Номер 140, страница 33, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 3. Уравнения. 6. Решение задач с помощью уравнений - номер 140, страница 33.

Условие 2023.

140 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\forall a \in Q: a^2 > 0;$

б) $\forall a \in Q: a^2 \ge 0;$

в) $\exists a \in Q: a^2 < 0;$

г) $\exists a \in Q: a^2 \le 0.$

Решение 2 (2023).

а) Высказывание $ \forall a \in Q: a^2 > 0 $ (для любого рационального числа $a$ верно, что $a^2$ больше нуля) является ложным.
Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести один контрпример. Возьмем рациональное число $a = 0$. $0$ принадлежит множеству рациональных чисел ($0 \in Q$), но его квадрат $0^2 = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным. Следовательно, утверждение, что для любого рационального числа его квадрат строго больше нуля, неверно.
Отрицанием для высказывания $ \forall x: P(x) $ является высказывание $ \exists x: \neg P(x) $. Отрицанием для условия $a^2 > 0$ является $a^2 \le 0$. Таким образом, отрицание исходного высказывания: $ \exists a \in Q: a^2 \le 0 $ (существует такое рациональное число $a$, что его квадрат меньше либо равен нулю).
Ответ: высказывание ложно, отрицание: $ \exists a \in Q: a^2 \le 0 $.

б) Высказывание $ \forall a \in Q: a^2 \ge 0 $ (для любого рационального числа $a$ верно, что $a^2$ больше либо равно нулю) является истинным.
Квадрат любого действительного числа, а значит и любого рационального, всегда неотрицателен. Если число положительное или отрицательное, его квадрат будет положительным. Если число равно нулю, его квадрат равен нулю. В любом случае, $a^2 \ge 0$ выполняется для всех $a \in Q$.
Ответ: высказывание истинно.

в) Высказывание $ \exists a \in Q: a^2 < 0 $ (существует такое рациональное число $a$, что его квадрат меньше нуля) является ложным.
Как было установлено в предыдущем пункте, квадрат любого рационального числа всегда больше либо равен нулю ($a^2 \ge 0$). Не существует рационального числа, квадрат которого был бы отрицательным.
Отрицанием для высказывания $ \exists x: P(x) $ является высказывание $ \forall x: \neg P(x) $. Отрицанием для условия $a^2 < 0$ является $a^2 \ge 0$. Таким образом, отрицание исходного высказывания: $ \forall a \in Q: a^2 \ge 0 $ (для любого рационального числа $a$ верно, что его квадрат больше либо равен нулю).
Ответ: высказывание ложно, отрицание: $ \forall a \in Q: a^2 \ge 0 $.

г) Высказывание $ \exists a \in Q: a^2 \le 0 $ (существует такое рациональное число $a$, что его квадрат меньше либо равен нулю) является истинным.
Чтобы доказать это утверждение, достаточно найти хотя бы одно рациональное число, удовлетворяющее условию. Таким числом является $a=0$. $0$ — рациональное число ($0 \in Q$), и его квадрат $0^2 = 0$. Условие $0 \le 0$ является верным. Следовательно, такое число существует.
Ответ: высказывание истинно.

Условие 2010-2022.

140 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $ \forall a \in Q: a^2 > 0; $

б) $ \forall a \in Q: a^2 \ge 0; $

в) $ \exists a \in Q: a^2 < 0; $

г) $ \exists a \in Q: a^2 \le 0. $

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).