Номер 128, страница 31, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

6. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 128, страница 31.

Условие 2023.

128 a) Первая сторона треугольника составляет $\frac{4}{9}$ его периметра, вторая – на 10 % меньше первой, а третья равна 14 см. Найди периметр треугольника.

б) Периметр четырёхугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60 % второй, третья – на 25 % меньше суммы первых двух, а четвёртая – на 7 см больше первой. Чему равна длина каждой стороны?

Решение 2 (2023).

а)

Пусть $P$ — периметр треугольника. Обозначим его стороны как $a_1$, $a_2$ и $a_3$.
По условию задачи:
1. Первая сторона составляет $\frac{4}{9}$ его периметра: $a_1 = \frac{4}{9}P$.
2. Вторая сторона на 10% меньше первой, значит она составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от первой стороны.
$a_2 = 0.9 \cdot a_1 = 0.9 \cdot \frac{4}{9}P = \frac{9}{10} \cdot \frac{4}{9}P = \frac{4}{10}P = \frac{2}{5}P$.
3. Третья сторона равна 14 см: $a_3 = 14$ см.

Периметр — это сумма длин всех сторон: $P = a_1 + a_2 + a_3$.
Подставим известные выражения для сторон в эту формулу:
$P = \frac{4}{9}P + \frac{2}{5}P + 14$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $P$. Перенесём все слагаемые, содержащие $P$, в левую часть уравнения:
$P - \frac{4}{9}P - \frac{2}{5}P = 14$
Вынесем $P$ за скобки и приведём дроби в скобках к общему знаменателю, который равен 45:
$P \cdot (1 - \frac{4}{9} - \frac{2}{5}) = 14$
$P \cdot (\frac{45}{45} - \frac{4 \cdot 5}{45} - \frac{2 \cdot 9}{45}) = 14$
$P \cdot (\frac{45 - 20 - 18}{45}) = 14$
$P \cdot \frac{7}{45} = 14$
Чтобы найти $P$, разделим обе части уравнения на $\frac{7}{45}$:
$P = 14 \div \frac{7}{45} = 14 \cdot \frac{45}{7} = \frac{14 \cdot 45}{7} = 2 \cdot 45 = 90$ см.

Ответ: 90 см.

б)

Периметр четырехугольника равен 58 см. Обозначим его стороны как $s_1$, $s_2$, $s_3$ и $s_4$.
$s_1 + s_2 + s_3 + s_4 = 58$
Для решения задачи выразим все стороны через одну переменную. Удобнее всего выразить все стороны через вторую сторону $s_2$. Пусть $s_2 = x$ см.

1. Первая сторона составляет 60% от второй:
$s_1 = 0.6 \cdot s_2 = 0.6x$.
2. Третья сторона на 25% меньше суммы первых двух. Сначала найдем сумму первых двух сторон:
$s_1 + s_2 = 0.6x + x = 1.6x$.
Третья сторона составляет $100\% - 25\% = 75\%$ от этой суммы:
$s_3 = 0.75 \cdot (s_1 + s_2) = 0.75 \cdot 1.6x = 1.2x$.
3. Четвертая сторона на 7 см больше первой:
$s_4 = s_1 + 7 = 0.6x + 7$.

Теперь подставим все полученные выражения для сторон в формулу периметра:
$s_1 + s_2 + s_3 + s_4 = 58$
$(0.6x) + x + (1.2x) + (0.6x + 7) = 58$

Решим полученное линейное уравнение:
$0.6x + x + 1.2x + 0.6x + 7 = 58$
$(0.6 + 1 + 1.2 + 0.6)x + 7 = 58$
$3.4x + 7 = 58$
$3.4x = 58 - 7$
$3.4x = 51$
$x = \frac{51}{3.4} = \frac{510}{34} = 15$.
Таким образом, вторая сторона $s_2 = 15$ см.

Теперь, зная $x$, найдем длины остальных сторон:
Первая сторона: $s_1 = 0.6x = 0.6 \cdot 15 = 9$ см.
Третья сторона: $s_3 = 1.2x = 1.2 \cdot 15 = 18$ см.
Четвертая сторона: $s_4 = 0.6x + 7 = 0.6 \cdot 15 + 7 = 9 + 7 = 16$ см.

Ответ: первая сторона равна 9 см, вторая – 15 см, третья – 18 см, четвертая – 16 см.

Условие 2010-2022.

128 a) Первая сторона треугольника составляет $\frac{4}{9}$ его периметра, вторая – на 10% меньше первой, а третья равна 14 см. Найди периметр треугольника.

б) Периметр четырехугольника равен 58 см. Первая его сторона составляет 60% второй, третья – на 25% меньше суммы первых двух, а четвертая – на 7 см больше первой. Чему равна длина каждой стороны?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).