Номер 107, страница 30, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 2. Предложения с переменными - номер 107, страница 30.

Условие 2023.

107 БЛИЦтурнир

Переведи условия задач на математический язык. Что общего и что различного в полученных выражениях? Запиши их в обобщённом виде, используя переменные $x$ и $y$.

1) Одна хозяйка купила на рынке 2 кг моркови по цене $a$ р. за килограмм и 3 кг картошки по цене $b$ р. за килограмм. Вторая хозяйка заплатила за 4 кг огурцов столько же денег, сколько первая за всю покупку. Чему равна цена одного килограмма огурцов?

2) Первый рабочий в течение первых 2 ч делал по $c$ деталей в час, а в следующие 3 ч – по $d$ деталей в час. Второй рабочий выполнил эту же работу за 4 ч, делая в каждый час одинаковое количество деталей. Чему равна производительность второго рабочего?

3) Велосипедист ехал первые 2 ч со скоростью $r$ км/ч, а следующие 3 ч – со скоростью $v$ км/ч. Мотоциклист, двигаясь равномерно, проехал это же расстояние за 4 ч. Чему равна скорость мотоциклиста?

4) На каждом этаже 2-этажного дома $m$ квартир, а 3-этажного дома – $n$ квартир. Рядом стоит 4-этажный дом, в котором столько же квартир, сколько в 2-этажном и 3-этажном домах вместе. Сколько квартир на одном этаже 4-этажного дома, если количество квартир на всех его этажах одинаковое?

5) Бассейн наполнялся через две трубы. Первая труба работала 2 ч с производительностью $k$ м$^3$/ч, а вторая – 3 ч с производительностью $p$ м$^3$/ч. Всю налитую воду спустили через третью трубу за 4 ч. Чему равна производительность третьей трубы, если она работала равномерно?

6) В первых двух вагонах поезда по $q$ человек, в следующих трёх – по $t$ человек, а в последних четырёх – столько пассажиров, сколько в первых пяти вагонах вместе. По сколько пассажиров в каждом из последних четырёх вагонов, если пассажиров в них поровну?

Решение 2 (2023).

1)

Стоимость 2 кг моркови по цене $a$ рублей за килограмм составляет $2a$ рублей. Стоимость 3 кг картошки по цене $b$ рублей за килограмм составляет $3b$ рублей. Общая стоимость покупки первой хозяйки: $2a + 3b$ рублей. Вторая хозяйка заплатила за 4 кг огурцов столько же. Пусть цена одного килограмма огурцов равна $x$. Тогда стоимость её покупки составляет $4x$ рублей. Приравниваем стоимости: $4x = 2a + 3b$. Отсюда цена одного килограмма огурцов равна: $x = \frac{2a + 3b}{4}$.

Ответ: $\frac{2a + 3b}{4}$ рублей.

2)

За первые 2 часа первый рабочий сделал $2c$ деталей. За следующие 3 часа он сделал $3d$ деталей. Всего первый рабочий сделал $2c + 3d$ деталей. Второй рабочий выполнил эту же работу за 4 часа. Пусть его производительность равна $x$ деталей в час. Тогда за 4 часа он сделал $4x$ деталей. Приравниваем количество сделанных деталей: $4x = 2c + 3d$. Отсюда производительность второго рабочего равна: $x = \frac{2c + 3d}{4}$.

Ответ: $\frac{2c + 3d}{4}$ деталей в час.

3)

За первые 2 часа велосипедист проехал расстояние $2r$ км. За следующие 3 часа он проехал $3v$ км. Общее расстояние, которое проехал велосипедист: $2r + 3v$ км. Мотоциклист проехал это же расстояние за 4 часа. Пусть его скорость равна $x$ км/ч. Тогда за 4 часа он проехал $4x$ км. Приравниваем расстояния: $4x = 2r + 3v$. Отсюда скорость мотоциклиста равна: $x = \frac{2r + 3v}{4}$.

Ответ: $\frac{2r + 3v}{4}$ км/ч.

4)

В 2-этажном доме всего $2m$ квартир. В 3-этажном доме всего $3n$ квартир. Вместе в двух домах $2m + 3n$ квартир. В 4-этажном доме столько же квартир. Пусть на каждом этаже 4-этажного дома по $x$ квартир. Тогда всего в нём $4x$ квартир. Приравниваем общее количество квартир: $4x = 2m + 3n$. Отсюда количество квартир на одном этаже 4-этажного дома равно: $x = \frac{2m + 3n}{4}$.

Ответ: $\frac{2m + 3n}{4}$ квартир.

5)

Первая труба за 2 часа налила $2k$ м³ воды. Вторая труба за 3 часа налила $3p$ м³ воды. Общий объём налитой воды: $2k + 3p$ м³. Эту воду спустили через третью трубу за 4 часа. Пусть производительность третьей трубы равна $x$ м³/ч. Тогда за 4 часа она спустила $4x$ м³ воды. Приравниваем объёмы воды: $4x = 2k + 3p$. Отсюда производительность третьей трубы равна: $x = \frac{2k + 3p}{4}$.

Ответ: $\frac{2k + 3p}{4}$ м³/ч.

6)

В первых двух вагонах поезда ехало $2q$ человек. В следующих трёх вагонах ехало $3t$ человек. Всего в первых пяти вагонах было $2q + 3t$ пассажиров. В последних четырёх вагонах было столько же пассажиров. Пусть в каждом из этих вагонов было по $x$ человек. Тогда всего в них было $4x$ человек. Приравниваем количество пассажиров: $4x = 2q + 3t$. Отсюда количество пассажиров в каждом из последних четырёх вагонов равно: $x = \frac{2q + 3t}{4}$.

Ответ: $\frac{2q + 3t}{4}$ человек.

---

Общее во всех полученных выражениях — их математическая структура. Каждое выражение имеет вид $\frac{2 \cdot \text{переменная}_1 + 3 \cdot \text{переменная}_2}{4}$. Это означает, что все задачи решаются по одной и той же схеме: находится общая величина, составленная из двух частей, а затем эта величина делится на 4 для нахождения искомого среднего значения (цены, производительности, скорости и т.д.).

Различное заключается в сюжете задач и физическом смысле переменных. В каждой задаче речь идёт о разных ситуациях (покупки, работа, движение) и разных величинах (рубли, детали, километры, квартиры, кубометры, люди).

Обобщенный вид этого выражения, если использовать переменные $x$ и $y$, будет таким: $\frac{2x + 3y}{4}$.

Условие 2010-2022.

107 БЛИЦтурнир.

Переведи условия задач на математический язык. Что общего и что различного в полученных выражениях? Запиши их в обобщенном виде, используя переменные x и y.

1) Одна хозяйка купила на рынке 2 кг моркови по цене a р. за килограмм и 3 кг картошки по цене b р. за килограмм. Вторая хозяйка заплатила за 4 кг огурцов столько же денег, сколько первая за всю покупку. Чему равна цена одного килограмма огурцов?

Цена одного килограмма огурцов: $ \frac{2a + 3b}{4} $

2) Первый рабочий в течение первых 2 ч делал по c деталей в час, а в следующие 3 ч – по d деталей в час. Второй рабочий выполнил эту же работу за 4 ч, делая в каждый час одинаковое количество деталей. Чему равна производительность второго рабочего?

Производительность второго рабочего: $ \frac{2c + 3d}{4} $

3) Велосипедист ехал первые 2 ч со скоростью r км/ч, а следующие 3 ч – со скоростью v км/ч. Мотоциклист, двигаясь равномерно, проехал это же расстояние за 4 ч. Чему равна скорость мотоциклиста?

Скорость мотоциклиста: $ \frac{2r + 3v}{4} $

4) На каждом этаже 2-этажного дома m квартир, а 3-этажного дома – n квартир. Рядом стоит 4-этажный дом, в котором столько же квартир, сколько в 2-этажном и 3-этажном домах вместе. Сколько квартир на одном этаже 4-этажного дома, если количество квартир на всех его этажах одинаковое?

Количество квартир на одном этаже 4-этажного дома: $ \frac{2m + 3n}{4} $

5) Бассейн наполнялся через две трубы. Первая труба работала 2 ч с производительностью k м³/ч, а вторая – 3 ч с производительностью p м³/ч. Всю налитую воду спустили через третью трубу за 4 ч. Чему равна производительность третьей трубы, если она работала равномерно?

Производительность третьей трубы: $ \frac{2k + 3p}{4} $

6) В первых двух вагонах поезда по q человек, в следующих трех – по t человек, а в последних четырех – столько пассажиров, сколько в первых пяти вагонах вместе. По скольку пассажиров в каждом из последних четырех вагонов, если пассажиров в них поровну?

Пассажиров в каждом из последних четырех вагонов: $ \frac{2q + 3t}{4} $

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).