Номер 144, страница 34, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

6. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 144, страница 34.

Условие 2023.

144 Построй четырёхугольник ABCD по координатам вершин: $A (4; 2)$, $B (2; 8)$, $C (14; 12)$, $D (10; 0)$. Проведи диагонали и определи координаты точки их пересечения. Найди как можно больше свойств четырёхугольника ABCD.

Решение 2 (2023).

Построим четырёхугольник, отметив на координатной плоскости точки A(4; 2), B(2; 8), C(14; 12), D(10; 0) и соединив их отрезками. Диагоналями четырёхугольника являются отрезки AC и BD.

Определи координаты точки их пересечения

Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей, необходимо составить уравнения прямых, на которых лежат эти диагонали, и решить систему этих уравнений.

1. Уравнение прямой AC.
Прямая проходит через точки A(4; 2) и C(14; 12). Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид:$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$Подставим координаты точек A и C:$\frac{x - 4}{14 - 4} = \frac{y - 2}{12 - 2}$$\frac{x - 4}{10} = \frac{y - 2}{10}$$x - 4 = y - 2$$y = x - 2$

2. Уравнение прямой BD.
Прямая проходит через точки B(2; 8) и D(10; 0). Подставим их координаты в ту же формулу:$\frac{x - 2}{10 - 2} = \frac{y - 8}{0 - 8}$$\frac{x - 2}{8} = \frac{y - 8}{-8}$$-(x - 2) = y - 8$$-x + 2 = y - 8$$y = -x + 10$

3. Найдём точку пересечения.
Для этого решим систему уравнений:$\begin{cases} y = x - 2 \\ y = -x + 10 \end{cases}$Приравняем правые части:$x - 2 = -x + 10$$2x = 12$$x = 6$Теперь найдём $y$, подставив $x=6$ в первое уравнение:$y = 6 - 2 = 4$Таким образом, диагонали AC и BD пересекаются в точке O(6; 4).

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей — (6; 4).

Найди как можно больше свойств четырёхугольника ABCD

Исследуем свойства четырёхугольника, вычислив длины его сторон, угловые коэффициенты сторон и диагоналей.

1. Длины сторон.
Используем формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
$AB = \sqrt{(2-4)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$
$BC = \sqrt{(14-2)^2 + (12-8)^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160}$
$CD = \sqrt{(10-14)^2 + (0-12)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160}$
$DA = \sqrt{(4-10)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$Мы видим, что смежные стороны попарно равны: $AB = DA$ и $BC = CD$. Четырёхугольник с таким свойством называется дельтоидом (или кайтом).

2. Угловые коэффициенты (наклоны) сторон.
Используем формулу углового коэффициента $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
$k_{AB} = \frac{8-2}{2-4} = \frac{6}{-2} = -3$
$k_{BC} = \frac{12-8}{14-2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$k_{CD} = \frac{0-12}{10-14} = \frac{-12}{-4} = 3$
$k_{DA} = \frac{2-0}{4-10} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$Так как $k_{AB} \cdot k_{BC} = -3 \cdot \frac{1}{3} = -1$, стороны AB и BC перпендикулярны, то есть $\angle B = 90^\circ$.Так как $k_{CD} \cdot k_{DA} = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1$, стороны CD и DA перпендикулярны, то есть $\angle D = 90^\circ$.Противоположные углы B и D равны. Это также свойство дельтоида (равны углы между неравными сторонами).

3. Свойства диагоналей.
Угловой коэффициент диагонали AC: $k_{AC} = \frac{12-2}{14-4} = \frac{10}{10} = 1$.Угловой коэффициент диагонали BD: $k_{BD} = \frac{0-8}{10-2} = \frac{-8}{8} = -1$.Поскольку произведение угловых коэффициентов $k_{AC} \cdot k_{BD} = 1 \cdot (-1) = -1$, диагонали AC и BD перпендикулярны.Проверим, является ли точка пересечения O(6; 4) серединой какой-либо из диагоналей.Середина BD: $(\frac{2+10}{2}; \frac{8+0}{2}) = (\frac{12}{2}; \frac{8}{2}) = (6; 4)$. Это точка O.Середина AC: $(\frac{4+14}{2}; \frac{2+12}{2}) = (\frac{18}{2}; \frac{14}{2}) = (9; 7)$. Это не точка O.Таким образом, диагональ AC является серединным перпендикуляром к диагонали BD. Это основное свойство дельтоида.

4. Дополнительные свойства.
Поскольку у четырёхугольника два противоположных угла (B и D) прямые, сумма которых $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, то вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность. Диаметром этой окружности будет диагональ AC, соединяющая вершины двух других углов.

Ответ: Основные свойства четырёхугольника ABCD:

• Это дельтоид (кайт), так как у него смежные стороны попарно равны ($AB=DA=\sqrt{40}$ и $BC=CD=\sqrt{160}$).
• Два противоположных угла являются прямыми: $\angle B = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$.
• Диагонали взаимно перпендикулярны.
• Диагональ AC является серединным перпендикуляром к диагонали BD.
• Четырёхугольник является вписанным (вокруг него можно описать окружность).

Условие 2010-2022.

144 Построй четырехугольник $ABCD$ по координатам вершин: $A (4; 2)$, $B (2; 8)$, $C (14; 12)$, $D (10; 0)$. Проведи диагонали и определи координаты точки их пересечения. Найди как можно больше свойств четырехугольника $ABCD$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).