Номер 139, страница 33, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

6. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 139, страница 33.

Условие 2023.

139 а) Увеличивается или уменьшается дробь при сокращении? Запиши своё высказывание на математическом языке и обоснуй его.

б) Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

1) $\frac{546}{910}$;

2) $\frac{264}{1056}$;

3) $\frac{4abc}{12a^2c}$;

4) $\frac{15x^2y}{40xyz}$;

5) $\frac{ax - ay}{ax + ay}$;

6) $\frac{mn}{mn + m}$.

Решение 2 (2023).

а) При сокращении дробь не увеличивается и не уменьшается, её значение остаётся неизменным. Сокращение дроби — это деление её числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы.

Это утверждение основывается на основном свойстве дроби, которое гласит, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

На математическом языке это свойство можно записать так: $ \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k} $, где $a$ и $b$ — числитель и знаменатель дроби, а $k$ — их общий делитель ($k \neq 0, k \neq 1$).

Таким образом, при сокращении дроби получается новая дробь, которая равна исходной.

Ответ: При сокращении значение дроби не изменяется.

б)

1) $ \frac{546}{910} $
Чтобы сократить дробь, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, разложив их на простые множители:
$ 546 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 $
$ 910 = 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 $
Общие множители: 2, 7 и 13. НОД(546, 910) = $ 2 \cdot 7 \cdot 13 = 182 $.
Теперь разделим числитель и знаменатель на их НОД:
$ \frac{546 \div 182}{910 \div 182} = \frac{3}{5} $.
Или можно сокращать поэтапно:
$ \frac{546}{910} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13}{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13} = \frac{3}{5} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} $

2) $ \frac{264}{1056} $
Заметим, что $ 1056 = 4 \cdot 264 $. Разделим числитель и знаменатель на 264:
$ \frac{264 \div 264}{1056 \div 264} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $

3) $ \frac{4abc}{12a^2c} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $.
Сократим переменные: $ \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a} $ и $ \frac{c}{c} = 1 $. Переменная $b$ остается в числителе.
$ \frac{4abc}{12a^2c} = \frac{4 \cdot b \cdot (ac)}{12 \cdot a \cdot (ac)} = \frac{b}{3a} $.
Ответ: $ \frac{b}{3a} $

4) $ \frac{15x^2y}{40xyz} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{15}{40} = \frac{3}{8} $.
Сократим переменные: $ \frac{x^2}{x} = x $ и $ \frac{y}{y} = 1 $. Переменная $z$ остается в знаменателе.
$ \frac{15x^2y}{40xyz} = \frac{15 \cdot x \cdot (xy)}{40 \cdot z \cdot (xy)} = \frac{3x}{8z} $.
Ответ: $ \frac{3x}{8z} $

5) $ \frac{ax - ay}{ax + ay} $
Вынесем общий множитель $a$ за скобки в числителе и знаменателе:
$ \frac{a(x - y)}{a(x + y)} $
Сократим общий множитель $a$:
$ \frac{x - y}{x + y} $.
Ответ: $ \frac{x - y}{x + y} $

6) $ \frac{mn}{mn + m} $
Вынесем общий множитель $m$ за скобки в знаменателе:
$ \frac{mn}{m(n + 1)} $
Сократим общий множитель $m$:
$ \frac{n}{n + 1} $.
Ответ: $ \frac{n}{n + 1} $

Условие 2010-2022.

139 a) Увеличивается или уменьшается дробь при сокращении? Запиши свое высказывание на математическом языке и обоснуй его.

б) Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

1) $ \frac{546}{910} $;

2) $ \frac{264}{1056} $;

3) $ \frac{4abc}{12a^2c} $;

4) $ \frac{15x^2y}{40xyz} $;

5) $ \frac{ax - ay}{ax + ay} $;

6) $ \frac{mn}{mn + m} $.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).