Номер 167, страница 43, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 4. Отрицание утверждений с кванторами - номер 167, страница 43.

Условие 2023.

167 Построй отрицания высказываний.

1) Число 1 – простое.

2) Сумма $38 \cdot 15 + 27$ кратна 9.

3) Квадрат натурального числа может быть меньше 1.

4) Все простые числа – нечётные.

5) Любое число отлично от своего квадрата.

6) Существуют натуральные числа, сумма которых не превышает их разности.

Решение 2 (2023).

1) Исходное высказывание: «Число 1 – простое». Отрицанием этого высказывания является утверждение, что число 1 не является простым. По определению, простое число — это натуральное число больше 1, имеющее ровно два различных натуральных делителя. Число 1 имеет только один делитель, поэтому оно не простое.
Ответ: Число 1 не является простым.

2) Исходное высказывание: «Сумма $38 \cdot 15 + 27$ кратна 9». Отрицанием является утверждение, что данная сумма не кратна 9. Чтобы проверить это, вычислим значение выражения: $38 \cdot 15 + 27 = 570 + 27 = 597$. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа 597 равна $5 + 9 + 7 = 21$. Так как 21 не делится на 9, то и 597 не делится на 9.
Ответ: Сумма $38 \cdot 15 + 27$ не кратна 9.

3) Исходное высказывание: «Квадрат натурального числа может быть меньше 1». Это то же самое, что «существует натуральное число $n$, такое что $n^2 < 1$». Отрицанием этого будет: «Квадрат любого натурального числа не является меньше 1», что эквивалентно «Квадрат любого натурального числа больше или равен 1». Наименьшее натуральное число – это 1, его квадрат $1^2 = 1$. Для любого натурального числа $n > 1$, его квадрат $n^2$ будет больше 1. Таким образом, для любого натурального числа $n$ верно неравенство $n^2 \ge 1$.
Ответ: Квадрат любого натурального числа не меньше 1.

4) Исходное высказывание: «Все простые числа – нечётные». Это универсальное утверждение. Его отрицанием является утверждение о существовании исключения: «Существует простое число, которое не является нечётным», то есть «Существует чётное простое число». Таким числом является 2, так как оно простое и чётное.
Ответ: Существует простое число, которое является чётным.

5) Исходное высказывание: «Любое число отлично от своего квадрата». Это утверждение можно записать как: для любого числа $x$ верно $x \ne x^2$. Отрицанием будет: «Существует число, которое равно своему квадрату», то есть существует $x$ такой, что $x = x^2$. Решая уравнение $x^2 - x = 0$, или $x(x-1)=0$, находим два таких числа: $x=0$ и $x=1$.
Ответ: Существует число, которое равно своему квадрату.

6) Исходное высказывание: «Существуют натуральные числа, сумма которых не превышает их разности». То есть, существуют натуральные числа $a$ и $b$ такие, что $a+b \le |a-b|$. Отрицанием этого будет: «Для любых натуральных чисел их сумма превышает их разность». Проверим это. Пусть $a$ и $b$ – натуральные числа. Не умаляя общности, пусть $a \ge b$. Тогда неравенство $a+b > |a-b|$ примет вид $a+b > a-b$, что равносильно $2b > 0$. Так как $b$ – натуральное число, оно положительно, и неравенство верно.
Ответ: Сумма любых двух натуральных чисел больше их разности.

Условие 2010-2022.

167 Построй отрицания высказываний:

1) Число 1 – простое.

2) Сумма $38 \cdot 15 + 27$ кратна 9.

3) Квадрат натурального числа может быть меньше 1.

4) Все простые числа – нечетные.

5) Любое число отлично от своего квадрата.

6) Существуют натуральные числа, сумма которых не превышает их разности.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).