Номер 99, страница 28, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 2. Предложения с переменными - номер 99, страница 28.

Условие 2023.

99 Подставь в предложения данные значения переменных. Определи истинность или ложность полученных высказываний. Какие предложения истинны при всех натуральных значениях переменных? Какие, наоборот, ложны?

1) $a^2 + 1 = 0$ $(a = 6)$

2) $5b + c^2 = 56$ $(b = 8; c = 4)$

3) $2d^3 - 16 > 20$ $(d = 3)$

4) $8,2 \le x + y < 9,4$ $(x = 2,5; y = 5,7)$

5) число $3m$ делится на 3 $(m = 28)$

6) число $7n + 2$ кратно семи $(n = 5)$

7) дробь $\frac{k}{k+1}$ несократима $(k = 14)$

8) дробь $\frac{9}{5p}$ - правильная $(p = 2)$

9) $a - (b + c) = a - b - c$ $(a = 9; b = 3,8; c = 1,6)$

10) $a - (b + c) = a - b + c$ $(a = 9; b = 3,8; c = 1,6)$

Решение 2 (2023).

1) a² + 1 = 0 (a = 6)

Подставляем значение $a = 6$ в левую часть уравнения: $6^2 + 1 = 36 + 1 = 37$. Получаем равенство $37 = 0$, которое не является верным. Следовательно, высказывание ложно. Ответ: ложно

2) 5b + c² = 56 (b = 8; c = 4)

Подставляем значения $b = 8$ и $c = 4$ в левую часть уравнения: $5 \cdot 8 + 4^2 = 40 + 16 = 56$. Получаем равенство $56 = 56$, которое является верным. Следовательно, высказывание истинно. Ответ: истинно

3) 2d³ – 16 > 20 (d = 3)

Подставляем значение $d = 3$ в левую часть неравенства: $2 \cdot 3^3 - 16 = 2 \cdot 27 - 16 = 54 - 16 = 38$. Получаем неравенство $38 > 20$, которое является верным. Следовательно, высказывание истинно. Ответ: истинно

4) 8,2 ≤ x + y < 9,4 (x = 2,5; y = 5,7)

Подставляем значения $x = 2,5$ и $y = 5,7$: $x + y = 2,5 + 5,7 = 8,2$. Получаем двойное неравенство $8,2 \le 8,2 < 9,4$. Оно истинно, так как оба условия выполняются: $8,2 \le 8,2$ (верно) и $8,2 < 9,4$ (верно). Следовательно, высказывание истинно. Ответ: истинно

5) число 3m делится на 3 (m = 28)

Подставляем $m = 28$ и получаем число $3 \cdot 28 = 84$. Число 84 делится на 3 без остатка ($84 : 3 = 28$). Следовательно, высказывание истинно. Ответ: истинно

6) число 7n + 2 кратно семи (n = 5)

Подставляем $n = 5$ и получаем число $7 \cdot 5 + 2 = 35 + 2 = 37$. Число 37 не делится на 7 без остатка ($37 = 7 \cdot 5 + 2$). Следовательно, высказывание ложно. Ответ: ложно

7) дробь $\frac{k}{k+1}$ несократима (k = 14)

Подставляем $k = 14$ и получаем дробь $\frac{14}{14+1} = \frac{14}{15}$. Числитель (14) и знаменатель (15) не имеют общих делителей, кроме 1, то есть они взаимно просты. Значит, дробь несократима. Высказывание истинно. Ответ: истинно

8) дробь $\frac{9}{5p}$ — правильная (p = 2)

Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя. Подставляем $p = 2$ и получаем дробь $\frac{9}{5 \cdot 2} = \frac{9}{10}$. Так как числитель $9$ меньше знаменателя $10$, дробь является правильной. Высказывание истинно. Ответ: истинно

9) a – (b + c) = a – b – c (a = 9; b = 3,8; c = 1,6)

Вычисляем левую часть: $9 - (3,8 + 1,6) = 9 - 5,4 = 3,6$. Вычисляем правую часть: $9 - 3,8 - 1,6 = 5,2 - 1,6 = 3,6$. Так как левая и правая части равны ($3,6=3,6$), высказывание истинно. Ответ: истинно

10) a – (b + c) = a – b + c (a = 9; b = 3,8; c = 1,6)

Вычисляем левую часть: $9 - (3,8 + 1,6) = 9 - 5,4 = 3,6$. Вычисляем правую часть: $9 - 3,8 + 1,6 = 5,2 + 1,6 = 6,8$. Так как левая и правая части не равны ($3,6 \ne 6,8$), высказывание ложно. Ответ: ложно

---

Анализ истинности высказываний для всех натуральных значений переменных

Предложения, истинные при всех натуральных значениях переменных:

• 5) число 3m делится на 3. Это утверждение истинно, так как $3m$ по определению является произведением 3 и натурального числа $m$, а значит, всегда делится на 3.
• 7) дробь $\frac{k}{k+1}$ несократима. Это утверждение истинно, так как числитель $k$ и знаменатель $k+1$ являются последовательными натуральными числами, которые всегда взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1).
• 9) a – (b + c) = a – b – c. Это равенство является алгебраическим тождеством (правило вычитания суммы из числа) и верно для любых чисел, включая все натуральные.

Предложения, ложные при всех натуральных значениях переменных:

• 1) a² + 1 = 0. Ложно, так как для любого натурального числа $a \ge 1$, значение $a^2 \ge 1$, следовательно $a^2 + 1 \ge 2$. Выражение никогда не может быть равно нулю.
• 6) число 7n + 2 кратно семи. Ложно, так как для любого натурального $n$, число $7n$ делится на 7. Значит, $7n + 2$ при делении на 7 всегда будет давать остаток 2, и никогда не будет кратно 7.
• 10) a – (b + c) = a – b + c. Ложно, так как это равенство равносильно $-c = c$, что верно только при $c=0$. Поскольку по условию рассматриваются натуральные числа, а 0 не является натуральным, равенство всегда ложно.

Условие 2010-2022.

99 Подставь в предложения данные значения переменных. Определи истинность или ложность полученных высказываний. Какие предложения при всех натуральных значениях переменных истинны, а какие — ложны?

1) $a^2 + 1 = 0$ ($a = 6$);

2) $5b + c^2 = 56$ ($b = 8; c = 4$);

3) $2d^3 - 16 > 20$ ($d = 3$);

4) $8,2 \le x + y < 9,4$ ($x = 2,5; y = 5,7$);

5) Число $3m$ делится на $3$ ($m = 28$);

6) Число $7n + 2$ кратно семи ($n = 5$);

7) Дробь $\frac{k}{k+1}$ несократима ($k = 14$);

8) Дробь $\frac{9}{5p}$ — правильная ($p = 2$);

9) $a - (b + c) = a - b - c$ ($a = 9; b = 3,8; c = 1,6$);

10) $a - (b + c) = a - b + c$ ($a = 9; b = 3,8; c = 1,6$).

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).