотя бы один контрпример, то есть такую пару чисел $a$ и $b$, для которой неравенство неверно.
Возьмем, например, $a = 4$ и $b = 1$. Оба числа являются натуральными.
Подставим их в неравенство:
$4 - 1 < 1 + 1$
$3 < 2$
Полученное неравенство неверно. Так как мы нашли контрпример, исходное высказывание ложно.
Отрицанием для высказывания с квантором всеобщности ($∀$) является высказывание с квантором существования ($∃$), а знак $<$ заменяется на знак $≥$.
Отрицание: $∃a, b ∈ N: a - 1 ≥ b + 1$. (Существуют такие натуральные числа $a$ и $b$, что $a - 1$ больше или равно $b + 1$).
Ответ: высказывание ложно, отрицание: $∃a, b ∈ N: a - 1 ≥ b + 1$.

3) $∀x, y ∈ R: xy = yx$ (R – множество дробей)
Данное высказывание утверждает, что для любых двух дробей (рациональных чисел) $x$ и $y$ их произведение не зависит от порядка множителей.
Это утверждение является формулировкой коммутативного (переместительного) закона умножения. Этот закон является одним из фундаментальных свойств для множества рациональных чисел (а также действительных и комплексных). Произведение любых двух дробей не меняется при перестановке множителей.
Например, $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$ и $\frac{5}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{21}$.
Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: высказывание истинно.

4) $∃c, d ∈ N: c^2 = d^2 - 1$
Данное высказывание утверждает, что существуют такие натуральные числа $c$ и $d$, для которых выполняется равенство $c^2 = d^2 - 1$.
Перепишем уравнение в виде: $d^2 - c^2 = 1$.
Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(d - c)(d + c) = 1$.
Поскольку $c$ и $d$ — натуральные числа, то $c ≥ 1$ и $d ≥ 1$. Это означает, что их сумма $(d+c)$ и разность $(d-c)$ являются целыми числами. Кроме того, $d + c ≥ 1 + 1 = 2$.
Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях: $1 \cdot 1 = 1$ или $(-1) \cdot (-1) = 1$.
1. Система: $\begin{cases} d - c = 1 \\ d + c = 1 \end{cases}$. Сложив два уравнения, получим $2d = 2$, откуда $d = 1$. Подставив $d=1$ в любое из уравнений, найдем $c = 0$. Но $c=0$ не является натуральным числом, поэтому это решение не подходит.
2. Система: $\begin{cases} d - c = -1 \\ d + c = -1 \end{cases}$. В этом случае $d = -1$, что также не является натуральным числом.
Других целочисленных решений нет. Таким образом, не существует пары натуральных чисел $c$ и $d$, удовлетворяющих уравнению. Высказывание ложно.
Отрицание: $∀c, d ∈ N: c^2 ≠ d^2 - 1$. (Для любой пары натуральных чисел $c$ и $d$ неверно, что $c^2 = d^2 - 1$).
Ответ: высказывание ложно, отрицание: $∀c, d ∈ N: c^2 ≠ d^2 - 1$.

Условие 2010-2022.

168 Прочитай высказывания и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных высказываний.

1) $\exists n \in N: 2n-5=12;$

2) $\forall a, b \in N: a-1<b+1;$

3) $\forall x, y \in R: xy=yx$ (R - множество дробей);

4) $\exists c, d \in N: c^2=d^2-1.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).