Номер 104, страница 29, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 2. Предложения с переменными - номер 104, страница 29.

Условие 2023.

П 104 Прочитай высказывания, докажи или опровергни их. Построй отрицания ложных высказываний.

1) $\exists c \in \mathbb{N}: c^2 + 1 = 0;$

2) $\exists a, b \in \mathbb{N}: a^2 + b^2 = 5;$

3) $\exists n \in \mathbb{N}: 15n$ - простое число;

4) $\exists d \in R: 5d < 5$ (R - множество дробей).

Решение 2 (2023).

1) $∃c ∈ N: c² + 1 = 0$;
Данное высказывание утверждает, что существует такое натуральное число $c$, для которого верно равенство $c² + 1 = 0$. Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$.
Преобразуем уравнение: $c² = -1$.
Поскольку $c$ — натуральное число, то $c > 0$, и, следовательно, его квадрат $c²$ также должен быть положительным ($c² > 0$). Квадрат любого натурального числа не может быть равен отрицательному числу -1. Таким образом, в множестве натуральных чисел нет решения для этого уравнения. Следовательно, высказывание ложно.
Отрицанием для ложного высказывания с квантором существования ($∃$) является высказывание с квантором всеобщности ($∀$).
Отрицание: $∀c ∈ N: c² + 1 ≠ 0$ (для любого натурального числа $c$, выражение $c² + 1$ не равно нулю).
Ответ: высказывание ложно. Отрицание: $∀c ∈ N: c² + 1 ≠ 0$.

2) $∃a, b ∈ N: a² + b² = 5$;
Высказывание утверждает, что существуют натуральные числа $a$ и $b$, сумма квадратов которых равна 5. Чтобы доказать это, достаточно найти хотя бы одну такую пару чисел.
Попробуем подставить небольшие натуральные числа. Пусть $a=1$. Тогда уравнение примет вид: $1² + b² = 5$, откуда $1 + b² = 5$, и $b² = 4$. Поскольку $b$ должно быть натуральным числом, $b = 2$.
Мы нашли пару натуральных чисел ($a=1$, $b=2$), для которой равенство выполняется. Проверим: $1² + 2² = 1 + 4 = 5$.
Так как мы нашли такую пару, высказывание истинно.
Ответ: высказывание истинно. Например, при $a=1$ и $b=2$ (или наоборот, $a=2$ и $b=1$).

3) $∃n ∈ N: 15n$ - простое число;
Высказывание утверждает, что существует такое натуральное число $n$, что число $15n$ является простым. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.
Рассмотрим выражение $15n$. Для любого натурального $n$ ($n ≥ 1$), число $15n$ можно представить в виде произведения $3 \cdot 5 \cdot n$.
Если $n=1$, то получаем число 15, которое не является простым, так как делится на 1, 3, 5, 15.
Если $n > 1$, то число $15n$ будет иметь как минимум три делителя, отличных от 1: 3, 5 и $n$. Следовательно, оно не может быть простым.
Таким образом, не существует натурального числа $n$, для которого $15n$ — простое число. Высказывание ложно.
Отрицание: $∀n ∈ N: 15n$ не является простым числом (или является составным, так как при $n ∈ N$ число $15n ≥ 15$).
Ответ: высказывание ложно. Отрицание: $∀n ∈ N: 15n$ - составное число.

4) $∃d ∈ R: 5d < 5$ ($R$ - множество дробей).
Высказывание утверждает, что существует такая дробь $d$, что $5d < 5$. Под "множеством дробей" понимается множество рациональных чисел.
Рассмотрим неравенство $5d < 5$. Разделим обе его части на 5 (так как 5 > 0, знак неравенства сохраняется):
$d < 1$.
Таким образом, утверждение эквивалентно тому, что "существует рациональное число, которое меньше 1". Это, очевидно, верно. Например, можно взять дробь $d = 1/2$. Она меньше 1.
Проверим исходное неравенство: $5 \cdot (1/2) = 2.5$, и $2.5 < 5$. Неравенство выполняется. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: высказывание истинно. Например, подходит дробь $d = 1/2$.

Условие 2010-2022.

104 Прочитай высказывания, докажи или опровергни их. Построй отрицания ложных высказываний.

1) $\exists c \in N: c^2 + 1 = 0;$

2) $\exists a, b \in N: a^2 + b^2 = 5;$

3) $\exists n \in N: 15n$ - простое число;

4) $\exists d \in R: 5d < 5$ (R - множество дробей).

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).