Номер 146, страница 34, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

6. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 146, страница 34.

Условие 2023.

146 На графике показано движение пешехода и велосипедиста по дороге от деревни до станции. Определи по графику:

а) момент их выхода и направление движения;

б) время и место встречи;

в) скорости движения на всех участках;

г) время и продолжительность остановок.

$S$ км

велосипедист

пешеход

$t$ ч

Решение 2 (2023).

а) момент их выхода и направление движения;

Для определения момента выхода и направления движения проанализируем начальные точки и наклон графиков для пешехода (черная линия) и велосипедиста (розовая линия). За начало отсчета (S=0 км) примем деревню, а за конечную точку (S=36 км) — станцию.

Пешеход:
График движения пешехода начинается в точке с координатами (t=9:00, S=0 км). Это означает, что пешеход вышел в 9:00 из деревни. Так как с течением времени расстояние S от деревни увеличивается (график идет вверх), пешеход движется от деревни к станции.

Велосипедист:
График движения велосипедиста начинается в точке с координатами (t=10:00, S=36 км). Это означает, что велосипедист выехал в 10:00 от станции. Так как с течением времени расстояние S от деревни уменьшается (график идет вниз), велосипедист движется от станции к деревне, то есть навстречу пешеходу.

Ответ: Пешеход вышел в 9:00 из деревни в направлении станции. Велосипедист выехал в 10:00 со станции в направлении деревни.

б) время и место встречи;

Время и место встречи соответствуют точке пересечения графиков движения. Для точного определения координат этой точки решим систему уравнений движения для пешехода и велосипедиста на участках, где они движутся навстречу друг другу.

1. Уравнение движения пешехода на первом участке (с 9:00 до 12:00).
Скорость пешехода: $v_п = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{12 \text{ км} - 0 \text{ км}}{12 \text{ ч} - 9 \text{ ч}} = \frac{12 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$.
Уравнение движения: $S_п(t) = 4 \cdot (t - 9)$, где t — время в часах.

2. Уравнение движения велосипедиста на первом участке (с 10:00 до 11:30).
Скорость велосипедиста: $v_в = \frac{|12 \text{ км} - 36 \text{ км}|}{11.5 \text{ ч} - 10 \text{ ч}} = \frac{24 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч}$.
Уравнение движения: $S_в(t) = 36 - 16 \cdot (t - 10)$.

3. В момент встречи их координаты равны: $S_п(t) = S_в(t)$. Найдем время встречи t:
$4 \cdot (t - 9) = 36 - 16 \cdot (t - 10)$
$4t - 36 = 36 - 16t + 160$
$20t = 232$
$t = 11.6$ часа. Переведем 0.6 часа в минуты: $0.6 \cdot 60 = 36$ минут. Таким образом, время встречи — 11:36.

4. Найдем место встречи, подставив найденное время в любое из уравнений:
$S = 4 \cdot (11.6 - 9) = 4 \cdot 2.6 = 10.4$ км.
Место встречи находится на расстоянии 10.4 км от деревни.

Ответ: Встреча произошла в 11:36 на расстоянии 10.4 км от деревни.

в) скорости движения на всех участках;

Скорость на каждом участке вычисляется по формуле $v = \frac{\Delta S}{\Delta t}$, где $\Delta S$ — пройденное расстояние, а $\Delta t$ — затраченное время.

Скорости пешехода:
1. Участок 9:00 – 12:00: $v_1 = \frac{12 \text{ км} - 0 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$.
2. Участок 12:00 – 13:00: $\Delta S = 0$, следовательно, $v_2 = 0 \text{ км/ч}$ (остановка).
3. Участок 13:00 – 17:30: $v_3 = \frac{36 \text{ км} - 12 \text{ км}}{4.5 \text{ ч}} = \frac{24 \text{ км}}{4.5 \text{ ч}} = \frac{16}{3} \approx 5.33 \text{ км/ч}$.

Скорости велосипедиста:
1. Участок 10:00 – 11:30: $v_1 = \frac{|12 \text{ км} - 36 \text{ км}|}{1.5 \text{ ч}} = \frac{24 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч}$.
2. Участок 11:30 – 13:00: $\Delta S = 0$, следовательно, $v_2 = 0 \text{ км/ч}$ (остановка).
3. Участок 13:00 – 14:00: $v_3 = \frac{|0 \text{ км} - 12 \text{ км}|}{1 \text{ ч}} = \frac{12 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 12 \text{ км/ч}$.

Ответ:
Скорости пешехода: с 9:00 до 12:00 — 4 км/ч; с 12:00 до 13:00 — 0 км/ч; с 13:00 до 17:30 — $\frac{16}{3}$ км/ч (приблизительно 5.33 км/ч).
Скорости велосипедиста: с 10:00 до 11:30 — 16 км/ч; с 11:30 до 13:00 — 0 км/ч; с 13:00 до 14:00 — 12 км/ч.

г) время и продолжительность остановок.

Остановкам на графике зависимости расстояния от времени соответствуют горизонтальные участки, на которых расстояние не изменяется ($\Delta S = 0$).

Остановка пешехода:
График пешехода горизонтален в интервале времени с 12:00 до 13:00.
Продолжительность остановки: $13:00 - 12:00 = 1$ час.

Остановка велосипедиста:
График велосипедиста горизонтален в интервале времени с 11:30 до 13:00.
Продолжительность остановки: $13:00 - 11:30 = 1$ час 30 минут (или 1.5 часа).

Ответ:
Пешеход сделал остановку с 12:00 до 13:00, продолжительностью 1 час.
Велосипедист сделал остановку с 11:30 до 13:00, продолжительностью 1 час 30 минут.

Условие 2010-2022.

146 На графике показано движение пешехода и велосипедиста по дороге от деревни до станции. Определи по графику:

а) момент их выхода и направление движения;

б) время и место встречи;

в) скорости движения на всех участках;

г) время и продолжительность остановок.

$S \text{ км}$

$t \text{ ч}$

велосипедист

пешеход

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).