Страница 42, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

160 В первой коробке в 2 раза больше карандашей, чем во второй. После того как из первой коробки взяли 5 карандашей, а во вторую положили 3, то карандашей в обеих коробках стало поровну. Сколько карандашей было в каждой коробке?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ — это первоначальное количество карандашей во второй коробке.

По условию, в первой коробке было в 2 раза больше карандашей, чем во второй, следовательно, в первой коробке было $2x$ карандашей.

После того как из первой коробки взяли 5 карандашей, в ней осталось $(2x - 5)$ карандашей.

Во вторую коробку положили 3 карандаша, и в ней стало $(x + 3)$ карандаша.

В результате этих действий количество карандашей в обеих коробках стало одинаковым. Мы можем составить следующее уравнение:

$2x - 5 = x + 3$

Теперь решим это уравнение. Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$2x - x = 3 + 5$

$x = 8$

Таким образом, мы нашли, что во второй коробке изначально было 8 карандашей.

Теперь найдем, сколько карандашей было в первой коробке, умножив количество карандашей во второй коробке на 2:

$2 \cdot 8 = 16$ (карандашей)

Ответ: Изначально в первой коробке было 16 карандашей, а во второй — 8 карандашей.

160 В первой коробке в 2 раза больше карандашей, чем во второй. После того как из первой коробки взяли 5 карандашей, а во вторую положили 3, то карандашей в обеих коробках стало поровну. Сколько карандашей было в каждой коробке?

161 Реши задачи методом перебора. Укажи все возможные решения.

1) Сумма цифр двузначного числа равна 13, а произведение – 36. Чему равно число?

2) Двузначное число при перестановке его цифр увеличилось на 18. Какое это число?

3) Найти двузначное число, которое при перестановке его цифр уменьшается в 1,2 раза. ($10a + b = 1.2 \times (10b + a)$)

1) Сумма цифр двузначного числа равна 13, а произведение – 36. Чему равно число?

Пусть искомое двузначное число состоит из цифр $a$ и $b$. Согласно условию, эти цифры должны удовлетворять двум условиям:

1. Сумма цифр равна 13: $a + b = 13$
2. Произведение цифр равно 36: $a \times b = 36$

Решим задачу методом перебора. Найдем все пары однозначных чисел (цифр от 1 до 9, так как если одна из цифр 0, произведение будет 0), произведение которых равно 36.

• $4 \times 9 = 36$. Проверим сумму этих цифр: $4 + 9 = 13$. Это соответствует условию задачи. Из этих цифр можно составить два числа: 49 и 94.
• $6 \times 6 = 36$. Проверим сумму: $6 + 6 = 12$. Это не равно 13, поэтому эта пара цифр не подходит.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют два числа.

Ответ: 49 и 94.

2) Двузначное число при перестановке его цифр увеличилось на 18. Какое это число?

Пусть исходное двузначное число записывается как $10a + b$, где $a$ - цифра десятков (от 1 до 9), а $b$ - цифра единиц (от 0 до 9). Число, полученное после перестановки цифр, будет $10b + a$.

По условию, новое число на 18 больше исходного. Составим уравнение:

$(10b + a) - (10a + b) = 18$

$9b - 9a = 18$

Разделив обе части на 9, получим:

$b - a = 2$, или $b = a + 2$

Это означает, что цифра единиц на 2 больше цифры десятков. Переберем все возможные пары цифр, удовлетворяющие этому условию:

• Если $a=1$, то $b=1+2=3$. Число: 13. Проверка: $31 - 13 = 18$. Подходит.
• Если $a=2$, то $b=2+2=4$. Число: 24. Проверка: $42 - 24 = 18$. Подходит.
• Если $a=3$, то $b=3+2=5$. Число: 35. Проверка: $53 - 35 = 18$. Подходит.
• Если $a=4$, то $b=4+2=6$. Число: 46. Проверка: $64 - 46 = 18$. Подходит.
• Если $a=5$, то $b=5+2=7$. Число: 57. Проверка: $75 - 57 = 18$. Подходит.
• Если $a=6$, то $b=6+2=8$. Число: 68. Проверка: $86 - 68 = 18$. Подходит.
• Если $a=7$, то $b=7+2=9$. Число: 79. Проверка: $97 - 79 = 18$. Подходит.
• Если $a=8$, то $b=8+2=10$, но 10 - это не цифра. Дальнейший перебор невозможен.

Таким образом, существует 7 чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79.

3) Найти двузначное число, которое при перестановке его цифр уменьшается в 1,2 раза.

Пусть искомое число равно $10a + b$. После перестановки цифр получится число $10b + a$. По условию, исходное число уменьшается, значит, оно было больше, чем новое. Составим уравнение:

$10a + b = 1,2 \times (10b + a)$

$10a + b = 12b + 1,2a$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$10 \times (10a + b) = 10 \times (12b + 1,2a)$

$100a + 10b = 120b + 12a$

Перенесем слагаемые с $a$ в левую часть, а с $b$ - в правую:

$100a - 12a = 120b - 10b$

$88a = 110b$

Сократим обе части уравнения, разделив их на наибольший общий делитель, который равен 22:

$4a = 5b$

Теперь подберем цифры $a$ (от 1 до 9) и $b$ (от 0 до 9), которые удовлетворяют этому равенству. Так как 4 и 5 взаимно простые числа, то $a$ должно быть кратно 5, а $b$ должно быть кратно 4.

• Единственная ненулевая цифра, кратная 5, это $a=5$.
• Подставим $a=5$ в равенство: $4 \times 5 = 5b \implies 20 = 5b \implies b=4$.

Получаем пару цифр $a=5$ и $b=4$. Искомое число - 54. Проверим условие: число после перестановки - 45. Найдем их отношение: $54 / 45 = 1,2$. Условие выполняется.

Ответ: 54.

161 Реши задачи методом перебора. Укажи все возможные решения.

1) Сумма цифр двузначного числа равна 13, а произведение – 36. Чему равно число?

2) Двузначное число при перестановке его цифр увеличилось на 18. Какое это число?

3) Найти двузначное число, которое при перестановке его цифр уменьшается в 1,2 раза.

162 1) Построй четырёхугольник $ABCD$, если $A(0; 2)$, $B(2; 6)$, $C(8; 8)$, $D(6; 4)$.
Найди координаты точки пересечения его диагоналей.

2) Измерь стороны и углы четырёхугольника $ABCD$.
Что ты замечаешь? Найди ещё как можно больше свойств этого четырёхугольника.

1)

Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, найдем координаты середин его диагоналей AC и BD. Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляются по формулам:

$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Найдем середину диагонали AC, где A(0; 2) и C(8; 8). Обозначим эту точку как $O_1$.

$x_{O_1} = \frac{0 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_{O_1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, координаты середины AC: $O_1(4; 5)$.

Теперь найдем середину диагонали BD, где B(2; 6) и D(6; 4). Обозначим эту точку как $O_2$.

$x_{O_2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_{O_2} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, координаты середины BD: $O_2(4; 5)$.

Поскольку координаты середин диагоналей совпадают ($O_1 = O_2$), диагонали пересекаются в этой точке и делятся ею пополам. Это также доказывает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей (4; 5).

2)

Для нахождения свойств четырехугольника ABCD вычислим длины его сторон и величины углов.

Длину стороны (расстояние между двумя точками) найдем по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

• $AB = \sqrt{(2-0)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
• $BC = \sqrt{(8-2)^2 + (8-6)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
• $CD = \sqrt{(6-8)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
• $DA = \sqrt{(0-6)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

Что мы замечаем: Противоположные стороны четырехугольника попарно равны: $AB = CD$ и $BC = DA$. Это является признаком параллелограмма.

Найдем углы четырехугольника. Используя векторы и их скалярное произведение, можно точно вычислить углы. Например, для угла B, образованного векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{BA} = (0-2; 2-6) = (-2; -4)$

$\vec{BC} = (8-2; 8-6) = (6; 2)$

$\cos(\angle B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{(-2) \cdot 6 + (-4) \cdot 2}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{40}} = \frac{-12-8}{\sqrt{800}} = \frac{-20}{20\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Отсюда $\angle B = 135^{\circ}$.

Так как ABCD — параллелограмм, то его углы равны:

• $\angle B = \angle D = 135^{\circ}$
• $\angle A = \angle C = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$

Найдем еще свойства этого четырехугольника:

1. Это параллелограмм. Основное свойство, из которого вытекают остальные. Признаки: противоположные стороны попарно равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам.
2. Противоположные стороны параллельны. Можно проверить через угловые коэффициенты: $k_{AB} = \frac{6-2}{2-0} = 2$ и $k_{CD} = \frac{4-8}{6-8} = 2$. Так как $k_{AB}=k_{CD}$, то $AB \parallel CD$. Аналогично $k_{BC} = \frac{8-6}{8-2} = \frac{1}{3}$ и $k_{DA} = \frac{2-4}{0-6} = \frac{1}{3}$, т.е. $BC \parallel DA$.
3. Это не прямоугольник, так как его углы не равны $90^{\circ}$.
4. Это не ромб, так как его смежные стороны не равны ($AB \neq BC$, $\sqrt{20} \neq \sqrt{40}$).
5. Диагонали не равны. $AC = \sqrt{(8-0)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$. $BD = \sqrt{(6-2)^2 + (4-6)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$. $10 \neq \sqrt{20}$.

Ответ: Длины сторон: $AB = CD = \sqrt{20}$, $BC = DA = \sqrt{40}$. Углы: $\angle A = \angle C = 45^{\circ}$, $\angle B = \angle D = 135^{\circ}$. Основное свойство: четырехугольник ABCD является параллелограммом, который не является ни ромбом, ни прямоугольником.

162 1) Построй четырехугольник $ABCD$, если $A(0; 2)$, $B(2; 6)$, $C(8; 8)$, $D(6; 4)$.

Найди координаты точки пересечения его диагоналей.

2) Измерь стороны и углы четырехугольника $ABCD$. Что ты замечаешь?

Найди еще как можно больше свойств этого четырехугольника.

163 Составь программу действий и вычисли:

$7\frac{1}{5} : 2\frac{4}{7} - 8\frac{3}{4} : \left[10 - \left(5\frac{1}{2}\right)^2 : 4\frac{2}{5}\right] + \left(3\frac{1}{8} \cdot 2\right) : \left(8\frac{1}{12} - 1\frac{5}{6}\right).$

Для решения данного примера определим программу действий, следуя правилам порядка выполнения математических операций: сначала выполняются действия в скобках (с учетом приоритета возведения в степень), затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание, все в порядке слева направо.

1. Выполнение действий в квадратных скобках $\left[10 - \left(5\frac{1}{2}\right)^2 : 4\frac{2}{5}\right]$

Сначала выполним возведение в степень в круглых скобках:

$\left(5\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}\right)^2 = \left(\frac{11}{2}\right)^2 = \frac{11^2}{2^2} = \frac{121}{4}$

Далее выполним деление внутри квадратных скобок:

$\frac{121}{4} : 4\frac{2}{5} = \frac{121}{4} : \frac{4 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{121}{4} : \frac{22}{5} = \frac{121}{4} \cdot \frac{5}{22} = \frac{121 \cdot 5}{4 \cdot 22} = \frac{11 \cdot 11 \cdot 5}{4 \cdot 2 \cdot 11} = \frac{11 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{55}{8}$

Теперь выполним вычитание, чтобы найти окончательное значение выражения в квадратных скобках:

$10 - \frac{55}{8} = \frac{10 \cdot 8}{8} - \frac{55}{8} = \frac{80 - 55}{8} = \frac{25}{8}$

2. Выполнение действий в оставшихся скобках

Вычислим произведение в первой паре скобок:

$\left(3\frac{1}{8} \cdot 2\right) = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} \cdot 2 = \frac{25}{8} \cdot 2 = \frac{25 \cdot 2}{8} = \frac{25}{4}$

Вычислим разность во второй паре скобок:

$\left(8\frac{1}{12} - 1\frac{5}{6}\right) = \frac{8 \cdot 12 + 1}{12} - \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{97}{12} - \frac{11}{6} = \frac{97}{12} - \frac{11 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{97 - 22}{12} = \frac{75}{12} = \frac{25 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{25}{4}$

3. Выполнение оставшихся действий

Подставим все полученные значения обратно в исходное выражение:

$7\frac{1}{5}:2\frac{4}{7} - 8\frac{3}{4}:\frac{25}{8} + \frac{25}{4}:\frac{25}{4}$

Теперь выполним оставшиеся операции деления слева направо:

$7\frac{1}{5} : 2\frac{4}{7} = \frac{36}{5} : \frac{18}{7} = \frac{36}{5} \cdot \frac{7}{18} = \frac{2 \cdot 18 \cdot 7}{5 \cdot 18} = \frac{14}{5}$

$8\frac{3}{4} : \frac{25}{8} = \frac{35}{4} : \frac{25}{8} = \frac{35}{4} \cdot \frac{8}{25} = \frac{7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 4}{4 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{14}{5}$

$\frac{25}{4} : \frac{25}{4} = 1$

4. Финальные вычисления

Подставим результаты делений в выражение и выполним вычитание и сложение:

$\frac{14}{5} - \frac{14}{5} + 1 = 0 + 1 = 1$

Ответ: 1.

163 Составь программу действий и вычисли:

$7\frac{1}{5} : 2\frac{4}{7} - 8\frac{3}{4} : [10 - (5\frac{1}{2})^2 : 4\frac{2}{5}] + (3\frac{1}{8} \cdot 2) : (8\frac{1}{12} - 1\frac{5}{6}).$

164 Выполни действия и проверь правильность вычислений, используя числовой квадрат (каждая из цифр квадрата принадлежит ответу только одного примера):

1) $394,42 : 16,4;$

2) $72,54 - 3,568;$

3) $139,7 + 80,324;$

4) $425,736 : 60,75;$

5) $5,036 \cdot 9,05.$

6, 2, 0,, 0, 2

8,, 2, 2, 4,, 4

9, 7, 2, 0, 5

8, 0, 5, 7, 5

7,, 0, 8, 4, 5,

1) $394,42 : 16,4$

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делимом и делителе на столько знаков вправо, сколько их в делителе, чтобы делитель стал целым числом. В данном случае переносим запятую на один знак вправо.

$394,42 : 16,4 = 3944,2 : 164$

Выполним деление столбиком:
- Делим $394$ на $164$. Получаем $2$ в частном. $164 \cdot 2 = 328$. Остаток $394 - 328 = 66$.
- Сносим следующую цифру $4$, получаем $664$. Делим $664$ на $164$. Получаем $4$ в частном. $164 \cdot 4 = 656$. Остаток $664 - 656 = 8$.
- Мы перешли через запятую в делимом, поэтому ставим запятую в частном.
- Сносим следующую цифру $2$, получаем $82$. Делим $82$ на $164$. Получаем $0$ в частном.
- Дописываем ноль к остатку, получаем $820$. Делим $820$ на $164$. Получаем $5$ в частном. $164 \cdot 5 = 820$. Остаток $0$.
В результате получаем $24,05$.

Ответ: 24,05

2) $72,54 - 3,568$

Для вычитания десятичных дробей нужно записать их друг под другом так, чтобы запятая находилась под запятой. Уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль к $72,54$, чтобы получилось $72,540$. Выполняем вычитание по разрядам, начиная справа:
- В разряде тысячных: $0-8$. Занимаем единицу из старшего разряда, $10-8=2$.
- В разряде сотых: было $4$, стало $3$. $3-6$. Занимаем единицу из старшего разряда, $13-6=7$.
- В разряде десятых: было $5$, стало $4$. $4-5$. Занимаем единицу из старшего разряда, $14-5=9$.
- В разряде единиц: было $2$, стало $1$. $1-3$. Занимаем единицу из старшего разряда, $11-3=8$.
- В разряде десятков: было $7$, стало $6$.
В результате получаем $68,972$.

Ответ: 68,972

3) $139,7 + 80,324$

Для сложения десятичных дробей нужно записать их друг под другом так, чтобы запятая находилась под запятой. Уравняем количество знаков после запятой, добавив нули к $139,7$, чтобы получилось $139,700$. Выполняем сложение по разрядам, начиная справа:
- В разряде тысячных: $0+4=4$.
- В разряде сотых: $0+2=2$.
- В разряде десятых: $7+3=10$. Пишем $0$, а $1$ переносим в следующий разряд.
- В разряде единиц: $9+0+1=10$. Пишем $0$, а $1$ переносим в следующий разряд.
- В разряде десятков: $3+8+1=12$. Пишем $2$, а $1$ переносим в следующий разряд.
- В разряде сотен: $1+1=2$.
В результате получаем $220,024$.

Ответ: 220,024

4) $425,736 : 60,75$

Перенесем запятую в делимом и делителе на два знака вправо, чтобы делитель стал целым числом.

$425,736 : 60,75 = 42573,6 : 6075$

Выполним деление столбиком:
- Делим $42573$ на $6075$. Получаем $7$ в частном. $6075 \cdot 7 = 42525$. Остаток $42573 - 42525 = 48$.
- Мы перешли через запятую в делимом, ставим запятую в частном.
- Сносим $6$, получаем $486$. Делим $486$ на $6075$. Получаем $0$ в частном.
- Дописываем ноль, получаем $4860$. Делим $4860$ на $6075$. Получаем $0$ в частном.
- Дописываем ноль, получаем $48600$. Делим $48600$ на $6075$. Получаем $8$ в частном. $6075 \cdot 8 = 48600$. Остаток $0$.
В результате получаем $7,008$.

Ответ: 7,008

5) $5,036 \cdot 9,05$

Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. В числе $5,036$ три знака после запятой, в числе $9,05$ — два знака. Всего $3+2=5$ знаков. Умножим $5036$ на $905$ столбиком:
$5036 \cdot 5 = 25180$
$5036 \cdot 900 = 4532400$
Сложим результаты: $25180 + 4532400 = 4557580$.
Теперь отделим $5$ знаков запятой справа: $45,57580$. Нуль на конце можно отбросить.
В результате получаем $45,5758$.

Ответ: 45,5758

Проверка правильности вычислений

Согласно условию, каждая цифра из числового квадрата должна принадлежать ответу только одного примера. Это означает, что набор всех цифр из всех пяти ответов должен совпадать с набором всех цифр в квадрате.

Цифры в числовом квадрате:
6, 2, 0, 0, 2
8, 2, 2, 4, 4
9, 7, 2, 0, 5
8, 0, 5, 7, 5
7, 0, 8, 4, 5

Подсчитаем количество каждой цифры в квадрате:
Цифра 0: 5 раз
Цифра 2: 5 раз
Цифра 4: 3 раза
Цифра 5: 4 раза
Цифра 6: 1 раз
Цифра 7: 3 раза
Цифра 8: 3 раза
Цифра 9: 1 раз

Теперь подсчитаем общее количество каждой цифры во всех полученных ответах:
1) $24,05$: 2, 4, 0, 5
2) $68,972$: 6, 8, 9, 7, 2
3) $220,024$: 2, 2, 0, 0, 2, 4
4) $7,008$: 7, 0, 0, 8
5) $45,5758$: 4, 5, 5, 7, 5, 8

Цифра 0: 1 (в ответе 1) + 2 (в ответе 3) + 2 (в ответе 4) = 5 раз
Цифра 2: 1 (в ответе 1) + 1 (в ответе 2) + 3 (в ответе 3) = 5 раз
Цифра 4: 1 (в ответе 1) + 1 (в ответе 3) + 1 (в ответе 5) = 3 раза
Цифра 5: 1 (в ответе 1) + 3 (в ответе 5) = 4 раза
Цифра 6: 1 (в ответе 2) = 1 раз
Цифра 7: 1 (в ответе 2) + 1 (в ответе 4) + 1 (в ответе 5) = 3 раза
Цифра 8: 1 (в ответе 2) + 1 (в ответе 4) + 1 (в ответе 5) = 3 раза
Цифра 9: 1 (в ответе 2) = 1 раз

Сравнение показывает, что количество каждой цифры в ответах полностью совпадает с количеством каждой цифры в числовом квадрате. Это подтверждает, что все вычисления выполнены правильно.

164 Выполни действия и проверь правильность вычислений, используя числовой квадрат (каждая из цифр квадрата принадлежит ответу только одного примера):

1) $394,42 : 16,4;$

2) $72,54 - 3,568;$

3) $139,7 + 80,324;$

4) $425,736 : 60,75;$

5) $5,036 \cdot 9,05.$

6 2 0, 0 2

8, 2 2 4, 4

9 7 2 0 5

8 0 5 7 5

7, 0 8 4 5,

C 165 Задача «Эпидемия гриппа»

Вчера число учеников, присутствующих в классе, было в 8 раз больше числа отсутствующих. Сегодня не пришли ещё 2 ученика, и оказалось, что отсутствуют $20 \%$ от числа учеников, присутствующих в классе. Сколько всего учеников в классе?

Пусть $x$ — это число учеников, отсутствовавших вчера.
Согласно условию, число учеников, присутствовавших вчера, было в 8 раз больше, то есть $8x$.
Общее число учеников в классе является суммой присутствующих и отсутствующих, и это число постоянно: $x + 8x = 9x$.

Сегодня не пришли ещё 2 ученика. Это означает, что число отсутствующих увеличилось на 2, а число присутствующих уменьшилось на 2.
Число отсутствующих сегодня: $x + 2$.
Число присутствующих сегодня: $8x - 2$.

По условию, сегодня число отсутствующих составляет 20% от числа присутствующих. Представим 20% в виде десятичной дроби: $20\% = 0.2$.
Теперь мы можем составить уравнение:

$x + 2 = 0.2 \cdot (8x - 2)$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$x + 2 = 1.6x - 0.4$
Перенесём слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$2 + 0.4 = 1.6x - x$
$2.4 = 0.6x$
$x = \frac{2.4}{0.6}$
$x = 4$

Итак, вчера отсутствовало 4 ученика.
Теперь найдём общее количество учеников в классе по формуле, которую мы вывели в самом начале:
Всего учеников = $9x = 9 \cdot 4 = 36$.

Проверка:
Вчера: отсутствовало 4 человека, присутствовало $8 \cdot 4 = 32$ человека. Всего $4+32=36$.
Сегодня: отсутствовало $4+2=6$ человек, присутствовало $32-2=30$ человек.
Проверим, составляют ли 6 отсутствующих 20% от 30 присутствующих: $\frac{6}{30} = 0.2$, что равно 20%. Условия задачи выполнены.

Ответ: 36 учеников.

C 165 Задача "Эпидемия гриппа".

Вчера число учеников, присутствующих в классе, было в 8 раз больше числа отсутствующих. Сегодня не пришли еще 2 ученика, и оказалось, что отсутствуют 20% от числа учеников, присутствующих в классе. Сколько всего учеников в классе?

166 При сложении двух натуральных чисел ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишний нуль на конце и получил в сумме 6641 вместо 2411. Какие числа он складывал?

Пусть искомые натуральные числа — это $a$ (первое слагаемое) и $b$ (второе слагаемое).

Согласно условию задачи, их правильная сумма равна 2411. Это можно записать в виде уравнения:

$a + b = 2411$

Ученик по ошибке добавил ноль в конце второго слагаемого ($b$). Добавление нуля в конце натурального числа равносильно умножению этого числа на 10. Таким образом, ошибочное второе слагаемое стало $10b$. В результате он получил сумму 6641. Это можно записать в виде второго уравнения:

$a + 10b = 6641$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\\begin{cases} a + b = 2411 \\\\ a + 10b = 6641 \\end{cases}$

Чтобы найти разницу между двумя суммами, вычтем первое уравнение из второго:

$(a + 10b) - (a + b) = 6641 - 2411$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a + 10b - a - b = 4230$

$9b = 4230$

Теперь найдем значение второго числа $b$:

$b = \\frac{4230}{9}$

$b = 470$

Теперь, зная значение $b$, мы можем найти значение первого числа $a$, подставив $b=470$ в первое уравнение:

$a + 470 = 2411$

$a = 2411 - 470$

$a = 1941$

Итак, искомые числа — это 1941 и 470.

Проверим правильность решения:

1. Правильное сложение: $1941 + 470 = 2411$.

2. Ошибочное сложение: $1941 + 4700 = 6641$.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: ученик складывал числа 1941 и 470.

166 При сложении двух натуральных чисел ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишний нуль на конце и получил в сумме 6641 вместо 2411. Какие числа он складывал?

160 Что общего у формул: $s = 5t$, $C = 2.4n$, $A = 16t$, $m = 0.4M$, $S = 5b$, $P = 4a$?

Запиши зависимость между величинами, которую задают эти формулы, в обобщённом виде. Как называется такая зависимость? Придумай свои примеры.

Что общего у формул: s = 5t, C = 2,4n, A = 16t, m = 0,4M, S = 5b, P = 4a?
Общим для всех представленных формул является то, что они описывают один и тот же вид зависимости между двумя величинами. В каждой формуле одна величина ($s, C, A, m, S, P$) прямо пропорциональна другой величине ($t, n, t, M, b, a$). Это означает, что при увеличении (или уменьшении) одной величины в несколько раз, другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Математически это выражается как равенство одной величины произведению другой величины и некоторого постоянного числа (коэффициента). Например, из формулы $s = 5t$ следует, что отношение $s/t$ всегда равно 5.
Ответ: Все формулы описывают прямую пропорциональную зависимость, где одна величина равна другой, умноженной на постоянный коэффициент.

Запиши зависимость между величинами, которую задают эти формулы, в обобщённом виде.
В обобщённом виде такая зависимость записывается следующей формулой: $y = kx$. В этой формуле $y$ и $x$ – это переменные величины, а $k$ – это постоянный коэффициент, который не равен нулю ($k \neq 0$).
Ответ: $y = kx$.

Как называется такая зависимость?
Зависимость, описываемая формулой $y = kx$, называется прямой пропорциональностью. Число $k$ называется коэффициентом пропорциональности.
Ответ: Прямая пропорциональность.

Придумай свои примеры.
Можно привести множество примеров прямой пропорциональности из жизни и математики:
1. Стоимость покупки ($C$) зависит от количества ($n$) товара при постоянной цене ($p$). Например, если цена одного блокнота 50 рублей, то стоимость $n$ блокнотов вычисляется по формуле $C = 50n$.
2. Длина окружности ($L$) прямо пропорциональна её радиусу ($R$). Формула имеет вид $L = 2\pi R$, где $2\pi$ – коэффициент пропорциональности.
3. Количество калорий ($K$), полученных от съеденного продукта, прямо пропорционально его массе ($m$). Например, если в 100 граммах шоколада содержится 546 ккал, то калорийность 1 грамма равна 5,46 ккал, а формула зависимости будет $K = 5,46m$.
Ответ: Примеры: $C = 50n$ (стоимость покупки), $L = 2\pi R$ (длина окружности), $K = 5,46m$ (количество калорий).

160 Что общего у формул:

$s = 5t,$ $C = 2.4n,$ $A = 16t,$ $m = 0.4M,$ $S = 5b,$ $P = 4a?$

Запиши зависимость между величинами, которую задают эти формулы, в обобщенном виде. Как называется такая зависимость? Придумай свои примеры.

161 Какая формула может быть «лишней»:

$a = \frac{45}{n}$, $t = \frac{12}{v}$, $ab = 5,6$, $d = 18 + 4t$, $k = \frac{0,8}{M}$, $360 = vt$?

Запиши зависимость между величинами, которую задают остальные формулы, в обобщённом виде. Как называется такая зависимость? Придумай свои примеры.

Какая формула может быть «лишней»:

Проанализируем каждую формулу, чтобы найти общий тип зависимости между величинами.

1. $a = 45 : n$ можно переписать как $an = 45$. Произведение переменных величин $a$ и $n$ равно константе.

2. $t = \frac{12}{v}$ можно переписать как $tv = 12$. Произведение переменных величин $t$ и $v$ равно константе.

3. $ab = 5,6$. Произведение переменных величин $a$ и $b$ равно константе.

4. $d = 18 + 4t$. Эта формула выражает линейную зависимость. С увеличением $t$ величина $d$ также увеличивается. Это отличается от предыдущих зависимостей.

5. $k = 0,8 : M$ можно переписать как $k = \frac{0,8}{M}$ или $kM = 0,8$. Произведение переменных величин $k$ и $M$ равно константе.

6. $360 = vt$. Произведение переменных величин $v$ и $t$ равно константе.

Пять из шести формул описывают зависимость, где произведение двух переменных является постоянной величиной. Формула $d = 18 + 4t$ описывает линейную зависимость, а не обратную пропорциональность. Поэтому она является «лишней».

Ответ: Лишней является формула $d = 18 + 4t$.

Запиши зависимость между величинами, которую задают остальные формулы, в обобщённом виде. Как называется такая зависимость? Придумай свои примеры.

Остальные формулы описывают зависимость, которую в обобщенном виде можно записать как $y = \frac{k}{x}$ или $xy = k$, где $x$ и $y$ – переменные величины, а $k$ – некоторое постоянное число (коэффициент пропорциональности), не равное нулю.

Такая зависимость называется обратной пропорциональностью. При увеличении одной величины в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз, и наоборот.

Примеры обратной пропорциональности:

1. Зависимость между количеством рабочих ($N$) и временем ($t$), необходимым для выполнения определенного объема работы ($A$): $A = Nt$. Если объем работы постоянен, то чем больше рабочих, тем меньше времени потребуется.

2. Зависимость между ценой товара ($P$) и его количеством ($Q$), которое можно купить на фиксированную сумму денег ($M$): $M = PQ$. Если сумма денег постоянна, то чем выше цена, тем меньшее количество товара можно купить.

3. Зависимость между длиной ($a$) и шириной ($b$) прямоугольника при постоянной площади ($S$): $S = ab$. Если площадь зафиксирована, то при увеличении длины ширина будет уменьшаться.

Ответ: Обобщенный вид: $y = \frac{k}{x}$ (или $xy = k$). Название: обратная пропорциональность. Пример: зависимость между ценой товара и его количеством, которое можно купить на определенную сумму денег.

161 Какая формула может быть "лишней":

$a = 45 : n$, $t = \frac{12}{v}$, $ab = 5.6$, $d = 18 + 4t$, $k = 0.8 : M$, $360 = vt?$

Запиши зависимость между величинами, которую задают остальные формулы, в обобщенном виде. Как называется такая зависимость? Придумай свои примеры.

162 Определи, является ли зависимость между величинами прямой или обратной пропорциональностью. Найди коэффициент пропорциональности и запиши формулу зависимости между этими величинами:

$v \cdot t = 50$

$S = 3v$

$V = 7P$

$P \cdot t = 300$

$C = 120L$

$P_{item} \cdot N = 24$

$L \cdot W = 60$

$m_{sub} = 200C$

1) скорость и время движения на участке пути 50 км
Пусть $v$ — скорость (в км/ч), а $t$ — время (в часах). Формула, связывающая путь $S$, скорость и время, выглядит как $S = v \cdot t$.
По условию, путь $S$ является постоянной величиной и равен 50 км. Следовательно, $v \cdot t = 50$. Из этой формулы видно, что при увеличении одной величины (например, скорости $v$) другая величина (время $t$) уменьшается, чтобы их произведение оставалось постоянным. Это характеристика обратной пропорциональности.
Коэффициент пропорциональности $k$ равен значению постоянного произведения, то есть $k=50$.
Формула зависимости: $v = \frac{50}{t}$ или $t = \frac{50}{v}$.
Ответ: обратная пропорциональность, коэффициент $k=50$, формула $v = \frac{50}{t}$.

2) скорость движения и путь, пройденный за 3 ч
Пусть $S$ — пройденный путь (в км), а $v$ — скорость движения (в км/ч). Время движения $t$ постоянно и равно 3 ч. Формула пути: $S = v \cdot t$.
Подставляя постоянное значение времени, получаем $S = v \cdot 3$, или $S = 3v$. В этой зависимости отношение $\frac{S}{v} = 3$ является постоянным. При увеличении скорости $v$ в несколько раз, пройденный путь $S$ увеличивается во столько же раз. Это характеристика прямой пропорциональности.
Коэффициент пропорциональности $k$ равен постоянному отношению, то есть $k=3$.
Формула зависимости: $S = 3v$.
Ответ: прямая пропорциональность, коэффициент $k=3$, формула $S = 3v$.

3) объём работы, выполненной за 7 ч, и производительность труда
Пусть $A$ — объём работы, а $P$ — производительность труда. Время работы $t$ постоянно и равно 7 ч. Формула для объёма работы: $A = P \cdot t$.
Подставляя постоянное значение времени, получаем $A = P \cdot 7$, или $A = 7P$. Отношение $\frac{A}{P} = 7$ является постоянным. Это означает, что с ростом производительности $P$ пропорционально растёт и объём выполненной работы $A$. Это прямая пропорциональность.
Коэффициент пропорциональности $k=7$.
Формула зависимости: $A = 7P$.
Ответ: прямая пропорциональность, коэффициент $k=7$, формула $A = 7P$.

4) производительность станка и время изготовления на нём 300 деталей
Пусть $P$ — производительность станка (деталей в час), а $t$ — время изготовления (в часах). Объём работы $A$ постоянен и равен 300 деталей. Формула, связывающая эти величины: $A = P \cdot t$.
Подставляя постоянное значение объёма работы, получаем $300 = P \cdot t$. Произведение производительности и времени является постоянной величиной. Если производительность $P$ увеличить, то время $t$ для изготовления того же количества деталей уменьшится. Это обратная пропорциональность.
Коэффициент пропорциональности $k=300$.
Формула зависимости: $t = \frac{300}{P}$ или $P = \frac{300}{t}$.
Ответ: обратная пропорциональность, коэффициент $k=300$, формула $t = \frac{300}{P}$.

5) стоимость отреза ткани и его длина при цене 120 р. за метр
Пусть $C$ — стоимость отреза ткани (в рублях), а $L$ — его длина (в метрах). Цена за метр $p$ постоянна и равна 120 р. Формула для стоимости: $C = p \cdot L$.
Подставляя постоянное значение цены, получаем $C = 120 \cdot L$. Отношение $\frac{C}{L} = 120$ является постоянным. Чем больше длина ткани $L$, тем выше её стоимость $C$. Это прямая пропорциональность.
Коэффициент пропорциональности $k=120$.
Формула зависимости: $C = 120L$.
Ответ: прямая пропорциональность, коэффициент $k=120$, формула $C = 120L$.

6) цена тетрадей и их количество, которые можно купить на 24 р.
Пусть $p$ — цена одной тетради (в рублях), а $n$ — их количество. Общая сумма денег $M$ постоянна и равна 24 р. Формула: $M = p \cdot n$.
Подставляя постоянное значение суммы, получаем $24 = p \cdot n$. Произведение цены и количества является постоянной величиной. Чем выше цена тетради $p$, тем меньшее их количество $n$ можно купить на ту же сумму. Это обратная пропорциональность.
Коэффициент пропорциональности $k=24$.
Формула зависимости: $n = \frac{24}{p}$ или $p = \frac{24}{n}$.
Ответ: обратная пропорциональность, коэффициент $k=24$, формула $n = \frac{24}{p}$.

7) длина и ширина прямоугольника, площадь которого равна 60 м²
Пусть $l$ — длина, а $w$ — ширина прямоугольника (в метрах). Площадь $S$ постоянна и равна 60 м². Формула площади прямоугольника: $S = l \cdot w$.
Подставляя постоянное значение площади, получаем $60 = l \cdot w$. Произведение длины и ширины является постоянной величиной. При увеличении длины $l$ ширина $w$ должна уменьшаться, чтобы площадь оставалась неизменной. Это обратная пропорциональность.
Коэффициент пропорциональности $k=60$.
Формула зависимости: $w = \frac{60}{l}$ или $l = \frac{60}{w}$.
Ответ: обратная пропорциональность, коэффициент $k=60$, формула $w = \frac{60}{l}$.

8) масса вещества в 200 г раствора и его концентрация
Пусть $m$ — масса вещества (в граммах), а $c$ — его концентрация (в долях от единицы). Масса всего раствора $M$ постоянна и равна 200 г. Концентрация определяется как отношение массы вещества к массе раствора: $c = \frac{m}{M}$.
Отсюда формула для массы вещества: $m = M \cdot c$. Подставляя постоянное значение массы раствора, получаем $m = 200c$. Отношение $\frac{m}{c} = 200$ является постоянным. Чем выше концентрация $c$, тем больше масса вещества $m$ в растворе. Это прямая пропорциональность.
Коэффициент пропорциональности $k=200$.
Формула зависимости: $m = 200c$.
Ответ: прямая пропорциональность, коэффициент $k=200$, формула $m = 200c$.

162 Определи, является ли зависимость между величинами прямой или обратной пропорциональностью. Найди коэффициент пропорциональности и запиши формулу зависимости между этими величинами:

1) скорость и время движения на участке пути 50 км;

2) скорость движения и путь, пройденный за 3 ч;

3) объем работы, выполненной за 7 ч, и производительность труда;

4) производительность станка и время изготовления на нем 300 деталей;

5) стоимость отреза ткани и его длина при цене 120 р. за метр;

6) цена тетрадей и их количество, которые можно купить на 24 р.;

7) длина и ширина прямоугольника, площадь которого равна 60 $м^2$;

8) масса вещества в 200 г раствора и его концентрация.

163 1) Плавучая атомная теплоэлектростанция «Академик Ломоносов» произвела за некоторое время 240 тонн пара. Сколько пара произведёт она за то же время, если:

а) увеличит производительность в 1,5 раза;

б) уменьшит производительность в 2 раза?

2) Велосипедист проехал некоторое расстояние за 0,6 ч. За какое время он проедет то же расстояние, если:

а) увеличит скорость в 1,5 раза;

б) уменьшит скорость в 2 раза?

3) На некоторую сумму денег можно купить 12 порций мороженого. Сколько порций мороженого можно будет купить на эти же деньги, если цена на мороженое:

а) увеличится на треть;

б) уменьшится на 50 % ?

4) За некоторое время с помощью принтера было распечатано 400 страниц. Сколько страниц распечатает за это же время принтер, производительность которого:

а) на 100 % больше;

б) на 75 % меньше?

1)

Количество произведенного пара прямо пропорционально производительности станции. Изначально было произведено 240 тонн пара.

а) Если производительность увеличится в 1,5 раза, то и количество произведенного пара за то же время увеличится в 1,5 раза.

$240 \cdot 1,5 = 360$ (тонн)

Ответ: 360 тонн.

б) Если производительность уменьшится в 2 раза, то и количество произведенного пара за то же время уменьшится в 2 раза.

$240 : 2 = 120$ (тонн)

Ответ: 120 тонн.

2)

Время, необходимое для прохождения расстояния, обратно пропорционально скорости. Изначальное время равно 0,6 часа.

а) Если скорость увеличить в 1,5 раза, то время, необходимое для проезда того же расстояния, уменьшится в 1,5 раза.

$0,6 : 1,5 = 0,4$ (ч)

Ответ: 0,4 часа.

б) Если скорость уменьшить в 2 раза, то время, необходимое для проезда того же расстояния, увеличится в 2 раза.

$0,6 \cdot 2 = 1,2$ (ч)

Ответ: 1,2 часа.

3)

Количество товара, которое можно купить на определенную сумму, обратно пропорционально цене товара. Изначально можно купить 12 порций мороженого.

а) Если цена увеличится на треть, то новая цена составит $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ от старой цены. Следовательно, количество порций, которое можно купить, уменьшится в $\frac{4}{3}$ раза.

$12 : \frac{4}{3} = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9$ (порций)

Ответ: 9 порций.

б) Если цена уменьшится на 50%, то она составит $100\% - 50\% = 50\%$ или $0,5$ от старой цены. Следовательно, количество порций, которое можно купить, увеличится в $1/0,5 = 2$ раза.

$12 : 0,5 = 24$ (порции)

Ответ: 24 порции.

4)

Количество распечатанных страниц за одно и то же время прямо пропорционально производительности принтера. Изначально было распечатано 400 страниц.

а) Если производительность на 100% больше, это означает, что она стала в два раза выше ($100\% + 100\% = 200\%$, то есть в 2 раза больше первоначальной).

$400 \cdot 2 = 800$ (страниц)

Ответ: 800 страниц.

б) Если производительность на 75% меньше, то она составит $100\% - 75\% = 25\%$ или $0,25$ от первоначальной производительности.

$400 \cdot 0,25 = 100$ (страниц)

Ответ: 100 страниц.

163 1) Автомобиль проехал за некоторое время расстояние 60 км. Какое расстояние проедет он за это же время, если:
а) увеличит скорость в 1,5 раза;
б) уменьшит скорость в 2 раза?

2) Велосипедист проехал некоторое расстояние за 0,6 ч. За какое время он проедет то же расстояние, если:
а) увеличит скорость в 1,5 раза;
б) уменьшит скорость в 2 раза?

3) На некоторую сумму денег можно купить 12 порций мороженого. Сколько порций мороженого можно будет купить на эти же деньги, если цена на мороженое:
а) увеличится на треть;
б) уменьшится на $50\%$?

4) За некоторое время с помощью принтера было распечатано 400 страниц. Сколько страниц распечатает за это же время принтер, производительность которого:
а) на $100\%$ больше;
б) на $75\%$ меньше?

164 Какие из приведённых ниже формул являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем, ни другим?

1) $P = 5,2b;$

2) $a = 8q+1;$

3) $K = \frac{n}{2};$

4) $c = 4 : d;$

5) $a = \frac{8}{b};$

6) $300 = vt;$

7) $M = m : 5;$

8) $ab = 18;$

9) $G = \frac{1}{4k};$

10) $S = a^2.$

Для определения типа зависимости вспомним определения:

• Прямая пропорциональность — это зависимость, при которой отношение двух переменных постоянно. Она выражается формулой $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю.
• Обратная пропорциональность — это зависимость, при которой произведение двух переменных постоянно. Она выражается формулой $y = \frac{k}{x}$ (или $xy = k$), где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю.
• Если формула не подходит ни под одно из этих определений, она не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.

1) Формула $P = 5,2b$ соответствует виду $y = kx$, где $y=P$, $x=b$ и коэффициент пропорциональности $k = 5,2$. Отношение $\frac{P}{b} = 5,2$ постоянно. Следовательно, это прямая пропорциональность.
Ответ: прямая пропорциональность.

2) Формула $a = 8q + 1$ не соответствует виду $y = kx$ из-за наличия слагаемого $+1$. При $q=0$, $a=1$, что нарушает условие прямой пропорциональности (если одна переменная равна нулю, то и другая должна быть равна нулю). Отношение $\frac{a}{q} = \frac{8q+1}{q} = 8 + \frac{1}{q}$ не является постоянным. Это линейная зависимость, но не прямая пропорциональность. Также она не является и обратной пропорциональностью.
Ответ: не является ни тем, ни другим.

3) Формулу $K = \frac{n}{2}$ можно переписать в виде $K = \frac{1}{2}n$. Она соответствует виду $y = kx$, где $y=K$, $x=n$ и коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Это прямая пропорциональность.
Ответ: прямая пропорциональность.

4) Формулу $c = 4 : d$ можно записать как $c = \frac{4}{d}$. Эта формула соответствует виду $y = \frac{k}{x}$, где $y=c$, $x=d$ и коэффициент $k = 4$. Произведение $cd = 4$ постоянно. Это обратная пропорциональность.
Ответ: обратная пропорциональность.

5) Формула $a = \frac{8}{b}$ соответствует виду $y = \frac{k}{x}$, где $y=a$, $x=b$ и коэффициент $k = 8$. Произведение $ab = 8$ постоянно. Это обратная пропорциональность.
Ответ: обратная пропорциональность.

6) Формулу $300 = vt$ можно переписать, выразив одну переменную через другую, например, $v = \frac{300}{t}$. Эта формула соответствует виду $y = \frac{k}{x}$, где $y=v$, $x=t$ и коэффициент $k = 300$. Произведение $vt$ постоянно и равно 300. Это обратная пропорциональность.
Ответ: обратная пропорциональность.

7) Формулу $M = m : 5$ можно записать как $M = \frac{m}{5}$ или $M = \frac{1}{5}m$. Она соответствует виду $y = kx$, где $y=M$, $x=m$ и коэффициент $k = \frac{1}{5}$. Это прямая пропорциональность.
Ответ: прямая пропорциональность.

8) Формула $ab = 18$ напрямую показывает, что произведение двух переменных $a$ и $b$ является постоянной величиной ($k=18$). Это определение обратной пропорциональности.
Ответ: обратная пропорциональность.

9) Формулу $G = \frac{1}{4k}$ можно представить как $G = \frac{1/4}{k}$. Она соответствует виду $y = \frac{c}{x}$, где $y=G$, $x=k$ и коэффициент $c = \frac{1}{4}$. Произведение $Gk = \frac{1}{4}$ постоянно. Это обратная пропорциональность.
Ответ: обратная пропорциональность.

10) Формула $S = a^2$ является квадратичной зависимостью. Отношение $\frac{S}{a} = \frac{a^2}{a} = a$ не является постоянным, так как зависит от $a$. Произведение $Sa = a^3$ также не является постоянным. Следовательно, эта зависимость не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.
Ответ: не является ни тем, ни другим.

164 Какие из приведенных ниже формул являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем, ни другим?

1) $P = 5.2b;$

2) $a = 8q + 1;$

3) $K = \frac{n}{2};$

4) $c = \frac{4}{d};$

5) $a = \frac{8}{b};$

6) $300 = vt;$

7) $M = \frac{m}{5};$

8) $ab = 18;$

9) $G = \frac{1}{4k};$

10) $S = a^2.$

185 Вычисли устно:

а) $-1 + \frac{2}{9}$;

б) $-1,6 + 4$;

в) $-0,9 - \frac{1}{2}$;

г) $-0,8 - (-0,8)$;

д) $-\frac{3}{7} \cdot 1,4$;

е) $-2,8 \cdot (-0,25)$;

ж) $0,3 : (-\frac{1}{3})$;

з) $(-2 : 5) : (-0,4)$.

а) Чтобы сложить $-1$ и $\frac{2}{9}$, представим $-1$ как дробь со знаменателем 9, то есть $-1 = -\frac{9}{9}$. Затем выполним сложение дробей: $ -1 + \frac{2}{9} = -\frac{9}{9} + \frac{2}{9} = \frac{-9 + 2}{9} = -\frac{7}{9}$.
Ответ: $-\frac{7}{9}$.

б) Складываем числа с разными знаками. Так как модуль положительного числа $4$ больше модуля отрицательного числа $-1,6$, результат будет положительным. Из большего модуля вычитаем меньший: $4 - 1,6 = 2,4$.
Ответ: $2,4$.

в) Чтобы вычесть $\frac{1}{2}$ из $-0,9$, удобно представить обыкновенную дробь в виде десятичной: $\frac{1}{2} = 0,5$. Тогда выражение примет вид: $-0,9 - 0,5 = -1,4$.
Ответ: $-1,4$.

г) Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению с противоположным ему положительным числом. Таким образом, $-0,8 - (-0,8) = -0,8 + 0,8$. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю.
Ответ: $0$.

д) Для выполнения умножения представим десятичную дробь $1,4$ в виде обыкновенной: $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$. Теперь выполним умножение дробей, сократив общий множитель 7: $-\frac{3}{7} \cdot 1,4 = -\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{5} = -\frac{3 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot 5} = -\frac{3}{5}$. Переведем результат в десятичную дробь: $-\frac{3}{5} = -0,6$.
Ответ: $-0,6$.

е) Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное. Умножение на $0,25$ эквивалентно делению на 4, так как $0,25 = \frac{1}{4}$. Поэтому: $-2,8 \cdot (-0,25) = 2,8 \cdot 0,25 = 2,8 : 4 = 0,7$.
Ответ: $0,7$.

ж) Представим десятичную дробь $0,3$ в виде обыкновенной: $0,3 = \frac{3}{10}$. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь (перевернутую): $0,3 : (-\frac{1}{3}) = \frac{3}{10} \cdot (-\frac{3}{1}) = -\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 1} = -\frac{9}{10} = -0,9$.
Ответ: $-0,9$.

з) Сначала выполним действие в скобках: $-2 : 5 = -\frac{2}{5} = -0,4$. Затем выполним второе деление: $(-0,4) : (-0,4)$. Деление любого ненулевого числа на само себя дает в результате 1.
Ответ: $1$.

185 Вычисли устно:

а) $-1 + \frac{2}{9}$;

б) $-1,6 + 4$;

в) $-0,9 - \frac{1}{2}$;

г) $-0,8 - (-0,8)$;

д) $-\frac{3}{7} \cdot 1,4$;

е) $-2,8 \cdot (-0,25)$;

ж) $0,3 : (-\frac{1}{3})$;

з) $(-2 : 5) : (-0,4)$.

186 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

a) $ \forall a \in Q: |a| \ge 0;$

б) $ \exists a \in Q: |a| = |-a|;$

в) $ \forall a, b \in Q: |a + b| = |a| + |b|;$

г) $ \exists a, b \in Q: |a + b| \ge |a - b|.$

а) Высказывание $ \forall a \in Q: |a| \geq 0 $ читается как "для любого рационального числа $a$ его модуль больше или равен нулю".

По определению, модуль (абсолютная величина) числа является расстоянием от этого числа до нуля на числовой прямой. Расстояние не может быть отрицательной величиной. Следовательно, для любого рационального числа $a$ его модуль $|a|$ всегда будет неотрицательным, то есть $ |a| \geq 0 $.

Таким образом, данное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

б) Высказывание $ \exists a \in Q: |a| = |-a| $ читается как "существует такое рациональное число $a$, что модуль числа $a$ равен модулю противоположного ему числа $-a$".

Это свойство модуля является верным для всех без исключения рациональных чисел. Чтобы доказать истинность высказывания с квантором существования ($ \exists $), достаточно найти хотя бы один пример, удовлетворяющий условию. Возьмем, к примеру, $a = 7$. Тогда $|a|=|7|=7$ и $|-a|=|-7|=7$. Равенство $|7|=|-7|$ выполняется. Так как мы нашли пример, высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

в) Высказывание $ \forall a, b \in Q: |a+b| = |a| + |b| $ читается как "для любых рациональных чисел $a$ и $b$ модуль их суммы равен сумме их модулей".

Данное утверждение является ложным. Равенство $|a+b| = |a| + |b|$ справедливо только в том случае, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки или одно из них (или оба) равно нулю. Чтобы опровергнуть высказывание с квантором всеобщности ($ \forall $), достаточно привести один контрпример.

Пусть $a=5$ и $b=-2$. Тогда:

Левая часть: $|a+b| = |5 + (-2)| = |3| = 3$.

Правая часть: $|a| + |b| = |5| + |-2| = 5 + 2 = 7$.

Так как $3 \neq 7$, исходное высказывание ложно.

Отрицанием высказывания "для всех ... верно, что ..." является высказывание "существует ..., для которого неверно, что ...". Следовательно, отрицанием для $ \forall a, b \in Q: |a+b| = |a| + |b| $ будет $ \exists a, b \in Q: |a+b| \neq |a| + |b| $.

Ответ: Ложно. Отрицание: $ \exists a, b \in Q: |a+b| \neq |a| + |b| $.

г) Высказывание $ \exists a, b \in Q: |a+b| \geq |a-b| $ читается как "существуют такие рациональные числа $a$ и $b$, что модуль их суммы больше или равен модулю их разности".

Для доказательства истинности этого высказывания достаточно найти хотя бы одну пару чисел $a$ и $b$, для которой неравенство выполняется.

Возьмем $a=3$ и $b=2$. Тогда:

Левая часть: $|a+b| = |3+2| = |5| = 5$.

Правая часть: $|a-b| = |3-2| = |1| = 1$.

Неравенство $5 \geq 1$ является верным. Следовательно, мы нашли пример, подтверждающий существование таких чисел, и исходное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

186 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\forall a \in Q: |a| \ge 0;$

б) $\exists a \in Q: |a| = |-a|;$

в) $\forall a, b \in Q: |a+b| = |a| + |b|;$

г) $\exists a, b \in Q: |a+b| \ge |a-b|.$

187 Отметь на координатной прямой множество решений неравенства:

a) $|x| < 4$;

б) $|x| \geq 3$;

в) $|x + 2| \leq 1$;

г) $|x - 1| > 2$.

а) $|x| < 4$

Неравенство вида $|a| < b$ (где $b > 0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$. Применительно к нашему случаю:

$-4 < x < 4$

Это означает, что решением являются все числа, расположенные между -4 и 4.

На координатной прямой это интервал между точками -4 и 4. Границы интервала, точки -4 и 4, не включаются в решение, поэтому они отмечаются выколотыми (пустыми) кружками, а область между ними заштриховывается.

Ответ: $(-4, 4)$

б) $|x| \ge 3$

Неравенство вида $|a| \ge b$ (где $b > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge b$ или $a \le -b$. Применительно к нашему случаю:

$x \ge 3$ или $x \le -3$

Решением являются все числа, которые больше или равны 3, а также все числа, которые меньше или равны -3.

На координатной прямой решение представляет собой объединение двух лучей. Первый луч идет от $-\infty$ до -3, включая точку -3. Второй луч идет от 3 до $+\infty$, включая точку 3. Граничные точки -3 и 3 включаются в решение и отмечаются закрашенными (сплошными) кружками.

Ответ: $(-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$

в) $|x+2| \le 1$

Неравенство вида $|a| \le b$ (где $b > 0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$. Применительно к нашему случаю:

$-1 \le x+2 \le 1$

Чтобы найти $x$, вычтем 2 из всех частей двойного неравенства:

$-1 - 2 \le x + 2 - 2 \le 1 - 2$

$-3 \le x \le -1$

Решением являются все числа, расположенные между -3 и -1, включая сами эти точки.

На координатной прямой решение представляет собой отрезок от -3 до -1. Граничные точки -3 и -1 включаются в решение и отмечаются закрашенными (сплошными) кружками.

Ответ: $[-3, -1]$

г) $|x-1| > 2$

Неравенство вида $|a| > b$ (где $b > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a > b$ или $a < -b$. Применительно к нашему случаю:

$x-1 > 2$ или $x-1 < -2$

Решим каждое неравенство из совокупности отдельно.

Первое неравенство:

$x-1 > 2$

$x > 2 + 1$

$x > 3$

Второе неравенство:

$x-1 < -2$

$x < -2 + 1$

$x < -1$

Объединяя решения, получаем, что $x$ должен быть либо меньше -1, либо больше 3.

На координатной прямой решение представляет собой объединение двух открытых лучей. Первый луч идет от $-\infty$ до -1, не включая точку -1. Второй луч идет от 3 до $+\infty$, не включая точку 3. Граничные точки -1 и 3 не включаются в решение и отмечаются выколотыми (пустыми) кружками.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$

187 Отметь на координатной прямой множество решений неравенства:

а) $ |x| < 4; $

б) $ |x| \ge 3; $

в) $ |x + 2| \le 1; $

г) $ |x - 1| > 2. $

188 a) Сумма трёх последовательных целых чисел равна (-9). Какие это числа?

б) Найди пять последовательных целых чисел, сумма которых равна 5.

а) Сумма трёх последовательных целых чисел равна (–9). Какие это числа?

Обозначим среднее из трёх последовательных целых чисел через $n$. Тогда предыдущее число будет $n-1$, а следующее — $n+1$.
Согласно условию, сумма этих трёх чисел равна -9. Составим уравнение:
$(n - 1) + n + (n + 1) = -9$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$n - 1 + n + n + 1 = -9$
$3n = -9$

Теперь найдём значение $n$:
$n = \frac{-9}{3}$
$n = -3$

Итак, среднее число равно -3. Найдём два других числа:
Первое число: $n - 1 = -3 - 1 = -4$
Третье число: $n + 1 = -3 + 1 = -2$
Таким образом, искомые числа — это -4, -3 и -2.

Ответ: -4, -3, -2.

б) Найди пять последовательных целых чисел, сумма которых равна 5.

Обозначим среднее из пяти последовательных целых чисел через $n$. Тогда остальные числа можно представить как $n-2$, $n-1$, $n+1$ и $n+2$.
По условию, сумма этих пяти чисел равна 5. Составим уравнение:
$(n - 2) + (n - 1) + n + (n + 1) + (n + 2) = 5$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$n - 2 + n - 1 + n + n + 1 + n + 2 = 5$
$5n = 5$

Найдём значение $n$:
$n = \frac{5}{5}$
$n = 1$

Среднее число равно 1. Найдём остальные четыре числа:
$n - 2 = 1 - 2 = -1$
$n - 1 = 1 - 1 = 0$
$n + 1 = 1 + 1 = 2$
$n + 2 = 1 + 2 = 3$
Следовательно, искомые числа — это -1, 0, 1, 2 и 3.

Ответ: -1, 0, 1, 2, 3.

188 а) Сумма трех последовательных целых чисел равна $(-9)$. Какие это числа?

б) Найди пять последовательных целых чисел, сумма которых равна $5$.

189. Выполни деление с остатком и сделай проверку, используя формулу $a = bc + r, r < b$:

а) 25 : 8; в) 51 : 9; д) 38 : 3; ж) 60 : 18;

б) 32 : 5; г) 45 : 6; е) 75 : 4; з) 82 : 15.

а) Выполним деление $25$ на $8$ с остатком.
$25 = 8 \cdot 3 + 1$.
Неполное частное равно $3$, остаток равен $1$.
Проверка:
1) Сравниваем остаток с делителем: $1 < 8$. Условие $r < b$ выполняется.
2) Проверяем по формуле $a = bc + r$: $8 \cdot 3 + 1 = 24 + 1 = 25$. Делимое $a=25$ найдено верно.
Ответ: $25 : 8 = 3$ (ост. $1$).

б) Выполним деление $32$ на $5$ с остатком.
$32 = 5 \cdot 6 + 2$.
Неполное частное равно $6$, остаток равен $2$.
Проверка:
1) Сравниваем остаток с делителем: $2 < 5$. Условие $r < b$ выполняется.
2) Проверяем по формуле $a = bc + r$: $5 \cdot 6 + 2 = 30 + 2 = 32$. Делимое $a=32$ найдено верно.
Ответ: $32 : 5 = 6$ (ост. $2$).

в) Выполним деление $51$ на $9$ с остатком.
$51 = 9 \cdot 5 + 6$.
Неполное частное равно $5$, остаток равен $6$.
Проверка:
1) Сравниваем остаток с делителем: $6 < 9$. Условие $r < b$ выполняется.
2) Проверяем по формуле $a = bc + r$: $9 \cdot 5 + 6 = 45 + 6 = 51$. Делимое $a=51$ найдено верно.
Ответ: $51 : 9 = 5$ (ост. $6$).

г) Выполним деление $45$ на $6$ с остатком.
$45 = 6 \cdot 7 + 3$.
Неполное частное равно $7$, остаток равен $3$.
Проверка:
1) Сравниваем остаток с делителем: $3 < 6$. Условие $r < b$ выполняется.
2) Проверяем по формуле $a = bc + r$: $6 \cdot 7 + 3 = 42 + 3 = 45$. Делимое $a=45$ найдено верно.
Ответ: $45 : 6 = 7$ (ост. $3$).

д) Выполним деление $38$ на $3$ с остатком.
$38 = 3 \cdot 12 + 2$.
Неполное частное равно $12$, остаток равен $2$.
Проверка:
1) Сравниваем остаток с делителем: $2 < 3$. Условие $r < b$ выполняется.
2) Проверяем по формуле $a = bc + r$: $3 \cdot 12 + 2 = 36 + 2 = 38$. Делимое $a=38$ найдено верно.
Ответ: $38 : 3 = 12$ (ост. $2$).

е) Выполним деление $75$ на $4$ с остатком.
$75 = 4 \cdot 18 + 3$.
Неполное частное равно $18$, остаток равен $3$.
Проверка:
1) Сравниваем остаток с делителем: $3 < 4$. Условие $r < b$ выполняется.
2) Проверяем по формуле $a = bc + r$: $4 \cdot 18 + 3 = 72 + 3 = 75$. Делимое $a=75$ найдено верно.
Ответ: $75 : 4 = 18$ (ост. $3$).

ж) Выполним деление $60$ на $18$ с остатком.
$60 = 18 \cdot 3 + 6$.
Неполное частное равно $3$, остаток равен $6$.
Проверка:
1) Сравниваем остаток с делителем: $6 < 18$. Условие $r < b$ выполняется.
2) Проверяем по формуле $a = bc + r$: $18 \cdot 3 + 6 = 54 + 6 = 60$. Делимое $a=60$ найдено верно.
Ответ: $60 : 18 = 3$ (ост. $6$).

з) Выполним деление $82$ на $15$ с остатком.
$82 = 15 \cdot 5 + 7$.
Неполное частное равно $5$, остаток равен $7$.
Проверка:
1) Сравниваем остаток с делителем: $7 < 15$. Условие $r < b$ выполняется.
2) Проверяем по формуле $a = bc + r$: $15 \cdot 5 + 7 = 75 + 7 = 82$. Делимое $a=82$ найдено верно.
Ответ: $82 : 15 = 5$ (ост. $7$).

189 Выполни деление с остатком и сделай проверку, используя формулу $a = bc + r, r < b$:

а) 25 : 8;

б) 32 : 5;

в) 51 : 9;

г) 45 : 6;

д) 38 : 3;

е) 75 : 4;

ж) 60 : 18;

з) 82 : 15.

190. а) Сумма двух чисел равна 130. При делении большего из них на меньшее в частном получается 3 и в остатке 2. Чему равна разность этих чисел?

б) Разность двух чисел равна 75. При делении большего на меньшее в частном получается 7 и в остатке 3. Чему равна их сумма?

а)

Обозначим большее число как $x$, а меньшее как $y$.

Исходя из условия задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

1. Сумма двух чисел равна 130:
$x + y = 130$

2. При делении большего числа на меньшее в частном получается 3 и в остатке 2. Это можно записать в виде формулы деления с остатком (делимое = делитель × частное + остаток):
$x = 3y + 2$

Теперь у нас есть система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 130 \\ x = 3y + 2 \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$(3y + 2) + y = 130$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$4y + 2 = 130$

$4y = 130 - 2$

$4y = 128$

$y = 128 / 4$

$y = 32$

Теперь, зная значение $y$, найдем $x$ из первого уравнения:

$x + 32 = 130$

$x = 130 - 32$

$x = 98$

Итак, искомые числа — это 98 и 32.

Найдем их разность:

$x - y = 98 - 32 = 66$

Ответ: 66

б)

Обозначим большее число как $a$, а меньшее как $b$.

Составим систему уравнений на основе условий задачи.

1. Разность двух чисел равна 75:
$a - b = 75$

2. При делении большего на меньшее в частном получается 7 и в остатке 3:
$a = 7b + 3$

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} a - b = 75 \\ a = 7b + 3 \end{cases}$

Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:

$(7b + 3) - b = 75$

Решим полученное уравнение относительно $b$:

$6b + 3 = 75$

$6b = 75 - 3$

$6b = 72$

$b = 72 / 6$

$b = 12$

Теперь найдем $a$ из первого уравнения:

$a - 12 = 75$

$a = 75 + 12$

$a = 87$

Итак, искомые числа — это 87 и 12.

Найдем их сумму:

$a + b = 87 + 12 = 99$

Ответ: 99

190 a) Сумма двух чисел равна 130. При делении большего из них на меньшее в частном получается 3 и в остатке 2. Чему равна разность этих чисел?

б) Разность двух чисел равна 75. При делении большего на меньшее в частном получается 7 и в остатке 3. Чему равна их сумма?

191 Составь выражение и найди его значение, если $a = -1.5$; $b = -\frac{1}{2}$:

а) разность числа $a$ и квадрата числа $b$;

б) разность квадратов чисел $a$ и $b$;

в) квадрат разности чисел $a$ и $b$;

г) частное квадрата числа $a$ и куба числа $b$;

д) число, обратное сумме квадратов чисел $a$ и $b$;

е) число, противоположное квадрату суммы чисел $a$ и $b$.

По условию задачи даны значения: $a = -1,5$ и $b = -\frac{1}{2}$. Для удобства вычислений представим $b$ в виде десятичной дроби: $b = -0,5$.

а) разность числа a и квадрата числа b;
Составим выражение, которое представляет собой разность числа $a$ и квадрата числа $b$: $a - b^2$.
Подставим заданные значения $a = -1,5$ и $b = -0,5$:
$a - b^2 = -1,5 - (-0,5)^2 = -1,5 - 0,25 = -1,75$.
Ответ: -1,75.

б) разность квадратов чисел a и b;
Составим выражение, которое представляет собой разность квадратов чисел $a$ и $b$: $a^2 - b^2$.
Подставим заданные значения $a = -1,5$ и $b = -0,5$:
$a^2 - b^2 = (-1,5)^2 - (-0,5)^2 = 2,25 - 0,25 = 2$.
Ответ: 2.

в) квадрат разности чисел a и b;
Составим выражение, которое представляет собой квадрат разности чисел $a$ и $b$: $(a - b)^2$.
Подставим заданные значения $a = -1,5$ и $b = -0,5$:
$(a - b)^2 = (-1,5 - (-0,5))^2 = (-1,5 + 0,5)^2 = (-1)^2 = 1$.
Ответ: 1.

г) частное квадрата числа a и куба числа b;
Составим выражение, которое представляет собой частное от деления квадрата числа $a$ на куб числа $b$: $\frac{a^2}{b^3}$.
Подставим заданные значения $a = -1,5$ и $b = -\frac{1}{2}$:
$a^2 = (-1,5)^2 = 2,25$.
$b^3 = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8} = -0,125$.
$\frac{a^2}{b^3} = \frac{2,25}{-0,125} = -18$.
Можно также выполнить вычисления в обыкновенных дробях: $a = -\frac{3}{2}$.
$\frac{(-\frac{3}{2})^2}{(-\frac{1}{2})^3} = \frac{\frac{9}{4}}{-\frac{1}{8}} = \frac{9}{4} \cdot (-\frac{8}{1}) = -\frac{9 \cdot 8}{4} = -9 \cdot 2 = -18$.
Ответ: -18.

д) число, обратное сумме квадратов чисел a и b;
Составим выражение. Сначала найдем сумму квадратов чисел $a$ и $b$: $a^2 + b^2$. Число, обратное этой сумме, равно $\frac{1}{a^2 + b^2}$.
Найдем значение суммы квадратов: $a^2 + b^2 = (-1,5)^2 + (-0,5)^2 = 2,25 + 0,25 = 2,5$.
Теперь найдем обратное число: $\frac{1}{2,5} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5} = 0,4$.
Ответ: 0,4.

е) число, противоположное квадрату суммы чисел a и b.
Составим выражение. Сначала найдем сумму чисел $a$ и $b$: $a + b$. Затем возведем ее в квадрат: $(a + b)^2$. Противоположное число будет $-(a + b)^2$.
Найдем сумму: $a + b = -1,5 + (-0,5) = -2$.
Возведем в квадрат: $(-2)^2 = 4$.
Число, противоположное 4, это -4.
Ответ: -4.

191 Составь выражение и найди его значение, если $a = -1.5$; $b = -\frac{1}{2}$:

а) разность числа $a$ и квадрата числа $b$;

б) разность квадратов чисел $a$ и $b$;

в) квадрат разности чисел $a$ и $b$;

г) частное квадрата числа $a$ и куба числа $b$;

д) число, обратное сумме квадратов чисел $a$ и $b$;

е) число, противоположное квадрату суммы чисел $a$ и $b$.

192 Найди значение выражения:

a) $-40 : (-5) - 2 \cdot (-6);$

б) $(4 - 32) : (-7) - 12;$

в) $-9 \cdot 5 - 5 \cdot (36 : (-6) - 4);$

г) $(-15 - (-18) : (-2)) : (-8);$

д) $(-2)^3 - (-3)^2;$

е) $(-1)^{2008} - (-1)^{2007}.$

а)

Для решения выражения $-40 : (-5) - 2 \cdot (-6)$ необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются умножение и деление, а затем вычитание.

1. Выполним деление: $-40 : (-5) = 8$. При делении двух отрицательных чисел получается положительное число.

2. Выполним умножение: $2 \cdot (-6) = -12$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение: $8 - (-12)$.

4. Выполним вычитание. Вычесть отрицательное число — то же самое, что прибавить соответствующее положительное число: $8 + 12 = 20$.

$-40 : (-5) - 2 \cdot (-6) = 8 - (-12) = 8 + 12 = 20$.

Ответ: 20

б)

Для решения выражения $(4 - 32) : (-7) - 12$ сначала выполняем действие в скобках, затем деление и в конце вычитание.

1. Вычислим значение в скобках: $4 - 32 = -28$.

2. Теперь выражение выглядит так: $-28 : (-7) - 12$.

3. Выполним деление: $-28 : (-7) = 4$.

4. Выполним вычитание: $4 - 12 = -8$.

$(4 - 32) : (-7) - 12 = -28 : (-7) - 12 = 4 - 12 = -8$.

Ответ: -8

в)

В выражении $-9 \cdot 5 - 5 \cdot (36 : (-6) - 4)$ сначала выполняем действия в скобках (деление, затем вычитание), потом умножение и в конце вычитание.

1. Выполним деление в скобках: $36 : (-6) = -6$.

2. Выполним вычитание в скобках: $-6 - 4 = -10$.

3. Теперь выражение выглядит так: $-9 \cdot 5 - 5 \cdot (-10)$.

4. Выполним умножение слева направо. Первое умножение: $-9 \cdot 5 = -45$.

5. Второе умножение: $5 \cdot (-10) = -50$.

6. Подставим значения: $-45 - (-50) = -45 + 50 = 5$.

$-9 \cdot 5 - 5 \cdot (36 : (-6) - 4) = -45 - 5 \cdot (-6 - 4) = -45 - 5 \cdot (-10) = -45 - (-50) = -45 + 50 = 5$.

Ответ: 5

г)

В выражении $(-15 - (-18) : (-2)) : (-8)$ сначала выполняются действия в скобках (сначала деление, потом вычитание), а затем деление за скобками.

1. Выполним деление в скобках: $(-18) : (-2) = 9$.

2. Выполним вычитание в скобках: $-15 - 9 = -24$.

3. Теперь выражение выглядит так: $-24 : (-8)$.

4. Выполним деление: $-24 : (-8) = 3$.

$(-15 - (-18) : (-2)) : (-8) = (-15 - 9) : (-8) = -24 : (-8) = 3$.

Ответ: 3

д)

В выражении $(-2)^3 - (-3)^2$ сначала возводим числа в степень, а затем выполняем вычитание.

1. Возведем в степень первое число: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$.

2. Возведем в степень второе число: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$.

3. Выполним вычитание: $-8 - 9 = -17$.

$(-2)^3 - (-3)^2 = -8 - 9 = -17$.

Ответ: -17

е)

В выражении $(-1)^{2008} - (-1)^{2007}$ сначала возводим $-1$ в соответствующие степени.

1. Число $-1$ в четной степени равно $1$. Поскольку $2008$ — четное число, то $(-1)^{2008} = 1$.

2. Число $-1$ в нечетной степени равно $-1$. Поскольку $2007$ — нечетное число, то $(-1)^{2007} = -1$.

3. Подставим полученные значения в выражение: $1 - (-1)$.

4. Выполним вычитание: $1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

$(-1)^{2008} - (-1)^{2007} = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

192 Найди значения выражений:

a) $-40 : (-5) - 2 \cdot (-6);$

б) $(4 - 32) : (-7) - 12;$

в) $-9 \cdot 5 - 5 \cdot (36 : (-6) - 4);$

г) $(-15 - (-18) : (-2)) : (-8)$

д) $(-2)^3 - (-3)^2;$

е) $(-1)^{2008} - (-1)^{2007}.$

193 Найди неизвестный член пропорции:

а) $\frac{-1,7}{x} = \frac{5,1}{-1,8}$

б) $\frac{-0,35}{-\frac{1}{2}} = \frac{-0,5}{x}$

В) $\frac{4\frac{1}{3}}{x} = \frac{-2,6}{0,09}$

Г) $\frac{-6\frac{2}{9}}{1,6} = \frac{x}{-1\frac{2}{7}}$

а) Дана пропорция $\frac{-1,7}{x} = \frac{5,1}{-1,8}$.
Чтобы найти неизвестный член пропорции, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. В данном случае крайние члены — это $-1,7$ и $-1,8$, а средние — $x$ и $5,1$.
Запишем уравнение:
$x \cdot 5,1 = (-1,7) \cdot (-1,8)$
$5,1x = 3,06$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $5,1$:
$x = \frac{3,06}{5,1}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:
$x = \frac{30,6}{51}$
$x = 0,6$
Ответ: $0,6$.

б) Дана пропорция $\frac{-0,35}{-\frac{1}{2}} = \frac{-0,5}{x}$.
Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$x \cdot (-0,35) = (-\frac{1}{2}) \cdot (-0,5)$
Представим десятичную дробь $-0,5$ в виде обыкновенной дроби $-\frac{1}{2}$:
$x \cdot (-0,35) = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2})$
$x \cdot (-0,35) = \frac{1}{4}$
Теперь представим $-0,35$ как $\frac{1}{4} = 0,25$:
$-0,35x = 0,25$
Найдем $x$:
$x = \frac{0,25}{-0,35} = -\frac{25}{35}$
Сократим дробь на 5:
$x = -\frac{5}{7}$
Ответ: $-\frac{5}{7}$.

в) Дана пропорция $\frac{4\frac{1}{3}}{x} = \frac{-2,6}{0,09}$.
Сначала преобразуем все числа в обыкновенные дроби для удобства вычислений.
$4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$
$-2,6 = -\frac{26}{10} = -\frac{13}{5}$
$0,09 = \frac{9}{100}$
Пропорция принимает вид: $\frac{\frac{13}{3}}{x} = \frac{-\frac{13}{5}}{\frac{9}{100}}$.
По основному свойству пропорции:
$x \cdot (-\frac{13}{5}) = \frac{13}{3} \cdot \frac{9}{100}$
Выполним умножение в правой части:
$-\frac{13}{5}x = \frac{13 \cdot 9}{3 \cdot 100} = \frac{13 \cdot 3}{100} = \frac{39}{100}$
Теперь найдем $x$, разделив правую часть на коэффициент при $x$:
$x = \frac{39}{100} \div (-\frac{13}{5})$
$x = \frac{39}{100} \cdot (-\frac{5}{13})$
$x = -\frac{39 \cdot 5}{100 \cdot 13}$
Сокращаем дробь: $39 = 3 \cdot 13$ и $100 = 20 \cdot 5$.
$x = -\frac{(3 \cdot 13) \cdot 5}{(20 \cdot 5) \cdot 13} = -\frac{3}{20}$
Преобразуем ответ в десятичную дробь: $x = -0,15$.
Ответ: $-0,15$.

г) Дана пропорция $\frac{-6\frac{2}{9}}{1,6} = \frac{x}{-1\frac{2}{7}}$.
Преобразуем все смешанные числа и десятичные дроби в неправильные дроби.
$-6\frac{2}{9} = -\frac{6 \cdot 9 + 2}{9} = -\frac{56}{9}$
$1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$
$-1\frac{2}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = -\frac{9}{7}$
Подставим эти значения в пропорцию: $\frac{-\frac{56}{9}}{\frac{8}{5}} = \frac{x}{-\frac{9}{7}}$.
Используем основное свойство пропорции:
$x \cdot \frac{8}{5} = (-\frac{56}{9}) \cdot (-\frac{9}{7})$
Вычислим произведение в правой части. Знак будет положительным, дроби $\frac{9}{9}$ сокращаются:
$\frac{8}{5}x = \frac{56 \cdot 9}{9 \cdot 7} = \frac{56}{7} = 8$
Получаем уравнение:
$\frac{8}{5}x = 8$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на обратную дробь к $\frac{8}{5}$, то есть на $\frac{5}{8}$:
$x = 8 \cdot \frac{5}{8}$
$x = 5$
Ответ: $5$.

193 Найди неизвестный член пропорции:

а) $\frac{-1,7}{x} = \frac{5,1}{-1,8};$

б) $\frac{-0,35}{-\frac{1}{2}} = \frac{-0,5}{x};$

в) $\frac{4\frac{1}{3}}{x} = \frac{-2,6}{0,09};$

г) $\frac{-6\frac{2}{9}}{1,6} = \frac{x}{-1\frac{2}{7}}.$