Номер 110, страница 31, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 2. Предложения с переменными - номер 110, страница 31.

Условие 2023.

1) Прочитай определение и назови определяемое понятие.

Пара чисел $a$ и $b$, где $a$ – первое число, а $b$ – второе число, называется упорядоченной парой чисел и обозначается $(a; b)$. При этом $(a, b) = (c, d)$, если $a = c$, $a b = d$.

2) Найди методом перебора все пары $(x; y)$ натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению или неравенству:

а) $x + 2y = 9$;

б) $x + y^2 = 9$;

в) $0 < x(10 - 3y) \leq 2$;

г) $0 < x(10 - y^3) \leq 2$;

д) $15 < 2x + 3y \leq 16$;

е) $15 < x^2 + y^3 \leq 16$.

Решение 2 (2023).

1) Прочитай определение и назови определяемое понятие.

В тексте дается определение понятия «упорядоченная пара чисел».

Ответ: Упорядоченная пара чисел.

2) Найди методом перебора все пары (x; y) натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению или неравенству:

а) $x + 2y = 9$;

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, они должны быть больше или равны 1. Выразим $x$ из уравнения: $x = 9 - 2y$.

Так как $x \geq 1$, то должно выполняться неравенство $9 - 2y \geq 1$, из которого следует, что $2y \leq 8$, то есть $y \leq 4$.

Теперь переберем все возможные натуральные значения $y$ от 1 до 4:

• Если $y = 1$, то $x = 9 - 2 \cdot 1 = 7$. Получаем пару $(7; 1)$.
• Если $y = 2$, то $x = 9 - 2 \cdot 2 = 5$. Получаем пару $(5; 2)$.
• Если $y = 3$, то $x = 9 - 2 \cdot 3 = 3$. Получаем пару $(3; 3)$.
• Если $y = 4$, то $x = 9 - 2 \cdot 4 = 1$. Получаем пару $(1; 4)$.

При $y = 5$ значение $x$ будет отрицательным, что не удовлетворяет условию.

Ответ: $(7; 1), (5; 2), (3; 3), (1; 4)$.

б) $x + y^2 = 9$;

Выразим $x$ из уравнения: $x = 9 - y^2$. Так как $x$ — натуральное число, $x \geq 1$.

Следовательно, $9 - y^2 \geq 1$, что означает $y^2 \leq 8$.

Переберем натуральные значения $y$, для которых это неравенство верно:

• Если $y = 1$, то $y^2=1$. Тогда $x = 9 - 1 = 8$. Пара $(8; 1)$.
• Если $y = 2$, то $y^2=4$. Тогда $x = 9 - 4 = 5$. Пара $(5; 2)$.

Если $y=3$, то $y^2=9$, что больше 8, поэтому дальнейший перебор не имеет смысла.

Ответ: $(8; 1), (5; 2)$.

в) $0 < x(10 - 3y) \leq 2$;

Поскольку $x$ — натуральное число, $x > 0$. Чтобы произведение $x(10 - 3y)$ было положительным, множитель $(10 - 3y)$ также должен быть больше нуля: $10 - 3y > 0$, откуда $3y < 10$, или $y < 10/3$.

Таким образом, $y$ может принимать натуральные значения 1, 2, 3.

• При $y = 1$: $0 < x(10 - 3) \leq 2 \implies 0 < 7x \leq 2 \implies 0 < x \leq 2/7$. Натуральных решений для $x$ нет.
• При $y = 2$: $0 < x(10 - 6) \leq 2 \implies 0 < 4x \leq 2 \implies 0 < x \leq 1/2$. Натуральных решений для $x$ нет.
• При $y = 3$: $0 < x(10 - 9) \leq 2 \implies 0 < x \leq 2$. Натуральные решения для $x$: 1 и 2. Получаем пары $(1; 3)$ и $(2; 3)$.

Ответ: $(1; 3), (2; 3)$.

г) $0 < x(10 - y^3) \leq 2$;

Так как $x > 0$, для выполнения левой части неравенства необходимо, чтобы $10 - y^3 > 0$, то есть $y^3 < 10$.

Проверим, какие натуральные значения $y$ удовлетворяют этому условию:

• Если $y = 1$, $y^3 = 1 < 10$.
• Если $y = 2$, $y^3 = 8 < 10$.
• Если $y = 3$, $y^3 = 27 > 10$. Дальнейшие значения $y$ также не подходят.

Рассмотрим два возможных случая для $y$:

• При $y = 1$: $0 < x(10 - 1) \leq 2 \implies 0 < 9x \leq 2 \implies 0 < x \leq 2/9$. Натуральных решений нет.
• При $y = 2$: $0 < x(10 - 8) \leq 2 \implies 0 < 2x \leq 2 \implies 0 < x \leq 1$. Единственное натуральное решение $x=1$. Получаем пару $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$.

д) $15 < 2x + 3y \leq 16$;

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, выражение $2x + 3y$ является целым числом. Единственное целое число, которое строго больше 15 и меньше или равно 16, — это 16.

Следовательно, неравенство равносильно уравнению $2x + 3y = 16$.

Выражение $2x$ должно быть четным. Так как 16 — четное число, то и $3y$ должно быть четным, что возможно только если $y$ — четное натуральное число.

Кроме того, из $2x = 16 - 3y$ и $x \geq 1$ следует $16 - 3y \geq 2$, то есть $3y \leq 14$, или $y \leq 14/3 \approx 4.67$.

Возможные четные натуральные значения для $y$: 2, 4.

• При $y = 2$: $2x + 3 \cdot 2 = 16 \implies 2x = 10 \implies x = 5$. Пара $(5; 2)$.
• При $y = 4$: $2x + 3 \cdot 4 = 16 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Пара $(2; 4)$.

Ответ: $(5; 2), (2; 4)$.

е) $15 < x^2 + y^3 \leq 16$.

Выражение $x^2 + y^3$ должно быть целым числом, так как $x$ и $y$ натуральные. Единственное целое число в промежутке $(15, 16]$ это 16. Таким образом, решаем уравнение $x^2 + y^3 = 16$.

Начнем перебор со значения $y$. Так как $x^2 \geq 1$, то $y^3 \leq 15$.

• Если $y = 1$, то $x^2 + 1 = 16 \implies x^2 = 15$. Нет натурального $x$, квадрат которого равен 15.
• Если $y = 2$, то $x^2 + 8 = 16 \implies x^2 = 8$. Нет натурального $x$, квадрат которого равен 8.

Если $y=3$, то $y^3=27>16$, поэтому дальнейший перебор по $y$ не нужен.

Решений в натуральных числах нет.

Ответ: Решений нет.

Условие 2010-2022.

110 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие.

Пара чисел $a$ и $b$, где $a$ – первое число, а $b$ – второе число, называется упорядоченной парой чисел и обозначается $(a; b)$. При этом $(a, b) = (c, d)$, если $a = c$, а $b = d$.

2) Найди методом перебора все пары $(x; y)$ натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению или неравенству:

а) $x + 2y = 9$;

б) $x + y^2 = 9$;

в) $0 < x(10 - 3y) \le 2$;

г) $0 < x(10 - y^3) \le 2$;

д) $15 < 2x + 3y \le 16$;

е) $15 < x^2 + y^3 \le 16$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).