Номер 130, страница 31, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

6. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 130, страница 31.

Условие 2023.

130. a) Пароход, собственная скорость которого $22\text{ км/ч}$, прошёл за 1 ч 15 мин по течению реки такое же расстояние, как и за 1 ч 30 мин против течения. Чему равна скорость течения реки?

б) Моторная лодка за $2\text{ ч}$ против течения реки прошла расстояние, на $25\,\%$ меньшее, чем за то же время по течению. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения равна $2,5\text{ км/ч}$? Найди лишнее данное в условии этой задачи.

Решение 2 (2023).

а) Пусть $v_{теч}$ — скорость течения реки в км/ч. Собственная скорость парохода $v_{соб} = 22$ км/ч. Тогда скорость парохода по течению реки равна $v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = (22 + v_{теч})$ км/ч, а скорость против течения равна $v_{прот} = v_{соб} - v_{теч} = (22 - v_{теч})$ км/ч.
Переведем время движения в часы:
Время по течению $t_{по} = 1$ ч 15 мин = $1 + \frac{15}{60}$ ч = $1.25$ ч.
Время против течения $t_{прот} = 1$ ч 30 мин = $1 + \frac{30}{60}$ ч = $1.5$ ч.
Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. По условию, расстояние, пройденное по течению, равно расстоянию, пройденному против течения: $S_{по} = S_{прот}$.
Составим уравнение:
$v_{по} \cdot t_{по} = v_{прот} \cdot t_{прот}$
$(22 + v_{теч}) \cdot 1.25 = (22 - v_{теч}) \cdot 1.5$
Раскроем скобки:
$22 \cdot 1.25 + 1.25 \cdot v_{теч} = 22 \cdot 1.5 - 1.5 \cdot v_{теч}$
$27.5 + 1.25 \cdot v_{теч} = 33 - 1.5 \cdot v_{теч}$
Перенесем слагаемые с $v_{теч}$ в левую часть, а числа — в правую:
$1.25 \cdot v_{теч} + 1.5 \cdot v_{теч} = 33 - 27.5$
$2.75 \cdot v_{теч} = 5.5$
$v_{теч} = \frac{5.5}{2.75}$
$v_{теч} = 2$
Ответ: скорость течения реки равна 2 км/ч.

б) Пусть $v_{соб}$ — собственная скорость моторной лодки в км/ч. Скорость течения реки $v_{теч} = 2.5$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна $v_{по} = (v_{соб} + 2.5)$ км/ч, а скорость против течения равна $v_{прот} = (v_{соб} - 2.5)$ км/ч.
Время движения по течению и против течения одинаково и равно $t = 2$ ч.
Расстояние, пройденное по течению: $S_{по} = v_{по} \cdot t = (v_{соб} + 2.5) \cdot 2$ км.
Расстояние, пройденное против течения: $S_{прот} = v_{прот} \cdot t = (v_{соб} - 2.5) \cdot 2$ км.
По условию, расстояние против течения на 25% меньше, чем по течению. Это означает, что $S_{прот}$ составляет $100\% - 25\% = 75\%$ от $S_{по}$, то есть $S_{прот} = 0.75 \cdot S_{по}$.
Составим уравнение:
$(v_{соб} - 2.5) \cdot 2 = 0.75 \cdot (v_{соб} + 2.5) \cdot 2$
Разделим обе части уравнения на 2:
$v_{соб} - 2.5 = 0.75 \cdot (v_{соб} + 2.5)$
$v_{соб} - 2.5 = 0.75 \cdot v_{соб} + 0.75 \cdot 2.5$
$v_{соб} - 0.75 \cdot v_{соб} = 2.5 + 1.875$
$0.25 \cdot v_{соб} = 4.375$
$v_{соб} = \frac{4.375}{0.25}$
$v_{соб} = 17.5$
Собственная скорость лодки равна 17.5 км/ч.
Лишним данным в условии задачи является время движения, равное 2 часам. Поскольку в условии указано, что лодка двигалась «за то же время», конкретное значение этого времени не имеет значения для нахождения собственной скорости лодки, так как оно сокращается при решении уравнения. Важен лишь факт, что время движения по течению и против течения одинаково.
Ответ: собственная скорость лодки 17,5 км/ч; лишнее данное — время движения (2 ч).

Условие 2010-2022.

130 а) Пароход, собственная скорость которого 22 км/ч, прошел за 1 ч 15 мин по течению реки такое же расстояние, как и за 1 ч 30 мин против течения. Чему равна скорость течения реки?

б) Моторная лодка за 2 ч против течения реки прошла расстояние, на 25% меньшее, чем за то же время по течению. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения равна 2,5 км/ч? Найди лишнее данное в условии этой задачи.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).