Номер 109, страница 31, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Предложения с переменными. Параграф 2. Переменная. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 109, страница 31.

Условие 2023.

109 Найди множество натуральных решений уравнения методом проб и ошибок.

1) $a(a-4)=21;$

2) $(b+2)(b-8)=0;$

3) $c^2+5=14;$

4) $18-d^3=10;$

5) $x^2+2x+10=45;$

6) $y^3+y^2+2=82.$

Решение 2 (2023).

Метод проб и ошибок заключается в последовательной подстановке натуральных чисел (1, 2, 3, ...) в уравнение вместо неизвестной переменной, пока не будет найдено значение, при котором уравнение обращается в верное равенство.

1) $a(a-4) = 21$

Мы ищем натуральное число a. Поскольку произведение $a(a-4)$ положительно и a — натуральное, то множитель $(a-4)$ также должен быть положительным. Отсюда следует, что $a-4 > 0$, то есть $a > 4$. Будем подбирать значения a, начиная с 5.

• Пробуем $a = 5$: $5 \cdot (5-4) = 5 \cdot 1 = 5$. Это не равно 21.
• Пробуем $a = 6$: $6 \cdot (6-4) = 6 \cdot 2 = 12$. Это не равно 21.
• Пробуем $a = 7$: $7 \cdot (7-4) = 7 \cdot 3 = 21$. Равенство верно.

Таким образом, $a = 7$ является решением. Если мы продолжим увеличивать a, то и результат произведения будет увеличиваться ($8 \cdot (8-4) = 32 > 21$), поэтому других натуральных решений нет.

Ответ: $\{7\}$

2) $(b+2)(b-8) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $b+2 = 0 \implies b = -2$. Это число не является натуральным.

2. $b-8 = 0 \implies b = 8$. Это натуральное число.

Применим метод проб и ошибок.

• Пробуем $b=1$: $(1+2)(1-8) = 3 \cdot (-7) = -21 \neq 0$.
• ...
• Пробуем $b=8$: $(8+2)(8-8) = 10 \cdot 0 = 0$. Равенство верно.

При $b < 8$ второй множитель отрицателен, а при $b > 8$ оба множителя положительны, поэтому их произведение не будет равно нулю. Единственное натуральное решение — это 8.

Ответ: $\{8\}$

3) $c^2 + 5 = 14$

Сначала упростим уравнение, перенеся 5 в правую часть: $c^2 = 14 - 5$ $c^2 = 9$

Теперь подберём натуральное число c, квадрат которого равен 9.

• Пробуем $c = 1$: $1^2 = 1 \neq 9$.
• Пробуем $c = 2$: $2^2 = 4 \neq 9$.
• Пробуем $c = 3$: $3^2 = 9$. Равенство верно.

Поскольку при увеличении c его квадрат также увеличивается ($4^2=16>9$), других натуральных решений нет.

Ответ: $\{3\}$

4) $18 - d^3 = 10$

Упростим уравнение: $d^3 = 18 - 10$ $d^3 = 8$

Подберём натуральное число d, куб которого равен 8.

• Пробуем $d = 1$: $1^3 = 1 \neq 8$.
• Пробуем $d = 2$: $2^3 = 8$. Равенство верно.

При $d = 3$ куб числа уже будет больше 8 ($3^3=27>8$), поэтому других натуральных решений нет.

Ответ: $\{2\}$

5) $x^2 + 2x + 10 = 45$

Упростим уравнение: $x^2 + 2x = 45 - 10$ $x^2 + 2x = 35$ $x(x+2) = 35$

Подберём натуральное число x.

• Пробуем $x = 1$: $1(1+2) = 3 \neq 35$.
• Пробуем $x = 2$: $2(2+2) = 8 \neq 35$.
• Пробуем $x = 3$: $3(3+2) = 15 \neq 35$.
• Пробуем $x = 4$: $4(4+2) = 24 \neq 35$.
• Пробуем $x = 5$: $5(5+2) = 5 \cdot 7 = 35$. Равенство верно.

При увеличении x значение выражения $x(x+2)$ также будет увеличиваться ($6(6+2)=48 > 35$), поэтому других натуральных решений нет.

Ответ: $\{5\}$

6) $y^3 + y^2 + 2 = 82$

Упростим уравнение: $y^3 + y^2 = 82 - 2$ $y^3 + y^2 = 80$ $y^2(y+1) = 80$

Подберём натуральное число y.

• Пробуем $y = 1$: $1^2(1+1) = 1 \cdot 2 = 2 \neq 80$.
• Пробуем $y = 2$: $2^2(2+1) = 4 \cdot 3 = 12 \neq 80$.
• Пробуем $y = 3$: $3^2(3+1) = 9 \cdot 4 = 36 \neq 80$.
• Пробуем $y = 4$: $4^2(4+1) = 16 \cdot 5 = 80$. Равенство верно.

При $y=5$ значение выражения уже будет больше 80 ($5^2(5+1)=25 \cdot 6=150>80$), поэтому других натуральных решений нет.

Ответ: $\{4\}$

Условие 2010-2022.

109 Найди множество натуральных решений уравнения методом проб и ошибок:

1) $a(a-4)=21$;

2) $(b+2)(b-8)=0$;

3) $c^2+5=14$;

4) $18-d^3=10$;

5) $x^2+2x+10=45$;

6) $y^3+y^2+2=82$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).