Номер 122, страница 30, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

6. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 122, страница 30.

Условие 2023.

122. a) В двух пакетах 5 кг сахара. После того как из первого пакета отсыпали $\frac{2}{3}$ части, а из второго $\frac{1}{7}$ часть, в обоих пакетах сахара стало поровну. Сколько сахара было в каждом пакете первоначально?

б) В первом вагоне трамвая ехало в 1,2 раза меньше пассажиров, чем во втором. На остановке из первого вагона вышел 1 человек, а вошли 6. Из второго вагона вышли 4 человека, а вошли 3, и во втором вагоне стало на 8 % меньше пассажиров, чем в первом. Сколько пассажиров стало в каждом вагоне?

Решение 2 (2023).

а)

Пусть в первом пакете первоначально было $x$ кг сахара, а во втором — $y$ кг сахара. Согласно условию, общая масса сахара составляет 5 кг, что дает нам первое уравнение:

$x + y = 5$

Из первого пакета отсыпали $\frac{2}{3}$ его содержимого, значит, в нем осталось $x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x$ кг сахара. Из второго пакета отсыпали $\frac{1}{7}$ его содержимого, значит, в нем осталось $y - \frac{1}{7}y = \frac{6}{7}y$ кг сахара. После этого количество сахара в пакетах стало равным. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{1}{3}x = \frac{6}{7}y$

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ \frac{1}{3}x = \frac{6}{7}y \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 5 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{1}{3}x = \frac{6}{7}(5 - x)$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 21 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 7):

$21 \cdot \frac{1}{3}x = 21 \cdot \frac{6}{7}(5 - x)$

$7x = 3 \cdot 6(5 - x)$

$7x = 18(5 - x)$

$7x = 90 - 18x$

$7x + 18x = 90$

$25x = 90$

$x = \frac{90}{25} = \frac{18}{5} = 3,6$

Итак, в первом пакете первоначально было 3,6 кг сахара. Теперь найдем массу сахара во втором пакете:

$y = 5 - x = 5 - 3,6 = 1,4$

В втором пакете первоначально было 1,4 кг сахара.

Ответ: первоначально в первом пакете было 3,6 кг сахара, а во втором — 1,4 кг сахара.

б)

Пусть в первом вагоне первоначально было $x$ пассажиров. Так как в нем было в 1,2 раза меньше пассажиров, чем во втором, то во втором вагоне было $1,2x$ пассажиров.

На остановке в первом вагоне число пассажиров изменилось: вышел 1 человек, а вошли 6. Новое количество пассажиров в первом вагоне стало:

$x - 1 + 6 = x + 5$

Во втором вагоне число пассажиров также изменилось: вышли 4 человека, а вошли 3. Новое количество пассажиров во втором вагоне стало:

$1,2x - 4 + 3 = 1,2x - 1$

По условию, после остановки во втором вагоне стало на 8% меньше пассажиров, чем в первом. Это означает, что количество пассажиров во втором вагоне составило $100\% - 8\% = 92\%$ от количества пассажиров в первом вагоне. Составим уравнение:

$1,2x - 1 = 0,92(x + 5)$

Решим это уравнение:

$1,2x - 1 = 0,92x + 4,6$

$1,2x - 0,92x = 4,6 + 1$

$0,28x = 5,6$

$x = \frac{5,6}{0,28} = \frac{560}{28} = 20$

Таким образом, первоначально в первом вагоне было 20 пассажиров. Вопрос задачи — сколько пассажиров стало в каждом вагоне после остановки.

В первом вагоне стало: $x + 5 = 20 + 5 = 25$ пассажиров.

Во втором вагоне стало: $1,2x - 1 = 1,2 \cdot 20 - 1 = 24 - 1 = 23$ пассажира.

Ответ: в первом вагоне стало 25 пассажиров, во втором — 23 пассажира.

Условие 2010-2022.

122 а) В двух пакетах 5 кг сахара. После того как из первого пакета отсыпали
$ \frac{2}{3} $ части, а из второго - $ \frac{1}{7} $ часть, в обоих пакетах сахара стало поровну.
Сколько сахара было в каждом пакете первоначально?

б) В первом вагоне трамвая ехало в 1,2 раза меньше пассажиров, чем во втором. На остановке из первого вагона вышел 1 человек, а вошли 6. Из второго вагона вышли 4 человека, а вошли 3, и во втором вагоне стало на 8% меньше пассажиров, чем в первом. Сколько пассажиров стало в каждом вагоне?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).