Номер 105, страница 29, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 2. Предложения с переменными - номер 105, страница 29.

Условие 2023.

105 1) Может ли при делении натурального числа на 8 получиться остаток 9? Почему?

2) При делении некоторого натурального числа на 7 получилось частное 4 и остаток 3. Какое число делили?

3) Запиши в виде выражения с переменной $n$ ($n \in N$) общий вид числа, которое при делении на 4 даёт остаток 3. Найди значение этого выражения при $n = 0, 2, 5, 9, 16$. Проверь с помощью вычислений.

4) Вычисли и сделай проверку. Что ты замечаешь?

24 : 5

15 : 6

45 : 8

64 : 9

140 : 40

560 : 60

1900 : 30

2800 : 90

58 000 : 700

26 000 : 5000

Решение 2 (2023).

1)

Нет, при делении натурального числа на 8 не может получиться остаток 9.

Согласно правилу деления с остатком, остаток всегда должен быть меньше делителя. В данном случае делитель равен 8. Следовательно, возможные остатки при делении на 8 – это числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Так как $9 > 8$, остаток 9 получиться не может. Если бы остаток был 9, это означало бы, что из него можно выделить ещё одну целую часть делителя (8), прибавив 1 к частному, а новым остатком стало бы число $9 - 8 = 1$.

Ответ: Нет, не может, потому что остаток должен быть меньше делителя ($9 > 8$).

2)

Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель и к результату прибавить остаток. Обозначим искомое число (делимое) как $a$, делитель как $b$, частное как $q$ и остаток как $r$. Формула имеет вид: $a = b \cdot q + r$.

По условию задачи:

• Делитель $b = 7$
• Частное $q = 4$
• Остаток $r = 3$

Подставим эти значения в формулу:

$a = 7 \cdot 4 + 3 = 28 + 3 = 31$

Проверка: $31 : 7 = 4$ (остаток $31 - 7 \cdot 4 = 3$).

Ответ: 31.

3)

Общий вид числа, которое при делении на 4 даёт остаток 3, можно записать с помощью формулы деления с остатком $a = bq + r$, где $a$ – искомое число, $b = 4$ – делитель, $r = 3$ – остаток, а $q$ – частное. В качестве частного будем использовать переменную $n \in N$ (где $n$ - натуральное число или 0).

Общий вид выражения: $4n + 3$.

Теперь найдём значения этого выражения для заданных $n$:

• При $n = 0$: $4 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$.
  Проверка: $3 : 4 = 0$ (ост. 3).
• При $n = 2$: $4 \cdot 2 + 3 = 8 + 3 = 11$.
  Проверка: $11 : 4 = 2$ (ост. 3).
• При $n = 5$: $4 \cdot 5 + 3 = 20 + 3 = 23$.
  Проверка: $23 : 4 = 5$ (ост. 3).
• При $n = 9$: $4 \cdot 9 + 3 = 36 + 3 = 39$.
  Проверка: $39 : 4 = 9$ (ост. 3).
• При $n = 16$: $4 \cdot 16 + 3 = 64 + 3 = 67$.
  Проверка: $67 : 4 = 16$ (ост. 3).

Ответ: Общий вид числа: $4n + 3$. Значения выражения: 3 (при n=0), 11 (при n=2), 23 (при n=5), 39 (при n=9), 67 (при n=16).

4)

Выполним вычисления и проверку для каждого примера.

• $24 : 5 = 4$ (ост. 4). Проверка: $5 \cdot 4 + 4 = 20 + 4 = 24$.
• $45 : 8 = 5$ (ост. 5). Проверка: $8 \cdot 5 + 5 = 40 + 5 = 45$.
• $140 : 40 = 3$ (ост. 20). Проверка: $40 \cdot 3 + 20 = 120 + 20 = 140$.
• $1900 : 30 = 63$ (ост. 10). Проверка: $30 \cdot 63 + 10 = 1890 + 10 = 1900$.
• $58000 : 700 = 82$ (ост. 600). Проверка: $700 \cdot 82 + 600 = 57400 + 600 = 58000$.
• $15 : 6 = 2$ (ост. 3). Проверка: $6 \cdot 2 + 3 = 12 + 3 = 15$.
• $64 : 9 = 7$ (ост. 1). Проверка: $9 \cdot 7 + 1 = 63 + 1 = 64$.
• $560 : 60 = 9$ (ост. 20). Проверка: $60 \cdot 9 + 20 = 540 + 20 = 560$.
• $2800 : 90 = 31$ (ост. 10). Проверка: $90 \cdot 31 + 10 = 2790 + 10 = 2800$.
• $26000 : 5000 = 5$ (ост. 1000). Проверка: $5000 \cdot 5 + 1000 = 25000 + 1000 = 26000$.

Что можно заметить?

Можно заметить свойство деления с остатком. Если делимое и делитель умножить (или разделить) на одно и то же натуральное число $k$, то частное не изменится, а остаток умножится (или разделится) на это же число $k$.

Например:

• $14 : 4 = 3$ (ост. 2). Если умножить делимое и делитель на 10, получим $140 : 40$. Частное осталось тем же (3), а остаток увеличился в 10 раз ($2 \cdot 10 = 20$).
• $26 : 5 = 5$ (ост. 1). Если умножить делимое и делитель на 1000, получим $26000 : 5000$. Частное осталось тем же (5), а остаток увеличился в 1000 раз ($1 \cdot 1000 = 1000$).

Это правило работает для многих примеров в задании. Чтобы найти частное и остаток при делении чисел, оканчивающихся нулями (например, $1900 : 30$), можно убрать одинаковое количество нулей в конце делимого и делителя ($190 : 3$), выполнить деление ($190 : 3 = 63$ (ост. 1)), а затем к полученному остатку приписать обратно убранные нули (остаток будет 10).

Ответ: Если делимое и делитель увеличить в одинаковое количество раз, частное не изменится, а остаток увеличится во столько же раз.

Условие 2010-2022.

105 1) Может ли при делении натурального числа на 8 получиться остаток 9? Почему?

2) При делении некоторого натурального числа на 7 получилось частное 4 и остаток 3. Какое число делили?

3) Запиши в виде выражения с переменной $n$ ($n \in N$) общий вид числа, которое при делении на 4 дает остаток 3. Найди значение этого выражения при $n = 0, 2, 5, 9, 16$. Проверь с помощью вычислений.

4) Вычисли и сделай проверку. Что ты замечаешь?

24 : 5 45 : 8 140 : 40 1900 : 30 58000 : 700

15 : 6 64 : 9 560 : 60 2800 : 90 26000 : 5000

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).