Номер 125, страница 30, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

6. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 125, страница 30.

Условие 2023.

125 а) За контрольную работу $\frac{1}{6}$ часть класса получила пятёрки, $\frac{8}{15}$ – четвёрки, троек было на 10 меньше, чем четвёрок, а двоек – 3. Какой процент учеников класса написал контрольную работу на «4» и «5»? Сколько было четвёрок, а сколько – пятёрок?

б) Первое число больше второго на 3. Если меньшее число увеличить на 50 %, а большее уменьшить на 40 %, то их сумма не изменится. На сколько процентов первое число больше второго? На сколько процентов второе число меньше первого?

Решение 2 (2023).

а)

Пусть $x$ — общее количество учеников в классе. Исходя из условия задачи, выразим количество учеников, получивших каждую из оценок:

• Количество учеников, получивших пятёрки: $\frac{1}{6}x$

• Количество учеников, получивших четвёрки: $\frac{8}{15}x$

• Количество учеников, получивших тройки: $\frac{8}{15}x - 10$

• Количество учеников, получивших двойки: 3

Сумма всех учеников, написавших контрольную, равна общему числу учеников в классе. Составим и решим уравнение:

$\frac{1}{6}x + \frac{8}{15}x + (\frac{8}{15}x - 10) + 3 = x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые значения — в правой:

$\frac{1}{6}x + \frac{8}{15}x + \frac{8}{15}x - x = 10 - 3$

$\frac{1}{6}x + \frac{16}{15}x - x = 7$

Приведём дроби к общему знаменателю 30 (наименьшее общее кратное для 6 и 15):

$\frac{5}{30}x + \frac{32}{30}x - \frac{30}{30}x = 7$

Выполним сложение и вычитание дробей в левой части:

$\frac{5 + 32 - 30}{30}x = 7$

$\frac{7}{30}x = 7$

Теперь найдём $x$:

$x = 7 \cdot \frac{30}{7}$

$x = 30$

Всего в классе 30 учеников.

Теперь ответим на вопросы задачи.

1. Какой процент учеников класса написал контрольную работу на «4» и «5»?

Найдём количество учеников, получивших «5» и «4»:

Пятёрки: $\frac{1}{6} \cdot 30 = 5$ учеников.

Четвёрки: $\frac{8}{15} \cdot 30 = 16$ учеников.

Всего учеников с оценками «4» и «5»: $5 + 16 = 21$ ученик.

Чтобы найти процент, разделим это количество на общее число учеников и умножим на 100%:

$\frac{21}{30} \cdot 100\% = 0.7 \cdot 100\% = 70\%$

2. Сколько было четвёрок, а сколько – пятёрок?

Как мы уже посчитали, было 16 четвёрок и 5 пятёрок.

Ответ: 70% учеников написали работу на «4» и «5»; было 16 четвёрок и 5 пятёрок.

б)

Пусть первое число — $a$, а второе — $b$.

Из условия «Первое число больше второго на 3» следует, что $a = b + 3$. Это означает, что $a$ — большее число, а $b$ — меньшее.

Первоначальная сумма чисел: $S_1 = a + b$.

Далее, меньшее число ($b$) увеличивают на 50%, а большее ($a$) уменьшают на 40%. Найдём новые значения чисел:

Новое меньшее число: $b' = b + 0.5b = 1.5b$.

Новое большее число: $a' = a - 0.4a = 0.6a$.

Новая сумма чисел: $S_2 = a' + b' = 0.6a + 1.5b$.

По условию, сумма не изменилась, то есть $S_1 = S_2$. Получаем второе уравнение:

$a + b = 0.6a + 1.5b$

Упростим это уравнение:

$a - 0.6a = 1.5b - b$

$0.4a = 0.5b$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} a = b + 3 \\ 0.4a = 0.5b \end{cases}$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$0.4(b + 3) = 0.5b$

$0.4b + 1.2 = 0.5b$

$1.2 = 0.5b - 0.4b$

$1.2 = 0.1b$

$b = \frac{1.2}{0.1} = 12$

Теперь найдём $a$:

$a = b + 3 = 12 + 3 = 15$

Итак, первое число равно 15, а второе — 12.

Теперь ответим на вопросы задачи.

1. На сколько процентов первое число больше второго?

Чтобы найти, на сколько процентов одно число больше другого, нужно их разность разделить на число, с которым сравниваем (в данном случае — на второе), и умножить на 100%.

$\frac{a - b}{b} \cdot 100\% = \frac{15 - 12}{12} \cdot 100\% = \frac{3}{12} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$

2. На сколько процентов второе число меньше первого?

Аналогично, чтобы найти, на сколько процентов одно число меньше другого, нужно их разность разделить на число, с которым сравниваем (в данном случае — на первое), и умножить на 100%.

$\frac{a - b}{a} \cdot 100\% = \frac{15 - 12}{15} \cdot 100\% = \frac{3}{15} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$

Ответ: Первое число больше второго на 25%, а второе число меньше первого на 20%.

Условие 2010-2022.

125 а) За контрольную работу $\frac{1}{6}$ часть класса получила пятерки, $\frac{8}{15}$ – четверки, троек было на 10 меньше, чем четверок, а двоек – 3. Какой процент учеников класса написал контрольную работу на «4» и «5»? Сколько было четверок, а сколько – пятерок?

б) Первое число больше второго на 3. Если меньшее число увеличить на 50%, а большее уменьшить на 40%, то их сумма не изменится. На сколько процентов первое число больше второго? На сколько процентов второе число меньше первого?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).