Страница 34, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

К 120

Переведи высказывания на русский язык. Рассмотри различные варианты перевода.

1) $\forall a \in A: a$ – имеет дневник ($A$ – множество учеников);

2) $\exists b \in A: b$ – пишет стихи ($A$ – множество учеников);

3) $\exists x \in B: x$ – имеет синоним ($B$ – множество слов русского языка);

4) $\forall y \in B: y$ – является глаголом ($B$ – множество слов русского языка);

5) $\exists m, n \in P: m \parallel n$ ($P$ – множество прямых на плоскости; знак $\parallel$ обозначает параллельность прямых);

6) $\forall A, B \in C: AO = OB$ ($C$ – множество точек окружности с центром $O$);

7) $\forall a, b \in N: a > b$, или $a < b$, или $a = b$;

8) $\exists x, y, z \in N: x + y + z = xyz$.

Для перевода высказываний с языка математической логики на русский язык необходимо понимать значение используемых символов:

• $∀$ — квантор всеобщности. Читается как «для любого», «для каждого», «всякий», «каждый». Означает, что утверждение верно для всех без исключения элементов множества.
• $∃$ — квантор существования. Читается как «существует», «найдётся». Означает, что есть хотя бы один элемент в множестве, для которого утверждение верно.
• $∈$ — знак принадлежности. Означает, что элемент принадлежит множеству. Например, $a ∈ A$ читается как «элемент $a$ принадлежит множеству $A$».
• $: $ (двоеточие) или $|$ (вертикальная черта) — знаки, отделяющие переменную и множество от предиката (утверждения). Читаются как «такой, что», «для которого верно, что» или просто опускаются при переводе.

Высказывание: $∀a ∈ A: a$ - имеет дневник ($A$ – множество учеников).
Это утверждение с квантором всеобщности. Оно говорит о том, что свойством «иметь дневник» обладает каждый элемент множества $A$.
Варианты перевода:
- Для любого ученика $a$ из множества учеников $A$ верно, что $a$ имеет дневник.
- Каждый ученик имеет дневник.
- Все ученики имеют дневники.
- У любого ученика есть дневник.

Ответ: Каждый ученик имеет дневник.

Высказывание: $∃b ∈ A: b$ - пишет стихи ($A$ – множество учеников).
Это утверждение с квантором существования. Оно говорит о том, что во множестве учеников $A$ найдётся как минимум один элемент, обладающий свойством «писать стихи».
Варианты перевода:
- Существует ученик $b$ из множества $A$ такой, что $b$ пишет стихи.
- Найдётся ученик, который пишет стихи.
- Хотя бы один ученик пишет стихи.
- Некоторые ученики пишут стихи.

Ответ: Существует ученик, который пишет стихи.

Высказывание: $∃x ∈ B: x$ - имеет синоним ($B$ – множество слов русского языка).
Утверждается, что в русском языке есть хотя бы одно слово, для которого можно подобрать синоним.
Варианты перевода:
- Существует слово $x$ в русском языке, которое имеет синоним.
- В русском языке найдётся слово, имеющее синоним.
- Некоторые слова русского языка имеют синонимы.

Ответ: В русском языке существует слово, которое имеет синоним.

Высказывание: $∀y ∈ B: y$ - является глаголом ($B$ – множество слов русского языка).
Утверждается, что абсолютно любое слово русского языка является глаголом. Хотя это утверждение ложно, его перевод должен быть точным.
Варианты перевода:
- Для любого слова $y$ из русского языка верно, что $y$ является глаголом.
- Каждое слово русского языка является глаголом.
- Все слова в русском языке — глаголы.

Ответ: Каждое слово русского языка является глаголом.

Высказывание: $∃m, n ∈ P: m \parallel n$ ($P$ – множество прямых на плоскости; знак $\parallel$ обозначает параллельность прямых).
Утверждается, что на плоскости существует по крайней мере одна пара прямых ($m$ и $n$), которые параллельны друг другу.
Варианты перевода:
- Существуют прямые $m$ и $n$ на плоскости такие, что $m$ параллельна $n$.
- На плоскости найдутся две параллельные прямые.
- Существуют параллельные прямые на плоскости.

Ответ: На плоскости существуют параллельные прямые.

Высказывание: $∀A, B ∈ C: AO = OB$ ($C$ – множество точек окружности с центром $O$).
Утверждается, что для любых двух точек $A$ и $B$, взятых на окружности с центром $O$, расстояние от центра до этих точек одинаково. Это одно из определений окружности.
Варианты перевода:
- Для любых двух точек $A$ и $B$, лежащих на окружности с центром в точке $O$, длины отрезков $AO$ и $OB$ равны.
- Все точки окружности равноудалены от ее центра.
- Расстояние от центра окружности до любой ее точки одинаково (и равно радиусу).

Ответ: Все точки окружности равноудалены от ее центра.

Высказывание: $∀a, b ∈ N: a > b$, или $a < b$, или $a = b$.
Здесь $N$ — множество натуральных чисел. Утверждение гласит, что для любой пары натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется ровно одно из трех условий: либо первое число больше второго, либо меньше, либо они равны. Это свойство называется законом трихотомии.
Варианты перевода:
- Для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ верно, что $a$ больше $b$, или $a$ меньше $b$, или $a$ равно $b$.
- Любые два натуральных числа сравнимы между собой.
- Из двух натуральных чисел одно всегда либо больше, либо меньше, либо равно другому.

Ответ: Для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется ровно одно из соотношений: $a > b$, $a < b$ или $a = b$.

Высказывание: $∃x, y, z ∈ N: x + y + z = xyz$.
Утверждается, что существуют такие три натуральных числа ($x, y, z$), сумма которых равна их произведению. (Например, числа 1, 2 и 3: $1+2+3 = 6$ и $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$).
Варианты перевода:
- Существуют натуральные числа $x, y, z$, для которых их сумма равна их произведению.
- Найдутся три натуральных числа, сумма которых равна их произведению.

Ответ: Существуют такие натуральные числа $x, y, z$, что их сумма равна их произведению.

120 Переведи высказывания на русский язык. Рассмотри различные варианты перевода.

1) $\forall a \in A$: $a$ - имеет дневник ($A$ - множество учеников);

2) $\exists b \in A$: $b$ - пишет стихи ($A$ - множество учеников);

3) $\exists x \in B$: $x$ - имеет синоним ($B$ - множество слов русского языка);

4) $\forall y \in B$: $y$ - является глаголом ($B$ - множество слов русского языка);

5) $\exists m, n \in P$: $m \parallel n$ ($P$ - множество прямых на плоскости; знак $\parallel$ обозначает параллельность прямых);

6) $\forall A, B \in C$: $AO = OB$ ($C$ - множество точек окружности с центром $O$);

7) $\forall a, b \in N$: $a > b$, или $a < b$, или $a = b$;

8) $\exists x, y, z \in N$: $x + y + z = xyz$.

121 Запиши утверждения с помощью кванторов существования и общности.

1) У каждой реки есть исток.

2) Есть реки, которые длиннее Амазонки.

3) Все дельфины живут в воде.

4) Некоторые дети умеют кататься на велосипеде.

5) Диаметры одной окружности равны.

6) Прямые при пересечении могут образовывать прямой угол.

7) Квадрат правильной дроби всегда меньше самой дроби.

8) Куб натурального числа может быть равен самому числу.

1) У каждой реки есть исток.
Данное утверждение означает, что для любой ($\forall$) реки существует ($\exists$) исток. Если обозначить переменную для рек как $x$, а для истоков как $y$, то утверждение можно записать с помощью кванторов.
Ответ: $\forall$ (река $x$) $\exists$ (исток $y$) такой, что ($y$ является истоком реки $x$).

2) Есть реки, которые длиннее Амазонки.
Фраза "Есть реки" указывает на существование хотя бы одной такой реки. Поэтому используется квантор существования ($\exists$). Пусть $x$ — это река.
Ответ: $\exists$ (река $x$) такая, что (длина $x$ > длины Амазонки).

3) Все дельфины живут в воде.
Слово "Все" указывает на то, что утверждение верно для каждого представителя множества. Используется квантор всеобщности ($\forall$). Пусть $x$ — это дельфин.
Ответ: $\forall$ (дельфин $x$) ($x$ живет в воде).

4) Некоторые дети умеют кататься на велосипеде.
Слово "Некоторые" означает, что существует хотя бы один такой ребенок. Используется квантор существования ($\exists$). Пусть $x$ — это ребенок.
Ответ: $\exists$ (ребенок $x$) такой, что ($x$ умеет кататься на велосипеде).

5) Диаметры одной окружности равны.
Это утверждение подразумевает, что любые два диаметра одной и той же окружности равны между собой. Используется квантор всеобщности ($\forall$). Пусть $C$ — это конкретная окружность, а $d_1$ и $d_2$ — ее любые два диаметра.
Ответ: $\forall$ (диаметры $d_1, d_2$ окружности $C$) (длина $d_1$ = длина $d_2$).

6) Прямые при пересечении могут образовывать прямой угол.
Фраза "могут образовывать" говорит о возможности, то есть о существовании хотя бы одной пары прямых с таким свойством. Используется квантор существования ($\exists$). Пусть $l_1$ и $l_2$ — это прямые.
Ответ: $\exists$ (прямые $l_1, l_2$) такие, что ($l_1$ и $l_2$ пересекаются и образуют прямой угол).

7) Квадрат правильной дроби всегда меньше самой дроби.
Слово "всегда" указывает на универсальность утверждения для всех правильных дробей. Используется квантор всеобщности ($\forall$). Правильная дробь — это число $x$, для которого выполняется $0 < x < 1$.
Ответ: $\forall$ (правильная дробь $x$) ($x^2 < x$).

8) Куб натурального числа может быть равен самому числу.
Фраза "может быть" указывает на существование хотя бы одного такого натурального числа. Используется квантор существования ($\exists$). Множество натуральных чисел обозначается $\mathbb{N}$.
Ответ: $\exists n \in \mathbb{N} : n^3 = n$.

121 Запиши утверждения с помощью кванторов существования и общности:

1) У каждой реки есть исток.

2) Есть реки, которые длиннее Нила.

3) Все дельфины живут в воде.

4) Некоторые дети умеют кататься на велосипеде.

5) Диаметры одной окружности равны.

6) Прямые при пересечении могут образовывать прямой угол.

7) Квадрат правильной дроби всегда меньше самой дроби.

8) Куб натурального числа может быть равен самому числу.

132 Приведи примеры величин, связанных зависимостью вида $a = bc$. Из формул этих зависимостей вырази значение каждой величины.

Образец: $s = vt \Leftrightarrow v = \frac{s}{t} \Leftrightarrow t = \frac{s}{v}$.

Зависимость вида $a=bc$ связывает три величины, где одна величина является произведением двух других. Вот несколько примеров таких зависимостей.

1. Стоимость покупки

Общая стоимость покупки ($C$) зависит от цены ($p$) за единицу товара и количества ($n$) купленного товара. Эта зависимость выражается формулой:

$C = p \cdot n$

Из этой формулы можно выразить цену и количество:

• Чтобы найти цену товара, нужно общую стоимость разделить на количество: $p = \frac{C}{n}$
• Чтобы найти количество товара, нужно общую стоимость разделить на цену: $n = \frac{C}{p}$

Ответ: $C = p \cdot n \Leftrightarrow p = \frac{C}{n} \Leftrightarrow n = \frac{C}{p}$

2. Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника ($S$) зависит от его длины ($l$) и ширины ($w$). Эта зависимость выражается формулой:

$S = l \cdot w$

Из этой формулы можно выразить длину и ширину:

• Чтобы найти длину прямоугольника, нужно его площадь разделить на ширину: $l = \frac{S}{w}$
• Чтобы найти ширину прямоугольника, нужно его площадь разделить на длину: $w = \frac{S}{l}$

Ответ: $S = l \cdot w \Leftrightarrow l = \frac{S}{w} \Leftrightarrow w = \frac{S}{l}$

3. Выполненная работа

Объём выполненной работы ($A$) зависит от производительности ($P$) (скорости выполнения работы) и времени ($t$), затраченного на работу. Эта зависимость выражается формулой:

$A = P \cdot t$

Из этой формулы можно выразить производительность и время:

• Чтобы найти производительность, нужно объём работы разделить на время: $P = \frac{A}{t}$
• Чтобы найти время, нужно объём работы разделить на производительность: $t = \frac{A}{P}$

Ответ: $A = P \cdot t \Leftrightarrow P = \frac{A}{t} \Leftrightarrow t = \frac{A}{P}$

132 Приведи примеры величин, связанных зависимостью вида $a = bc$. Из формул этих зависимостей вырази значение каждой величины.

Образец: $s = vt \Leftrightarrow v = \frac{s}{t} \Leftrightarrow t = \frac{s}{v}$

144 Построй четырёхугольник ABCD по координатам вершин: $A (4; 2)$, $B (2; 8)$, $C (14; 12)$, $D (10; 0)$. Проведи диагонали и определи координаты точки их пересечения. Найди как можно больше свойств четырёхугольника ABCD.

Построим четырёхугольник, отметив на координатной плоскости точки A(4; 2), B(2; 8), C(14; 12), D(10; 0) и соединив их отрезками. Диагоналями четырёхугольника являются отрезки AC и BD.

Определи координаты точки их пересечения

Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей, необходимо составить уравнения прямых, на которых лежат эти диагонали, и решить систему этих уравнений.

1. Уравнение прямой AC.
Прямая проходит через точки A(4; 2) и C(14; 12). Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид:$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$Подставим координаты точек A и C:$\frac{x - 4}{14 - 4} = \frac{y - 2}{12 - 2}$$\frac{x - 4}{10} = \frac{y - 2}{10}$$x - 4 = y - 2$$y = x - 2$

2. Уравнение прямой BD.
Прямая проходит через точки B(2; 8) и D(10; 0). Подставим их координаты в ту же формулу:$\frac{x - 2}{10 - 2} = \frac{y - 8}{0 - 8}$$\frac{x - 2}{8} = \frac{y - 8}{-8}$$-(x - 2) = y - 8$$-x + 2 = y - 8$$y = -x + 10$

3. Найдём точку пересечения.
Для этого решим систему уравнений:$\begin{cases} y = x - 2 \\ y = -x + 10 \end{cases}$Приравняем правые части:$x - 2 = -x + 10$$2x = 12$$x = 6$Теперь найдём $y$, подставив $x=6$ в первое уравнение:$y = 6 - 2 = 4$Таким образом, диагонали AC и BD пересекаются в точке O(6; 4).

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей — (6; 4).

Найди как можно больше свойств четырёхугольника ABCD

Исследуем свойства четырёхугольника, вычислив длины его сторон, угловые коэффициенты сторон и диагоналей.

1. Длины сторон.
Используем формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
$AB = \sqrt{(2-4)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$
$BC = \sqrt{(14-2)^2 + (12-8)^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160}$
$CD = \sqrt{(10-14)^2 + (0-12)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160}$
$DA = \sqrt{(4-10)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$Мы видим, что смежные стороны попарно равны: $AB = DA$ и $BC = CD$. Четырёхугольник с таким свойством называется дельтоидом (или кайтом).

2. Угловые коэффициенты (наклоны) сторон.
Используем формулу углового коэффициента $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
$k_{AB} = \frac{8-2}{2-4} = \frac{6}{-2} = -3$
$k_{BC} = \frac{12-8}{14-2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$k_{CD} = \frac{0-12}{10-14} = \frac{-12}{-4} = 3$
$k_{DA} = \frac{2-0}{4-10} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$Так как $k_{AB} \cdot k_{BC} = -3 \cdot \frac{1}{3} = -1$, стороны AB и BC перпендикулярны, то есть $\angle B = 90^\circ$.Так как $k_{CD} \cdot k_{DA} = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1$, стороны CD и DA перпендикулярны, то есть $\angle D = 90^\circ$.Противоположные углы B и D равны. Это также свойство дельтоида (равны углы между неравными сторонами).

3. Свойства диагоналей.
Угловой коэффициент диагонали AC: $k_{AC} = \frac{12-2}{14-4} = \frac{10}{10} = 1$.Угловой коэффициент диагонали BD: $k_{BD} = \frac{0-8}{10-2} = \frac{-8}{8} = -1$.Поскольку произведение угловых коэффициентов $k_{AC} \cdot k_{BD} = 1 \cdot (-1) = -1$, диагонали AC и BD перпендикулярны.Проверим, является ли точка пересечения O(6; 4) серединой какой-либо из диагоналей.Середина BD: $(\frac{2+10}{2}; \frac{8+0}{2}) = (\frac{12}{2}; \frac{8}{2}) = (6; 4)$. Это точка O.Середина AC: $(\frac{4+14}{2}; \frac{2+12}{2}) = (\frac{18}{2}; \frac{14}{2}) = (9; 7)$. Это не точка O.Таким образом, диагональ AC является серединным перпендикуляром к диагонали BD. Это основное свойство дельтоида.

4. Дополнительные свойства.
Поскольку у четырёхугольника два противоположных угла (B и D) прямые, сумма которых $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, то вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность. Диаметром этой окружности будет диагональ AC, соединяющая вершины двух других углов.

Ответ: Основные свойства четырёхугольника ABCD:

• Это дельтоид (кайт), так как у него смежные стороны попарно равны ($AB=DA=\sqrt{40}$ и $BC=CD=\sqrt{160}$).
• Два противоположных угла являются прямыми: $\angle B = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$.
• Диагонали взаимно перпендикулярны.
• Диагональ AC является серединным перпендикуляром к диагонали BD.
• Четырёхугольник является вписанным (вокруг него можно описать окружность).

144 Построй четырехугольник $ABCD$ по координатам вершин: $A (4; 2)$, $B (2; 8)$, $C (14; 12)$, $D (10; 0)$. Проведи диагонали и определи координаты точки их пересечения. Найди как можно больше свойств четырехугольника $ABCD$.

145 Зависимости между величинами заданы с помощью формул. Переведи высказывания с математического языка на русский.

$S = ab;$ $P = 2(a + b);$ $s = vt;$ $s = v_{\text{сбл.}} \cdot t_{\text{встр.}};$

$V = abc;$ $S = 2(ab + bc + ac);$ $a = bc + r, r < b;$ $v_{\text{соб.}} = (v_{\text{по теч.}} + v_{\text{пр. теч.}}) : 2.$

$S = ab$
Данная формула описывает зависимость площади прямоугольника $S$ от длин его сторон $a$ и $b$. Чтобы найти площадь, необходимо перемножить длины его смежных сторон.
Ответ: Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.

$P = 2(a + b)$
Эта формула выражает периметр прямоугольника $P$ через длины его сторон $a$ и $b$. Периметр — это сумма длин всех сторон. Чтобы его найти, нужно сложить длины двух смежных сторон и умножить результат на два.
Ответ: Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его смежных сторон.

$s = vt$
Формула пути, которая связывает расстояние $s$, скорость $v$ и время $t$. Она показывает, что пройденный путь прямо пропорционален скорости и времени движения.
Ответ: Расстояние равно произведению скорости на время.

$s = v_{\text{сбл.}} \cdot t_{\text{встр.}}$
Эта формула используется для задач на встречное движение. Она показывает, что первоначальное расстояние между двумя объектами $s$ равно произведению их скорости сближения $v_{\text{сбл.}}$ на время до их встречи $t_{\text{встр.}}$.
Ответ: Расстояние равно произведению скорости сближения на время до встречи.

$V = abc$
Формула для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда $V$ через три его измерения: длину $a$, ширину $b$ и высоту $c$.
Ответ: Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений (длины, ширины и высоты).

$S = 2(ab + bc + ac)$
Формула для вычисления площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда $S$. Площадь поверхности — это сумма площадей всех его шести граней. Формула показывает, что для её вычисления нужно найти сумму площадей трёх граней с общей вершиной и умножить результат на два.
Ответ: Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме попарных произведений трёх его измерений.

$a = bc + r, \ r < b$
Это формула деления с остатком. Она показывает, как делимое $a$ связано с делителем $b$, неполным частным $c$ и остатком $r$. Важным условием является то, что остаток от деления $r$ всегда меньше делителя $b$.
Ответ: Делимое равно произведению делителя на неполное частное плюс остаток, причём остаток меньше делителя.

$v_{\text{соб.}} = (v_{\text{по теч.}} + v_{\text{пр. теч.}}) : 2$
Формула для нахождения собственной скорости объекта (например, лодки), движущегося по реке. Собственная скорость $v_{\text{соб.}}$ — это скорость объекта в стоячей воде. Она вычисляется как среднее арифметическое (полусумма) скорости по течению $v_{\text{по теч.}}$ и скорости против течения $v_{\text{пр. теч.}}$.
Ответ: Собственная скорость равна полусумме скорости по течению и скорости против течения.

145 Зависимости между величинами заданы с помощью формул. Переведи высказывания с математического языка на русский.

$S = ab; P = 2(a + b); s = vt; s = v_{\text{сбл.}} \cdot t_{\text{встр.}};$

$V = abc; S = 2(ab + bc + ac); a = bc + r, r < b; v_{\text{соб.}} = (v_{\text{по теч.}} + v_{\text{пр. теч.}}): 2.$

146 На графике показано движение пешехода и велосипедиста по дороге от деревни до станции. Определи по графику:

а) момент их выхода и направление движения;

б) время и место встречи;

в) скорости движения на всех участках;

г) время и продолжительность остановок.

$S$ км

велосипедист

пешеход

$t$ ч

а) момент их выхода и направление движения;

Для определения момента выхода и направления движения проанализируем начальные точки и наклон графиков для пешехода (черная линия) и велосипедиста (розовая линия). За начало отсчета (S=0 км) примем деревню, а за конечную точку (S=36 км) — станцию.

Пешеход:
График движения пешехода начинается в точке с координатами (t=9:00, S=0 км). Это означает, что пешеход вышел в 9:00 из деревни. Так как с течением времени расстояние S от деревни увеличивается (график идет вверх), пешеход движется от деревни к станции.

Велосипедист:
График движения велосипедиста начинается в точке с координатами (t=10:00, S=36 км). Это означает, что велосипедист выехал в 10:00 от станции. Так как с течением времени расстояние S от деревни уменьшается (график идет вниз), велосипедист движется от станции к деревне, то есть навстречу пешеходу.

Ответ: Пешеход вышел в 9:00 из деревни в направлении станции. Велосипедист выехал в 10:00 со станции в направлении деревни.

б) время и место встречи;

Время и место встречи соответствуют точке пересечения графиков движения. Для точного определения координат этой точки решим систему уравнений движения для пешехода и велосипедиста на участках, где они движутся навстречу друг другу.

1. Уравнение движения пешехода на первом участке (с 9:00 до 12:00).
Скорость пешехода: $v_п = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{12 \text{ км} - 0 \text{ км}}{12 \text{ ч} - 9 \text{ ч}} = \frac{12 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$.
Уравнение движения: $S_п(t) = 4 \cdot (t - 9)$, где t — время в часах.

2. Уравнение движения велосипедиста на первом участке (с 10:00 до 11:30).
Скорость велосипедиста: $v_в = \frac{|12 \text{ км} - 36 \text{ км}|}{11.5 \text{ ч} - 10 \text{ ч}} = \frac{24 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч}$.
Уравнение движения: $S_в(t) = 36 - 16 \cdot (t - 10)$.

3. В момент встречи их координаты равны: $S_п(t) = S_в(t)$. Найдем время встречи t:
$4 \cdot (t - 9) = 36 - 16 \cdot (t - 10)$
$4t - 36 = 36 - 16t + 160$
$20t = 232$
$t = 11.6$ часа. Переведем 0.6 часа в минуты: $0.6 \cdot 60 = 36$ минут. Таким образом, время встречи — 11:36.

4. Найдем место встречи, подставив найденное время в любое из уравнений:
$S = 4 \cdot (11.6 - 9) = 4 \cdot 2.6 = 10.4$ км.
Место встречи находится на расстоянии 10.4 км от деревни.

Ответ: Встреча произошла в 11:36 на расстоянии 10.4 км от деревни.

в) скорости движения на всех участках;

Скорость на каждом участке вычисляется по формуле $v = \frac{\Delta S}{\Delta t}$, где $\Delta S$ — пройденное расстояние, а $\Delta t$ — затраченное время.

Скорости пешехода:
1. Участок 9:00 – 12:00: $v_1 = \frac{12 \text{ км} - 0 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$.
2. Участок 12:00 – 13:00: $\Delta S = 0$, следовательно, $v_2 = 0 \text{ км/ч}$ (остановка).
3. Участок 13:00 – 17:30: $v_3 = \frac{36 \text{ км} - 12 \text{ км}}{4.5 \text{ ч}} = \frac{24 \text{ км}}{4.5 \text{ ч}} = \frac{16}{3} \approx 5.33 \text{ км/ч}$.

Скорости велосипедиста:
1. Участок 10:00 – 11:30: $v_1 = \frac{|12 \text{ км} - 36 \text{ км}|}{1.5 \text{ ч}} = \frac{24 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч}$.
2. Участок 11:30 – 13:00: $\Delta S = 0$, следовательно, $v_2 = 0 \text{ км/ч}$ (остановка).
3. Участок 13:00 – 14:00: $v_3 = \frac{|0 \text{ км} - 12 \text{ км}|}{1 \text{ ч}} = \frac{12 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 12 \text{ км/ч}$.

Ответ:
Скорости пешехода: с 9:00 до 12:00 — 4 км/ч; с 12:00 до 13:00 — 0 км/ч; с 13:00 до 17:30 — $\frac{16}{3}$ км/ч (приблизительно 5.33 км/ч).
Скорости велосипедиста: с 10:00 до 11:30 — 16 км/ч; с 11:30 до 13:00 — 0 км/ч; с 13:00 до 14:00 — 12 км/ч.

г) время и продолжительность остановок.

Остановкам на графике зависимости расстояния от времени соответствуют горизонтальные участки, на которых расстояние не изменяется ($\Delta S = 0$).

Остановка пешехода:
График пешехода горизонтален в интервале времени с 12:00 до 13:00.
Продолжительность остановки: $13:00 - 12:00 = 1$ час.

Остановка велосипедиста:
График велосипедиста горизонтален в интервале времени с 11:30 до 13:00.
Продолжительность остановки: $13:00 - 11:30 = 1$ час 30 минут (или 1.5 часа).

Ответ:
Пешеход сделал остановку с 12:00 до 13:00, продолжительностью 1 час.
Велосипедист сделал остановку с 11:30 до 13:00, продолжительностью 1 час 30 минут.

146 На графике показано движение пешехода и велосипедиста по дороге от деревни до станции. Определи по графику:

а) момент их выхода и направление движения;

б) время и место встречи;

в) скорости движения на всех участках;

г) время и продолжительность остановок.

$S \text{ км}$

$t \text{ ч}$

велосипедист

пешеход

147 Вырази в указанных единицах измерения:

а) в метрах в минуту: $12 \text{ км/ч}$; $1,8 \text{ км/ч}$; $3 \text{ км/ч}$; $1,5 \text{ м/с}$; $4 \text{ м/с}$; $0,8 \text{ м/с}$;

б) в километрах в час: $25 \text{ м/мин}$; $150 \text{ м/мин}$; $400 \text{ м/мин}$; $5 \text{ м/с}$; $12,5 \text{ м/с}$; $40 \text{ м/с}$;

в) в метрах в секунду: $9 \text{ км/ч}$; $54 \text{ км/ч}$; $126 \text{ км/ч}$; $90 \text{ м/мин}$; $120 \text{ м/мин}$; $144 \text{ м/мин}$.

а) в метрах в минуту:

Для перевода скорости из километров в час (км/ч) в метры в минуту (м/мин) необходимо учесть, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$ и $1 \text{ час} = 60 \text{ минут}$. Формула для перевода:
$V_{\text{м/мин}} = \frac{V_{\text{км/ч}} \cdot 1000}{60}$

$12 \text{ км/ч} = \frac{12 \cdot 1000}{60} \text{ м/мин} = \frac{1200}{6} \text{ м/мин} = 200 \text{ м/мин}$.

$1,8 \text{ км/ч} = \frac{1,8 \cdot 1000}{60} \text{ м/мин} = \frac{180}{6} \text{ м/мин} = 30 \text{ м/мин}$.

$3 \text{ км/ч} = \frac{3 \cdot 1000}{60} \text{ м/мин} = \frac{300}{6} \text{ м/мин} = 50 \text{ м/мин}$.

Для перевода скорости из метров в секунду (м/с) в метры в минуту (м/мин) необходимо учесть, что в $1 \text{ минуте} = 60 \text{ секунд}$. Формула для перевода:
$V_{\text{м/мин}} = V_{\text{м/с}} \cdot 60$

$1,5 \text{ м/с} = 1,5 \cdot 60 \text{ м/мин} = 90 \text{ м/мин}$.

$4 \text{ м/с} = 4 \cdot 60 \text{ м/мин} = 240 \text{ м/мин}$.

$0,8 \text{ м/с} = 0,8 \cdot 60 \text{ м/мин} = 48 \text{ м/мин}$.

Ответ: 200 м/мин; 30 м/мин; 50 м/мин; 90 м/мин; 240 м/мин; 48 м/мин.

б) в километрах в час:

Для перевода скорости из метров в минуту (м/мин) в километры в час (км/ч) необходимо учесть, что $1 \text{ м} = \frac{1}{1000} \text{ км}$ и $1 \text{ минута} = \frac{1}{60} \text{ часа}$. Формула для перевода:
$V_{\text{км/ч}} = \frac{V_{\text{м/мин}} \cdot 60}{1000}$

$25 \text{ м/мин} = \frac{25 \cdot 60}{1000} \text{ км/ч} = \frac{1500}{1000} \text{ км/ч} = 1,5 \text{ км/ч}$.

$150 \text{ м/мин} = \frac{150 \cdot 60}{1000} \text{ км/ч} = \frac{9000}{1000} \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$.

$400 \text{ м/мин} = \frac{400 \cdot 60}{1000} \text{ км/ч} = \frac{24000}{1000} \text{ км/ч} = 24 \text{ км/ч}$.

Для перевода скорости из метров в секунду (м/с) в километры в час (км/ч) необходимо учесть, что $1 \text{ час} = 3600 \text{ секунд}$. Формула для перевода:
$V_{\text{км/ч}} = V_{\text{м/с}} \cdot 3,6$

$5 \text{ м/с} = 5 \cdot 3,6 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$.

$12,5 \text{ м/с} = 12,5 \cdot 3,6 \text{ км/ч} = 45 \text{ км/ч}$.

$40 \text{ м/с} = 40 \cdot 3,6 \text{ км/ч} = 144 \text{ км/ч}$.

Ответ: 1,5 км/ч; 9 км/ч; 24 км/ч; 18 км/ч; 45 км/ч; 144 км/ч.

в) в метрах в секунду:

Для перевода скорости из километров в час (км/ч) в метры в секунду (м/с) необходимо значение скорости в км/ч разделить на $3,6$. Формула для перевода:
$V_{\text{м/с}} = \frac{V_{\text{км/ч}}}{3,6}$

$9 \text{ км/ч} = \frac{9}{3,6} \text{ м/с} = 2,5 \text{ м/с}$.

$54 \text{ км/ч} = \frac{54}{3,6} \text{ м/с} = 15 \text{ м/с}$.

$126 \text{ км/ч} = \frac{126}{3,6} \text{ м/с} = 35 \text{ м/с}$.

Для перевода скорости из метров в минуту (м/мин) в метры в секунду (м/с) необходимо значение скорости в м/мин разделить на $60$, так как $1 \text{ минута} = 60 \text{ секунд}$.

$90 \text{ м/мин} = \frac{90}{60} \text{ м/с} = 1,5 \text{ м/с}$.

$120 \text{ м/мин} = \frac{120}{60} \text{ м/с} = 2 \text{ м/с}$.

$144 \text{ м/мин} = \frac{144}{60} \text{ м/с} = 2,4 \text{ м/с}$.

Ответ: 2,5 м/с; 15 м/с; 35 м/с; 1,5 м/с; 2 м/с; 2,4 м/с.

147 Вырази в указанных единицах измерения:

а) в метрах в минуту: 12 $\text{км/ч}$; 1,8 $\text{км/ч}$; 3 $\text{км/ч}$; 1,5 $\text{м/с}$; 4 $\text{м/с}$; 0,8 $\text{м/с}$;

б) в километрах в час: 25 $\text{м/мин}$; 150 $\text{м/мин}$; 400 $\text{м/мин}$; 5 $\text{м/с}$; 12,5 $\text{м/с}$; 40 $\text{м/с}$;

в) в метрах в секунду: 9 $\text{км/ч}$; 54 $\text{км/ч}$; 126 $\text{км/ч}$; 90 $\text{м/мин}$; 120 $\text{м/мин}$; 144 $\text{м/мин}$.

148 Два пешехода идут с разными скоростями: 5,4 км/ч и 3,6 км/ч. Сейчас расстояние между ними равно 50 м. Каким оно станет через $t$ с, если они движутся:

а) навстречу друг другу;

б) в противоположных направлениях;

в) вдогонку;

г) с отставанием?

Запиши для каждого случая формулу зависимости расстояния $d$ м между пешеходами от времени движения $t$ с. (Встречи за это время не произойдёт.)

D Реши задачи № 149–152 с помощью уравнений.

Для решения задачи сначала необходимо привести все величины к единой системе измерений. Скорости даны в км/ч, начальное расстояние в метрах, а время в секундах. Переведем скорости в м/с.

Скорость первого пешехода: $v_1 = 5,4 \text{ км/ч} = 5,4 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 1,5 \text{ м/с}$.

Скорость второго пешехода: $v_2 = 3,6 \text{ км/ч} = 3,6 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}$.

Начальное расстояние между ними: $d_0 = 50 \text{ м}$.

Найдем формулу зависимости расстояния $d$ (в метрах) от времени движения $t$ (в секундах) для каждого случая.

а) навстречу друг другу

Когда пешеходы движутся навстречу друг другу, расстояние между ними сокращается. Скорость их сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. За время $t$ они пройдут суммарное расстояние $s = (v_1 + v_2)t$. Новое расстояние $d$ будет равно начальному расстоянию минус пройденное ими суммарное расстояние.

Формула: $d = d_0 - (v_1 + v_2)t$.

Подставим значения:

$d = 50 - (1,5 + 1)t$

$d = 50 - 2,5t$

Ответ: $d = 50 - 2,5t$.

б) в противоположных направлениях

Когда пешеходы движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается. Скорость их удаления равна сумме их скоростей: $v_{уд} = v_1 + v_2$. За время $t$ расстояние между ними увеличится на величину $s = (v_1 + v_2)t$. Новое расстояние $d$ будет равно начальному расстоянию плюс это увеличение.

Формула: $d = d_0 + (v_1 + v_2)t$.

Подставим значения:

$d = 50 + (1,5 + 1)t$

$d = 50 + 2,5t$

Ответ: $d = 50 + 2,5t$.

в) вдогонку

В этом случае более быстрый пешеход ($v_1 = 1,5 \text{ м/с}$) догоняет более медленного ($v_2 = 1 \text{ м/с}$). Расстояние между ними сокращается. Скорость сближения равна разности их скоростей: $v_{сбл} = v_1 - v_2$. За время $t$ расстояние между ними сократится на величину $s = (v_1 - v_2)t$. Новое расстояние $d$ будет равно начальному расстоянию минус это сокращение.

Формула: $d = d_0 - (v_1 - v_2)t$.

Подставим значения:

$d = 50 - (1,5 - 1)t$

$d = 50 - 0,5t$

Ответ: $d = 50 - 0,5t$.

г) с отставанием

В этом случае пешеходы движутся в одном направлении, но более быстрый находится впереди, и более медленный отстает. Расстояние между ними увеличивается. Скорость удаления равна разности их скоростей: $v_{уд} = v_1 - v_2$. За время $t$ расстояние между ними увеличится на величину $s = (v_1 - v_2)t$. Новое расстояние $d$ будет равно начальному расстоянию плюс это увеличение.

Формула: $d = d_0 + (v_1 - v_2)t$.

Подставим значения:

$d = 50 + (1,5 - 1)t$

$d = 50 + 0,5t$

Ответ: $d = 50 + 0,5t$.

148 Два пешехода идут с разной скоростью: 5,4 км/ч и 3,6 км/ч. Сейчас расстояние между ними равно 50 м. Каким оно станет через $t$ с, если они движутся:

а) навстречу друг другу;

$d = 50 - 2.5t$

б) в противоположных направлениях;

$d = 50 + 2.5t$

в) вдогонку;

$d = 50 - 0.5t$

г) с отставанием?

$d = 50 + 0.5t$

Запиши для каждого случая формулу зависимости расстояния $d$ м между пешеходами от времени движения $t$ с. (Встречи за это время не произойдет.)

Д Реши задачи № 149 – 152 с помощью уравнений:

149 a) Олег разместил в первый альбом 20 % своих марок, во второй – $1/3$ остатка, а в третий – остальные 56 марок. Сколько всего марок у Олега?

б) В течение июня солнечных дней было на 20 % больше, чем пасмурных, а дождливых – на 4 дня меньше, чем солнечных. Какой процент солнечных дней был в июне?

а) Пусть $x$ – общее количество марок у Олега. В первый альбом он разместил 20% своих марок, что составляет $0.2x$. После этого у него остался остаток: $x - 0.2x = 0.8x$ марок. Во второй альбом он разместил $\frac{1}{3}$ остатка, то есть $\frac{1}{3} \cdot 0.8x$. После этого осталась часть марок, которая пошла в третий альбом. Эта часть составляет $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ от первого остатка. Количество марок в третьем альбоме: $\frac{2}{3} \cdot 0.8x$. По условию, в третьем альбоме 56 марок. Составим уравнение: $\frac{2}{3} \cdot 0.8x = 56$ $\frac{1.6x}{3} = 56$ $1.6x = 56 \cdot 3$ $1.6x = 168$ $x = \frac{168}{1.6}$ $x = \frac{1680}{16}$ $x = 105$ Всего у Олега было 105 марок.
Ответ: 105 марок.

б) В июне 30 дней. Пусть $x$ – количество пасмурных дней. Тогда количество солнечных дней, которых было на 20% больше, составляет $x + 0.2x = 1.2x$. Количество дождливых дней было на 4 меньше, чем солнечных, то есть $1.2x - 4$. Сумма всех дней в июне равна 30. Составим уравнение: $x$ (пасмурные) + $1.2x$ (солнечные) + $(1.2x - 4)$ (дождливые) = 30 $x + 1.2x + 1.2x - 4 = 30$ $3.4x - 4 = 30$ $3.4x = 34$ $x = 10$ Таким образом, было 10 пасмурных дней. Найдем количество солнечных дней: $1.2x = 1.2 \cdot 10 = 12$ дней. Теперь найдем, какой процент от общего числа дней в июне составляют солнечные дни: $\frac{12}{30} \cdot 100\% = \frac{2}{5} \cdot 100\% = 0.4 \cdot 100\% = 40\%$
Ответ: 40 %.

149 а) Олег разместил в первый альбом 20% своих марок, во второй – $1/3$ остатка, а в третий – остальные 56 марок. Сколько всего марок у Олега?

б) В течение июня солнечных дней было на 20% больше, чем пасмурных, а дождливых – на 4 дня меньше, чем солнечных. Какой процент солнечных дней был в июне?