Номер 127, страница 31, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

6. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 127, страница 31.

Условие 2023.

127 a) Смешали сухие листья зверобоя и мяты, причём мята составила $40\%$ смеси. Если в эту смесь добавить ещё 80 г мяты, то она будет составлять половину смеси. Сколько смешали первоначально граммов зверобоя и сколько – мяты?

б) В $5\%$-й раствор соли добавили ещё 50 г соли, и концентрация соли в нём увеличилась до $24\%$. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?

Решение 2 (2023).

а)

Давайте решим эту задачу, введя переменные. Пусть $z$ — это первоначальная масса зверобоя в граммах, а $m$ — первоначальная масса мяты в граммах.

Из условия известно, что мята составляла 40% смеси. Это означает, что зверобой составлял оставшиеся $100\% - 40\% = 60\%$ смеси. Мы можем составить соотношение масс:
$\frac{m}{z} = \frac{40\%}{60\%} = \frac{2}{3}$
Отсюда мы можем выразить массу зверобоя через массу мяты:
$z = \frac{3}{2}m = 1.5m$

Далее, в смесь добавили 80 г мяты. Новая масса мяты стала $m + 80$ г. Масса зверобоя не изменилась и осталась равной $z$ г. Новая общая масса смеси стала $z + m + 80$ г.

По новому условию, мята стала составлять половину (50%) смеси. Это означает, что вторая половина (оставшиеся 50%) — это зверобой. Следовательно, масса зверобоя стала равна новой массе мяты:
$z = m + 80$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $z = 1.5m$
2) $z = m + 80$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:
$1.5m = m + 80$
$1.5m - m = 80$
$0.5m = 80$
$m = \frac{80}{0.5} = 160$
Итак, первоначальная масса мяты составляла 160 г.

Теперь найдём первоначальную массу зверобоя, используя одно из уравнений, например, второе:
$z = m + 80 = 160 + 80 = 240$
Итак, первоначальная масса зверобоя составляла 240 г.

Ответ: первоначально смешали 240 граммов зверобоя и 160 граммов мяты.

б)

Пусть $M$ — это первоначальная масса всего раствора в граммах.

Поскольку концентрация соли в нём была 5%, масса соли в растворе составляла $0.05M$ граммов.

В раствор добавили ещё 50 г соли.
Новая масса соли в растворе стала: $0.05M + 50$ г.
Новая общая масса раствора стала: $M + 50$ г.

По условию, концентрация соли в новом растворе увеличилась до 24%. Концентрация — это отношение массы вещества к массе всего раствора. Составим уравнение:
$\frac{\text{новая масса соли}}{\text{новая масса раствора}} = 0.24$
$\frac{0.05M + 50}{M + 50} = 0.24$

Решим это уравнение относительно $M$:
$0.05M + 50 = 0.24(M + 50)$
$0.05M + 50 = 0.24M + 0.24 \cdot 50$
$0.05M + 50 = 0.24M + 12$
$50 - 12 = 0.24M - 0.05M$
$38 = 0.19M$
$M = \frac{38}{0.19} = \frac{3800}{19} = 200$
Таким образом, первоначальная масса всего раствора была 200 г.

Вопрос задачи — сколько граммов соли было в растворе первоначально. Найдём это значение:
Масса соли = $0.05M = 0.05 \cdot 200 = 10$ г.

Ответ: в растворе первоначально было 10 граммов соли.

Условие 2010-2022.

127 a) Смешали сухие листья зверобоя и мяты, причем мята составила $40\%$ смеси. Если в эту смесь добавить еще 80 г мяты, то она будет составлять половину смеси. Сколько смешали первоначально граммов зверобоя и сколько – мяты?

б) В $5\%$-й раствор соли добавили еще 50 г соли, и концентрация соли в нем увеличилась до $24\%$. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).