Номер 133, страница 32, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

6. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 133, страница 32.

Условие 2023.

133 а) Грузовик и легковой автомобиль ехали по шоссе навстречу друг другу. Через 20 мин после встречи расстояние между ними стало равно 54 км. Скорость грузовика относится к скорости автомобиля как $4 : 5$. За сколько времени каждый из них пройдёт расстояние, равное 324 км?

б) От автобусной станции отъехал междугородный автобус, а через 15 мин вслед за ним в том же направлении – рейсовый. Скорость междугородного автобуса на $20\%$ больше скорости рейсового. С какими скоростями они ехали, если через 30 мин после выхода рейсового автобуса расстояние между ними было равно 20 км?

Решение 2 (2023).

а) Пусть скорость грузовика равна $v_г$, а скорость легкового автомобиля – $v_а$. После встречи они движутся в противоположных направлениях, поэтому скорость их удаления друг от друга (скорость расхождения) равна сумме их скоростей: $v_{уд} = v_г + v_а$. За время $t = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3}$ часа расстояние между ними стало $S = 54$ км. Найдем суммарную скорость, используя формулу $S = v_{уд} \cdot t$:
$v_г + v_а = \frac{S}{t} = \frac{54}{1/3} = 54 \cdot 3 = 162$ км/ч.
По условию, отношение скоростей грузовика и автомобиля составляет $4:5$. Обозначим одну часть скорости как $x$. Тогда скорость грузовика $v_г = 4x$, а скорость автомобиля $v_а = 5x$.
Подставим эти значения в уравнение для суммы скоростей:
$4x + 5x = 162$
$9x = 162$
$x = \frac{162}{9} = 18$ км/ч.
Теперь найдем скорости каждого транспортного средства:
Скорость грузовика: $v_г = 4 \cdot 18 = 72$ км/ч.
Скорость автомобиля: $v_а = 5 \cdot 18 = 90$ км/ч.
Наконец, определим, за какое время каждый из них пройдет расстояние, равное $324$ км, по формуле $t = \frac{S}{v}$:
Время для грузовика: $t_г = \frac{324}{72} = 4,5$ часа.
Время для автомобиля: $t_а = \frac{324}{90} = 3,6$ часа.
Ответ: грузовик пройдет 324 км за 4,5 часа, а легковой автомобиль – за 3,6 часа.

б) Пусть скорость рейсового автобуса равна $v_р$, а скорость междугородного – $v_м$. По условию, скорость междугородного автобуса на 20% больше скорости рейсового. Это означает:
$v_м = v_р + 0,2 \cdot v_р = 1,2 v_р$.
Междугородный автобус выехал на 15 минут раньше рейсового. Расстояние между ними измеряется через 30 минут после выезда рейсового автобуса.
Таким образом, время в пути для рейсового автобуса составляет $t_р = 30 \text{ мин} = 0,5$ ч.
А время в пути для междугородного автобуса составляет $t_м = 15 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 45 \text{ мин} = 0,75$ ч.
За это время автобусы проехали следующие расстояния:
$S_р = v_р \cdot t_р = v_р \cdot 0,5$
$S_м = v_м \cdot t_м = v_м \cdot 0,75$
Так как они движутся в одном направлении и междугородный автобус выехал раньше, расстояние между ними равно разности пройденных ими путей: $S_м - S_р = 20$ км.
Подставим выражения для расстояний в это уравнение:
$v_м \cdot 0,75 - v_р \cdot 0,5 = 20$.
Теперь заменим $v_м$ через $v_р$, используя соотношение $v_м = 1,2 v_р$:
$(1,2 v_р) \cdot 0,75 - v_р \cdot 0,5 = 20$
$0,9 v_р - 0,5 v_р = 20$
$0,4 v_р = 20$
$v_р = \frac{20}{0,4} = 50$ км/ч.
Теперь найдем скорость междугородного автобуса:
$v_м = 1,2 \cdot v_р = 1,2 \cdot 50 = 60$ км/ч.
Ответ: скорость междугородного автобуса 60 км/ч, а скорость рейсового автобуса 50 км/ч.

Условие 2010-2022.

133 а) Грузовик и легковой автомобиль ехали по шоссе навстречу друг другу. Через 20 минут после встречи расстояние между ними стало равно 54 км. Скорость грузовика относится к скорости автомобиля как $4 : 5$. За сколько времени каждый из них пройдет расстояние, равное 324 км?

б) От автобусной станции отъехал междугородный автобус, а через 15 мин вслед за ним в том же направлении – рейсовый. Скорость междугородного автобуса на $20\%$ больше скорости рейсового. С какими скоростями они ехали, если через 30 мин после выхода рейсового автобуса расстояние между ними было равно 20 км?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).