Номер 162, страница 42, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Отрицание утверждений с кванторами. Параграф 2. Переменная. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 162, страница 42.

Условие 2023.

162 1) Построй четырёхугольник $ABCD$, если $A(0; 2)$, $B(2; 6)$, $C(8; 8)$, $D(6; 4)$.
Найди координаты точки пересечения его диагоналей.

2) Измерь стороны и углы четырёхугольника $ABCD$.
Что ты замечаешь? Найди ещё как можно больше свойств этого четырёхугольника.

Решение 2 (2023).

1)

Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, найдем координаты середин его диагоналей AC и BD. Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляются по формулам:

$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Найдем середину диагонали AC, где A(0; 2) и C(8; 8). Обозначим эту точку как $O_1$.

$x_{O_1} = \frac{0 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_{O_1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, координаты середины AC: $O_1(4; 5)$.

Теперь найдем середину диагонали BD, где B(2; 6) и D(6; 4). Обозначим эту точку как $O_2$.

$x_{O_2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_{O_2} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, координаты середины BD: $O_2(4; 5)$.

Поскольку координаты середин диагоналей совпадают ($O_1 = O_2$), диагонали пересекаются в этой точке и делятся ею пополам. Это также доказывает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей (4; 5).

2)

Для нахождения свойств четырехугольника ABCD вычислим длины его сторон и величины углов.

Длину стороны (расстояние между двумя точками) найдем по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

• $AB = \sqrt{(2-0)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
• $BC = \sqrt{(8-2)^2 + (8-6)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
• $CD = \sqrt{(6-8)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
• $DA = \sqrt{(0-6)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

Что мы замечаем: Противоположные стороны четырехугольника попарно равны: $AB = CD$ и $BC = DA$. Это является признаком параллелограмма.

Найдем углы четырехугольника. Используя векторы и их скалярное произведение, можно точно вычислить углы. Например, для угла B, образованного векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{BA} = (0-2; 2-6) = (-2; -4)$

$\vec{BC} = (8-2; 8-6) = (6; 2)$

$\cos(\angle B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{(-2) \cdot 6 + (-4) \cdot 2}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{40}} = \frac{-12-8}{\sqrt{800}} = \frac{-20}{20\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Отсюда $\angle B = 135^{\circ}$.

Так как ABCD — параллелограмм, то его углы равны:

• $\angle B = \angle D = 135^{\circ}$
• $\angle A = \angle C = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$

Найдем еще свойства этого четырехугольника:

1. Это параллелограмм. Основное свойство, из которого вытекают остальные. Признаки: противоположные стороны попарно равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам.
2. Противоположные стороны параллельны. Можно проверить через угловые коэффициенты: $k_{AB} = \frac{6-2}{2-0} = 2$ и $k_{CD} = \frac{4-8}{6-8} = 2$. Так как $k_{AB}=k_{CD}$, то $AB \parallel CD$. Аналогично $k_{BC} = \frac{8-6}{8-2} = \frac{1}{3}$ и $k_{DA} = \frac{2-4}{0-6} = \frac{1}{3}$, т.е. $BC \parallel DA$.
3. Это не прямоугольник, так как его углы не равны $90^{\circ}$.
4. Это не ромб, так как его смежные стороны не равны ($AB \neq BC$, $\sqrt{20} \neq \sqrt{40}$).
5. Диагонали не равны. $AC = \sqrt{(8-0)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$. $BD = \sqrt{(6-2)^2 + (4-6)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$. $10 \neq \sqrt{20}$.

Ответ: Длины сторон: $AB = CD = \sqrt{20}$, $BC = DA = \sqrt{40}$. Углы: $\angle A = \angle C = 45^{\circ}$, $\angle B = \angle D = 135^{\circ}$. Основное свойство: четырехугольник ABCD является параллелограммом, который не является ни ромбом, ни прямоугольником.

Условие 2010-2022.

162 1) Построй четырехугольник $ABCD$, если $A(0; 2)$, $B(2; 6)$, $C(8; 8)$, $D(6; 4)$.

Найди координаты точки пересечения его диагоналей.

2) Измерь стороны и углы четырехугольника $ABCD$. Что ты замечаешь?

Найди еще как можно больше свойств этого четырехугольника.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).