Страница 37, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

132 Вычисли наиболее удобным способом. Какие свойства арифметических действий при этом использовались?

1) $(846 + 2008) + (17 992 + 154);$

2) $0,02 + 0,04 + 0,06 + \ldots + 0,98;$

3) $2,5 \cdot 7,89 \cdot 0,04 \cdot 100;$

4) $\frac{7}{18} \cdot (20 \cdot 16,2) \cdot (\frac{18}{7} \cdot 0,5);$

5) $(\frac{1}{8} + 1\frac{1}{16} - \frac{13}{24} + \frac{1}{3}) \cdot 48;$

6) $(9,09 + 999,9 + 900,09) : 9;$

7) $(1,5 \cdot 4,28 \cdot 0,04) : 4,28;$

8) $(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11) : (2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11);$

9) $(1\frac{3}{11} + 5\frac{2}{79} + 7\frac{8}{11}) - 4\frac{2}{79};$

10) $7\frac{3}{25} - (4\frac{3}{25} + 1\frac{5}{18}).$

1) Для вычисления наиболее удобным способом воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами сложения. Сгруппируем слагаемые так, чтобы их суммы были круглыми числами.
$(846 + 2008) + (17 992 + 154) = (846 + 154) + (2008 + 17 992) = 1000 + 20000 = 21000$.
Использовались сочетательное и переместительное свойства сложения.
Ответ: 21000.

2) Данная сумма представляет собой арифметическую прогрессию. Можно вынести общий множитель $0,02$ за скобки, используя распределительное свойство.
$0,02 + 0,04 + 0,06 + \dots + 0,98 = 0,02 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 49)$.
Сумму чисел от 1 до 49 найдем по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}$.
Здесь $a_1 = 1$, $a_{49} = 49$, $n=49$.
$S_{49} = \frac{(1+49) \cdot 49}{2} = \frac{50 \cdot 49}{2} = 25 \cdot 49 = 1225$.
Теперь умножим на вынесенный множитель: $0,02 \cdot 1225 = 24,5$.
Использовалось распределительное свойство умножения и формула суммы арифметической прогрессии.
Ответ: 24,5.

3) Воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами умножения, чтобы сгруппировать множители, произведение которых является круглым числом.
$2,5 \cdot 7,89 \cdot 0,04 \cdot 100 = 7,89 \cdot (2,5 \cdot 0,04 \cdot 100) = 7,89 \cdot (2,5 \cdot 4) = 7,89 \cdot 10 = 78,9$.
Использовались сочетательное и переместительное свойства умножения.
Ответ: 78,9.

4) Раскроем скобки и воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами умножения, чтобы сгруппировать взаимно обратные числа и числа, дающие в произведении круглое число.
$\frac{7}{18} \cdot (20 \cdot 16,2) \cdot (\frac{18}{7} \cdot 0,5) = (\frac{7}{18} \cdot \frac{18}{7}) \cdot (20 \cdot 0,5) \cdot 16,2 = 1 \cdot 10 \cdot 16,2 = 162$.
Использовались сочетательное и переместительное свойства умножения.
Ответ: 162.

5) Воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения и вычитания. Умножим каждый член в скобках на 48.
$(\frac{1}{8} + 1\frac{1}{16} - \frac{13}{24} + \frac{1}{3}) \cdot 48 = \frac{1}{8}\cdot48 + \frac{17}{16}\cdot48 - \frac{13}{24}\cdot48 + \frac{1}{3}\cdot48$.
$= 6 + 17\cdot3 - 13\cdot2 + 16 = 6 + 51 - 26 + 16 = 57 - 26 + 16 = 31 + 16 = 47$.
Использовалось распределительное свойство умножения.
Ответ: 47.

6) Используем распределительное свойство деления относительно сложения. Разделим каждое слагаемое в скобках на 9.
$(9,09 + 999,9 + 900,09) : 9 = 9,09:9 + 999,9:9 + 900,09:9 = 1,01 + 111,1 + 100,01 = 212,12$.
Использовалось распределительное свойство деления.
Ответ: 212,12.

7) Удобнее всего заметить, что один из множителей в скобках совпадает с делителем. На основе свойства частного $(a \cdot b \cdot c) : b = a \cdot c$, можно сократить одинаковые числа.
$(1,5 \cdot 4,28 \cdot 0,04) : 4,28 = (1,5 \cdot 0,04) \cdot (4,28 : 4,28) = 1,5 \cdot 0,04 \cdot 1 = 0,06$.
Использовалось свойство деления произведения на число.
Ответ: 0,06.

8) Представим деление в виде дроби и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе, используя основное свойство дроби.
$(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11) : (2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11) = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11}{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11}$.
Сокращаем общие множители: один множитель 2, два множителя 3 и один множитель 11.
Остается: $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.
Использовалось основное свойство дроби.
Ответ: 70.

9) Раскроем скобки и применим переместительное и сочетательное свойства сложения, чтобы сгруппировать числа с одинаковыми знаменателями.
$(1\frac{3}{11} + 5\frac{2}{79} + 7\frac{8}{11}) - 4\frac{2}{79} = 1\frac{3}{11} + 5\frac{2}{79} + 7\frac{8}{11} - 4\frac{2}{79} = (1\frac{3}{11} + 7\frac{8}{11}) + (5\frac{2}{79} - 4\frac{2}{79})$.
Вычисляем первую скобку: $1\frac{3}{11} + 7\frac{8}{11} = 8\frac{11}{11} = 9$.
Вычисляем вторую скобку: $5\frac{2}{79} - 4\frac{2}{79} = 1$.
Складываем результаты: $9 + 1 = 10$.
Использовались сочетательное и переместительное свойства сложения.
Ответ: 10.

10) Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак "минус", знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные. Затем сгруппируем числа с одинаковыми знаменателями.
$7\frac{3}{25} - (4\frac{3}{25} + 1\frac{5}{18}) = 7\frac{3}{25} - 4\frac{3}{25} - 1\frac{5}{18}$.
Сгруппируем: $(7\frac{3}{25} - 4\frac{3}{25}) - 1\frac{5}{18} = 3 - 1\frac{5}{18}$.
$3 - 1\frac{5}{18} = 2\frac{18}{18} - 1\frac{5}{18} = 1\frac{13}{18}$.
Использовалось правило раскрытия скобок и сочетательное свойство вычитания.
Ответ: $1\frac{13}{18}$.

132 Вычисли наиболее удобным способом. Какие свойства арифметических действий при этом использовались?

1) $(8.46 + 2.008) + (17.992 + 1.54);$

2) $0.02 + 0.04 + 0.06 + \dots + 0.98;$

3) $2.5 \cdot 7.89 \cdot 0.04 \cdot 100;$

4) $\frac{7}{18} \cdot (20 \cdot 16.2) \cdot (\frac{18}{7} \cdot 0.5);$

5) $(\frac{1}{8} + 1\frac{1}{16} - \frac{13}{24} + \frac{1}{3}) \cdot 48;$

6) $(9.09 + 999.9 + 900.09) : 9;$

7) $(1.5 \cdot 4.28 \cdot 0.04) : 4.28;$

8) $(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11) : (2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11);$

9) $(1\frac{3}{11} + 5\frac{2}{79} + 7\frac{8}{11}) - 4\frac{2}{79};$

10) $7\frac{3}{25} - (4\frac{3}{25} + 1\frac{5}{18}).$

133 Построй математическую модель задачи и найди ответ.

1) Возраст младшей сестры на 5 лет меньше возраста средней и в 5 раз меньше возраста старшей. Сколько лет каждой сестре, если всем вместе им 19 лет?

2) Сестра на 4 года младше брата и вчетверо младше матери, а брат вчетверо младше отца. Сколько лет каждому, если всем четверым вместе 100 лет?

1)

Построим математическую модель. Пусть $x$ — это возраст младшей сестры.Из условия задачи известно, что возраст младшей сестры на 5 лет меньше возраста средней. Это значит, что средняя сестра на 5 лет старше младшей, и ее возраст составляет $x + 5$ лет.Также известно, что возраст младшей сестры в 5 раз меньше возраста старшей. Это значит, что старшая сестра в 5 раз старше младшей, и ее возраст составляет $5x$ лет.Сумма возрастов всех сестер равна 19 лет. Составим уравнение:

$x + (x + 5) + 5x = 19$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:Сложим все члены с $x$:$x + x + 5x = 7x$

Уравнение примет вид:$7x + 5 = 19$

Перенесем 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:$7x = 19 - 5$$7x = 14$

Разделим обе части уравнения на 7:$x = 14 / 7$$x = 2$

Итак, возраст младшей сестры — 2 года.Теперь найдем возраст остальных сестер:

• Возраст средней сестры: $x + 5 = 2 + 5 = 7$ лет.
• Возраст старшей сестры: $5x = 5 \cdot 2 = 10$ лет.

Проверим, равна ли сумма их возрастов 19: $2 + 7 + 10 = 19$. Условие выполняется.

Ответ: младшей сестре 2 года, средней сестре 7 лет, старшей сестре 10 лет.

2)

Построим математическую модель. Пусть $x$ — это возраст сестры.Из условия задачи известно, что сестра на 4 года младше брата. Это значит, что брат на 4 года старше сестры, и его возраст составляет $x + 4$ лет.Сестра вчетверо младше матери, значит, мать в 4 раза старше сестры, и ее возраст составляет $4x$ лет.Брат вчетверо младше отца, значит, отец в 4 раза старше брата. Возраст брата $x + 4$, следовательно, возраст отца составляет $4 \cdot (x + 4)$ лет.Сумма возрастов всех четверых равна 100 лет. Составим уравнение:

$x + (x + 4) + 4x + 4(x + 4) = 100$

Теперь решим это уравнение:Раскроем скобки:$x + x + 4 + 4x + 4x + 16 = 100$

Сгруппируем и сложим подобные члены (переменные с переменными, числа с числами):$(x + x + 4x + 4x) + (4 + 16) = 100$$10x + 20 = 100$

Перенесем 20 в правую часть уравнения:$10x = 100 - 20$$10x = 80$

Разделим обе части на 10:$x = 80 / 10$$x = 8$

Итак, возраст сестры — 8 лет.Теперь найдем возраст остальных членов семьи:

• Возраст брата: $x + 4 = 8 + 4 = 12$ лет.
• Возраст матери: $4x = 4 \cdot 8 = 32$ года.
• Возраст отца: $4 \cdot (x + 4) = 4 \cdot (8 + 4) = 4 \cdot 12 = 48$ лет.

Проверим, равна ли сумма их возрастов 100: $8 + 12 + 32 + 48 = 20 + 80 = 100$. Условие выполняется.

Ответ: сестре 8 лет, брату 12 лет, матери 32 года, отцу 48 лет.

133 Построй математическую модель задачи и найди ответ:

1) Возраст младшей сестры на 5 лет меньше возраста средней и в 5 раз меньше возраста старшей. Сколько лет каждой сестре, если всем вместе им 19 лет?

2) Сестра на 4 года младше брата и вчетверо младше матери, а брат вчетверо младше отца. Сколько лет каждому, если всем четверым вместе 100 лет?

D 134

Запиши утверждения, используя кванторы $\forall$ и $\exists$.

1) У всех птиц есть крылья.

2) Рост жирафа может достигать 6 м.

3) Любой квадрат является прямоугольником.

4) Некоторые прямоугольники являются квадратами.

5) Среди составных чисел есть взаимно простые числа.

6) Все простые числа взаимно просты.

1) У всех птиц есть крылья.

Данное утверждение является утверждением общности, поскольку слово "всех" указывает на то, что указанное свойство (наличие крыльев) присуще каждому представителю множества "птицы". Для записи таких утверждений используется квантор всеобщности $\forall$ (читается "для любого", "для каждого", "для всякого").

Ответ: ($\forall$ птица $x$) ($x$ имеет крылья).

2) Рост жирафа может достигать 6 м.

Фраза "может достигать" означает, что существует по крайней мере один жираф, рост которого равен 6 метрам. Это утверждение о существовании, для записи которого используется квантор существования $\exists$ (читается "существует", "найдется").

Ответ: ($\exists$ жираф $ж$) (рост $ж$ равен 6 м).

3) Любой квадрат является прямоугольником.

Слово "любой" указывает, что утверждение верно для всех без исключения квадратов. Это утверждение общности, поэтому для его записи используется квантор всеобщности $\forall$.

Ответ: ($\forall$ квадрат $k$) ($k$ является прямоугольником).

4) Некоторые прямоугольники являются квадратами.

Слово "некоторые" означает, что найдется хотя бы один прямоугольник, который также является квадратом. Это утверждение существования, для записи которого используется квантор существования $\exists$.

Ответ: ($\exists$ прямоугольник $p$) ($p$ является квадратом).

5) Среди составных чисел есть взаимно простые числа.

Словосочетание "есть числа" указывает на существование как минимум одной пары составных чисел, которые являются взаимно простыми. Взаимно простые числа — это числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен 1. Для записи этого утверждения существования используется квантор $\exists$.

Ответ: ($\exists$ составные числа $a, b$) ($\text{НОД}(a, b) = 1$).

6) Все простые числа взаимно просты.

Это утверждение общности, которое чаще всего понимают так, что любые два различных простых числа являются взаимно простыми. Для его записи используется квантор всеобщности $\forall$. Утверждение относится к паре чисел.

Ответ: ($\forall$ простые числа $p, q$, где $p \neq q$) ($\text{НОД}(p, q) = 1$).

D 134 Запиши утверждения, используя кванторы $ \forall $ и $ \exists $:

1) У всех птиц есть крылья.

2) Рост жирафа может достигать 6 метров.

3) Любой квадрат является прямоугольником.

4) Некоторые прямоугольники являются квадратами.

5) Среди составных чисел есть взаимно простые числа.

6) Все простые числа взаимно просты.

135 Переведи утверждения с математического языка на русский и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных утверждений.

1) $ \exists a \in N: 5a + 3 = 18; $

2) $ \exists b \in N: b < 1; $

3) $ \forall m, n \in N: mn \ge m \text{ и } mn \ge n; $

4) $ \forall x, y \in N: x = 5y. $

1) $ \exists a \in \mathbb{N}: 5a + 3 = 18 $

Перевод на русский язык: "Существует такое натуральное число $a$, что выполняется равенство $5a + 3 = 18$".

Проверка истинности: Чтобы определить, истинно ли это утверждение, нужно проверить, есть ли среди натуральных чисел корень уравнения $5a + 3 = 18$.
Решим уравнение:

$5a = 18 - 3$

$5a = 15$

$a = 15 / 5$

$a = 3$

Мы получили $a=3$. Число 3 является натуральным числом ($3 \in \mathbb{N}$). Следовательно, такое число $a$ существует, и утверждение является истинным.

Ответ: утверждение истинно.

2) $ \exists b \in \mathbb{N}: b < 1 $

Перевод на русский язык: "Существует такое натуральное число $b$, которое меньше 1".

Проверка истинности: Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ — это множество $\{1, 2, 3, ...\}$. Самое маленькое натуральное число — это 1. Нет ни одного натурального числа, которое было бы меньше 1. Следовательно, утверждение является ложным.

Построение отрицания: Так как утверждение ложно, построим его отрицание. Отрицанием для высказывания с квантором существования ($\exists$) является высказывание с квантором всеобщности ($\forall$), в котором свойство отрицается.

Математическая форма отрицания: $ \forall b \in \mathbb{N}: \neg(b < 1) $, что равносильно $ \forall b \in \mathbb{N}: b \ge 1 $.
Отрицание на русском языке: "Любое натуральное число $b$ больше или равно 1".

Ответ: утверждение ложно. Отрицание: $ \forall b \in \mathbb{N}: b \ge 1 $ (любое натуральное число больше или равно 1).

3) $ \forall m, n \in \mathbb{N}: mn \ge m \text{ и } mn \ge n $

Перевод на русский язык: "Для любых натуральных чисел $m$ и $n$ их произведение больше или равно каждому из них".

Проверка истинности: Возьмём любые два натуральных числа $m$ и $n$. По определению, $m \ge 1$ и $n \ge 1$.
Рассмотрим первое неравенство: $mn \ge m$. Так как $m$ — натуральное число, $m > 0$, мы можем разделить обе части на $m$, не меняя знака неравенства: $n \ge 1$. Это верно для любого натурального числа $n$.
Рассмотрим второе неравенство: $mn \ge n$. Так как $n$ — натуральное число, $n > 0$, мы можем разделить обе части на $n$: $m \ge 1$. Это верно для любого натурального числа $m$.
Поскольку оба условия выполняются для любых натуральных $m$ и $n$, утверждение является истинным.

Ответ: утверждение истинно.

4) $ \forall x, y \in \mathbb{N}: x = 5y $

Перевод на русский язык: "Для любых натуральных чисел $x$ и $y$ выполняется равенство $x = 5y$".

Проверка истинности: Утверждение с квантором всеобщности является истинным, только если оно выполняется для всех без исключения элементов указанного множества. Чтобы доказать его ложность, достаточно найти хотя бы один контрпример.
Возьмём, например, $x=1, y=1$. Оба числа являются натуральными. Проверим равенство: $1 = 5 \cdot 1$. Это неверно, так как $1 \ne 5$.
Поскольку мы нашли пару натуральных чисел, для которых равенство не выполняется, утверждение является ложным.

Построение отрицания: Так как утверждение ложно, построим его отрицание. Отрицанием для высказывания с квантором всеобщности ($\forall$) является высказывание с квантором существования ($\exists$), в котором свойство отрицается.

Математическая форма отрицания: $ \exists x, y \in \mathbb{N}: \neg(x = 5y) $, что равносильно $ \exists x, y \in \mathbb{N}: x \ne 5y $.
Отрицание на русском языке: "Существуют такие натуральные числа $x$ и $y$, что $x$ не равен $5y$".

Ответ: утверждение ложно. Отрицание: $ \exists x, y \in \mathbb{N}: x \ne 5y $ (существуют такие натуральные числа $x$ и $y$, что $x$ не равен $5y$).

135 Переведи утверждения с математического языка на русский и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных утверждений.

1) $\exists a \in N: 5a + 3 = 18;$

2) $\exists b \in N: b < 1;$

3) $\forall m, n \in N: mn \ge m \text{ и } mn \ge n;$

4) $\forall x, y \in N: x = 5y.$

136 1) В число 1*25* подставь вместо звёздочек цифры так, чтобы полученное число делилось на 15. Укажи все возможные решения.

2) При каких натуральных значениях $a$ и $b$ значение выражения $5a + 3b$:

а) кратно 3;

б) кратно 5;

в) кратно 15;

г) не кратно 3;

д) не кратно 5?

1)

Чтобы число делилось на 15, оно должно одновременно делиться на 3 и на 5. Обозначим искомое число в виде $1x25y$, где $x$ и $y$ — это цифры, которые нужно подставить вместо звёздочек.

Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5. Таким образом, цифра $y$ может быть либо 0, либо 5.

Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма цифр нашего числа равна $1 + x + 2 + 5 + y = 8 + x + y$.

Рассмотрим два возможных случая для цифры $y$.

Случай 1: последняя цифра $y = 0$.

Число имеет вид $1x250$. Сумма его цифр равна $8 + x + 0 = 8 + x$. Эта сумма должна быть кратна 3. Подбираем возможные значения для $x$ (от 0 до 9):

• Если $x = 1$, сумма цифр $8 + 1 = 9$. $9$ делится на 3. Получаем число 11250.
• Если $x = 4$, сумма цифр $8 + 4 = 12$. $12$ делится на 3. Получаем число 14250.
• Если $x = 7$, сумма цифр $8 + 7 = 15$. $15$ делится на 3. Получаем число 17250.

Случай 2: последняя цифра $y = 5$.

Число имеет вид $1x255$. Сумма его цифр равна $8 + x + 5 = 13 + x$. Эта сумма должна быть кратна 3. Подбираем возможные значения для $x$ (от 0 до 9):

• Если $x = 2$, сумма цифр $13 + 2 = 15$. $15$ делится на 3. Получаем число 12255.
• Если $x = 5$, сумма цифр $13 + 5 = 18$. $18$ делится на 3. Получаем число 15255.
• Если $x = 8$, сумма цифр $13 + 8 = 21$. $21$ делится на 3. Получаем число 18255.

Ответ: 11250, 14250, 17250, 12255, 15255, 18255.

2)

Анализируем выражение $5a + 3b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа.

а) кратно 3

Чтобы сумма $5a + 3b$ была кратна 3, необходимо, чтобы каждое слагаемое было кратно 3, либо их сумма давала число, кратное 3. Слагаемое $3b$ всегда делится на 3, так как один из множителей равен 3. Следовательно, слагаемое $5a$ также должно делиться на 3. Так как 5 не делится на 3, то $a$ должно быть кратно 3. Значение $b$ может быть любым натуральным числом.

Ответ: при любых натуральных $b$ и любых натуральных $a$, кратных 3.

б) кратно 5

Чтобы сумма $5a + 3b$ была кратна 5, рассмотрим слагаемые. Слагаемое $5a$ всегда делится на 5, так как содержит множитель 5. Следовательно, слагаемое $3b$ также должно делиться на 5. Так как 3 не делится на 5, то $b$ должно быть кратно 5. Значение $a$ может быть любым натуральным числом.

Ответ: при любых натуральных $a$ и любых натуральных $b$, кратных 5.

в) кратно 15

Чтобы выражение было кратно 15, оно должно быть кратно и 3, и 5. Из пункта (а) мы знаем, что для делимости на 3, $a$ должно быть кратно 3. Из пункта (б) мы знаем, что для делимости на 5, $b$ должно быть кратно 5. Оба эти условия должны выполняться одновременно.

Ответ: при натуральных $a$, кратных 3, и натуральных $b$, кратных 5.

г) не кратно 3

Сумма $5a + 3b$ не делится на 3, если слагаемое $5a$ не делится на 3 (поскольку $3b$ всегда делится на 3). Это условие выполняется, если $a$ не кратно 3. Значение $b$ может быть любым натуральным числом.

Ответ: при любых натуральных $b$ и любых натуральных $a$, не кратных 3.

д) не кратно 5

Сумма $5a + 3b$ не делится на 5, если слагаемое $3b$ не делится на 5 (поскольку $5a$ всегда делится на 5). Это условие выполняется, если $b$ не кратно 5. Значение $a$ может быть любым натуральным числом.

Ответ: при любых натуральных $a$ и любых натуральных $b$, не кратных 5.

136 1) В число 1*25* подставь вместо звездочек цифры так, чтобы полученное число делилось на 15. Укажи все возможные решения.

2) При каких натуральных значениях $a$ и $b$ значение выражения $5a + 3b$:

а) кратно 3;

б) кратно 5;

в) кратно 15;

г) не кратно 3;

д) не кратно 5?

137 Реши уравнения:

1) $2.5x - x + 3.8x + 0.7x = 0.54$;

2) $3\frac{1}{4} + \frac{1}{2}y + 1\frac{1}{3} + \frac{5}{6}y = 5\frac{11}{12}$.

1) $2,5x - x + 3,8x + 0,7x = 0,54$

Для решения этого уравнения сначала упростим левую часть, сложив все коэффициенты при переменной $x$. Помним, что $-x$ эквивалентно $-1x$.

$(2,5 - 1 + 3,8 + 0,7)x = 0,54$

Выполним вычисления в скобках:

$2,5 - 1 = 1,5$

$1,5 + 3,8 = 5,3$

$5,3 + 0,7 = 6$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$6x = 0,54$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:

$x = 0,54 : 6$

$x = 0,09$

Ответ: $x = 0,09$.

2) $3\frac{1}{4} + \frac{1}{2}y + 1\frac{1}{3} + \frac{5}{6}y = 5\frac{11}{12}$

Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $y$ и числовые слагаемые (свободные члены).

$(\frac{1}{2}y + \frac{5}{6}y) + (3\frac{1}{4} + 1\frac{1}{3}) = 5\frac{11}{12}$

Сложим коэффициенты при $y$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6.

$\frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{5}{6} = \frac{3}{6} + \frac{5}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Таким образом, сумма слагаемых с $y$ равна $\frac{4}{3}y$.

Теперь сложим числовые слагаемые. Приведем дробные части к общему знаменателю 12.

$3\frac{1}{4} + 1\frac{1}{3} = 3\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + 1\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = 3\frac{3}{12} + 1\frac{4}{12} = 4\frac{7}{12}$

Подставим полученные значения в уравнение:

$\frac{4}{3}y + 4\frac{7}{12} = 5\frac{11}{12}$

Перенесем $4\frac{7}{12}$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$\frac{4}{3}y = 5\frac{11}{12} - 4\frac{7}{12}$

$\frac{4}{3}y = 1\frac{4}{12}$

Сократим дробную часть: $1\frac{4}{12} = 1\frac{1}{3}$.

$\frac{4}{3}y = 1\frac{1}{3}$

Представим смешанное число $1\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Получаем уравнение:

$\frac{4}{3}y = \frac{4}{3}$

Разделим обе части уравнения на $\frac{4}{3}$:

$y = \frac{4}{3} : \frac{4}{3}$

$y = 1$

Ответ: $y = 1$.

137 Реши уравнения:

1) $2,5x - x + 3,8x + 0,7x = 0,54$;

2) $3\frac{1}{4} + \frac{1}{2}y + 1\frac{1}{3} + \frac{5}{6}y = 5\frac{11}{12}$.

138 Построй математическую модель задачи и найди ответ.

Сумма трёх чисел равна 18. Первое число в 3,5 раза больше второго, а третье - на 4,8 больше второго. Найти эти числа.

Для построения математической модели задачи обозначим второе число переменной $x$.

Исходя из условия, первое число в 3,5 раза больше второго, значит, его можно выразить как $3.5x$.

Третье число на 4,8 больше второго, следовательно, оно равно $x + 4.8$.

Сумма этих трёх чисел равна 18. Составим уравнение, которое будет математической моделью задачи:

Первое число + Второе число + Третье число = 18

$3.5x + x + (x + 4.8) = 18$

Теперь решим это уравнение. Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$:

$(3.5 + 1 + 1)x + 4.8 = 18$

$5.5x + 4.8 = 18$

Перенесём 4,8 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$5.5x = 18 - 4.8$

$5.5x = 13.2$

Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 5,5:

$x = \frac{13.2}{5.5} = \frac{132}{55}$

$x = 2.4$

Мы нашли второе число. Теперь найдём первое и третье числа, подставив значение $x$.

Второе число: $x = 2.4$

Первое число: $3.5x = 3.5 \times 2.4 = 8.4$

Третье число: $x + 4.8 = 2.4 + 4.8 = 7.2$

Выполним проверку: $8.4 + 2.4 + 7.2 = 10.8 + 7.2 = 18$. Сумма верна.

Ответ: 8,4; 2,4; 7,2.

138 Построй математическую модель задачи и найди ответ:

Сумма трех чисел равна 18. Первое число в 3,5 раза больше второго, а третье – на 4,8 больше второго. Найти эти числа.

139 1) $(2.073 \cdot 5.82 + 4.18 \cdot 2.073 + 2.073 \cdot 90) : 2.073 \cdot 0.55.$

2) $(1.25 \cdot 2.04 \cdot 7.7) : (0.25 \cdot 1.02 \cdot 11).$

1) Для решения примера $(2,073 \cdot 5,82 + 4,18 \cdot 2,073 + 2,073 \cdot 90) : 2,073 \cdot 0,55$ воспользуемся распределительным свойством умножения. Вынесем общий множитель $2,073$ за скобки в первом выражении.
$2,073 \cdot 5,82 + 4,18 \cdot 2,073 + 2,073 \cdot 90 = 2,073 \cdot (5,82 + 4,18 + 90)$
Теперь выполним сложение в скобках:
$5,82 + 4,18 + 90 = 10 + 90 = 100$
Теперь исходное выражение можно переписать в виде:
$(2,073 \cdot 100) : 2,073 \cdot 0,55$
Выполним действия по порядку слева направо:
1. $(2,073 \cdot 100) : 2,073 = 100$
2. $100 \cdot 0,55 = 55$
Ответ: 55

2) Для решения примера $(1,25 \cdot 2,04 \cdot 7,7) : (0,25 \cdot 1,02 \cdot 11)$ представим деление в виде дроби:
$\frac{1,25 \cdot 2,04 \cdot 7,7}{0,25 \cdot 1,02 \cdot 11}$
Теперь можно сгруппировать множители и сократить их:
$\frac{1,25}{0,25} \cdot \frac{2,04}{1,02} \cdot \frac{7,7}{11}$
Вычислим значение каждой дроби по отдельности:
1. $\frac{1,25}{0,25} = 5$
2. $\frac{2,04}{1,02} = 2$
3. $\frac{7,7}{11} = 0,7$
Теперь перемножим полученные результаты:
$5 \cdot 2 \cdot 0,7 = 10 \cdot 0,7 = 7$
Ответ: 7

139 1) $(2.073 \cdot 5.82 + 4.18 \cdot 2.073 + 2.073 \cdot 90) \div 2.073 \cdot 0.55.$

2) $(1.25 \cdot 2.04 \cdot 7.7) \div (0.25 \cdot 1.02 \cdot 11).$

142 В таблице показана зависимость скорости $v$ м/с течения реки на отдельных участках от площади поперечного сечения $P$ м${}^2$ на этих участках. Построй формулу зависимости $v$ от $P$ и её график.

$P$ м${}^2$ 120 80 60 48 40 30 24 20

$v$ м/с 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1 1,2

Формула зависимости v от P

Для того чтобы найти формулу, выражающую зависимость скорости течения $v$ (в м/с) от площади поперечного сечения $P$ (в м²), проанализируем данные из таблицы. Можно заметить, что по мере уменьшения площади $P$, скорость $v$ возрастает. Такое поведение характерно для обратной пропорциональности, которая описывается формулой вида $v = \frac{k}{P}$, или $P \cdot v = k$, где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности.

Чтобы проверить эту гипотезу, вычислим произведение $P \cdot v$ для всех пар значений, приведенных в таблице:

$120 \cdot 0,2 = 24$
$80 \cdot 0,3 = 24$
$60 \cdot 0,4 = 24$
$48 \cdot 0,5 = 24$
$40 \cdot 0,6 = 24$
$30 \cdot 0,8 = 24$
$24 \cdot 1 = 24$
$20 \cdot 1,2 = 24$

Произведение $P \cdot v$ для всех пар значений постоянно и равно 24. Это подтверждает, что зависимость является обратно пропорциональной, а коэффициент $k = 24$. С физической точки зрения этот коэффициент представляет собой объемный расход воды в реке (объем воды, протекающей через поперечное сечение в единицу времени), измеряемый в м³/с.

Таким образом, искомая формула зависимости скорости от площади поперечного сечения имеет вид: $v = \frac{24}{P}$.

Ответ: $v = \frac{24}{P}$

График зависимости v от P

Графиком функции $v(P) = \frac{24}{P}$ является гипербола. Поскольку и площадь $P$, и скорость $v$ могут принимать только положительные значения, график будет расположен в первой координатной четверти.

Для построения графика воспользуемся точками из таблицы: (120; 0,2), (80; 0,3), (60; 0,4), (48; 0,5), (40; 0,6), (30; 0,8), (24; 1), (20; 1,2). Построим систему координат, отложив по горизонтальной оси (оси абсцисс) значения площади $P$ (в м²), а по вертикальной оси (оси ординат) — значения скорости $v$ (в м/с). Затем отметим на координатной плоскости данные точки и соединим их плавной кривой.

Ответ: График зависимости $v$ от $P$ — это ветвь гиперболы, которая изображена на рисунке выше.

142 На рисунке показано, как изменялся рост брата и сестры в первые 22 года жизни (черная линия – график роста брата, а цветная – график роста сестры).

Рост в см

Возраст в годах

1) Какой был их рост при рождении, в 5 лет, в 16 лет, в 18 лет, в 20 лет?

2) В каком возрасте каждый из них достиг роста 120 см, 150 см, 190 см?

3) Кто был выше в 10 лет и на сколько сантиметров?

4) В каком возрасте брат был выше сестры, сестра была выше брата? Когда рост их был одинаков?

5) На сколько вырос каждый из них в первые 5 лет жизни, в период с 16 до 20 лет?

143 Для классного часа «Наши увлечения» шестиклассники провели в своём классе анкетирование. По его результатам они построили диаграмму.

Количество ответов: 8, 16, 24.

а) Я занимаюсь музыкой (танцами).

б) Я регулярно занимаюсь спортом.

в) Мне нравятся компьютерные игры.

г) Я люблю смотреть фильмы (мультфильмы).

д) Я люблю слушать музыку.

е) Я люблю читать.

ж) Мне нравится ходить в театр.

з) Я люблю путешествовать.

Используя диаграмму, ответь на вопросы.

1) Сколько учеников любят читать, заниматься спортом?

2) Чем меньше всего любят заниматься эти школьники этого класса?

3) Назови два самых популярных увлечения ребят.

4) Какими занятиями увлекается одинаковое число ребят?

5) Как ты думаешь, есть ли в этом классе ученики, которые имеют более одного увлечения?

1) Чтобы определить, сколько учеников любят читать и заниматься спортом, необходимо найти на диаграмме столбцы, соответствующие этим увлечениям, и определить их высоту по вертикальной оси «Количество ответов».

• Увлечение «Я люблю читать» обозначено буквой «е». Высота соответствующего столбца находится на отметке 6. Следовательно, 6 учеников любят читать.
• Увлечение «Я регулярно занимаюсь спортом» обозначено буквой «б». Высота этого столбца достигает отметки 19. Следовательно, 19 учеников занимаются спортом.

Ответ: Читать любят 6 учеников, а заниматься спортом – 19 учеников.

2) Чтобы найти наименее популярное увлечение, нужно найти самый низкий столбец на диаграмме. Самый низкий столбец соответствует букве «ж» («Мне нравится ходить в театр»), и его высота равна 4. Это означает, что данное увлечение выбрали наименьшее количество учеников.

Ответ: Меньше всего школьники этого класса любят ходить в театр.

3) Для определения двух самых популярных увлечений необходимо найти два самых высоких столбца на диаграмме.

• Самый высокий столбец соответствует букве «в» («Мне нравятся компьютерные игры»), его высота – 24 ответа.
• Второй по высоте столбец соответствует букве «з» («Я люблю путешествовать»), его высота – 22 ответа.

Ответ: Два самых популярных увлечения – это компьютерные игры и путешествия.

4) Чтобы найти занятия, которыми увлекается одинаковое число ребят, нужно найти на диаграмме столбцы одинаковой высоты. Столбцы, обозначенные буквами «б» («Я регулярно занимаюсь спортом») и «г» («Я люблю смотреть фильмы»), имеют одинаковую высоту, равную 19.

Ответ: Одинаковое число ребят (по 19 человек) увлекается спортом и просмотром фильмов.

5) Чтобы ответить на этот вопрос, просуммируем количество ответов по всем увлечениям. Это позволит нам оценить, мог ли каждый ученик выбрать только один вариант.
Сумма всех ответов: $8 + 19 + 24 + 19 + 16 + 6 + 4 + 22 = 118$ ответов.
Обычно в классе учится около 25–30 человек. Так как общее количество ответов (118) значительно больше типичного числа учеников в классе, можно с уверенностью утверждать, что большинство учеников выбрали несколько увлечений. Если бы каждый ученик имел только одно увлечение, общее количество ответов было бы равно числу учеников в классе.

Ответ: Да, в этом классе определенно есть ученики, которые имеют более одного увлечения, так как общее количество ответов (118) намного превышает возможное количество учеников в одном классе.

143 Производительность трубы, через которую вода поступает в бассейн, равна $2 \text{ м}^3/\text{мин}$. Построй формулу зависимости объема налитой воды $V \text{ м}^3$ от времени работы трубы $t \text{ мин}$. Заполни таблицу и построй график этой зависимости.

t мин: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

V м³: (пустые ячейки)

144 В шестых классах школы всего 120 учеников. После контрольной работы учитель занёс её результаты в таблицу. Построй по этой таблице круговую диаграмму «Результаты контрольной работы».

Результат Оценка «5» Оценка «4» Оценка «3» Оценка «2» Отсутствовали

Количество учеников 30 45 25 10 10

Для построения круговой диаграммы необходимо найти, какую часть от всего круга (который составляет $360^\circ$) занимает каждая категория результатов. Всего в шестых классах 120 учеников, что соответствует полному кругу в $360^\circ$.

Сначала вычислим, сколько градусов на диаграмме соответствует одному ученику:

$ \frac{360^\circ}{120 \text{ учеников}} = 3^\circ \text{ на ученика} $

Теперь рассчитаем величину центрального угла для каждого сектора диаграммы.

Оценка «5»

Оценку «5» получили 30 учеников. Угол сектора для этой группы составляет:

$ 30 \text{ учеников} \times 3^\circ/\text{ученик} = 90^\circ $

Ответ: Угол сектора для оценки «5» равен $90^\circ$.

Оценка «4»

Оценку «4» получили 45 учеников. Угол сектора для этой группы составляет:

$ 45 \text{ учеников} \times 3^\circ/\text{ученик} = 135^\circ $

Ответ: Угол сектора для оценки «4» равен $135^\circ$.

Оценка «3»

Оценку «3» получили 25 учеников. Угол сектора для этой группы составляет:

$ 25 \text{ учеников} \times 3^\circ/\text{ученик} = 75^\circ $

Ответ: Угол сектора для оценки «3» равен $75^\circ$.

Оценка «2»

Оценку «2» получили 10 учеников. Угол сектора для этой группы составляет:

$ 10 \text{ учеников} \times 3^\circ/\text{ученик} = 30^\circ $

Ответ: Угол сектора для оценки «2» равен $30^\circ$.

Отсутствовали

На контрольной работе отсутствовали 10 учеников. Угол сектора для этой группы составляет:

$ 10 \text{ учеников} \times 3^\circ/\text{ученик} = 30^\circ $

Ответ: Угол сектора для отсутствовавших равен $30^\circ$.

Для проверки сложим все полученные углы: $ 90^\circ + 135^\circ + 75^\circ + 30^\circ + 30^\circ = 360^\circ $, что составляет полный круг.

Ниже представлена круговая диаграмма «Результаты контрольной работы», построенная на основе этих вычислений.

144 В таблице показана зависимость скорости $v \text{ м/с}$ течения реки на отдельных участках от площади поперечного сечения $P \text{ м}^2$ на этих участках. Построй формулу зависимости $v$ от $P$ и ее график.

165. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если цифры в записи числа:

а) не повторяются;

б) могут повторяться?

Для решения данной задачи используются основные принципы комбинаторики.

а) не повторяются;

В этом случае нам нужно составить трёхзначные числа из пяти цифр {1, 2, 3, 4, 5} так, чтобы все цифры в числе были различны. Это задача на размещения без повторений.

Рассмотрим выбор цифр для каждой позиции в трёхзначном числе:

• На первую позицию (сотни) можно выбрать любую из 5 доступных цифр.
• После выбора первой цифры, для второй позиции (десятки) остаётся 4 варианта, так как одна цифра уже использована.
• Для третьей позиции (единицы) остаётся 3 варианта, так как две цифры уже использованы.

По правилу умножения, общее количество таких чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$N = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Также можно использовать формулу для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=5$ и $k=3$:

$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$.

Ответ: 60.

б) могут повторяться?

В этом случае цифры в записи числа могут быть одинаковыми. Это задача на размещения с повторениями.

Для каждой из трёх позиций в числе мы можем выбрать любую из пяти доступных цифр:

• На первую позицию (сотни) есть 5 вариантов выбора.
• На вторую позицию (десятки) также есть 5 вариантов, так как повторения разрешены.
• На третью позицию (единицы) — снова 5 вариантов.

По правилу умножения, общее количество таких чисел равно:

$N = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$.

Это соответствует формуле для числа размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$: $\bar{A}_n^k = n^k$. В нашем случае $n=5$ и $k=3$:

$\bar{A}_5^3 = 5^3 = 125$.

Ответ: 125.

165 Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если цифры в записи числа:

а) не повторяются;

б) могут повторяться?

166. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 8 и 0, если цифры в записи числа

а) не повторяются;

б) могут повторяться?

Даны цифры: 2, 4, 6, 8, 0. Всего 5 цифр. Нужно составить различные трёхзначные числа.

а) не повторяются

Трёхзначное число состоит из трёх цифр. Будем выбирать их последовательно.

1. Первая цифра (разряд сотен): Не может быть 0, иначе число не будет трёхзначным. Значит, на первое место можно выбрать любую из цифр {2, 4, 6, 8}. Всего 4 варианта.

2. Вторая цифра (разряд десятков): Может быть любой из оставшихся цифр. Так как одна цифра уже выбрана для сотен, а всего цифр 5, то осталось 4 варианта. Например, если первой была цифра 2, то для второй остаются {0, 4, 6, 8}.

3. Третья цифра (разряд единиц): Две цифры уже использованы. Из 5 исходных цифр осталось 3. Значит, для третьей цифры есть 3 варианта.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции (правило произведения в комбинаторике):

$N = 4 \times 4 \times 3 = 48$

Ответ: 48

б) могут повторяться

В этом случае цифры в числе могут быть одинаковыми.

1. Первая цифра (разряд сотен): Так же, как и в предыдущем пункте, не может быть 0. Доступные варианты: {2, 4, 6, 8}. Всего 4 варианта.

2. Вторая цифра (разряд десятков): Так как цифры могут повторяться, можно использовать любую из 5 исходных цифр {0, 2, 4, 6, 8}. Всего 5 вариантов.

3. Третья цифра (разряд единиц): Аналогично, можно использовать любую из 5 исходных цифр. Всего 5 вариантов.

Общее количество возможных чисел находим, перемножая количество вариантов для каждой позиции:

$N = 4 \times 5 \times 5 = 100$

Ответ: 100

166. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 8 и 0, если цифры в записи числа

а) не повторяются;

б) могут повторяться?

167* У Тани 4 юбки, 5 блузок и 2 жакета. Сколькими различными способами она может составить костюм, состоящий из одной юбки, одной блузки и одного жакета?

Для решения этой задачи используется правило умножения в комбинаторике. Чтобы найти общее число различных способов составить костюм, необходимо перемножить количество вариантов для каждого предмета одежды.

У Тани есть 4 варианта выбора юбки. Для каждого из этих вариантов есть 5 вариантов выбора блузки. Таким образом, количество комбинаций "юбка + блузка" составляет:
$4 \cdot 5 = 20$

К каждой из этих 20 комбинаций можно добавить один из 2 жакетов. Следовательно, общее количество способов составить костюм, состоящий из одной юбки, одной блузки и одного жакета, равно:
$20 \cdot 2 = 40$

Или, объединив все в одну формулу:
$N = 4 \text{ (юбки)} \cdot 5 \text{ (блузки)} \cdot 2 \text{ (жакета)} = 40$

Таким образом, Таня может составить 40 различных костюмов.

Ответ: 40.

167 У Тани 4 юбки, 5 блузок и 2 жакета. Сколькими различными способами она может составить костюм, состоящий из одной юбки, одной блузки и одного жакета?