Номер 131, страница 31, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

6. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 131, страница 31.

Условие 2023.

131 Составь задачи и найди скорости движения автомобилей по схемам.

a) $(x+15)$ км/ч

$x$ км/ч

243 км

$t_{\text{встр.}} = 1 \text{ ч } 48 \text{ мин}$

б) $x$ км/ч

$(x+32)$ км/ч

52 км

$t = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин}$

$d_t = 304 \text{ км}$

в) $x$ км/ч

$1,4x$ км/ч

30 км

$t = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин}$

$d_t = 162 \text{ км}$

г) $x$ км/ч

$0,7x$ км/ч

24 км

$t_{\text{встр.}} = 40 \text{ мин}$

($d_t$ – расстояние между автомобилями в указанный момент времени $t$.)

Решение 2 (2023).

а)

Задача: Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 243 км. Скорость первого автомобиля на 15 км/ч больше скорости второго. Они встретились через 1 час 48 минут. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение:

1. Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч, тогда скорость первого автомобиля равна $(x + 15)$ км/ч.

2. Так как автомобили движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме скоростей: $v_{сбл} = x + (x + 15) = (2x + 15)$ км/ч.

3. Переведем время движения в часы: $t = 1 \text{ ч } 48 \text{ мин} = 1 + \frac{48}{60} \text{ ч} = 1 + 0,8 \text{ ч} = 1,8 \text{ ч}$.

4. Расстояние, которое они проехали вместе до встречи, равно произведению скорости сближения на время. Составим уравнение:

$(2x + 15) \cdot 1,8 = 243$

Решим это уравнение:

$2x + 15 = \frac{243}{1,8}$

$2x + 15 = 135$

$2x = 135 - 15$

$2x = 120$

$x = 60$

Таким образом, скорость второго автомобиля равна 60 км/ч.

5. Скорость первого автомобиля: $60 + 15 = 75$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 75 км/ч, скорость второго автомобиля — 60 км/ч.

б)

Задача: Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 52 км друг от друга, одновременно в противоположных направлениях выехали два автомобиля. Скорость второго автомобиля на 32 км/ч больше скорости первого. Через 1 час 30 минут расстояние между ними стало 304 км. Найдите скорости автомобилей.

Решение:

1. Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, тогда скорость второго равна $(x + 32)$ км/ч.

2. Автомобили движутся в противоположных направлениях, поэтому их скорость удаления равна сумме скоростей: $v_{уд} = x + (x + 32) = (2x + 32)$ км/ч.

3. Переведем время движения в часы: $t = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1,5 \text{ ч}$.

4. За это время расстояние между автомобилями увеличилось на $v_{уд} \cdot t$. Конечное расстояние $d_t$ равно начальному расстоянию $S_0$ плюс расстояние, на которое они удалились: $d_t = S_0 + v_{уд} \cdot t$.

5. Составим и решим уравнение:

$304 = 52 + (2x + 32) \cdot 1,5$

$304 - 52 = (2x + 32) \cdot 1,5$

$252 = (2x + 32) \cdot 1,5$

$2x + 32 = \frac{252}{1,5}$

$2x + 32 = 168$

$2x = 168 - 32$

$2x = 136$

$x = 68$

Таким образом, скорость первого автомобиля равна 68 км/ч.

6. Скорость второго автомобиля: $68 + 32 = 100$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 68 км/ч, скорость второго автомобиля — 100 км/ч.

в)

Задача: Из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км, одновременно в одном направлении выехали два автомобиля. Скорость автомобиля, едущего впереди, в 1,4 раза больше скорости автомобиля, едущего сзади. Через 2 часа 15 минут расстояние между ними стало 162 км. Найдите скорости автомобилей.

Решение:

1. Пусть скорость автомобиля, едущего сзади, равна $x$ км/ч, тогда скорость автомобиля, едущего впереди, равна $1,4x$ км/ч.

2. Так как автомобили движутся в одном направлении и скорость переднего больше, расстояние между ними увеличивается. Скорость удаления равна разности их скоростей: $v_{уд} = 1,4x - x = 0,4x$ км/ч.

3. Переведем время движения в часы: $t = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 2 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 2,25 \text{ ч}$.

4. Увеличение расстояния между автомобилями равно $v_{уд} \cdot t$. Это увеличение равно разности конечного и начального расстояний: $162 - 30 = 132$ км.

5. Составим и решим уравнение:

$0,4x \cdot 2,25 = 132$

$0,9x = 132$

$x = \frac{132}{0,9} = \frac{1320}{9} = \frac{440}{3} = 146\frac{2}{3}$

Таким образом, скорость автомобиля, едущего сзади, равна $146\frac{2}{3}$ км/ч.

6. Скорость автомобиля, едущего впереди: $1,4 \cdot \frac{440}{3} = \frac{14}{10} \cdot \frac{440}{3} = \frac{7}{5} \cdot \frac{440}{3} = \frac{7 \cdot 88}{3} = \frac{616}{3} = 205\frac{1}{3}$ км/ч.

Ответ: скорость автомобиля, едущего сзади, — $146\frac{2}{3}$ км/ч, скорость автомобиля, едущего впереди, — $205\frac{1}{3}$ км/ч.

г)

Задача: Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 24 км. Скорость второго автомобиля составляет 0,7 от скорости первого. Они встретились через 40 минут. Найдите скорости автомобилей.

Решение:

1. Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, тогда скорость второго равна $0,7x$ км/ч.

2. Автомобили движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме скоростей: $v_{сбл} = x + 0,7x = 1,7x$ км/ч.

3. Переведем время движения в часы: $t = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

4. Расстояние равно произведению скорости сближения на время. Составим уравнение:

$1,7x \cdot \frac{2}{3} = 24$

Решим это уравнение:

$1,7x = \frac{24 \cdot 3}{2}$

$1,7x = 36$

$x = \frac{36}{1,7} = \frac{360}{17} = 21\frac{3}{17}$

Таким образом, скорость первого автомобиля равна $21\frac{3}{17}$ км/ч.

5. Скорость второго автомобиля: $0,7 \cdot \frac{360}{17} = \frac{7}{10} \cdot \frac{360}{17} = \frac{7 \cdot 36}{17} = \frac{252}{17} = 14\frac{14}{17}$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — $21\frac{3}{17}$ км/ч, скорость второго автомобиля — $14\frac{14}{17}$ км/ч.

Условие 2010-2022.

131 Составь задачи и найди скорости движения автомобилей по схемам:

a) $(x + 15) \text{ км/ч}$ $x \text{ км/ч}$

$243 \text{ км}$

$t_{\text{встр.}} = 1 \text{ ч } 48 \text{ мин}$

б) $x \text{ км/ч}$ $(x + 32) \text{ км/ч}$

$52 \text{ км}$

$t = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин}$

$d_t = 304 \text{ км}$

в) $x \text{ км/ч}$ $1,4x \text{ км/ч}$

$30 \text{ км}$

$t = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин}$

$d_t = 162 \text{ км}$

г) $x \text{ км/ч}$ $0,7x \text{ км/ч}$

$24 \text{ км}$

$t_{\text{встр.}} = 40 \text{ мин}$

($d_t$ – расстояние между автомобилями в указанный момент времени $t$.)

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).