Страница 20, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

71 На рисунке показаны размеры фигуры и её копии, увеличенной с помощью копировальной машины.

$AB = 1.5 \text{ см}$
$BC = \text{?}$
$CD = \text{?}$
$DE = 2 \text{ см}$
$AE = 2.5 \text{ см}$

$A_1B_1 = \text{?}$
$B_1C_1 = 4.8 \text{ см}$
$C_1D_1 = 3.2 \text{ см}$
$D_1E_1 = \text{?}$
$A_1E_1 = 4 \text{ см}$

1) В каком отношении увеличено изображение? Вырази это отношение в процентах.

2) Найди неизвестные длины сторон.

1) Поскольку увеличенная копия фигуры подобна исходной, для нахождения отношения увеличения необходимо вычислить коэффициент подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению длины любой стороны увеличенной фигуры к длине соответствующей стороны исходной фигуры. Воспользуемся известными длинами сторон $A_1E_1$ и $AE$:

$k = \frac{A_1E_1}{AE} = \frac{4 \text{ см}}{2,5 \text{ см}} = 1,6$

Таким образом, линейные размеры изображения были увеличены в 1,6 раза. Это отношение можно также записать в виде дроби $k = \frac{8}{5}$ или как $8:5$.

Чтобы выразить это отношение в процентах, нужно умножить полученный коэффициент на 100%:

$1,6 \cdot 100\% = 160\%$

Это означает, что размер нового изображения составляет 160% от размера исходного.

Ответ: Изображение увеличено в отношении 8:5 (то есть в 1,6 раза), что составляет 160% от исходного размера.

2) Зная коэффициент подобия $k = 1,6$, можно найти все неизвестные длины сторон. Длина стороны увеличенной фигуры равна произведению длины соответствующей стороны исходной фигуры и коэффициента подобия. Длина стороны исходной фигуры равна частному от деления длины соответствующей стороны увеличенной фигуры на коэффициент подобия.

Выполним расчеты для каждой неизвестной стороны:

• Длина стороны $A_1B_1$ находится умножением длины $AB$ на коэффициент $k$:
$A_1B_1 = AB \cdot k = 1,5 \text{ см} \cdot 1,6 = 2,4 \text{ см}$.

• Длина стороны $D_1E_1$ находится умножением длины $DE$ на коэффициент $k$:
$D_1E_1 = DE \cdot k = 2 \text{ см} \cdot 1,6 = 3,2 \text{ см}$.

• Длина стороны $BC$ находится делением длины $B_1C_1$ на коэффициент $k$:
$BC = \frac{B_1C_1}{k} = \frac{4,8 \text{ см}}{1,6} = 3 \text{ см}$.

• Длина стороны $CD$ находится делением длины $C_1D_1$ на коэффициент $k$:
$CD = \frac{C_1D_1}{k} = \frac{3,2 \text{ см}}{1,6} = 2 \text{ см}$.

Ответ: Неизвестные длины сторон: $BC = 3$ см, $CD = 2$ см, $A_1B_1 = 2,4$ см, $D_1E_1 = 3,2$ см.

71 На рисунке показаны размеры фигуры и ее копии, увеличенной с помощью копировальной машины:

Исходная фигура (левая):

Сторона AB: $1.5 \text{ см}$
Сторона BC: ?
Сторона CD: ?
Сторона DE: $2 \text{ см}$
Сторона AE: $2.5 \text{ см}$

Увеличенная копия (правая):

Сторона $A_1B_1$: ?
Сторона $B_1C_1$: $4.8 \text{ см}$
Сторона $C_1D_1$: $3.2 \text{ см}$
Сторона $D_1E_1$: ?
Сторона $A_1E_1$: $4 \text{ см}$

1) В каком отношении увеличено изображение? Вырази это отношение в процентах.

2) Найди неизвестные длины сторон.

72. В сплаве золота и серебра масса золота так относится к массе серебра, как $2 : 5$.

1) Чему равна масса золота в сплаве, содержащем 80 г серебра?

2) Чему равна масса серебра в сплаве, содержащем 18 г золота?

По условию задачи, масса золота и серебра в сплаве находятся в отношении 2:5. Обозначим массу золота как $m_{з}$ и массу серебра как $m_{с}$. Тогда их отношение можно записать в виде пропорции:

$$ \frac{m_{з}}{m_{с}} = \frac{2}{5} $$

1) Чему равна масса золота в сплаве, содержащем 80 г серебра?

В этом случае нам известна масса серебра: $m_{с} = 80$ г. Нам нужно найти массу золота $m_{з}$. Подставим известное значение в пропорцию:

$$ \frac{m_{з}}{80} = \frac{2}{5} $$

Чтобы найти $m_{з}$, решим это уравнение:

$$ m_{з} = 80 \times \frac{2}{5} = \frac{160}{5} = 32 \text{ г} $$

Ответ: масса золота равна 32 г.

2) Чему равна масса серебра в сплаве, содержащем 18 г золота?

Здесь нам известна масса золота: $m_{з} = 18$ г. Нам нужно найти массу серебра $m_{с}$. Подставим известное значение в исходную пропорцию:

$$ \frac{18}{m_{с}} = \frac{2}{5} $$

Чтобы найти $m_{с}$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$$ 2 \times m_{с} = 18 \times 5 $$

$$ 2 \times m_{с} = 90 $$

$$ m_{с} = \frac{90}{2} = 45 \text{ г} $$

Ответ: масса серебра равна 45 г.

72. В сплаве золота и серебра масса золота так относится к массе серебра, как $2:5$.

1) Чему равна масса золота в сплаве, содержащем 80 г серебра?

2) Чему равна масса серебра в сплаве, содержащем 18 г золота?

73 В любой окружности отношение длины окружности к её диаметру постоянно и равно примерно $22 : 7$.

1) Чему примерно равна длина окружности, если её диаметр равен 10 см?

2) Чему примерно равен диаметр окружности, если её длина равна 60 см?

Ответы округли с точностью до десятых.

В условии задачи сказано, что отношение длины окружности $C$ к её диаметру $d$ является постоянной величиной, которая примерно равна $22:7$. Это можно записать в виде пропорции:

$\frac{C}{d} \approx \frac{22}{7}$

Из этой пропорции мы можем выразить длину окружности и диаметр:

$C \approx d \cdot \frac{22}{7}$

$d \approx C \cdot \frac{7}{22}$

1) Найдём примерную длину окружности, если её диаметр равен 10 см.

Воспользуемся формулой для нахождения длины окружности $C$:

$C \approx 10 \cdot \frac{22}{7} = \frac{220}{7}$

Теперь разделим 220 на 7 и округлим результат до десятых:

$220 : 7 \approx 31,428...$

Округляя до десятых, получаем 31,4 см.

Ответ: примерно 31,4 см.

2) Найдём примерный диаметр окружности, если её длина равна 60 см.

Воспользуемся формулой для нахождения диаметра $d$:

$d \approx 60 \cdot \frac{7}{22} = \frac{420}{22} = \frac{210}{11}$

Теперь разделим 210 на 11 и округлим результат до десятых:

$210 : 11 \approx 19,090...$

Округляя до десятых, получаем 19,1 см.

Ответ: примерно 19,1 см.

73 В любой окружности отношение длины окружности к ее диаметру $ (\frac{L}{D}) $ постоянно и равно примерно $ \frac{22}{7} $.

1) Чему примерно равна длина окружности, если ее диаметр равен 10 см?

2) Чему примерно равен диаметр окружности, если ее длина равна 60 см?

Ответы округли с точностью до десятых.

74 Математическое исследование

1) Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды $AB$ и $CD$ этой окружности, пересекающиеся в точке $O$. Измерь длины отрезков хорд, на которые они разбиваются точкой $O$. Сравни произведения $AO \cdot OB$ и $CO \cdot OD$.

2) Повтори эксперимент ещё 2 раза. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведённого исследования считать твою гипотезу доказанной?

3) Какие пропорции можно составить из полученного равенства?

1) Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды AB и CD этой окружности, пересекающиеся в точке О. Измерь длины отрезков хорд, на которые они разбиваются точкой О. Сравни произведения AO • OB и CO • OD.

Для выполнения этого задания проведем мысленный эксперимент. Начертим окружность и две пересекающиеся в точке О хорды AB и CD, как показано на рисунке. С помощью линейки измерим длины отрезков, на которые точка О делит хорды.

Допустим, в результате измерений мы получили следующие значения:

• $AO = 3$ см
• $OB = 8$ см
• $CO = 4$ см
• $OD = 6$ см

Теперь найдем произведения длин этих отрезков для каждой хорды:

$AO \cdot OB = 3 \cdot 8 = 24$

$CO \cdot OD = 4 \cdot 6 = 24$

Сравнивая полученные произведения, мы видим, что они равны: $AO \cdot OB = CO \cdot OD$.

Ответ: Произведения отрезков пересекающихся хорд равны: $AO \cdot OB = CO \cdot OD$.

2) Повтори эксперимент ещё 2 раза. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведённого исследования считать твою гипотезу доказанной?

Повторив эксперимент еще несколько раз с другими окружностями и хордами, мы каждый раз будем получать, что произведения отрезков, на которые хорды делятся точкой пересечения, равны (с учетом возможной погрешности измерений).

На основании этих наблюдений можно сформулировать следующую гипотезу: если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Однако, на основании нескольких экспериментов нельзя считать гипотезу доказанной. Эксперимент, даже многократно повторенный, является лишь частным случаем и не может охватить все возможные варианты расположения хорд. Математическое утверждение требует строгого логического доказательства, которое было бы верно для любой окружности и любых двух пересекающихся в ней хорд. Такое доказательство существует и основывается на подобии треугольников. Если соединить точки A, C и B, D, то можно доказать, что треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle DOB$ подобны, из чего и следует равенство $AO \cdot OB = CO \cdot OD$.

Ответ: Замечено, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Гипотеза: $AO \cdot OB = CO \cdot OD$. Считать гипотезу доказанной на основании исследования нельзя, так как эксперимент не является строгим математическим доказательством.

3) Какие пропорции можно составить из полученного равенства?

Из полученного в ходе исследования равенства $AO \cdot OB = CO \cdot OD$ можно составить несколько пропорций. Пропорция — это равенство двух отношений.

Для этого разделим обе части равенства на определенные множители:

1. Разделим обе части равенства на $OB \cdot OD$ (при условии, что $OB \neq 0$ и $OD \neq 0$, что выполняется, так как это длины отрезков):

$\frac{AO \cdot OB}{OB \cdot OD} = \frac{CO \cdot OD}{OB \cdot OD}$

$\frac{AO}{OD} = \frac{CO}{OB}$

Эту пропорцию можно записать как $AO : OD = CO : OB$.

2. Разделим обе части равенства на $CO \cdot OB$ (при условии, что $CO \neq 0$ и $OB \neq 0$):

$\frac{AO \cdot OB}{CO \cdot OB} = \frac{CO \cdot OD}{CO \cdot OB}$

$\frac{AO}{CO} = \frac{OD}{OB}$

Эту пропорцию можно записать как $AO : CO = OD : OB$.

Эти пропорции показывают, что отрезки одной хорды обратно пропорциональны соответствующим отрезкам другой хорды.

Ответ: Из равенства $AO \cdot OB = CO \cdot OD$ можно составить следующие пропорции: $\frac{AO}{OD} = \frac{CO}{OB}$ и $\frac{AO}{CO} = \frac{OD}{OB}$.

74 Математическое исследование.

1) Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды $AB$ и $CD$ этой окружности, пересекающиеся в точке $O$. Измерь длины отрезков хорд, на которые они разбиваются точкой $O$. Сравни произведения $AO \cdot OB$ и $CO \cdot OD$.

2) Повтори эксперимент еще 2 раза. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведенного исследования считать твою гипотезу доказанной?

3) Какие пропорции можно составить из полученного равенства?

Л 75 Какое выражение может быть «лишним»? Как можно записать оставшиеся выражения с помощью одного буквенного равенства (в общем виде)?

1) $2x + 4$; $7x + 11$; $1,2x + 5$; $x^2 + 8$; $x + 1$; $0,4x + 25$; $x + 3,2$; $16x + 9$.

2) $5y + 2y$; $1,6y + y$; $0,2y + 4y$; $\frac{1}{3}y + 14y$; $3y + 4,6$; $y + \frac{2}{9}y$; $y + 0,7y$.

1) Для того чтобы найти «лишнее» выражение, проанализируем структуру каждого из них: $2x + 4$; $7x + 11$; $1,2x + 5$; $x^2 + 8$; $x + 1$; $0,4x + 25$; $x + 3,2$; $16x + 9$. Можно заметить, что все выражения, кроме $x^2 + 8$, являются линейными многочленами, то есть многочленами первой степени. Они соответствуют общему виду $ax + b$, где $a$ и $b$ — некоторые числа. Выражение $x^2 + 8$ является многочленом второй степени (квадратичным), так как переменная $x$ в нём возведена во вторую степень. Это и делает его «лишним» в данном списке. Оставшиеся выражения можно записать с помощью одного буквенного равенства в общем виде: $ax + b$.
Ответ: «Лишнее» выражение — $x^2 + 8$. Оставшиеся выражения можно записать в общем виде как $ax + b$.

2) Рассмотрим выражения: $5y + 2y$; $1,6y + y$; $0,2y + 4y$; $\frac{1}{3}y + 14y$; $3y + 4,6$; $y + \frac{2}{9}y$; $y + 0,7y$. В большинстве из них можно привести подобные слагаемые, то есть слагаемые с одинаковой буквенной частью. Упростим их: $5y + 2y = (5+2)y = 7y$; $1,6y + y = (1,6+1)y = 2,6y$; $0,2y + 4y = (0,2+4)y = 4,2y$; $\frac{1}{3}y + 14y = (\frac{1}{3} + 14)y = 14\frac{1}{3}y$; $y + \frac{2}{9}y = (1+\frac{2}{9})y = 1\frac{2}{9}y$; $y + 0,7y = (1+0,7)y = 1,7y$. Все эти выражения можно представить в виде одного слагаемого $ky$. Выражение $3y + 4,6$ состоит из двух неподобных слагаемых: слагаемого с переменной $y$ и свободного члена $4,6$. Его нельзя упростить до вида $ky$. Поэтому оно является «лишним». Общий вид для всех остальных исходных выражений, которые представляют собой сумму подобных слагаемых, можно записать как $ay + by$.
Ответ: «Лишнее» выражение — $3y + 4,6$. Оставшиеся выражения можно записать в общем виде как $ay + by$.

Какое выражение может быть “лишним”? Как можно записать оставшиеся выражения с помощью одного буквенного равенства (в общем виде)?

1) $2x + 4$; $7x + 11$; $1,2x + 5$; $x^2 + 8$; $x + 1$; $0,4x + 25$; $x + 3,2$; $16x + 9$;

2) $5y + 2y$; $1,6y + y$; $0,2y + 4y$; $\frac{1}{3}y + 14y$; $3y + 4,6$; $y + \frac{2}{9}y$; $y + 0,7y$.