Номер 132, страница 32, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

6. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 132, страница 32.

Условие 2023.

132 а) Из двух пунктов, расстояние между которыми 2 км, одновременно навстречу друг другу отправились пешеход и всадник. Чему равна скорость каждого из них, если всадник ехал на 12 км/ч быстрее пешехода и они встретились через 5 мин?

б) Пассажирский и товарный поезд вышли одновременно в одном направлении с двух станций, расстояние между которыми 256 км. Скорость пассажирского поезда была на 50 % больше скорости товарного, и через 8 ч после выхода пассажирский поезд догнал товарный. С какими скоростями они шли?

Решение 2 (2023).

а)

Пусть скорость пешехода равна $v_п$ км/ч, а скорость всадника — $v_в$ км/ч. По условию, скорость всадника на 12 км/ч быстрее скорости пешехода. Это можно записать в виде уравнения:
$v_в = v_п + 12$

Пешеход и всадник движутся навстречу друг другу. Их общая скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_п + v_в$

Расстояние между ними $S = 2$ км. Они встретились через время $t = 5$ минут. Переведем время в часы, чтобы единицы измерения были согласованы:
$t = 5 \text{ мин} = \frac{5}{60} \text{ ч} = \frac{1}{12} \text{ ч}$

Расстояние, которое они прошли вместе до встречи, равно начальному расстоянию между ними. Используем формулу $S = v_{сбл} \cdot t$:
$2 = (v_п + v_в) \cdot \frac{1}{12}$

Из этого уравнения найдем сумму их скоростей:
$v_п + v_в = 2 \div \frac{1}{12} = 2 \cdot 12 = 24$ км/ч

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $v_в = v_п + 12$
2) $v_п + v_в = 24$

Подставим выражение для $v_в$ из первого уравнения во второе:
$v_п + (v_п + 12) = 24$
$2v_п + 12 = 24$
$2v_п = 24 - 12$
$2v_п = 12$
$v_п = 6$ км/ч

Теперь найдем скорость всадника, подставив найденную скорость пешехода в первое уравнение:
$v_в = 6 + 12 = 18$ км/ч

Проверка: Скорость сближения равна $6 + 18 = 24$ км/ч. За $1/12$ часа они пройдут расстояние $24 \cdot \frac{1}{12} = 2$ км. Условия задачи выполнены.

Ответ: скорость пешехода — 6 км/ч, скорость всадника — 18 км/ч.

б)

Пусть скорость товарного поезда равна $v_т$ км/ч, а скорость пассажирского — $v_п$ км/ч. По условию, скорость пассажирского поезда на 50% больше скорости товарного. Это означает:
$v_п = v_т + 0.5 \cdot v_т = 1.5 \cdot v_т$

Поезда движутся в одном направлении, причем пассажирский поезд догоняет товарный. Скорость их сближения равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_п - v_т$

Начальное расстояние между поездами $S = 256$ км. Пассажирский поезд догнал товарный за время $t = 8$ часов. Чтобы догнать, пассажирский поезд должен сократить начальное расстояние до нуля. Используем формулу $S = v_{сбл} \cdot t$:
$256 = (v_п - v_т) \cdot 8$

Из этого уравнения найдем разность скоростей (скорость сближения):
$v_п - v_т = 256 \div 8 = 32$ км/ч

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $v_п = 1.5 \cdot v_т$
2) $v_п - v_т = 32$

Подставим выражение для $v_п$ из первого уравнения во второе:
$1.5 \cdot v_т - v_т = 32$
$0.5 \cdot v_т = 32$
$v_т = 32 \div 0.5 = 64$ км/ч

Теперь найдем скорость пассажирского поезда, подставив найденную скорость товарного в первое уравнение:
$v_п = 1.5 \cdot 64 = 96$ км/ч

Проверка: Скорость пассажирского поезда (96 км/ч) на $96 - 64 = 32$ км/ч больше скорости товарного (64 км/ч). $32$ км/ч — это 50% от $64$ км/ч. За 8 часов пассажирский поезд пройдет на $32 \cdot 8 = 256$ км больше, что равно начальному расстоянию. Условия задачи выполнены.

Ответ: скорость товарного поезда — 64 км/ч, скорость пассажирского поезда — 96 км/ч.

Условие 2010-2022.

132 а) Из двух пунктов, расстояние между которыми 2 км, одновременно навстречу друг другу отправились пешеход и всадник. Чему равна скорость каждого из них, если всадник ехал на 12 км/ч быстрее пешехода и они встретились через 5 мин?

б) Пассажирский и товарный поезд вышли одновременно в одном направлении с двух станций, расстояние между которыми 256 км. Скорость пассажирского поезда была на 50% больше скорости товарного, и через 8 ч после выхода пассажирский поезд догнал товарный. С какими скоростями они шли?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).