Страница 25, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

89 Реши задачи и определи, есть ли в их условиях лишние данные.

1) Длина прямоугольника равна $7.2$ дм, а его ширина составляет $25 \%$ длины. Какую часть площадь этого прямоугольника составляет от площади квадрата с тем же периметром? Вырази эту часть в процентах.

2) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны $0.45$ м, $1.2$ м и $0.8$ м. Меньшее ребро параллелепипеда составляет $75 \%$ ребра некоторого куба. Какую часть объём куба составляет от объёма параллелепипеда? Вырази эту часть в процентах.

1)

Сначала найдем все параметры прямоугольника. Длина прямоугольника $a_п = 7,2$ дм. Ширина прямоугольника $b_п$ составляет 25% от длины: $b_п = 7,2 \cdot 0,25 = 1,8$ дм.

Теперь найдем периметр прямоугольника $P_п$: $P_п = 2(a_п + b_п) = 2(7,2 + 1,8) = 2 \cdot 9 = 18$ дм.

По условию, периметр квадрата $P_к$ равен периметру прямоугольника, то есть $P_к = 18$ дм. Найдем сторону квадрата $a_к$: $a_к = P_к / 4 = 18 / 4 = 4,5$ дм.

Вычислим площади обеих фигур. Площадь прямоугольника $S_п$: $S_п = a_п \cdot b_п = 7,2 \cdot 1,8 = 12,96$ дм². Площадь квадрата $S_к$: $S_к = a_к^2 = 4,5^2 = 20,25$ дм².

Теперь найдем, какую часть площадь прямоугольника составляет от площади квадрата. Для этого разделим площадь прямоугольника на площадь квадрата: $\frac{S_п}{S_к} = \frac{12,96}{20,25} = 0,64$.

Выразим эту часть в процентах: $0,64 \cdot 100\% = 64\%$.

Определим, есть ли лишние данные. Задачу можно решить, не зная конкретную длину прямоугольника, а только соотношение его сторон. Пусть длина равна $L$, тогда ширина равна $0,25L$. Периметр $P = 2(L + 0,25L) = 2,5L$. Сторона квадрата с таким же периметром будет $a_к = \frac{2,5L}{4} = 0,625L$. Площадь прямоугольника $S_п = L \cdot 0,25L = 0,25L^2$. Площадь квадрата $S_к = (0,625L)^2 = 0,390625L^2$. Отношение площадей: $\frac{S_п}{S_к} = \frac{0,25L^2}{0,390625L^2} = \frac{0,25}{0,390625} = 0,64$. Результат тот же. Таким образом, конкретное значение длины 7,2 дм является лишним данным для нахождения отношения площадей.

Ответ: Площадь прямоугольника составляет 0,64 от площади квадрата, или 64%.

2)

Найдем объем прямоугольного параллелепипеда $V_п$. Его измерения равны 0,45 м, 1,2 м и 0,8 м. $V_п = 0,45 \cdot 1,2 \cdot 0,8 = 0,54 \cdot 0,8 = 0,432$ м³.

Найдем ребро куба $a_к$. По условию, меньшее ребро параллелепипеда составляет 75% от ребра куба. Меньшее ребро параллелепипеда равно 0,45 м. Значит, $0,45 = 0,75 \cdot a_к$. Отсюда находим ребро куба: $a_к = \frac{0,45}{0,75} = \frac{45}{75} = \frac{3}{5} = 0,6$ м.

Теперь найдем объем куба $V_к$: $V_к = a_к^3 = 0,6^3 = 0,6 \cdot 0,6 \cdot 0,6 = 0,216$ м³.

Найдем, какую часть объем куба составляет от объема параллелепипеда. Для этого разделим объем куба на объем параллелепипеда: $\frac{V_к}{V_п} = \frac{0,216}{0,432} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Выразим эту часть в процентах: $0,5 \cdot 100\% = 50\%$.

В этой задаче для нахождения ответа потребовались все данные, указанные в условии. Лишних данных нет.

Ответ: Объем куба составляет 0,5 от объема параллелепипеда, или 50%.

89 Реши задачи и определи, есть ли в их условиях лишние данные.

1) Длина прямоугольника равна 7,2 дм, а его ширина составляет 25% длины. Какую часть площадь этого прямоугольника составляет от площади квадрата с тем же периметром? Вырази эту часть в процентах.

2) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 0,45 м, 1,2 м и 0,8 м. Меньшее ребро параллелепипеда составляет 75% ребра некоторого куба. Какую часть объем куба составляет от объема параллелепипеда? Вырази эту часть в процентах.

D 90 Переведи на математический язык тремя разными способами.

1) Натуральное число a больше натурального числа b в 5 раз.

$a = 5b$

$a/b = 5$

$b = a/5$

2) Число c меньше числа d на 8.

$c = d - 8$

$d - c = 8$

$c + 8 = d$

1) Натуральное число a больше натурального числа b в 5 раз.

Данное утверждение можно перевести на математический язык, записав соотношение между числами a и b в виде равенства. Сделаем это тремя способами.

• Первый способ: выразить большее число a через меньшее число b. Если a в 5 раз больше b, это значит, что a равно b, умноженному на 5.
  $a = 5 \cdot b$

• Второй способ: выразить меньшее число b через большее число a. Если a в 5 раз больше b, то b, наоборот, в 5 раз меньше a. Это значит, что b равно a, деленному на 5.
  $b = \frac{a}{5}$

• Третий способ: записать отношение (частное) чисел a и b. Отношение большего числа к меньшему показывает, во сколько раз одно больше другого. В данном случае это отношение равно 5.
  $\frac{a}{b} = 5$

Ответ: $a = 5b$; $b = \frac{a}{5}$; $\frac{a}{b} = 5$.

2) Число с меньше числа d на 8.

Данное утверждение означает, что разница между числами d и c составляет 8. Запишем это соотношение тремя различными математическими равенствами.

• Первый способ: выразить меньшее число c через большее число d. Если c на 8 меньше, чем d, это значит, что для получения c нужно из d вычесть 8.
  $c = d - 8$

• Второй способ: выразить большее число d через меньшее число c. Если c на 8 меньше d, то d, наоборот, на 8 больше c. Это значит, что для получения d нужно к c прибавить 8.
  $d = c + 8$

• Третий способ: записать разность чисел d и c. Разность между большим числом и меньшим показывает, на сколько одно больше другого. В данном случае эта разность равна 8.
  $d - c = 8$

Ответ: $c = d - 8$; $d = c + 8$; $d - c = 8$.

90 Переведи на математический язык тремя разными способами:

1) Натуральное число $a$ больше натурального числа $b$ в 5 раз.

2) Число $c$ меньше числа $d$ на 8.

91 Переведи письменно с математического языка на русский:

1) $(a+b)^2$;

2) $a^2+b^2$;

3) $(a-b)^2$;

4) $a^2-b^2$;

5) $(a+b)^3$;

6) $a^3+b^3$.

Найди значения всех данных выражений при $a = 0,6, b = 0,4$.

1) $(a+b)^2$

Перевод на русский язык: квадрат суммы чисел $a$ и $b$.

Найдем значение выражения при $a = 0,6$ и $b = 0,4$:

$(a+b)^2 = (0,6 + 0,4)^2 = 1^2 = 1$.

Ответ: 1.

2) $a^2+b^2$

Перевод на русский язык: сумма квадратов чисел $a$ и $b$.

Найдем значение выражения при $a = 0,6$ и $b = 0,4$:

$a^2+b^2 = (0,6)^2 + (0,4)^2 = 0,36 + 0,16 = 0,52$.

Ответ: 0,52.

3) $(a-b)^2$

Перевод на русский язык: квадрат разности чисел $a$ и $b$.

Найдем значение выражения при $a = 0,6$ и $b = 0,4$:

$(a-b)^2 = (0,6 - 0,4)^2 = (0,2)^2 = 0,04$.

Ответ: 0,04.

4) $a^2-b^2$

Перевод на русский язык: разность квадратов чисел $a$ и $b$.

Найдем значение выражения при $a = 0,6$ и $b = 0,4$:

$a^2-b^2 = (0,6)^2 - (0,4)^2 = 0,36 - 0,16 = 0,2$.

Ответ: 0,2.

5) $(a+b)^3$

Перевод на русский язык: куб суммы чисел $a$ и $b$.

Найдем значение выражения при $a = 0,6$ и $b = 0,4$:

$(a+b)^3 = (0,6 + 0,4)^3 = 1^3 = 1$.

Ответ: 1.

6) $a^3+b^3$

Перевод на русский язык: сумма кубов чисел $a$ и $b$.

Найдем значение выражения при $a = 0,6$ и $b = 0,4$:

$a^3+b^3 = (0,6)^3 + (0,4)^3 = 0,216 + 0,064 = 0,28$.

Ответ: 0,28.

91 Переведи письменно с математического языка на русский:

1) $(a + b)^2$; 2) $a^2 + b^2$; 3) $(a - b)^2$; 4) $a^2 - b^2$; 5) $(a + b)^3$; 6) $a^3 + b^3$.

Найди значения всех данных выражений при $a = 0,6, b = 0,4$.

92 Брат на два года старше сестры. Пусть $x$ лет – возраст сестры, а $y$ лет – возраст брата. Запиши формулу зависимости $y$ от $x$. Составь таблицу и построй график этой зависимости для значений $x$, удовлетворяющих неравенству $0 \leq x \leq 5$.

Запиши формулу зависимости y от x.

По условию задачи, брат на два года старше сестры. Возраст сестры обозначен как $x$ лет, а возраст брата — как $y$ лет. Это означает, что для того, чтобы получить возраст брата, нужно к возрасту сестры прибавить два года. Таким образом, зависимость $y$ от $x$ выражается следующей формулой: $y = x + 2$.

Ответ: $y = x + 2$.

Составь таблицу.

Составим таблицу значений для функции $y = x + 2$ для целых значений $x$, удовлетворяющих неравенству $0 \le x \le 5$.

Ответ: Таблица значений представлена выше.

Построй график этой зависимости.

Функция $y = x + 2$ является линейной, ее график — прямая линия. Поскольку нас интересует только промежуток $0 \le x \le 5$, то графиком будет отрезок прямой. Для построения отрезка нам достаточно двух точек, которые являются его концами. Воспользуемся данными из таблицы:

• При $x=0$, $y=2$. Координаты первой точки: $(0; 2)$.
• При $x=5$, $y=7$. Координаты второй точки: $(5; 7)$.

Построим систему координат, где по оси абсцисс ($x$) откладывается возраст сестры, а по оси ординат ($y$) — возраст брата. Отметим на ней точки $(0; 2)$ и $(5; 7)$ и соединим их отрезком.

Ответ: График зависимости представлен выше.

92 Брат на два года старше сестры. Пусть $x$ лет – возраст сестры, а $y$ лет – возраст брата. Запиши формулу зависимости $y$ от $x$. Составь таблицу и построй график этой зависимости для значений $x$, удовлетворяющих неравенству $0 \le x \le 5$.

93 Составь выражение к задаче и найди его значение при данном значении переменной.

1) Длина прямоугольника $a$ см, а ширина составляет $80 \%$ длины. Найти площадь прямоугольника. ($a = 2,5$.)

2) Ширина прямоугольника равна $b$ дм. Ширина составляет $0,2$ его длины. Найти периметр прямоугольника. ($b = 2,05$.)

3) Ребро первого куба равно $c$ м, а второго – $d$ м. Какую часть площадь поверхности первого куба составляет от площади поверхности второго куба? ($c = 3,2$; $d = 6,4$.)

1)

Пусть длина прямоугольника равна $a$ см. По условию, ширина составляет 80% от длины. Чтобы найти 80% от числа, нужно это число умножить на 0,8. Значит, ширина прямоугольника равна $0,8a$ см.

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его длины на ширину. Составим выражение для площади:

$S = a \cdot 0,8a = 0,8a^2$

Теперь найдем значение этого выражения при $a = 2,5$:

$S = 0,8 \cdot (2,5)^2 = 0,8 \cdot 6,25 = 5$ (см²)

Ответ: 5 см².

2)

Пусть ширина прямоугольника равна $b$ дм, а длина — $l$ дм. По условию, ширина составляет 0,2 длины, то есть $b = 0,2l$.

Выразим длину $l$ через ширину $b$:

$l = \frac{b}{0,2} = 5b$

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(l+b)$. Составим выражение для периметра, подставив в него выражение для длины $l$:

$P = 2(5b + b) = 2 \cdot 6b = 12b$

Найдем значение периметра при $b = 2,05$:

$P = 12 \cdot 2,05 = 24,6$ (дм)

Ответ: 24,6 дм.

3)

Площадь поверхности куба с ребром $x$ вычисляется по формуле $S = 6x^2$.

Площадь поверхности первого куба с ребром $c$ равна $S_1 = 6c^2$.

Площадь поверхности второго куба с ребром $d$ равна $S_2 = 6d^2$.

Чтобы найти, какую часть площадь поверхности первого куба составляет от площади поверхности второго, нужно найти их отношение $\frac{S_1}{S_2}$. Составим выражение:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{6c^2}{6d^2} = \frac{c^2}{d^2} = (\frac{c}{d})^2$

Найдем значение этого выражения при $c = 3,2$ и $d = 6,4$:

$(\frac{3,2}{6,4})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0,25$

Ответ: 0,25.

93 Составь выражение к задаче и найди его значение при данном значении переменной:

1) Длина прямоугольника $a$ см, а ширина составляет 80% длины. Найти площадь прямоугольника. ($a = 2,5$)

2) Ширина прямоугольника равна $b$ дм. Ширина составляет 0,2 его длины. Найти периметр прямоугольника. ($b = 2,05$)

3) Ребро первого куба равно $c$ м, а второго – $d$ м. Какую часть площадь поверхности первого куба составляет от площади поверхности второго куба? ($c = 3,2; d = 6,4$)

94 Квадрат и прямоугольник имеют одинаковый периметр. Сторона квадрата равна 5,6 м, что составляет 0,7 длины прямоугольника.

1) Найди ширину прямоугольника.

2) На сколько площадь прямоугольника меньше площади квадрата?

1) Найди ширину прямоугольника.

Сначала найдем периметр квадрата. Сторона квадрата, обозначим ее $a_{кв}$, равна $5,6$ м. Периметр квадрата ($P_{кв}$) вычисляется по формуле $P = 4a$:
$P_{кв} = 4 \cdot 5,6 = 22,4$ м.

По условию задачи, периметр прямоугольника ($P_{пр}$) равен периметру квадрата, следовательно, $P_{пр} = 22,4$ м.

Далее найдем длину прямоугольника ($l_{пр}$). Известно, что сторона квадрата ($5,6$ м) составляет $0,7$ от длины прямоугольника. Чтобы найти длину, нужно разделить значение этой части на саму часть:
$l_{пр} = 5,6 : 0,7 = 8$ м.

Теперь, зная периметр и длину прямоугольника, можем найти его ширину ($w_{пр}$) из формулы периметра $P_{пр} = 2(l_{пр} + w_{пр})$:
$22,4 = 2 \cdot (8 + w_{пр})$
Разделим обе части уравнения на 2:
$11,2 = 8 + w_{пр}$
$w_{пр} = 11,2 - 8 = 3,2$ м.

Ответ: 3,2 м.

2) На сколько площадь прямоугольника меньше площади квадрата?

Сначала вычислим площадь квадрата ($S_{кв}$) по формуле $S = a^2$ :
$S_{кв} = 5,6^2 = 5,6 \cdot 5,6 = 31,36$ м².

Затем вычислим площадь прямоугольника ($S_{пр}$) по формуле $S = l \cdot w$, используя найденные ранее длину ($8$ м) и ширину ($3,2$ м):
$S_{пр} = 8 \cdot 3,2 = 25,6$ м².

Чтобы найти, на сколько площадь прямоугольника меньше площади квадрата, необходимо вычесть из площади квадрата площадь прямоугольника:
$S_{кв} - S_{пр} = 31,36 - 25,6 = 5,76$ м².

Ответ: на 5,76 м².

94 Квадрат и прямоугольник имеют одинаковый периметр. Сторона квадрата равна 5,6 м, что составляет 0,7 длины прямоугольника.

1) Найти ширину прямоугольника.

2) На сколько площадь прямоугольника меньше площади квадрата?

95 Докажи, что дробь, полученную в ответе примера, нельзя перевести в конечную десятичную дробь. Замени её десятичной дробью с точностью до сотых.

1) $\frac{54.2737 : 10.79 + [3 - (5 - 4.7)] \cdot 1.1}{(100 - 0.628) : 9.1 + 28.152 : 6.9}$

2) $[2\frac{3}{16} : 1\frac{3}{4} + (10\frac{1}{3} - 4\frac{5}{6}) : 2\frac{1}{5}] : 6\frac{7}{8}$

1)

Решим пример по действиям, сначала вычислив числитель, а затем знаменатель дроби.

Вычисления для числителя:

1. $5 - 4,7 = 0,3$
2. $3 - 0,3 = 2,7$
3. $54,2737 : 10,79 = 5,03$
4. $2,7 \cdot 1,1 = 2,97$
5. $5,03 + 2,97 = 8$

Вычисления для знаменателя:

1. $100 - 0,628 = 99,372$
2. $99,372 : 9,1 = 10,92$
3. $28,152 : 6,9 = 4,08$
4. $10,92 + 4,08 = 15$

В результате получаем дробь $ \frac{8}{15} $.

Доказательство: Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда её знаменатель в разложении на простые множители не содержит чисел, отличных от 2 и 5. Знаменатель полученной дроби равен 15. Разложим его на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$. Так как в разложении присутствует множитель 3, дробь $ \frac{8}{15} $ является бесконечной периодической десятичной дробью.

Замена десятичной дробью с точностью до сотых: $ \frac{8}{15} = 8 : 15 = 0,5333... \approx 0,53 $.

Ответ: результатом является дробь $ \frac{8}{15} $, которую нельзя перевести в конечную десятичную, так как её знаменатель $ 15 = 3 \cdot 5 $ содержит простой множитель 3. С точностью до сотых эта дробь равна $ 0,53 $.

2)

Решим пример по действиям:

1. $10\frac{1}{3} - 4\frac{5}{6} = \frac{31}{3} - \frac{29}{6} = \frac{62}{6} - \frac{29}{6} = \frac{33}{6} = \frac{11}{2}$
2. $2\frac{3}{16} : 1\frac{3}{4} = \frac{35}{16} : \frac{7}{4} = \frac{35}{16} \cdot \frac{4}{7} = \frac{5 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{5}{4}$
3. $\frac{5}{4} + \frac{11}{2} = \frac{5}{4} + \frac{22}{4} = \frac{27}{4}$
4. $\frac{27}{4} : 2\frac{1}{5} = \frac{27}{4} : \frac{11}{5} = \frac{27}{4} \cdot \frac{5}{11} = \frac{135}{44}$
5. $\frac{135}{44} : 6\frac{7}{8} = \frac{135}{44} : \frac{55}{8} = \frac{135}{44} \cdot \frac{8}{55} = \frac{27 \cdot 5}{4 \cdot 11} \cdot \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 11} = \frac{27 \cdot 2}{11 \cdot 11} = \frac{54}{121}$

В результате получаем дробь $ \frac{54}{121} $.

Доказательство: Дробь $ \frac{54}{121} $ является несократимой ($54 = 2 \cdot 3^3$, $121 = 11^2$). Разложим знаменатель на простые множители: $121 = 11^2$. Так как в разложении присутствует простой множитель 11, который отличен от 2 и 5, данную дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Замена десятичной дробью с точностью до сотых: $ \frac{54}{121} = 54 : 121 = 0,44628... \approx 0,45 $.

Ответ: результатом является дробь $ \frac{54}{121} $, которую нельзя перевести в конечную десятичную, так как её знаменатель $ 121 = 11^2 $ содержит простой множитель 11. С точностью до сотых эта дробь равна $ 0,45 $.

95 Докажи, что дробь, полученную в ответе примера, нельзя перевести в конечную десятичную дробь. Замени ее десятичной дробью с точностью до сотых.

$1) \frac{54.2737 : 10.79 + [3 - (5 - 4.7)] \cdot 1.1}{(100 - 0.628) : 9.1 + 28.152 : 6.9}$

$2) \left[2\frac{3}{16} : 1\frac{3}{4} + \left(10\frac{1}{3} - 4\frac{5}{6}\right) : 2\frac{1}{5}\right] : 6\frac{7}{8}.$

96. Задача Ал-Хорезми (Средняя Азия, около 783 г. – 850 г.)

Разложить число 10 на 2 слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть первое слагаемое будет $x$, а второе — $y$.

Исходя из условия, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Сумма двух слагаемых равна 10: $x + y = 10$.

2. Сумма их квадратов равна 58: $x^2 + y^2 = 58$.

Получаем систему:

$\begin{cases}x + y = 10, \\x^2 + y^2 = 58.\end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 10 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$x^2 + (10 - x)^2 = 58$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (100 - 20x + x^2) = 58$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 20x + 100 = 58$

Перенесем 58 в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 20x + 100 - 58 = 0$

$2x^2 - 20x + 42 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 - 10x + 21 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Нам нужны два числа, сумма которых равна 10, а произведение — 21. Эти числа — 3 и 7.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$.

Найдем соответствующие значения для $y$:

1. Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 10 - 3 = 7$.

2. Если $x_2 = 7$, то $y_2 = 10 - 7 = 3$.

В обоих случаях мы получаем одну и ту же пару чисел.

Проверим решение:

Сумма чисел: $3 + 7 = 10$.

Сумма их квадратов: $3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58$.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: 3 и 7.

Задача Ал-Хорезми (Средняя Азия, около 783 г. – 850 г.)

Разложить число 10 на 2 слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.

97 Задача Брахмагупты (Индия, около 598 г. – 660 г.)

Если число дней уменьшить на 1, затем разделить на 6 и прибавить 3, то получится $ \frac{1}{5} $ первоначального числа дней. Сколько велико число дней?

Пусть $x$ — первоначальное число дней.

Согласно условию задачи, если это число уменьшить на 1 ($x-1$), затем результат разделить на 6 ($\frac{x-1}{6}$) и прибавить 3 ($\frac{x-1}{6} + 3$), то получится $\frac{1}{5}$ первоначального числа дней.

Составим и решим уравнение: $$ \frac{x-1}{6} + 3 = \frac{1}{5}x $$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 5, то есть на 30: $$ 30 \cdot \left( \frac{x-1}{6} + 3 \right) = 30 \cdot \left( \frac{x}{5} \right) $$ $$ \frac{30(x-1)}{6} + 30 \cdot 3 = \frac{30x}{5} $$

Выполним сокращение и раскроем скобки: $$ 5(x-1) + 90 = 6x $$ $$ 5x - 5 + 90 = 6x $$

Приведем подобные слагаемые: $$ 5x + 85 = 6x $$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону уравнения: $$ 85 = 6x - 5x $$ $$ x = 85 $$

Таким образом, первоначальное число дней равно 85.

Выполним проверку:

1. Уменьшаем 85 на 1: $85 - 1 = 84$.
2. Делим 84 на 6: $84 \div 6 = 14$.
3. Прибавляем 3: $14 + 3 = 17$.

$\frac{1}{5}$ от первоначального числа дней (85) составляет $\frac{1}{5} \cdot 85 = 17$.

Так как $17 = 17$, решение найдено верно.

Ответ: 85.

97 Задача Брахмагупта (Индия, около 598г. – 660 г.)

Если число дней уменьшить на 1, затем разделить на 6 и прибавить 3, то получится $\frac{1}{5}$ первоначального числа дней. Сколько велико число дней?

105 Найди неизвестный член пропорции:

a) $\frac{7}{x} = \frac{28}{32}$;

б) $\frac{5}{8} = \frac{y}{12}$;

в) $\frac{z}{3.5} = \frac{2.4}{5.6}$;

г) $\frac{0.06}{7.5} = \frac{0.2}{t}$.

а) Дана пропорция $\frac{7}{x} = \frac{28}{32}$.
Чтобы найти неизвестный член пропорции, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$7 \cdot 32 = 28 \cdot x$
Выразим неизвестную переменную $x$:
$x = \frac{7 \cdot 32}{28}$
Для удобства вычислений сократим дробь. Число $28$ можно представить как $4 \cdot 7$.
$x = \frac{7 \cdot 32}{4 \cdot 7}$
Сократив $7$ в числителе и знаменателе, получаем:
$x = \frac{32}{4} = 8$
Ответ: $8$.

б) Дана пропорция $\frac{5}{8} = \frac{y}{12}$.
Применим основное свойство пропорции: произведение крайних членов ($5$ и $12$) равно произведению средних членов ($8$ и $y$).
$5 \cdot 12 = 8 \cdot y$
$60 = 8y$
Выразим неизвестную переменную $y$:
$y = \frac{60}{8}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:
$y = \frac{60 \div 4}{8 \div 4} = \frac{15}{2}$
Представим результат в виде десятичной дроби:
$y = 7,5$
Ответ: $7,5$.

в) Дана пропорция $\frac{z}{3,5} = \frac{2,4}{5,6}$.
Используя основное свойство пропорции, приравняем произведение крайних членов ($z$ и $5,6$) к произведению средних ($3,5$ и $2,4$).
$z \cdot 5,6 = 3,5 \cdot 2,4$
Выразим неизвестную переменную $z$:
$z = \frac{3,5 \cdot 2,4}{5,6}$
Для упрощения вычислений, умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{3,5}{5,6}$ на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков в этих числах.
$z = \frac{35 \cdot 2,4}{56}$
Сократим дробь $\frac{35}{56}$ на $7$:
$z = \frac{5 \cdot 2,4}{8}$
Выполним умножение в числителе: $5 \cdot 2,4 = 12$.
$z = \frac{12}{8}$
Сократим полученную дробь на $4$:
$z = \frac{3}{2} = 1,5$
Ответ: $1,5$.

г) Дана пропорция $\frac{0,06}{7,5} = \frac{0,2}{t}$.
По основному свойству пропорции, произведение крайних членов ($0,06$ и $t$) равно произведению средних ($7,5$ и $0,2$).
$0,06 \cdot t = 7,5 \cdot 0,2$
Сначала вычислим произведение в правой части уравнения:
$7,5 \cdot 0,2 = 1,5$
Получаем уравнение:
$0,06 \cdot t = 1,5$
Выразим неизвестную переменную $t$:
$t = \frac{1,5}{0,06}$
Чтобы избавиться от дробей в делении, умножим числитель и знаменатель на $100$:
$t = \frac{1,5 \cdot 100}{0,06 \cdot 100} = \frac{150}{6}$
Выполним деление:
$t = 25$
Ответ: $25$.

105 Найди неизвестный член пропорции:

a) $\frac{7}{x} = \frac{28}{32}$;

б) $\frac{5}{8} = \frac{y}{12}$;

в) $\frac{z}{3,5} = \frac{2,4}{5,6}$;

г) $\frac{0,06}{7,5} = \frac{0,2}{t}$.

106. Реши уравнения:

а) $9 - 7y = 25 - 3y;$

б) $-2n = 5,6n;$

в) $2(11 - 4a) = 3 - (5a + 2);$

г) $3(-5 + c) - 2(c - 4) = 2 - 7(c - 1);$

д) $\frac{x}{3} + 5 = \frac{x}{4} + 3;$

е) $1,2d - 0,5(4d - 1) = -0,7(d - 2);$

ж) $\frac{y}{9} - \left(y + \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6} - \left(\frac{8y}{9} + 0,5\right);$

3) $\frac{a - 3,2}{2a + 1,4} = \frac{0,9}{2,7};$

а) Исходное уравнение: $9 - 7y = 25 - 3y$.
Перенесем члены с переменной y в левую часть уравнения, а постоянные члены – в правую. При переносе через знак равенства знак члена меняется на противоположный.
$-7y + 3y = 25 - 9$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения.
$-4y = 16$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при y, то есть на -4.
$y = \frac{16}{-4}$
$y = -4$
Ответ: -4

б) Исходное уравнение: $-2n = 5,6n$.
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, например, в правую.
$0 = 5,6n + 2n$
Сложим члены с переменной n.
$0 = 7,6n$
Чтобы найти n, разделим обе части на 7,6.
$n = \frac{0}{7,6}$
$n = 0$
Ответ: 0

в) Исходное уравнение: $2(11 - 4a) = 3 - (5a + 2)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
$2 \cdot 11 - 2 \cdot 4a = 3 - 5a - 2$
$22 - 8a = 1 - 5a$
Перенесем члены с переменной a в левую часть, а постоянные члены – в правую.
$-8a + 5a = 1 - 22$
Приведем подобные слагаемые.
$-3a = -21$
Разделим обе части уравнения на -3.
$a = \frac{-21}{-3}$
$a = 7$
Ответ: 7

г) Исходное уравнение: $3(-5 + c) - 2(c - 4) = 2 - 7(c - 1)$.
Раскроем все скобки.
$3 \cdot (-5) + 3 \cdot c - 2 \cdot c - 2 \cdot (-4) = 2 - 7 \cdot c - 7 \cdot (-1)$
$-15 + 3c - 2c + 8 = 2 - 7c + 7$
Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.
$(3c - 2c) + (-15 + 8) = (2 + 7) - 7c$
$c - 7 = 9 - 7c$
Перенесем члены с переменной c в левую часть, а постоянные члены – в правую.
$c + 7c = 9 + 7$
Приведем подобные слагаемые.
$8c = 16$
Разделим обе части на 8.
$c = \frac{16}{8}$
$c = 2$
Ответ: 2

д) Исходное уравнение: $\frac{x}{3} + 5 = \frac{x}{4} + 3$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, которое равно 12.
$12 \cdot (\frac{x}{3} + 5) = 12 \cdot (\frac{x}{4} + 3)$
$12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot 5 = 12 \cdot \frac{x}{4} + 12 \cdot 3$
$4x + 60 = 3x + 36$
Перенесем члены с переменной x в левую часть, а постоянные члены – в правую.
$4x - 3x = 36 - 60$
Приведем подобные слагаемые.
$x = -24$
Ответ: -24

е) Исходное уравнение: $1,2d - 0,5(4d - 1) = -0,7(d - 2)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
$1,2d - 0,5 \cdot 4d - 0,5 \cdot (-1) = -0,7 \cdot d - 0,7 \cdot (-2)$
$1,2d - 2d + 0,5 = -0,7d + 1,4$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$-0,8d + 0,5 = -0,7d + 1,4$
Перенесем члены с переменной d в правую часть, а постоянные члены – в левую.
$0,5 - 1,4 = -0,7d + 0,8d$
Приведем подобные слагаемые.
$-0,9 = 0,1d$
Разделим обе части на 0,1.
$d = \frac{-0,9}{0,1}$
$d = -9$
Ответ: -9

ж) Исходное уравнение: $\frac{y}{9} - (y + \frac{1}{3}) = \frac{1}{6} - (\frac{8y}{9} + 0,5)$.
Сначала преобразуем десятичную дробь 0,5 в обыкновенную: $0,5 = \frac{1}{2}$.
$\frac{y}{9} - (y + \frac{1}{3}) = \frac{1}{6} - (\frac{8y}{9} + \frac{1}{2})$
Раскроем скобки.
$\frac{y}{9} - y - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{8y}{9} - \frac{1}{2}$
Перенесем члены с переменной y в левую часть, а постоянные члены – в правую.
$\frac{y}{9} - y + \frac{8y}{9} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
Приведем подобные слагаемые в левой части: $(\frac{1}{9} - 1 + \frac{8}{9})y = (\frac{1 - 9 + 8}{9})y = \frac{0}{9}y = 0$.
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6: $\frac{1}{6} - \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1-3+2}{6} = \frac{0}{6} = 0$.
Уравнение принимает вид: $0 \cdot y = 0$, или $0 = 0$.
Это равенство верно при любом значении y.
Ответ: y – любое число

з) Исходное уравнение: $\frac{a - 3,2}{2a + 1,4} = \frac{0,9}{2,7}$.
Упростим дробь в правой части: $\frac{0,9}{2,7} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$.
Уравнение примет вид пропорции:
$\frac{a - 3,2}{2a + 1,4} = \frac{1}{3}$
Область допустимых значений: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $2a + 1,4 \neq 0$, откуда $2a \neq -1,4$, и $a \neq -0,7$.
Воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение):
$3 \cdot (a - 3,2) = 1 \cdot (2a + 1,4)$
Раскроем скобки.
$3a - 9,6 = 2a + 1,4$
Перенесем члены с переменной a в левую часть, а постоянные члены – в правую.
$3a - 2a = 1,4 + 9,6$
Приведем подобные слагаемые.
$a = 11$
Полученное значение $a=11$ не противоречит области допустимых значений ($a \neq -0,7$).
Ответ: 11

D 106 Реши уравнения:

а) $9 - 7y = 25 - 3y;$

б) $-2n = 5.6n;$

в) $2(11 - 4a) = 3 - (5a + 2);$

г) $3(-5 + c) - 2(c - 4) = 2 - 7(c - 1);$

д) $\frac{x}{3} + 5 = \frac{x}{4} + 3;$

е) $1.2d - 0.5(4d - 1) = -0.7(d - 2);$

ж) $\frac{y}{9} - (y + \frac{1}{3}) = \frac{1}{6} - (\frac{8y}{9} + 0.5);$

з) $\frac{a-3.2}{2a+1.4} = \frac{0.9}{2.7}.$

107 Найди множество натуральных корней уравнения:

а) $5x^2 - 7x - 24 = 0;$

б) $4x(x - 3)(7 - x) = 80.$

Для решения данного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=5$, $b=-7$, $c=-24$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 49 + 480 = 529$

Теперь найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm 23}{10}$

Первый корень:

$x_1 = \frac{7 + 23}{10} = \frac{30}{10} = 3$

Второй корень:

$x_2 = \frac{7 - 23}{10} = \frac{-16}{10} = -1.6$

Согласно условию, необходимо найти множество натуральных корней. Натуральные числа — это целые положительные числа. Из двух найденных корней только $x_1 = 3$ является натуральным числом.

Ответ: $\{3\}$

Сначала упростим уравнение, разделив обе его части на 4:

$x(x - 3)(7 - x) = 20$

Мы ищем натуральные корни, то есть $x$ должен быть целым положительным числом ($x \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Левая часть уравнения представляет собой произведение трех множителей. Чтобы их произведение было положительным числом (20), либо все три множителя должны быть положительными, либо один из них должен быть положительным, а два — отрицательными.

Случай 1: Все множители положительны.

$x > 0$ (выполняется, так как $x$ — натуральное число)

$x - 3 > 0 \implies x > 3$

$7 - x > 0 \implies x < 7$

Следовательно, нам нужно проверить натуральные числа $x$, удовлетворяющие условию $3 < x < 7$. Это числа 4, 5, 6.

• При $x=4$: $4 \cdot (4-3) \cdot (7-4) = 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12$. Не равно 20.
• При $x=5$: $5 \cdot (5-3) \cdot (7-5) = 5 \cdot 2 \cdot 2 = 20$. Это является решением.
• При $x=6$: $6 \cdot (6-3) \cdot (7-6) = 6 \cdot 3 \cdot 1 = 18$. Не равно 20.

Случай 2: Один множитель положителен, два — отрицательны.

Поскольку $x$ — натуральное число, множитель $x$ всегда положителен. Значит, два других множителя, $(x-3)$ и $(7-x)$, должны быть отрицательными.

$x - 3 < 0 \implies x < 3$

$7 - x < 0 \implies x > 7$

Не существует числа, которое было бы одновременно меньше 3 и больше 7, поэтому в этом случае решений нет.

Таким образом, единственным натуральным корнем уравнения является $x=5$.

Ответ: $\{5\}$

107 Найди множество натуральных корней уравнения:

а) $5x^2 - 7x - 24 = 0$;

б) $4x(x - 3)(7 - x) = 80$.

108 В первой канистре в 2 раза больше бензина, чем во второй. Если из каждой канистры отлить по 6 л, то в первой канистре станет бензина в 3 раза больше, чем во второй. Сколько литров бензина в каждой канистре?

Для решения задачи обозначим количество бензина во второй канистре через переменную.
Пусть во второй канистре было $x$ литров бензина.

Из условия известно, что в первой канистре бензина было в 2 раза больше. Следовательно, в первой канистре было $2x$ литров бензина.

Затем из каждой канистры отлили по 6 литров. После этого количество бензина в них стало:

• в первой канистре: $(2x - 6)$ литров;
• во второй канистре: $(x - 6)$ литров.

По новому условию, в первой канистре стало в 3 раза больше бензина, чем во второй. Это позволяет нам составить следующее уравнение:
$2x - 6 = 3 \cdot (x - 6)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.
Сначала раскроем скобки в правой части уравнения:
$2x - 6 = 3x - 18$
Далее, перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Удобнее перенести $2x$ вправо, а $-18$ влево, чтобы коэффициенты остались положительными.
$18 - 6 = 3x - 2x$
$12 = x$

Таким образом, мы выяснили, что изначально во второй канистре было 12 литров бензина.

Теперь найдем, сколько бензина было в первой канистре:
$2x = 2 \cdot 12 = 24$ литра.

Проверим полученное решение:
Изначально: в первой канистре 24 л, во второй 12 л. Отношение $24 / 12 = 2$, что соответствует условию (в 2 раза больше).
После того как отлили по 6 л: в первой канистре стало $24 - 6 = 18$ л, а во второй $12 - 6 = 6$ л. Отношение $18 / 6 = 3$, что также соответствует условию (в 3 раза больше).
Решение верное.

Ответ: в первой канистре было 24 литра бензина, во второй — 12 литров.

108 В первой канистре в 2 раза больше бензина, чем во второй. Если из каждой канистры отлить по 6 л, то в первой канистре станет бензина в 3 раза больше, чем во второй. Сколько литров бензина в каждой канистре?

109 В парке 20 % всех деревьев составляют берёзы, третью часть – клёны, дубов на 18 больше, чем клёнов, а остальные 94 дерева – липы. Сколько всего деревьев в этом парке?

Для решения задачи обозначим общее количество деревьев в парке переменной $x$.

Согласно условию, в парке растут деревья четырех видов: берёзы, клёны, дубы и липы. Выразим количество деревьев каждого вида через $x$:

• Берёзы составляют 20% от всех деревьев. Чтобы найти долю, переведем проценты в десятичную дробь: $20\% = \frac{20}{100} = 0.2$. Таким образом, количество берёз равно $0.2x$.
• Клёны составляют третью часть от всех деревьев, то есть $\frac{1}{3}x$.
• Дубов на 18 больше, чем клёнов. Значит, их количество равно $(\frac{1}{3}x + 18)$.
• Липы — это остальные 94 дерева.

Сумма всех деревьев в парке равна $x$. Составим уравнение, сложив количество деревьев каждого вида:

$x = (\text{Берёзы}) + (\text{Клёны}) + (\text{Дубы}) + (\text{Липы})$

$x = 0.2x + \frac{1}{3}x + (\frac{1}{3}x + 18) + 94$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим правую часть, сгруппировав слагаемые с $x$ и числовые значения:

$x = 0.2x + \frac{2}{3}x + 18 + 94$

$x = 0.2x + \frac{2}{3}x + 112$

Перенесём все слагаемые с $x$ в левую часть уравнения:

$x - 0.2x - \frac{2}{3}x = 112$

Для удобства вычислений представим $0.2$ в виде обыкновенной дроби: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

$x - \frac{1}{5}x - \frac{2}{3}x = 112$

Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 5 и 3 равен 15.

$\frac{15}{15}x - \frac{3}{15}x - \frac{10}{15}x = 112$

Выполним вычитание в левой части:

$\frac{15 - 3 - 10}{15}x = 112$

$\frac{2}{15}x = 112$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{15}{2}$:

$x = 112 \cdot \frac{15}{2}$

$x = \frac{112 \cdot 15}{2}$

$x = 56 \cdot 15$

$x = 840$

Таким образом, всего в парке 840 деревьев.

Проверим решение:
1. Берёзы: $0.2 \cdot 840 = 168$ деревьев.
2. Клёны: $\frac{1}{3} \cdot 840 = 280$ деревьев.
3. Дубы: $280 + 18 = 298$ деревьев.
4. Липы: $94$ дерева.
Общее количество: $168 + 280 + 298 + 94 = 840$ деревьев. Решение верное.

Ответ: 840 деревьев.

109 В парке 20% всех деревьев составляют березы, третью часть – клены, дубов на 18 больше, чем кленов, а остальные 94 дерева – липы. Сколько всего деревьев в этом парке?

110 На овощную базу завезли 140 т картофеля и 80 т капусты. Потом с базы ежедневно вывозили картофеля в 2,5 раза больше, чем капусты, и через 8 дней их количество на базе стало одинаковым. Сколько всего тонн овощей вывозили ежедневно с базы, если овощи вывозили равномерно?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ тонн — это масса капусты, которую вывозили с базы ежедневно. Согласно условию, картофеля вывозили в 2,5 раза больше, следовательно, ежедневно вывозили $2.5x$ тонн картофеля.

Овощи вывозили в течение 8 дней. За это время с базы вывезли:

• Капусты: $8 \cdot x$ тонн.
• Картофеля: $8 \cdot 2.5x = 20x$ тонн.

Изначально на базе было 140 тонн картофеля и 80 тонн капусты. Через 8 дней на базе осталось:

• Картофеля: $140 - 20x$ тонн.
• Капусты: $80 - 8x$ тонн.

По условию, через 8 дней количество овощей на базе стало одинаковым. Это позволяет нам составить уравнение:

$140 - 20x = 80 - 8x$

Теперь решим это уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые значения — в левую:

$140 - 80 = 20x - 8x$

$60 = 12x$

$x = \frac{60}{12}$

$x = 5$

Таким образом, ежедневно вывозили 5 тонн капусты. Теперь найдем, сколько картофеля вывозили ежедневно:

$2.5 \cdot x = 2.5 \cdot 5 = 12.5$ тонн.

Вопрос задачи — сколько всего тонн овощей вывозили ежедневно. Для этого сложим массу вывезенной за день капусты и картофеля:

$5 + 12.5 = 17.5$ тонн.

Ответ: 17,5 тонн.

110 На овощную базу завезли 140 т картофеля и 80 т капусты. Потом с базы ежедневно вывозили картофеля в 2,5 раза больше, чем капусты, и через 8 дней их количество на базе стало одинаковым. Сколько всего тонн овощей вывозили ежедневно с базы, если овощи вывозили равномерно?

111 Найди значения выражений:

а) $1,25 - 4 \frac{1}{12}$;

б) $-2 \frac{1}{8} - 3,4$;

в) $5 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 1,8$;

г) $4,5 \cdot \left(-5 \frac{1}{3}\right) \cdot (-0,125)$;

д) $15 : \left(-\frac{5}{7}\right) - 2 \frac{1}{3} \cdot \left(-2 \frac{1}{7}\right)$;

е) $-2 \frac{4}{9} \cdot 1,6 : \left(-3 \frac{2}{3}\right) \cdot 1,875$.

а)

Для решения этого примера преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и приведем дроби к общему знаменателю.

1. Представим $1,25$ в виде обыкновенной дроби: $1,25 = 1 \frac{25}{100} = 1 \frac{1}{4}$.

2. Исходное выражение принимает вид: $1 \frac{1}{4} - 4 \frac{1}{12}$.

3. Приведем дробные части к общему знаменателю $12$: $1 \frac{1}{4} = 1 \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 1 \frac{3}{12}$.

4. Выполним вычитание: $1 \frac{3}{12} - 4 \frac{1}{12}$.

5. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $1 \frac{3}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 3}{12} = \frac{15}{12}$, а $4 \frac{1}{12} = \frac{4 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{49}{12}$.

6. Вычислим разность: $\frac{15}{12} - \frac{49}{12} = \frac{15 - 49}{12} = -\frac{34}{12}$.

7. Сократим полученную дробь: $-\frac{34}{12} = -\frac{17}{6}$.

8. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{17}{6} = -2 \frac{5}{6}$.

Ответ: $-2 \frac{5}{6}$.

б)

Для удобства вычислений преобразуем оба числа в десятичные дроби.

1. Представим смешанное число $-2 \frac{1}{8}$ в виде десятичной дроби: $-2 \frac{1}{8} = -2 \frac{1 \cdot 125}{8 \cdot 125} = -2 \frac{125}{1000} = -2,125$.

2. Выражение принимает вид: $-2,125 - 3,4$.

3. Сложим два отрицательных числа: $-2,125 - 3,4 = -(2,125 + 3,4) = -5,525$.

Ответ: $-5,525$.

в)

Выполним действия по порядку: сначала умножение, затем сложение. Для этого преобразуем все числа в обыкновенные дроби.

1. Выполним умножение: $5 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{5 \cdot 2}{3} = -\frac{10}{3}$.

2. Преобразуем десятичную дробь $1,8$ в обыкновенную: $1,8 = 1 \frac{8}{10} = 1 \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$.

3. Выражение принимает вид: $-\frac{10}{3} + \frac{9}{5}$.

4. Приведем дроби к общему знаменателю $15$: $-\frac{10}{3} = -\frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5} = -\frac{50}{15}$, а $\frac{9}{5} = \frac{9 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{27}{15}$.

5. Выполним сложение: $-\frac{50}{15} + \frac{27}{15} = \frac{-50 + 27}{15} = -\frac{23}{15}$.

6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{23}{15} = -1 \frac{8}{15}$.

Ответ: $-1 \frac{8}{15}$.

г)

Для решения этого примера преобразуем все числа в обыкновенные дроби.

1. $4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$.

2. $-5 \frac{1}{3} = -\frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{16}{3}$.

3. $-0,125 = -\frac{125}{1000} = -\frac{1}{8}$.

4. Выражение принимает вид: $\frac{9}{2} \cdot (-\frac{16}{3}) \cdot (-\frac{1}{8})$.

5. Произведение двух отрицательных чисел даст положительное число, поэтому выражение равно: $\frac{9}{2} \cdot \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{8}$.

6. Перемножим дроби, сокращая их в процессе: $\frac{9 \cdot 16 \cdot 1}{2 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{(3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 8)}{2 \cdot 3 \cdot 8}$.

7. Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $3$.

Ответ: $3$.

д)

Выполним действия по порядку: сначала деление и умножение, затем вычитание. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

1. Выполним деление: $15 : (-\frac{5}{7}) = 15 \cdot (-\frac{7}{5}) = -\frac{15 \cdot 7}{5} = -3 \cdot 7 = -21$.

2. Выполним умножение. Сначала преобразуем смешанные числа: $2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ и $-2 \frac{1}{7} = -\frac{15}{7}$.

3. $2 \frac{1}{3} \cdot (-2 \frac{1}{7}) = \frac{7}{3} \cdot (-\frac{15}{7}) = -\frac{7 \cdot 15}{3 \cdot 7} = -\frac{15}{3} = -5$.

4. Выполним вычитание: $-21 - (-5) = -21 + 5 = -16$.

Ответ: $-16$.

е)

Выполним действия по порядку слева направо. Преобразуем все числа в обыкновенные дроби.

1. $-2 \frac{4}{9} = -\frac{2 \cdot 9 + 4}{9} = -\frac{22}{9}$.

2. $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.

3. $-3 \frac{2}{3} = -\frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{11}{3}$.

4. $1,875 = 1 \frac{875}{1000} = 1 \frac{7}{8} = \frac{15}{8}$.

5. Выражение принимает вид: $(-\frac{22}{9}) \cdot \frac{8}{5} : (-\frac{11}{3}) \cdot \frac{15}{8}$.

6. Первое действие (умножение): $-\frac{22}{9} \cdot \frac{8}{5} = -\frac{22 \cdot 8}{9 \cdot 5} = -\frac{176}{45}$.

7. Второе действие (деление): $(-\frac{176}{45}) : (-\frac{11}{3}) = \frac{176}{45} \cdot \frac{3}{11}$.

8. Сократим дробь: $\frac{176 \cdot 3}{45 \cdot 11} = \frac{(16 \cdot 11) \cdot 3}{(15 \cdot 3) \cdot 11} = \frac{16}{15}$.

9. Третье действие (умножение): $\frac{16}{15} \cdot \frac{15}{8} = \frac{16 \cdot 15}{15 \cdot 8} = \frac{16}{8} = 2$.

Ответ: $2$.

111 Найди значения выражений:

а) $1,25 - 4\frac{1}{12};$

б) $-2\frac{1}{8} - 3,4;$

в) $5 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 1,8;$

г) $4,5 \cdot \left(-5\frac{1}{3}\right) \cdot (-0,125);$

д) $15 : \left(-\frac{5}{7}\right) - 2\frac{1}{3} \cdot \left(-2\frac{1}{7}\right);$

е) $-2\frac{4}{9} \cdot 1,6 : \left(-3\frac{2}{3}\right) \cdot 1,875.$

112 Увеличь на 300 % число

$ \frac{-\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{7} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)}{\frac{1}{21} \cdot \left(-\frac{2}{15}\right) \cdot 4} + \frac{\frac{5}{8} - \frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{\frac{2}{3} - \frac{7}{12} - \frac{1}{4}} $

Для решения задачи сначала необходимо вычислить значение числового выражения:

$$ \frac{-\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{7} \cdot (-\frac{4}{5})}{\frac{1}{21} \cdot (-\frac{2}{15}) \cdot 4} + \frac{\frac{5}{8} - \frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{\frac{2}{3} - \frac{7}{12} - \frac{1}{4}} $$

Выполним вычисления по действиям, разбив выражение на две части (две большие дроби).

1. Вычислим значение первой дроби.

Сначала вычислим числитель:

$$ -\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{7} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{9 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 4}{3 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{8}{105} $$

Теперь вычислим знаменатель:

$$ \frac{1}{21} \cdot \left(-\frac{2}{15}\right) \cdot 4 = -\frac{1 \cdot 2 \cdot 4}{21 \cdot 15} = -\frac{8}{315} $$

Разделим числитель на знаменатель:

$$ \frac{\frac{8}{105}}{-\frac{8}{315}} = \frac{8}{105} \div \left(-\frac{8}{315}\right) = \frac{8}{105} \cdot \left(-\frac{315}{8}\right) = -\frac{315}{105} = -3 $$

2. Вычислим значение второй дроби.

Сначала вычислим числитель, приведя дроби к общему знаменателю 8:

$$ \frac{5}{8} - \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{5}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{5}{8} - \frac{6}{8} - \frac{4}{8} = \frac{5-6-4}{8} = -\frac{5}{8} $$

Теперь вычислим знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю 12:

$$ \frac{2}{3} - \frac{7}{12} - \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{7}{12} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{8}{12} - \frac{7}{12} - \frac{3}{12} = \frac{8-7-3}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6} $$

Разделим числитель на знаменатель:

$$ \frac{-\frac{5}{8}}{-\frac{1}{6}} = \left(-\frac{5}{8}\right) \div \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{5}{8} \cdot \frac{6}{1} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} $$

3. Сложим результаты, полученные в пунктах 1 и 2.

$$ -3 + \frac{15}{4} = -\frac{12}{4} + \frac{15}{4} = \frac{-12+15}{4} = \frac{3}{4} $$

4. Теперь увеличим полученное число $\frac{3}{4}$ на 300%.

Увеличить число на 300% означает прибавить к нему 300% от него самого. Это то же самое, что найти 100% + 300% = 400% от этого числа.

Чтобы найти 400% от числа, нужно умножить его на $\frac{400}{100} = 4$.

$$ \frac{3}{4} \cdot 4 = 3 $$

Ответ: 3

112 Увеличь на 300% число:

$\frac{-\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{7} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)}{\frac{1}{21} \cdot \left(-\frac{2}{15}\right) \cdot 4} + \frac{\frac{5}{8} - \frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{\frac{2}{3} - \frac{7}{12} - \frac{1}{4}}$

C 113* Запиши возможно большее число с помощью трёх двоек. Реши ту же задачу, используя три единицы, три четвёрки.

Запиши возможно большее число с помощью трёх двоек

Чтобы получить наибольшее возможное число из трёх одинаковых цифр, как правило, наиболее эффективной операцией является возведение в степень. Рассмотрим и сравним различные варианты, которые можно составить из трёх двоек:

1. Простое объединение цифр (конкатенация): $222$.
2. Арифметические операции: $2+2+2=6$; $2 \times 2 \times 2 = 8$.
3. Комбинации с объединением: $22+2=24$; $22 \times 2=44$.
4. Возведение в степень: $2^{2^2} = 2^4 = 16$; $22^2 = 484$; $2^{22}$.

Теперь сравним самые большие из полученных результатов: $222$, $484$ и $2^{22}$. Вычислим значение последнего выражения: $2^{22} = 4\ 194\ 304$. Очевидно, что это число значительно превосходит все остальные варианты.

Ответ: $2^{22}$

Реши ту же задачу, используя три единицы

Проделаем аналогичные действия для трёх единиц. Рассмотрим возможные варианты:

1. Объединение цифр: $111$.
2. Арифметические операции: $1+1+1=3$; $1 \times 1 \times 1 = 1$.
3. Комбинации с объединением: $11+1=12$.
4. Возведение в степень: $11^1 = 11$; $1^{11} = 1$; $1^{1^1}=1$.

Сравнивая все полученные результаты ($111, 3, 1, 12, 11$), видим, что наибольшее число получается путём простого объединения цифр.

Ответ: $111$

Реши ту же задачу, используя три четвёрки

Рассмотрим варианты для трёх четвёрок, уделяя особое внимание возведению в степень, так как эта операция даёт самый быстрый рост значения.

1. Объединение цифр: $444$.
2. Арифметические операции: $4+4+4=12$; $4 \times 4 \times 4 = 64$.
3. Основные претенденты на самое большое число, использующие возведение в степень: $44^4$, $4^{44}$ и $4^{4^4}$.

Сравним эти три степенных выражения. Выражение $4^{4^4}$ можно записать как $4^{256}$, поскольку $4^4 = 256$.

Сначала сравним $4^{256}$ и $4^{44}$. Так как основания степеней ($4$) одинаковы, а показатель $256$ больше показателя $44$, то очевидно, что $4^{256} > 4^{44}$.

Теперь сравним $4^{256}$ и $44^4$. Чтобы упростить сравнение, можно извлечь корень четвёртой степени из обоих чисел. Если $a > b$, то и $a^{1/4} > b^{1/4}$ для положительных $a$ и $b$. Сравним $(4^{256})^{1/4}$ и $(44^4)^{1/4}$.

$(4^{256})^{1/4} = 4^{(256/4)} = 4^{64}$.

$(44^4)^{1/4} = 44$.

Нам остаётся сравнить $4^{64}$ и $44$. Очевидно, что $4^{64}$ (число 4, умноженное само на себя 64 раза) — это неизмеримо большее число, чем $44$. Следовательно, $4^{256} > 44^4$.

Таким образом, самое большое число, которое можно записать с помощью трёх четвёрок, — это $4^{4^4}$.

Ответ: $4^{4^4}$

C 113 Запиши возможно большее число с помощью трех двоек. Реши ту же задачу, используя три четверки.