Страница 29, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

102 Прочитай предложения. Запиши множество натуральных значений переменных, при которых данные предложения становятся истинными высказываниями.

1) $a < 3;$

2) $b > 2.4;$

3) $c \leq 5;$

4) $7.2 < d;$

5) $4 < x < 9;$

6) $3.5 \leq y < 5;$

7) $1.8 < z \leq 6.4;$

8) $4.1 \leq t \leq 8.3;$

Как иначе можно сформулировать это задание? Что называется неравенством? Решением неравенства?

1) a < 3

В данном неравенстве требуется найти все натуральные числа $a$, которые строго меньше 3. Натуральные числа — это числа, используемые при счете предметов: 1, 2, 3, 4, ... . Из этого множества нужно выбрать те, которые удовлетворяют условию $a < 3$. Такими числами являются 1 и 2.

Ответ: $\{1, 2\}$

2) b > 2,4

Нужно найти все натуральные числа $b$, которые больше 2,4. Первое натуральное число, которое больше, чем 2,4, это 3. Все последующие натуральные числа (4, 5, 6 и так далее) также будут больше 2,4. Таким образом, это бесконечное множество.

Ответ: $\{3, 4, 5, ...\}$

3) c ≤ 5

Ищем все натуральные числа $c$, которые меньше или равны 5. Знак $\le$ означает, что число 5 также входит в искомое множество. Таким образом, нам подходят числа 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

4) 7,2 < d

Это неравенство эквивалентно неравенству $d > 7,2$. Нужно найти все натуральные числа $d$, которые больше 7,2. Первое натуральное число, удовлетворяющее этому условию, — это 8. Все последующие натуральные числа также будут решениями.

Ответ: $\{8, 9, 10, ...\}$

5) 4 < x < 9

Это двойное неравенство означает, что $x$ должен быть одновременно больше 4 и меньше 9. Ищем натуральные числа, которые находятся в этом интервале. Это числа 5, 6, 7, 8.

Ответ: $\{5, 6, 7, 8\}$

6) 3,5 ≤ y < 5

Ищем натуральные числа $y$, которые больше или равны 3,5 и одновременно строго меньше 5. Первое натуральное число, которое больше или равно 3,5, это 4. Следующее натуральное число, 5, уже не удовлетворяет условию $y < 5$. Таким образом, есть только одно решение.

Ответ: $\{4\}$

7) 1,8 < z ≤ 6,4

Нужно найти натуральные числа $z$, которые строго больше 1,8 и меньше или равны 6,4. Натуральные числа, большие 1,8, начинаются с 2. Натуральные числа, меньшие или равные 6,4, это числа до 6 включительно. Таким образом, искомые числа — это 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: $\{2, 3, 4, 5, 6\}$

8) 4,1 ≤ t ≤ 8,3

Ищем натуральные числа $t$, которые больше или равны 4,1 и меньше или равны 8,3. Натуральные числа, большие или равные 4,1, начинаются с 5. Натуральные числа, меньшие или равные 8,3, это числа до 8 включительно. Объединяя условия, получаем числа 5, 6, 7, 8.

Ответ: $\{5, 6, 7, 8\}$

Как иначе можно сформулировать это задание?

Суть задания заключается в поиске всех решений неравенств в рамках заданного множества чисел (натуральных). Поэтому его можно переформулировать, сделав акцент именно на этом.

Ответ: Задание можно сформулировать как: "Решите данные неравенства в множестве натуральных чисел" или "Найдите множество натуральных решений для каждого неравенства".

Что называется неравенством?

Неравенство в математике — это утверждение о том, что два числа или математических выражения не равны друг другу, или что одно из них больше или меньше другого. Для записи неравенств используются специальные знаки.

Ответ: Неравенством называется математическое выражение, в котором два числа или выражения соединены одним из знаков сравнения: $>$ (больше), $<$ (меньше), $\ge$ (больше или равно), $\le$ (меньше или равно).

Что называется решением неравенства?

Когда неравенство содержит переменную, его решением является не одно число, а, как правило, множество чисел. Каждое число из этого множества, будучи подставленным на место переменной, превращает неравенство в верное числовое утверждение.

Ответ: Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

102 Прочитай предложения. Запиши множество натуральных значений переменных, при которых данные предложения становятся истинными высказываниями.

1) $a < 3;$

2) $b > 2,4;$

3) $c \le 5;$

4) $7,2 \le d;$

5) $4 < x < 9;$

6) $3,5 \le y < 5;$

7) $1,8 < z \le 6,4;$

8) $4,1 \le t \le 8,3.$

Как иначе можно сформулировать это задание? Что называется неравенством? Решением неравенства?

103 Прочитай предложения с переменными. При каких значениях переменных они становятся высказываниями? Как иначе называют данные предложения с переменными?

1) $a + b = b + a;$

2) $(a + b) + c = a + (b + c);$

3) $a \cdot b = b \cdot a;$

4) $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c);$

5) $(a + b) \cdot c = ac + bc;$

6) $(a - b) \cdot c = ac - bc.$

Предложение с переменной становится высказыванием, когда вместо каждой переменной подставляется её конкретное значение (число). Высказывание, в свою очередь, может быть истинным или ложным.

Все представленные в задаче предложения становятся истинными высказываниями при любых числовых значениях входящих в них переменных, поскольку они представляют собой основные законы арифметики. Такие равенства, верные при любых значениях переменных, называют тождествами. Другие названия для данных предложений — свойства арифметических действий, законы арифметики или формулы.

Рассмотрим каждое предложение:

1) $a + b = b + a$
Это равенство читается: "сумма $a$ и $b$ равна сумме $b$ и $a$". Оно выражает переместительный (коммутативный) закон сложения, который гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Равенство верно для любых чисел $a$ и $b$.
Ответ: данное равенство становится истинным высказыванием при любых значениях переменных $a$ и $b$. Это переместительный закон сложения.

2) $(a + b) + c = a + (b + c)$
Это равенство читается: "сумма чисел $(a + b)$ и $c$ равна сумме числа $a$ и чисел $(b + c)$". Оно выражает сочетательный (ассоциативный) закон сложения. Он означает, что при сложении нескольких чисел их можно группировать в любом порядке. Равенство верно для любых чисел $a$, $b$ и $c$.
Ответ: данное равенство становится истинным высказыванием при любых значениях переменных $a$, $b$ и $c$. Это сочетательный закон сложения.

3) $a \cdot b = b \cdot a$
Это равенство читается: "произведение $a$ и $b$ равно произведению $b$ и $a$". Оно выражает переместительный (коммутативный) закон умножения: от перемены мест множителей произведение не меняется. Равенство верно для любых чисел $a$ и $b$.
Ответ: данное равенство становится истинным высказыванием при любых значениях переменных $a$ и $b$. Это переместительный закон умножения.

4) $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
Это равенство читается: "произведение чисел $(a \cdot b)$ и $c$ равно произведению числа $a$ и чисел $(b \cdot c)$". Оно выражает сочетательный (ассоциативный) закон умножения. Он означает, что при умножении нескольких чисел их можно группировать в любом порядке. Равенство верно для любых чисел $a$, $b$ и $c$.
Ответ: данное равенство становится истинным высказыванием при любых значениях переменных $a$, $b$ и $c$. Это сочетательный закон умножения.

5) $(a + b) \cdot c = ac + bc$
Это равенство читается: "произведение суммы $a$ и $b$ на число $c$ равно сумме произведений $a$ на $c$ и $b$ на $c$". Оно выражает распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения. Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и результаты сложить. Равенство верно для любых чисел $a$, $b$ и $c$.
Ответ: данное равенство становится истинным высказыванием при любых значениях переменных $a$, $b$ и $c$. Это распределительный закон умножения относительно сложения.

6) $(a - b) \cdot c = ac - bc$
Это равенство читается: "произведение разности $a$ и $b$ на число $c$ равно разности произведений $a$ на $c$ и $b$ на $c$". Оно выражает распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания. Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе. Равенство верно для любых чисел $a$, $b$ и $c$.
Ответ: данное равенство становится истинным высказыванием при любых значениях переменных $a$, $b$ и $c$. Это распределительный закон умножения относительно вычитания.

103 Прочитай предложения с переменными. При каких значениях переменных они становятся высказываниями? Как иначе называют данные предложения с переменными?

1) $a + b = b + a$;

2) $(a + b) + c = a + (b + c)$;

3) $a \cdot b = b \cdot a$;

4) $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$;

5) $(a + b) \cdot c = ac + bc$;

6) $(a - b) \cdot c = ac - bc$.

П 104 Прочитай высказывания, докажи или опровергни их. Построй отрицания ложных высказываний.

1) $\exists c \in \mathbb{N}: c^2 + 1 = 0;$

2) $\exists a, b \in \mathbb{N}: a^2 + b^2 = 5;$

3) $\exists n \in \mathbb{N}: 15n$ - простое число;

4) $\exists d \in R: 5d < 5$ (R - множество дробей).

1) $∃c ∈ N: c² + 1 = 0$;
Данное высказывание утверждает, что существует такое натуральное число $c$, для которого верно равенство $c² + 1 = 0$. Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$.
Преобразуем уравнение: $c² = -1$.
Поскольку $c$ — натуральное число, то $c > 0$, и, следовательно, его квадрат $c²$ также должен быть положительным ($c² > 0$). Квадрат любого натурального числа не может быть равен отрицательному числу -1. Таким образом, в множестве натуральных чисел нет решения для этого уравнения. Следовательно, высказывание ложно.
Отрицанием для ложного высказывания с квантором существования ($∃$) является высказывание с квантором всеобщности ($∀$).
Отрицание: $∀c ∈ N: c² + 1 ≠ 0$ (для любого натурального числа $c$, выражение $c² + 1$ не равно нулю).
Ответ: высказывание ложно. Отрицание: $∀c ∈ N: c² + 1 ≠ 0$.

2) $∃a, b ∈ N: a² + b² = 5$;
Высказывание утверждает, что существуют натуральные числа $a$ и $b$, сумма квадратов которых равна 5. Чтобы доказать это, достаточно найти хотя бы одну такую пару чисел.
Попробуем подставить небольшие натуральные числа. Пусть $a=1$. Тогда уравнение примет вид: $1² + b² = 5$, откуда $1 + b² = 5$, и $b² = 4$. Поскольку $b$ должно быть натуральным числом, $b = 2$.
Мы нашли пару натуральных чисел ($a=1$, $b=2$), для которой равенство выполняется. Проверим: $1² + 2² = 1 + 4 = 5$.
Так как мы нашли такую пару, высказывание истинно.
Ответ: высказывание истинно. Например, при $a=1$ и $b=2$ (или наоборот, $a=2$ и $b=1$).

3) $∃n ∈ N: 15n$ - простое число;
Высказывание утверждает, что существует такое натуральное число $n$, что число $15n$ является простым. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.
Рассмотрим выражение $15n$. Для любого натурального $n$ ($n ≥ 1$), число $15n$ можно представить в виде произведения $3 \cdot 5 \cdot n$.
Если $n=1$, то получаем число 15, которое не является простым, так как делится на 1, 3, 5, 15.
Если $n > 1$, то число $15n$ будет иметь как минимум три делителя, отличных от 1: 3, 5 и $n$. Следовательно, оно не может быть простым.
Таким образом, не существует натурального числа $n$, для которого $15n$ — простое число. Высказывание ложно.
Отрицание: $∀n ∈ N: 15n$ не является простым числом (или является составным, так как при $n ∈ N$ число $15n ≥ 15$).
Ответ: высказывание ложно. Отрицание: $∀n ∈ N: 15n$ - составное число.

4) $∃d ∈ R: 5d < 5$ ($R$ - множество дробей).
Высказывание утверждает, что существует такая дробь $d$, что $5d < 5$. Под "множеством дробей" понимается множество рациональных чисел.
Рассмотрим неравенство $5d < 5$. Разделим обе его части на 5 (так как 5 > 0, знак неравенства сохраняется):
$d < 1$.
Таким образом, утверждение эквивалентно тому, что "существует рациональное число, которое меньше 1". Это, очевидно, верно. Например, можно взять дробь $d = 1/2$. Она меньше 1.
Проверим исходное неравенство: $5 \cdot (1/2) = 2.5$, и $2.5 < 5$. Неравенство выполняется. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: высказывание истинно. Например, подходит дробь $d = 1/2$.

104 Прочитай высказывания, докажи или опровергни их. Построй отрицания ложных высказываний.

1) $\exists c \in N: c^2 + 1 = 0;$

2) $\exists a, b \in N: a^2 + b^2 = 5;$

3) $\exists n \in N: 15n$ - простое число;

4) $\exists d \in R: 5d < 5$ (R - множество дробей).

105 1) Может ли при делении натурального числа на 8 получиться остаток 9? Почему?

2) При делении некоторого натурального числа на 7 получилось частное 4 и остаток 3. Какое число делили?

3) Запиши в виде выражения с переменной $n$ ($n \in N$) общий вид числа, которое при делении на 4 даёт остаток 3. Найди значение этого выражения при $n = 0, 2, 5, 9, 16$. Проверь с помощью вычислений.

4) Вычисли и сделай проверку. Что ты замечаешь?

24 : 5

15 : 6

45 : 8

64 : 9

140 : 40

560 : 60

1900 : 30

2800 : 90

58 000 : 700

26 000 : 5000

1)

Нет, при делении натурального числа на 8 не может получиться остаток 9.

Согласно правилу деления с остатком, остаток всегда должен быть меньше делителя. В данном случае делитель равен 8. Следовательно, возможные остатки при делении на 8 – это числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Так как $9 > 8$, остаток 9 получиться не может. Если бы остаток был 9, это означало бы, что из него можно выделить ещё одну целую часть делителя (8), прибавив 1 к частному, а новым остатком стало бы число $9 - 8 = 1$.

Ответ: Нет, не может, потому что остаток должен быть меньше делителя ($9 > 8$).

2)

Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель и к результату прибавить остаток. Обозначим искомое число (делимое) как $a$, делитель как $b$, частное как $q$ и остаток как $r$. Формула имеет вид: $a = b \cdot q + r$.

По условию задачи:

• Делитель $b = 7$
• Частное $q = 4$
• Остаток $r = 3$

Подставим эти значения в формулу:

$a = 7 \cdot 4 + 3 = 28 + 3 = 31$

Проверка: $31 : 7 = 4$ (остаток $31 - 7 \cdot 4 = 3$).

Ответ: 31.

3)

Общий вид числа, которое при делении на 4 даёт остаток 3, можно записать с помощью формулы деления с остатком $a = bq + r$, где $a$ – искомое число, $b = 4$ – делитель, $r = 3$ – остаток, а $q$ – частное. В качестве частного будем использовать переменную $n \in N$ (где $n$ - натуральное число или 0).

Общий вид выражения: $4n + 3$.

Теперь найдём значения этого выражения для заданных $n$:

• При $n = 0$: $4 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$.
  Проверка: $3 : 4 = 0$ (ост. 3).
• При $n = 2$: $4 \cdot 2 + 3 = 8 + 3 = 11$.
  Проверка: $11 : 4 = 2$ (ост. 3).
• При $n = 5$: $4 \cdot 5 + 3 = 20 + 3 = 23$.
  Проверка: $23 : 4 = 5$ (ост. 3).
• При $n = 9$: $4 \cdot 9 + 3 = 36 + 3 = 39$.
  Проверка: $39 : 4 = 9$ (ост. 3).
• При $n = 16$: $4 \cdot 16 + 3 = 64 + 3 = 67$.
  Проверка: $67 : 4 = 16$ (ост. 3).

Ответ: Общий вид числа: $4n + 3$. Значения выражения: 3 (при n=0), 11 (при n=2), 23 (при n=5), 39 (при n=9), 67 (при n=16).

4)

Выполним вычисления и проверку для каждого примера.

• $24 : 5 = 4$ (ост. 4). Проверка: $5 \cdot 4 + 4 = 20 + 4 = 24$.
• $45 : 8 = 5$ (ост. 5). Проверка: $8 \cdot 5 + 5 = 40 + 5 = 45$.
• $140 : 40 = 3$ (ост. 20). Проверка: $40 \cdot 3 + 20 = 120 + 20 = 140$.
• $1900 : 30 = 63$ (ост. 10). Проверка: $30 \cdot 63 + 10 = 1890 + 10 = 1900$.
• $58000 : 700 = 82$ (ост. 600). Проверка: $700 \cdot 82 + 600 = 57400 + 600 = 58000$.
• $15 : 6 = 2$ (ост. 3). Проверка: $6 \cdot 2 + 3 = 12 + 3 = 15$.
• $64 : 9 = 7$ (ост. 1). Проверка: $9 \cdot 7 + 1 = 63 + 1 = 64$.
• $560 : 60 = 9$ (ост. 20). Проверка: $60 \cdot 9 + 20 = 540 + 20 = 560$.
• $2800 : 90 = 31$ (ост. 10). Проверка: $90 \cdot 31 + 10 = 2790 + 10 = 2800$.
• $26000 : 5000 = 5$ (ост. 1000). Проверка: $5000 \cdot 5 + 1000 = 25000 + 1000 = 26000$.

Что можно заметить?

Можно заметить свойство деления с остатком. Если делимое и делитель умножить (или разделить) на одно и то же натуральное число $k$, то частное не изменится, а остаток умножится (или разделится) на это же число $k$.

Например:

• $14 : 4 = 3$ (ост. 2). Если умножить делимое и делитель на 10, получим $140 : 40$. Частное осталось тем же (3), а остаток увеличился в 10 раз ($2 \cdot 10 = 20$).
• $26 : 5 = 5$ (ост. 1). Если умножить делимое и делитель на 1000, получим $26000 : 5000$. Частное осталось тем же (5), а остаток увеличился в 1000 раз ($1 \cdot 1000 = 1000$).

Это правило работает для многих примеров в задании. Чтобы найти частное и остаток при делении чисел, оканчивающихся нулями (например, $1900 : 30$), можно убрать одинаковое количество нулей в конце делимого и делителя ($190 : 3$), выполнить деление ($190 : 3 = 63$ (ост. 1)), а затем к полученному остатку приписать обратно убранные нули (остаток будет 10).

Ответ: Если делимое и делитель увеличить в одинаковое количество раз, частное не изменится, а остаток увеличится во столько же раз.

105 1) Может ли при делении натурального числа на 8 получиться остаток 9? Почему?

2) При делении некоторого натурального числа на 7 получилось частное 4 и остаток 3. Какое число делили?

3) Запиши в виде выражения с переменной $n$ ($n \in N$) общий вид числа, которое при делении на 4 дает остаток 3. Найди значение этого выражения при $n = 0, 2, 5, 9, 16$. Проверь с помощью вычислений.

4) Вычисли и сделай проверку. Что ты замечаешь?

24 : 5 45 : 8 140 : 40 1900 : 30 58000 : 700

15 : 6 64 : 9 560 : 60 2800 : 90 26000 : 5000

106 Вычисли, найди закономерность в последовательности ответов и запиши следующие 2 числа:

1) $36 : 4 + 20 : 1;$

$80 - 28 : 4 \cdot 7;$

$5 \cdot (81 : 9 - 16 : 8);$

$(4 \cdot 4 + 5 \cdot 5 - 0 \cdot 6) \cdot 1.$

2) $(0.5 \cdot 0.8 - 0.25) : 0.3;$

$(0.34 - 0.09 \cdot 3) : 0.1;$

$(4.5 : 0.09 + 14 : 0.2) \cdot 0.01;$

$4 - 1.8 : (2.4 : 4) \cdot 0.7.$

3) $0.6 : 0.01 - 0 : (7.58 - 4.09);$

$(0.08 \cdot 4 - 0.04) : 0.2 + 0.7 \cdot 6;$

$(0.3 - 0.3) : 0.3 + 0.1 \cdot (10 - 0.6 \cdot 8);$

$(0.64 : 0.8 \cdot 9 - 8 \cdot 0.3) \cdot 0.1^2.$

1)

$36 : 4 + 20 : 1 = 9 + 20 = 29$
$80 - 28 : 4 \cdot 7 = 80 - 7 \cdot 7 = 80 - 49 = 31$
$5 \cdot (81 : 9 - 16 : 8) = 5 \cdot (9 - 2) = 5 \cdot 7 = 35$
$(4 \cdot 4 + 5 \cdot 5 - 0 \cdot 6) \cdot 1 = (16 + 25 - 0) \cdot 1 = 41 \cdot 1 = 41$

В результате вычислений получилась последовательность чисел: 29, 31, 35, 41.
Найдем закономерность в этой последовательности. Для этого вычислим разницу между соседними членами:
$31 - 29 = 2$
$35 - 31 = 4$
$41 - 35 = 6$
Разница между соседними числами каждый раз увеличивается на 2. Следовательно, следующие разницы будут 8 и 10.
Найдем следующие два числа последовательности:
$41 + 8 = 49$
$49 + 10 = 59$
Ответ: следующие 2 числа: 49, 59.

2)

$(0,5 \cdot 0,8 - 0,25) : 0,3 = (0,4 - 0,25) : 0,3 = 0,15 : 0,3 = 0,5$
$(0,34 - 0,09 \cdot 3) : 0,1 = (0,34 - 0,27) : 0,1 = 0,07 : 0,1 = 0,7$
$(4,5 : 0,09 + 14 : 0,2) \cdot 0,01 = (50 + 70) \cdot 0,01 = 120 \cdot 0,01 = 1,2$
$4 - 1,8 : (2,4 : 4) \cdot 0,7 = 4 - 1,8 : 0,6 \cdot 0,7 = 4 - 3 \cdot 0,7 = 4 - 2,1 = 1,9$

Получилась последовательность чисел: 0,5; 0,7; 1,2; 1,9.
Закономерность в этой последовательности заключается в том, что каждое следующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих (похоже на последовательность Фибоначчи).
$0,5 + 0,7 = 1,2$
$0,7 + 1,2 = 1,9$
Найдем следующие два числа последовательности:
$1,2 + 1,9 = 3,1$
$1,9 + 3,1 = 5$
Ответ: следующие 2 числа: 3,1; 5.

3)

$0,6 : 0,01 - 0 : (7,58 - 4,09) = 60 - 0 : 3,49 = 60 - 0 = 60$
$(0,08 \cdot 4 - 0,04) : 0,2 + 0,7 \cdot 6 = (0,32 - 0,04) : 0,2 + 4,2 = 0,28 : 0,2 + 4,2 = 1,4 + 4,2 = 5,6$
$(0,3 - 0,3) : 0,3 + 0,1 \cdot (10 - 0,6 \cdot 8) = 0 : 0,3 + 0,1 \cdot (10 - 4,8) = 0 + 0,1 \cdot 5,2 = 0,52$
$(0,64 : 0,8 \cdot 9 - 8 \cdot 0,3) \cdot 0,1^2 = (0,8 \cdot 9 - 2,4) \cdot 0,01 = (7,2 - 2,4) \cdot 0,01 = 4,8 \cdot 0,01 = 0,048$

Получилась последовательность чисел: 60; 5,6; 0,52; 0,048.
Закономерность следующая: чтобы получить следующее число, нужно предыдущее разделить на 10 и вычесть число $0,4$, умноженное на $0,1$ в возрастающей степени, начиная с нулевой ($0,1^0=1$).
$60 : 10 - 0,4 = 6 - 0,4 = 5,6$
$5,6 : 10 - 0,04 = 0,56 - 0,04 = 0,52$
$0,52 : 10 - 0,004 = 0,052 - 0,004 = 0,048$
Найдем следующие два числа последовательности:
$0,048 : 10 - 0,0004 = 0,0048 - 0,0004 = 0,0044$
$0,0044 : 10 - 0,00004 = 0,00044 - 0,00004 = 0,0004$
Ответ: следующие 2 числа: 0,0044; 0,0004.

106 Вычисли, найди закономерность в последовательности ответов и запиши следующие 2 числа:

1) $36 / 4 + 20 / 1;$

$80 - 28 / 4 \cdot 7;$

$5 \cdot (81 / 9 - 16 / 8);$

$(4 \cdot 4 + 5 - 0 \cdot 6) \cdot 1;$

2) $(0.5 \cdot 0.8 - 0.25) / 0.3;$

$(0.34 - 0.09 \cdot 3) / 0.1;$

$(4.5 / 0.09 + 14 / 0.2) \cdot 0.01;$

$4 - 1.8 / (2.4 / 4) \cdot 0.7;$

3) $0.6 / 0.01 - 0 / (7.58 - 4.09);$

$(0.08 \cdot 4 - 0.04) / 0.2 + 0.7 \cdot 6;$

$(0.3 - 0.3) / 0.3 + 0.1 \cdot (10 - 0.6 \cdot 8);$

$(0.64 / 0.8 \cdot 9 - 8 \cdot 0.3) \cdot 0.1^2;$

112 Для рабочих некоторого предприятия в зависимости от разряда установлены различные тарифные ставки, причём для каждого следующего разряда тарифная ставка увеличивается на величину, равную $25 \%$ от ставки работника 1-го разряда. Чему равна зарплата у работника 9-го разряда, если у работника 1-го разряда она равна $15\,000 \text{ р.}$? Во сколько раз отличаются зарплаты работников 9-го и 1-го разрядов? На сколько процентов отличаются их зарплаты?

Обозначим зарплату работника 1-го разряда как $З_1$ и зарплату работника n-го разряда как $З_n$. По условию задачи, зарплата работника 1-го разряда составляет $З_1 = 15000$ рублей.

Для каждого следующего разряда тарифная ставка увеличивается на величину, равную 25% от ставки работника 1-го разряда. Найдем эту величину постоянного увеличения, которую обозначим как $d$:
$d = 0.25 \times З_1 = 0.25 \times 15000 = 3750$ рублей.

Таким образом, зарплаты работников представляют собой арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = З_1 = 15000$, а разность прогрессии $d = 3750$. Формула для нахождения зарплаты работника n-го разряда: $З_n = З_1 + (n-1) \times d$.

Чему равна зарплата у работника 9-го разряда?
Чтобы найти зарплату работника 9-го разряда ($З_9$), подставим в формулу $n=9$:
$З_9 = З_1 + (9-1) \times d$
$З_9 = 15000 + 8 \times 3750$
$З_9 = 15000 + 30000 = 45000$ рублей.
Ответ: 45000 рублей.

Во сколько раз отличаются зарплаты работников 9-го и 1-го разрядов?
Чтобы найти, во сколько раз зарплата работника 9-го разряда больше зарплаты работника 1-го разряда, необходимо найти отношение их зарплат:
$\frac{З_9}{З_1} = \frac{45000}{15000} = 3$
Ответ: в 3 раза.

На сколько процентов отличаются их зарплаты?
Чтобы найти, на сколько процентов зарплата работника 9-го разряда больше зарплаты работника 1-го разряда, примем зарплату 1-го разряда ($З_1$) за 100%. Сначала найдем абсолютную разницу в зарплатах:
$З_9 - З_1 = 45000 - 15000 = 30000$ рублей.
Теперь вычислим, какую долю эта разница составляет от зарплаты 1-го разряда, и выразим в процентах:
$\frac{З_9 - З_1}{З_1} \times 100\% = \frac{30000}{15000} \times 100\% = 2 \times 100\% = 200\%$.
Ответ: на 200%.

112 Для рабочих некоторого предприятия в зависимости от разряда установлены различные тарифные ставки, причем для каждого следующего разряда тарифная ставка увеличивается на величину, равную $25\%$ от ставки работника 1-го разряда. Чему равна зарплата у работника 9-го разряда, если у работника 1-го разряда она равна $8000$ р.? Во сколько раз отличаются зарплаты работников 9-го и 1-го разрядов? На сколько процентов отличаются их зарплаты?

113 Тест состоит из четырёх заданий. Максимальная оценка за каждое задание составляет 100 баллов. Средний результат среди всех участников – 75 баллов. Коэффициентом успеха ученика называется отношение среднего балла этого ученика к среднему результату всех участников тестирования. В таблице указаны результаты прохождения теста несколькими учениками.

Найди коэффициент успеха каждого ученика из приведённого списка и расположи полученные числа в убывающем порядке. Если порядок коэффициентов определён верно, то из третьих букв соответствующих им фамилий учеников составится слово. Что оно означает?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить несколько шагов: рассчитать средний балл и коэффициент успеха для каждого ученика, отсортировать учеников по убыванию этого коэффициента, а затем составить слово из букв их фамилий.

1. Расчет коэффициента успеха для каждого ученика

Коэффициент успеха ($КУ$) вычисляется как отношение среднего балла ученика ($СБ$) к среднему результату всех участников, который равен 75 баллам. Формула: $КУ = СБ / 75$.

Логинов Боря
Средний балл: $(34 + 56 + 83 + 7) / 4 = 180 / 4 = 45$.
Коэффициент успеха: $45 / 75 = 0.6$.
Ответ: Коэффициент успеха равен 0.6.

Снежина Ира
Средний балл: $(95 + 100 + 96 + 69) / 4 = 360 / 4 = 90$.
Коэффициент успеха: $90 / 75 = 1.2$.
Ответ: Коэффициент успеха равен 1.2.

Тонков Ваня
Средний балл: $(21 + 75 + 99 + 45) / 4 = 240 / 4 = 60$.
Коэффициент успеха: $60 / 75 = 0.8$.
Ответ: Коэффициент успеха равен 0.8.

Осипова Катя
Средний балл: $(98 + 60 + 48 + 82) / 4 = 288 / 4 = 72$.
Коэффициент успеха: $72 / 75 = 0.96$.
Ответ: Коэффициент успеха равен 0.96.

Бейлин Витя
Средний балл: $(100 + 82 + 56 + 74) / 4 = 312 / 4 = 78$.
Коэффициент успеха: $78 / 75 = 1.04$.
Ответ: Коэффициент успеха равен 1.04.

Корин Саша
Средний балл: $(100 + 96 + 100 + 100) / 4 = 396 / 4 = 99$.
Коэффициент успеха: $99 / 75 = 1.32$.
Ответ: Коэффициент успеха равен 1.32.

Петрова Ира
Средний балл: $(57 + 100 + 93 + 44) / 4 = 294 / 4 = 73.5$.
Коэффициент успеха: $73.5 / 75 = 0.98$.
Ответ: Коэффициент успеха равен 0.98.

2. Сортировка учеников по убыванию коэффициента успеха

Расположим учеников в порядке убывания их коэффициентов успеха:
1. Корин Саша (1.32)
2. Снежина Ира (1.2)
3. Бейлин Витя (1.04)
4. Петрова Ира (0.98)
5. Осипова Катя (0.96)
6. Тонков Ваня (0.8)
7. Логинов Боря (0.6)
Ответ: Порядок фамилий следующий: Корин, Снежина, Бейлин, Петрова, Осипова, Тонков, Логинов.

3. Составление слова

Возьмем третью букву из каждой фамилии в полученном списке:
Корин
Снежина
Бейлин
Петрова
Осипова
Тонков
Логинов
Собрав буквы вместе, получаем слово «РЕЙТИНГ».
Ответ: Полученное слово – РЕЙТИНГ.

4. Значение слова

Слово «рейтинг» (от англ. rating) — это числовой или порядковый показатель, который используется для оценки значимости, популярности или качества чего-либо или кого-либо. В контексте задачи рейтинг отражает успешность учеников по результатам теста.
Ответ: Рейтинг — это показатель для оценки или сравнения кого-либо или чего-либо.

113 Тест состоит из четырех заданий. Максимальная оценка за каждое задание составляет 100 баллов. Средний результат среди всех участников – 75 баллов. Коэффициентом успеха ученика называется отношение среднего балла этого ученика к среднему результату всех участников тестирования. В таблице указаны результаты прохождения теста несколькими учениками.

Найди коэффициент успеха каждого ученика из приведенного списка и расположи полученные числа в убывающем порядке. Если порядок коэффициентов определен верно, то из третьих букв соответствующих им фамилий учеников составится слово. Что оно означает?

D 114 Сделай все возможные перестановки членов пропорции, не нарушающие её:

a) $16 : 8 = 2 : 1$;

б) $\frac{0,3}{1,2} = \frac{2}{8}$;

в) $\frac{m}{n} = \frac{x}{y}$.

Основное свойство пропорции $a:b=c:d$ (или в виде дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$) заключается в том, что произведение её крайних членов ($a$ и $d$) равно произведению средних членов ($b$ и $c$), то есть $a \cdot d = b \cdot c$. Любая перестановка членов, сохраняющая это равенство, приводит к новой верной пропорции. Существует 8 таких перестановок для каждой исходной пропорции.

а)

Дана пропорция $16 : 8 = 2 : 1$. Проверим её основное свойство: произведение крайних членов $16 \cdot 1 = 16$, произведение средних членов $8 \cdot 2 = 16$. Равенство $16 = 16$ выполняется, значит, пропорция верна.

Выполним все возможные перестановки членов, сохраняющие пропорцию:

1. Поменяв местами средние члены (8 и 2), получим: $16 : 2 = 8 : 1$.

2. Поменяв местами крайние члены (16 и 1), получим: $1 : 8 = 2 : 16$.

3. Обратив оба отношения (поменяв местами делимое и делитель в каждом отношении), получим: $8 : 16 = 1 : 2$.

4. Поменяв местами левую и правую части исходной пропорции, получим: $2 : 1 = 16 : 8$.

5. Из пропорции $16 : 2 = 8 : 1$ (пункт 1), поменяв местами части, получим: $8 : 1 = 16 : 2$.

6. Из пропорции $1 : 8 = 2 : 16$ (пункт 2), поменяв местами части, получим: $2 : 16 = 1 : 8$.

7. Из пропорции $8 : 16 = 1 : 2$ (пункт 3), поменяв местами части, получим: $1 : 2 = 8 : 16$.

Ответ: $16 : 2 = 8 : 1$; $1 : 8 = 2 : 16$; $8 : 16 = 1 : 2$; $2 : 1 = 16 : 8$; $8 : 1 = 16 : 2$; $2 : 16 = 1 : 8$; $1 : 2 = 8 : 16$.

б)

Дана пропорция $\frac{0,3}{1,2} = \frac{2}{8}$. Проверим её основное свойство: $0,3 \cdot 8 = 2,4$ и $1,2 \cdot 2 = 2,4$. Равенство $2,4 = 2,4$ выполняется, пропорция верна.

Выполним все возможные перестановки членов:

1. Поменяв местами средние члены (1,2 и 2), получим: $\frac{0,3}{2} = \frac{1,2}{8}$.

2. Поменяв местами крайние члены (0,3 и 8), получим: $\frac{8}{1,2} = \frac{2}{0,3}$.

3. "Перевернув" обе дроби, получим: $\frac{1,2}{0,3} = \frac{8}{2}$.

4. Поменяв местами левую и правую части исходной пропорции, получим: $\frac{2}{8} = \frac{0,3}{1,2}$.

5. Поменяв местами части пропорции из пункта 1, получим: $\frac{1,2}{8} = \frac{0,3}{2}$.

6. Поменяв местами части пропорции из пункта 2, получим: $\frac{2}{0,3} = \frac{8}{1,2}$.

7. Поменяв местами части пропорции из пункта 3, получим: $\frac{8}{2} = \frac{1,2}{0,3}$.

Ответ: $\frac{0,3}{2} = \frac{1,2}{8}$; $\frac{8}{1,2} = \frac{2}{0,3}$; $\frac{1,2}{0,3} = \frac{8}{2}$; $\frac{2}{8} = \frac{0,3}{1,2}$; $\frac{1,2}{8} = \frac{0,3}{2}$; $\frac{2}{0,3} = \frac{8}{1,2}$; $\frac{8}{2} = \frac{1,2}{0,3}$.

в)

Дана пропорция $\frac{m}{n} = \frac{x}{y}$. Её основное свойство: $m \cdot y = n \cdot x$.

Все верные пропорции, которые можно составить из этих членов, должны удовлетворять этому равенству.

1. Поменяв местами средние члены (n и x), получим: $\frac{m}{x} = \frac{n}{y}$.

2. Поменяв местами крайние члены (m и y), получим: $\frac{y}{n} = \frac{x}{m}$.

3. "Перевернув" обе дроби, получим: $\frac{n}{m} = \frac{y}{x}$.

4. Поменяв местами левую и правую части исходной пропорции, получим: $\frac{x}{y} = \frac{m}{n}$.

5. Поменяв местами части пропорции из пункта 1, получим: $\frac{n}{y} = \frac{m}{x}$.

6. Поменяв местами части пропорции из пункта 2, получим: $\frac{x}{m} = \frac{y}{n}$.

7. Поменяв местами части пропорции из пункта 3, получим: $\frac{y}{x} = \frac{n}{m}$.

Ответ: $\frac{m}{x} = \frac{n}{y}$; $\frac{y}{n} = \frac{x}{m}$; $\frac{n}{m} = \frac{y}{x}$; $\frac{x}{y} = \frac{m}{n}$; $\frac{n}{y} = \frac{m}{x}$; $\frac{x}{m} = \frac{y}{n}$; $\frac{y}{x} = \frac{n}{m}$.

114 Сделай все возможные перестановки членов пропорции, не нарушающие ее:

a) $16 : 8 = 2 : 1;$

б) $\frac{0,3}{1,2} = \frac{2}{8};$

в) $\frac{m}{n} = \frac{x}{y}.$

115 Для данной пропорции составь несколько производных пропорций. Рядом запиши в буквенном виде, какие равносильные преобразования пропорций для этого использовались.

а) $ \frac{5}{7} = \frac{10}{14} $

б) $ \frac{3}{2} = \frac{18}{12} $

в) $ \frac{2}{5} = \frac{6}{15} $

Для каждой данной пропорции можно составить производные пропорции, используя различные равносильные преобразования. Основные из них — перестановка средних или крайних членов, обращение пропорции, а также сложение или вычитание членов пропорции.

а) Для данной пропорции $ \frac{5}{7} = \frac{10}{14} $ составим несколько производных пропорций.

1. Перестановка средних членов. Поменяв местами средние члены пропорции (7 и 10), получим верную пропорцию $ \frac{5}{10} = \frac{7}{14} $. В буквенном виде это преобразование записывается так: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $.

2. Обращение пропорции. Если в верной пропорции поменять местами числитель и знаменатель в каждом отношении, то получится снова верная пропорция: $ \frac{7}{5} = \frac{14}{10} $. В буквенном виде: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} $.

Ответ: Например, $ \frac{5}{10} = \frac{7}{14} $ (преобразование: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $) и $ \frac{7}{5} = \frac{14}{10} $ (преобразование: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} $).

б) Для данной пропорции $ \frac{3}{2} = \frac{18}{12} $ составим несколько производных пропорций.

1. Перестановка крайних членов. Поменяв местами крайние члены пропорции (3 и 12), получим верную пропорцию $ \frac{12}{2} = \frac{18}{3} $. В буквенном виде это преобразование записывается так: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{d}{b} = \frac{c}{a} $.

2. Сложение членов пропорции. Если к числителю каждого отношения прибавить его знаменатель, а знаменатели оставить без изменения, то получится верная пропорция: $ \frac{3+2}{2} = \frac{18+12}{12} $, то есть $ \frac{5}{2} = \frac{30}{12} $. В буквенном виде: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $.

Ответ: Например, $ \frac{12}{2} = \frac{18}{3} $ (преобразование: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{d}{b} = \frac{c}{a} $) и $ \frac{5}{2} = \frac{30}{12} $ (преобразование: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $).

в) Для данной пропорции $ \frac{2}{5} = \frac{6}{15} $ составим несколько производных пропорций.

1. Перестановка средних членов. Поменяв местами средние члены пропорции (5 и 6), получим верную пропорцию $ \frac{2}{6} = \frac{5}{15} $. В буквенном виде это преобразование записывается так: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $.

2. Сложение числителей и знаменателей. Можно составить верную пропорцию, в которой отношение суммы числителей к сумме знаменателей равно каждому из данных отношений: $ \frac{2+6}{5+15} = \frac{2}{5} $, то есть $ \frac{8}{20} = \frac{2}{5} $. В буквенном виде: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} $.

Ответ: Например, $ \frac{2}{6} = \frac{5}{15} $ (преобразование: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $) и $ \frac{8}{20} = \frac{2}{5} $ (преобразование: если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} $).

115 Для данной пропорции составь несколько производных пропорций. Рядом запиши в буквенном виде, какие равносильные преобразования пропорций для этого использовались.

а) $\frac{5}{7} = \frac{10}{14}$;

б) $\frac{3}{2} = \frac{18}{12}$;

в) $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$.

116. Реши уравнения:

1) $ \frac{6x}{25} = \frac{0,4}{0,15} $;

2) $ 1\frac{1}{9} : (0,8y) = \frac{1}{7} : 3,6 $;

3) $ \frac{1,25}{0,06} = \frac{z-6}{2,4} $;

4) $ \frac{7}{2+t} = \frac{4,2}{t} $.

1) $\frac{6x}{25} = \frac{0,4}{0,15}$

Это уравнение представляет собой пропорцию. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних членов):

$6x \cdot 0,15 = 25 \cdot 0,4$

Выполним умножение в обеих частях уравнения:

$0,9x = 10$

Теперь найдем $x$, разделив 10 на 0,9:

$x = \frac{10}{0,9}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{100}{9}$

Выделим целую часть:

$x = 11 \frac{1}{9}$

Ответ: $11 \frac{1}{9}$.

2) $1\frac{1}{9} : (0,8y) = \frac{1}{7} : 3,6$

Это также пропорция. Для удобства вычислений преобразуем все смешанные числа и десятичные дроби в обыкновенные:

$1\frac{1}{9} = \frac{10}{9}$

$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$3,6 = \frac{36}{10} = \frac{18}{5}$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$\frac{10}{9} : (\frac{4}{5}y) = \frac{1}{7} : \frac{18}{5}$

Применим основное свойство пропорции:

$\frac{10}{9} \cdot \frac{18}{5} = \frac{4}{5}y \cdot \frac{1}{7}$

Выполним умножение в левой части, сократив дроби:

$\frac{10 \cdot 18}{9 \cdot 5} = \frac{^2\cancel{10} \cdot ^2\cancel{18}}{_1\cancel{9} \cdot _1\cancel{5}} = 4$

Выполним умножение в правой части:

$\frac{4y}{5 \cdot 7} = \frac{4y}{35}$

Получим уравнение:

$4 = \frac{4y}{35}$

Чтобы найти $y$, умножим обе части на 35 и разделим на 4:

$4 \cdot 35 = 4y$

$y = 35$

Ответ: $35$.

3) $\frac{1,25}{0,06} = \frac{z-6}{2,4}$

Снова используем основное свойство пропорции:

$1,25 \cdot 2,4 = 0,06 \cdot (z-6)$

Вычислим произведение в левой части:

$1,25 \cdot 2,4 = 3$

Уравнение принимает вид:

$3 = 0,06(z-6)$

Найдем выражение в скобках, разделив 3 на 0,06:

$z-6 = \frac{3}{0,06}$

$z-6 = \frac{300}{6}$

$z-6 = 50$

Теперь найдем $z$:

$z = 50 + 6$

$z = 56$

Ответ: $56$.

4) $\frac{7}{2+t} = \frac{4,2}{t}$

Применим основное свойство пропорции, учитывая, что $t \neq 0$ и $2+t \neq 0$ (т.е. $t \neq -2$).

$7 \cdot t = 4,2 \cdot (2+t)$

Раскроем скобки в правой части:

$7t = 4,2 \cdot 2 + 4,2 \cdot t$

$7t = 8,4 + 4,2t$

Перенесем все слагаемые с переменной $t$ в левую часть уравнения:

$7t - 4,2t = 8,4$

$2,8t = 8,4$

Найдем $t$, разделив 8,4 на 2,8:

$t = \frac{8,4}{2,8}$

$t = \frac{84}{28}$

$t = 3$

Полученный корень $t=3$ удовлетворяет ограничениям.

Ответ: $3$.

116 Реши уравнения:

1) $\frac{6x}{25} = \frac{0,4}{0,15}$;

2) $1\frac{1}{9} : (0,8y) = \frac{1}{7} : 3,6$;

3) $\frac{1,25}{0,06} = \frac{z - 6}{2,4}$;

4) $\frac{7}{2 + t} = \frac{4,2}{t}$.

116 а) Мастер может выполнить весь заказ за 8 ч, а его ученик – за 10 ч. В час ученик делает на 15 деталей меньше мастера. Найди производительность мастера и производительность ученика.

б) Скорый поезд проходит расстояние между двумя городами за 10 ч, а пассажирский – за 12 ч 30 мин. Пассажирский поезд идёт со скоростью на 28 км/ч меньшей, чем скорый. Чему равно расстояние между городами?

а) Пусть производительность мастера равна $x$ деталей в час. Тогда производительность ученика равна $(x - 15)$ деталей в час.
Весь объём заказа (количество деталей) можно выразить двумя способами:

1. Через работу мастера: он выполняет заказ за 8 часов, значит, весь заказ составляет $8x$ деталей.
2. Через работу ученика: он выполняет заказ за 10 часов, значит, весь заказ составляет $10(x - 15)$ деталей.

Поскольку объём заказа одинаков, мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение: $8x = 10(x - 15)$
$8x = 10x - 150$
$10x - 8x = 150$
$2x = 150$
$x = 150 / 2$
$x = 75$

Таким образом, производительность мастера составляет 75 деталей в час.
Теперь найдём производительность ученика:
$x - 15 = 75 - 15 = 60$ деталей в час.

Ответ: производительность мастера – 75 деталей/час, производительность ученика – 60 деталей/час.

б) Пусть скорость скорого поезда равна $v$ км/ч. Тогда скорость пассажирского поезда равна $(v - 28)$ км/ч.
Расстояние между городами можно выразить двумя способами:

1. Для скорого поезда: он проходит расстояние за 10 часов, значит, расстояние равно $10v$ км.
2. Для пассажирского поезда: он проходит расстояние за 12 ч 30 мин. Переведём время в часы: $12 \text{ ч } 30 \text{ мин } = 12.5$ ч. Значит, расстояние равно $12.5(v - 28)$ км.

Поскольку расстояние между городами одинаково, мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение: $10v = 12.5(v - 28)$
$10v = 12.5v - 12.5 \times 28$
$10v = 12.5v - 350$
$12.5v - 10v = 350$
$2.5v = 350$
$v = 350 / 2.5$
$v = 140$

Таким образом, скорость скорого поезда равна 140 км/ч.
Теперь найдём расстояние между городами, используя данные для скорого поезда:
$S = 10v = 10 \times 140 = 1400$ км.

Ответ: расстояние между городами равно 1400 км.

116 а) Мастер может выполнить весь заказ за 8 ч, а его ученик – за 10 ч. В час ученик делает на 15 деталей меньше мастера. Найди производительность мастера и производительность ученика.

б) Скорый поезд проходит расстояние между двумя городами за 10 ч, а пассажирский – за 12 ч 30 мин. Пассажирский поезд идет со скоростью на 28 км/ч меньшей, чем скорый. Чему равно расстояние между городами?

117 а) Грузовик проехал в первый день треть всего пути, во второй день – $90 \%$ пути, пройденного в первый день, а за третий день – остальные 440 км. Сколько километров проехал грузовик за второй день?

б) В апреле было отремонтировано $\frac{2}{9}$ дороги от села до станции, в мае – $\frac{6}{7}$ остатка, а в июне – остальные 5 км. Сколько километров дороги было отремонтировано в мае?

а)

1. Обозначим весь путь, который проехал грузовик, за $x$ км.

2. В первый день грузовик проехал треть пути, то есть $\frac{1}{3}x$ км.

3. Во второй день он проехал 90% от пути, пройденного в первый день. Переведем проценты в десятичную дробь: $90\% = 0,9$. Найдем расстояние за второй день: $0,9 \times \frac{1}{3}x = \frac{9}{10} \times \frac{1}{3}x = \frac{3}{10}x$ км.

4. В третий день грузовик проехал оставшиеся 440 км.

5. Сумма расстояний, пройденных за три дня, равна всему пути $x$. Составим уравнение:
$\frac{1}{3}x + \frac{3}{10}x + 440 = x$

6. Решим уравнение. Сначала найдем, какую часть пути грузовик проехал за первые два дня:
$\frac{1}{3}x + \frac{3}{10}x = \frac{10}{30}x + \frac{9}{30}x = \frac{19}{30}x$

7. Значит, на третий день осталась часть пути, равная $x - \frac{19}{30}x = \frac{11}{30}x$. По условию, это 440 км.
$\frac{11}{30}x = 440$

8. Найдем весь путь $x$:
$x = 440 \div \frac{11}{30} = 440 \times \frac{30}{11} = 40 \times 30 = 1200$ км.

9. Теперь найдем, сколько километров грузовик проехал за второй день, подставив значение $x$ в выражение из шага 3:
$\frac{3}{10}x = \frac{3}{10} \times 1200 = 3 \times 120 = 360$ км.
Ответ: 360 км.

б)

1. Обозначим всю длину дороги за $y$ км.

2. В апреле отремонтировали $\frac{2}{9}$ дороги, то есть $\frac{2}{9}y$ км.

3. Найдем, какая часть дороги осталась не отремонтированной после апреля:
$1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ всей дороги.

4. В мае отремонтировали $\frac{6}{7}$ от остатка. Найдем, какую часть от всей дороги это составляет:
$\frac{6}{7} \times \frac{7}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ всей дороги.

5. Найдем, какая часть дороги осталась не отремонтированной после мая. После апреля оставалось $\frac{7}{9}$ дороги. В мае отремонтировали $\frac{6}{7}$ от этого остатка, значит, осталась $1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$ от остатка после апреля.
$\frac{1}{7} \times \frac{7}{9} = \frac{1}{9}$ всей дороги.

6. По условию, в июне отремонтировали остальные 5 км, что составляет $\frac{1}{9}$ всей дороги. Составим пропорцию:
$\frac{1}{9}y = 5$ км.

7. Найдем всю длину дороги $y$:
$y = 5 \times 9 = 45$ км.

8. Теперь найдем, сколько километров дороги было отремонтировано в мае. В шаге 4 мы выяснили, что это $\frac{2}{3}$ от всей дороги:
$\frac{2}{3} \times 45 = 2 \times 15 = 30$ км.
Ответ: 30 км.

117 a) Грузовик проехал в первый день треть всего пути, во второй день – 90% пути, пройденного в первый день, а за третий день – остальные 440 км. Сколько километров проехал грузовик за второй день?

b) В апреле было отремонтировано $ \frac{2}{9} $ дороги от села до станции, в мае – $ \frac{6}{7} $ остатка, а в июне – остальные 5 км. Сколько километров дороги было отремонтировано в мае?

118. а) Из коробки взяли сначала 4 конфеты, а потом ещё четверть оставшихся конфет. После этого в коробке осталось $\frac{2}{3}$ всех конфет. Сколько конфет осталось в коробке?

б) От бревна отпилили 30 % его длины, а потом – 40 % остатка. После этого длина оставшейся части бревна стала 2,1 м. Сколько метров отпилили от бревна во второй раз?

а)

Пусть $x$ – первоначальное количество конфет в коробке.

Сначала из коробки взяли 4 конфеты, после чего в ней осталось $(x - 4)$ конфет.

Затем взяли четверть, то есть $\frac{1}{4}$ от этого остатка. Количество оставшихся конфет после второго раза можно выразить так: $(x - 4) - \frac{1}{4}(x - 4)$. Это составляет $\frac{3}{4}$ от количества конфет после первого взятия: $(1 - \frac{1}{4})(x - 4) = \frac{3}{4}(x - 4)$.

По условию задачи, это конечное количество конфет равно $\frac{2}{3}$ от первоначального количества всех конфет. Составим уравнение:

$\frac{3}{4}(x - 4) = \frac{2}{3}x$

Для решения уравнения избавимся от дробей, умножив обе части на 12 (наименьшее общее кратное чисел 4 и 3):

$12 \cdot \frac{3}{4}(x - 4) = 12 \cdot \frac{2}{3}x$

$9(x - 4) = 8x$

Раскроем скобки:

$9x - 36 = 8x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа – в другую:

$9x - 8x = 36$

$x = 36$

Таким образом, изначально в коробке было 36 конфет.

Вопрос задачи: сколько конфет осталось в коробке. Мы знаем, что осталось $\frac{2}{3}$ всех конфет:

$\frac{2}{3} \cdot 36 = 2 \cdot 12 = 24$ (конфеты).

Ответ: 24 конфеты.

б)

Эту задачу удобно решать с конца.

После всех операций длина оставшейся части бревна стала 2,1 м. Эта длина получилась после того, как от остатка (после первого отпила) отпилили 40 %. Значит, 2,1 м – это $100\% - 40\% = 60\%$ от длины бревна, которая была после первого отпила.

Найдем длину бревна после первого отпила. Обозначим ее $L_1$. Тогда:

$0,6 \cdot L_1 = 2,1$ м

$L_1 = \frac{2,1}{0,6} = \frac{21}{6} = 3,5$ м.

Итак, после первого отпила осталась часть бревна длиной 3,5 м.

Во второй раз отпилили 40 % именно от этой длины (3,5 м). Найдем, сколько метров это составляет:

$3,5 \cdot 0,4 = 1,4$ м.

Это и есть искомая величина.

Ответ: 1,4 метра.

118 a) Из коробки взяли сначала 4 конфеты, а потом еще четверть оставшихся конфет. После этого в коробке осталось $\frac{2}{3}$ всех конфет. Сколько конфет осталось в коробке?

б) От бревна отпилили сначала $30\%$ , а потом $40\%$ остатка. После этого длина оставшейся части бревна стала 2,1 м. Сколько метров отпилили от бревна во второй раз?

119 а) В питомнике было 450 саженцев яблонь и 180 саженцев слив. За день продали в 4 раза больше яблонь, чем слив, и саженцев слив осталось на 150 меньше, чем яблонь. Сколько всего саженцев продали за этот день?

б) В первом бассейне было в 3 раза больше воды, чем во втором. Когда из обоих бассейнов выкачали по $200 м^3$ воды, во втором осталось в 5 раз меньше воды, чем в первом. Сколько кубических метров воды было в каждом бассейне первоначально?

а)

Пусть $x$ — количество проданных саженцев слив. Тогда, согласно условию, саженцев яблонь продали в 4 раза больше, то есть $4x$.

После продажи в питомнике осталось саженцев яблонь: $450 - 4x$.

Саженцев слив осталось: $180 - x$.

Известно, что саженцев слив осталось на 150 меньше, чем яблонь. Составим уравнение:

$(450 - 4x) - (180 - x) = 150$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$450 - 4x - 180 + x = 150$

$270 - 3x = 150$

$3x = 270 - 150$

$3x = 120$

$x = 120 / 3$

$x = 40$

Таким образом, продали 40 саженцев слив.

Количество проданных саженцев яблонь:

$4x = 4 \cdot 40 = 160$

Всего за день продали саженцев:

$160 + 40 = 200$

Ответ: всего за этот день продали 200 саженцев.

б)

Пусть $x$ м³ — количество воды во втором бассейне первоначально. Тогда в первом бассейне было в 3 раза больше воды, то есть $3x$ м³.

После того как из каждого бассейна выкачали по 200 м³ воды, в них осталось:

В первом бассейне: $3x - 200$ м³.

Во втором бассейне: $x - 200$ м³.

По условию, после этого во втором бассейне осталось в 5 раз меньше воды, чем в первом. Это значит, что воды в первом бассейне стало в 5 раз больше, чем во втором. Составим уравнение:

$3x - 200 = 5 \cdot (x - 200)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$3x - 200 = 5x - 1000$

$5x - 3x = 1000 - 200$

$2x = 800$

$x = 800 / 2$

$x = 400$

Итак, первоначально во втором бассейне было 400 м³ воды.

Тогда в первом бассейне было:

$3x = 3 \cdot 400 = 1200$ м³.

Ответ: первоначально в первом бассейне было 1200 м³ воды, а во втором — 400 м³.

119 а) В питомнике было 450 саженцев яблонь и 180 саженцев слив. За день продали в 4 раза больше яблонь, чем слив, и саженцев слив осталось на 150 меньше, чем яблонь. Сколько всего саженцев продали за этот день?

б) В первом бассейне было в 3 раза больше воды, чем во втором. Когда из обоих бассейнов выкачали по 200 $м^3$ воды, во втором осталось в 5 раз меньше воды, чем в первом. Сколько кубических метров воды было в каждом бассейне первоначально?

120 а) В первой пачке было в 1,5 раза больше тетрадей, чем во второй. После того как из первой пачки переложили во вторую 6 тетрадей, в обеих пачках тетрадей стало поровну. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

б) В первом бидоне было в 4 раза больше оливкового масла, чем во втором. Когда из первого бидона перелили во второй 1,6 л, то во втором бидоне стало в 1,5 раза больше масла, чем в первом. Сколько литров масла стало в каждом бидоне?

а)

Пусть $x$ — количество тетрадей во второй пачке первоначально. Тогда в первой пачке было $1.5x$ тетрадей.После того как из первой пачки переложили 6 тетрадей во вторую, в первой пачке стало $(1.5x - 6)$ тетрадей, а во второй стало $(x + 6)$ тетрадей. По условию, количество тетрадей в пачках сравнялось. Составим и решим уравнение:

$1.5x - 6 = x + 6$

$1.5x - x = 6 + 6$

$0.5x = 12$

$x = 12 \div 0.5$

$x = 24$

Таким образом, во второй пачке изначально было 24 тетради.Найдем, сколько тетрадей было в первой пачке:

$1.5 \cdot 24 = 36$ (тетрадей)

Ответ: в первой пачке было 36 тетрадей, во второй — 24 тетради.

б)

Пусть $y$ — количество оливкового масла во втором бидоне первоначально (в литрах). Тогда в первом бидоне было $4y$ литров масла.Когда из первого бидона перелили 1,6 л во второй, в первом бидоне стало $(4y - 1.6)$ л, а во втором стало $(y + 1.6)$ л.По условию, после этого во втором бидоне стало в 1,5 раза больше масла, чем в первом. Составим и решим уравнение:

$y + 1.6 = 1.5 \cdot (4y - 1.6)$

$y + 1.6 = 6y - 2.4$

$1.6 + 2.4 = 6y - y$

$4 = 5y$

$y = 4 \div 5$

$y = 0.8$

Итак, первоначально во втором бидоне было 0,8 л масла.Найдем, сколько масла стало в каждом бидоне после переливания:

В первом бидоне стало: $4y - 1.6 = 4 \cdot 0.8 - 1.6 = 3.2 - 1.6 = 1.6$ л.

Во втором бидоне стало: $y + 1.6 = 0.8 + 1.6 = 2.4$ л.

Ответ: в первом бидоне стало 1,6 л масла, во втором — 2,4 л масла.

120 а) В первой пачке было в 1,5 раза больше тетрадей, чем во второй. После того как из первой пачки переложили во вторую 6 тетрадей, в обеих пачках тетрадей стало поровну. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

б) В первом бидоне было в 4 раза больше оливкового масла, чем во втором. Когда из первого бидона перелили во второй 1,6 л, то во втором бидоне стало в 1,5 раза больше масла, чем в первом. Сколько литров масла стало в каждом бидоне?

121 a) Отрезок $AB$ в 2 раза короче отрезка $CD$. Если длину отрезка $AB$ увеличить на 3 см, а длину $CD$ уменьшить на 40 мм, то длина $AB$ составит 75 % длины $CD$. Чему равна длина отрезка $CD$?

б) Отрез ткани разрезали на два куска так, что 80 % длины первого куска были равны 90 % длины второго. На сколько процентов первый кусок длиннее второго?

а)

Обозначим длину отрезка AB через $L_{AB}$, а длину отрезка CD через $L_{CD}$.

Из условия, что отрезок AB в 2 раза короче отрезка CD, следует первое уравнение:

$L_{CD} = 2 \cdot L_{AB}$ или $L_{AB} = 0.5 \cdot L_{CD}$

Далее, по второму условию, если длину AB увеличить на 3 см, а длину CD уменьшить на 40 мм, то новая длина AB составит 75% от новой длины CD. Преобразуем единицы измерения в сантиметры: 40 мм = 4 см. 75% = 0.75.

Новая длина отрезка AB: $L_{AB} + 3$

Новая длина отрезка CD: $L_{CD} - 4$

Составляем второе уравнение:

$L_{AB} + 3 = 0.75 \cdot (L_{CD} - 4)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $L_{AB}$ из первого уравнения во второе:

$0.5 \cdot L_{CD} + 3 = 0.75 \cdot (L_{CD} - 4)$

Решим это уравнение относительно $L_{CD}$:

$0.5 L_{CD} + 3 = 0.75 L_{CD} - 0.75 \cdot 4$

$0.5 L_{CD} + 3 = 0.75 L_{CD} - 3$

Перенесем слагаемые с $L_{CD}$ в одну сторону, а свободные члены в другую:

$3 + 3 = 0.75 L_{CD} - 0.5 L_{CD}$

$6 = 0.25 L_{CD}$

Теперь найдем $L_{CD}$:

$L_{CD} = \frac{6}{0.25} = 24$

Таким образом, длина отрезка CD равна 24 см.

Ответ: 24 см.

б)

Пусть длина первого куска ткани равна $x$, а длина второго куска — $y$.

Из условия, что 80% длины первого куска равны 90% длины второго, составляем уравнение:

$0.8 \cdot x = 0.9 \cdot y$

Нам нужно найти, на сколько процентов первый кусок длиннее второго. Для этого используется формула: $\frac{x - y}{y} \cdot 100\%$

Сначала выразим $x$ через $y$ из нашего уравнения:

$x = \frac{0.9}{0.8} y = \frac{9}{8} y = 1.125y$

Это соотношение показывает, что первый кусок действительно длиннее второго.

Теперь подставим это выражение для $x$ в формулу для процентной разницы:

$\frac{1.125y - y}{y} \cdot 100\%$

Вынесем $y$ за скобки в числителе:

$\frac{y(1.125 - 1)}{y} \cdot 100\%$

Сократим $y$:

$(1.125 - 1) \cdot 100\% = 0.125 \cdot 100\% = 12.5\%$

Следовательно, первый кусок длиннее второго на 12.5%.

Ответ: на 12.5%.

121 а) Отрезок $AB$ в 2 раза короче отрезка $CD$. Если длину отрезка $AB$ увеличить на 3 см, а длину $CD$ уменьшить на 40 мм, то длина $AB$ составит $75\%$ длины $CD$. Чему равна длина отрезка $CD$?

б) Отрез ткани разрезали на два куска так, что $80\%$ длины первого куска были равны $90\%$ длины второго. На сколько процентов первый кусок длиннее второго?