Страница 32, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

112 Реши уравнения:

1) $(0,8x + 3,2) : 0,4 - 7,2 = 1,8;$

2) $2\frac{1}{2} + 4\frac{1}{2} : \left(3\frac{2}{5} - 1\frac{1}{2} : y\right) = 4\frac{1}{6}.$

1) Решим уравнение $(0,8x + 3,2) : 0,4 - 7,2 = 1,8$ поэтапно.
Сначала перенесем вычитаемое $-7,2$ в правую часть уравнения, поменяв знак на противоположный. Это позволит нам изолировать выражение с делением.
$(0,8x + 3,2) : 0,4 = 1,8 + 7,2$
$(0,8x + 3,2) : 0,4 = 9$
Теперь выражение в скобках $(0,8x + 3,2)$ является делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное (9) умножить на делитель (0,4).
$0,8x + 3,2 = 9 \cdot 0,4$
$0,8x + 3,2 = 3,6$
Далее, перенесем слагаемое $3,2$ в правую часть, чтобы изолировать член с переменной $x$.
$0,8x = 3,6 - 3,2$
$0,8x = 0,4$
Наконец, чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (0,4) разделить на известный множитель (0,8).
$x = 0,4 : 0,8$
$x = 0,5$
Ответ: 0,5

2) Решим уравнение $2\frac{1}{2} + 4\frac{1}{2} : (3\frac{2}{5} - 1\frac{1}{2} : y) = 4\frac{1}{6}$.
Для удобства вычислений преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$; $4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$; $3\frac{2}{5} = \frac{17}{5}$; $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$; $4\frac{1}{6} = \frac{25}{6}$.
Подставим полученные дроби в уравнение:
$\frac{5}{2} + \frac{9}{2} : (\frac{17}{5} - \frac{3}{2} : y) = \frac{25}{6}$
Выражение $\frac{9}{2} : (\frac{17}{5} - \frac{3}{2} : y)$ является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, вычтем из суммы ($\frac{25}{6}$) известное слагаемое ($\frac{5}{2}$):
$\frac{9}{2} : (\frac{17}{5} - \frac{3}{2} : y) = \frac{25}{6} - \frac{5}{2}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6:
$\frac{9}{2} : (\frac{17}{5} - \frac{3}{2} : y) = \frac{25}{6} - \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{25 - 15}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
Теперь выражение в скобках $(\frac{17}{5} - \frac{3}{2} : y)$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, нужно делимое ($\frac{9}{2}$) разделить на частное ($\frac{5}{3}$):
$\frac{17}{5} - \frac{3}{2} : y = \frac{9}{2} : \frac{5}{3} = \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{27}{10}$
Выражение $\frac{3}{2} : y$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого ($\frac{17}{5}$) вычесть разность ($\frac{27}{10}$):
$\frac{3}{2} : y = \frac{17}{5} - \frac{27}{10}$
Приведем дроби к общему знаменателю 10:
$\frac{3}{2} : y = \frac{17 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{27}{10} = \frac{34 - 27}{10} = \frac{7}{10}$
Наконец, $y$ является неизвестным делителем. Найдем его, разделив делимое ($\frac{3}{2}$) на частное ($\frac{7}{10}$):
$y = \frac{3}{2} : \frac{7}{10} = \frac{3}{2} \cdot \frac{10}{7} = \frac{3 \cdot 10}{2 \cdot 7} = \frac{30}{14} = \frac{15}{7}$
Преобразуем результат в смешанное число:
$y = 2\frac{1}{7}$
Ответ: $2\frac{1}{7}$

112 Реши уравнения:

1) $(0.8x + 3.2) : 0.4 - 7.2 = 1.8;$

2) $2\frac{1}{2} + 4\frac{1}{2} : (3\frac{2}{5} - 1\frac{1}{2} : y) = 4\frac{1}{6}.$

113 Найди значения выражений при $a = 0,9$, $b = 0,6$, $c = 0,1$ и сравни их. Используя полученный результат, составь предложение с переменными $a$, $b$ и $c$, истинное при данных значениях переменных. При каких еще значениях переменных $a$, $b$ и $c$ оно будет истинным? Как это доказать?

1) $(a+b):c;$

2) $a+b:c;$

3) $a:c+b;$

4) $a:c+b:c.$

Сначала найдем значения каждого выражения при заданных $a = 0,9$, $b = 0,6$, $c = 0,1$.

1) (a + b) : c;

Подставляем значения: $(0,9 + 0,6) : 0,1 = 1,5 : 0,1 = 15$.

Ответ: 15.

2) a + b : c;

Согласно порядку действий, сначала выполняем деление, а затем сложение: $0,9 + (0,6 : 0,1) = 0,9 + 6 = 6,9$.

Ответ: 6,9.

3) a : c + b;

Сначала выполняем деление, а затем сложение: $(0,9 : 0,1) + 0,6 = 9 + 0,6 = 9,6$.

Ответ: 9,6.

4) a : c + b : c.

Выполняем деления, а затем сложение: $(0,9 : 0,1) + (0,6 : 0,1) = 9 + 6 = 15$.

Ответ: 15.

Теперь сравним полученные результаты: $15$, $6,9$, $9,6$, $15$. Значения первого и четвертого выражений оказались равны.

Используя этот результат, можно составить следующее предложение с переменными $a, b$ и $c$, истинное при данных значениях:

$(a + b) : c = a : c + b : c$

Это равенство является распределительным свойством деления относительно сложения. Оно будет истинным при любых значениях переменных $a$ и $b$, и любом значении $c$, которое не равно нулю (поскольку деление на ноль не определено).

Доказательство:

Преобразуем левую часть равенства, представив деление в виде дроби:

$(a + b) : c = \frac{a+b}{c}$

Используя свойство дробей, разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$

Теперь преобразуем правую часть исходного равенства:

$a : c + b : c = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$

Поскольку левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же виду $(\frac{a}{c} + \frac{b}{c})$, то равенство $(a + b) : c = a : c + b : c$ является тождеством и верно для любых $a, b$ и $c$ при условии $c \neq 0$.

113 Найди значения выражений при $a = 0,9$, $b = 0,6$, $c = 0,1$ и сравни их. Используя полученный результат, составь предложение с переменными $a$, $b$ и $c$, истинное при данных значениях переменных. При каких еще значениях переменных $a$, $b$ и $c$ оно будет истинным? Как это доказать?

1) $(a + b) : c;$

2) $a + b : c;$

3) $a : c + b;$

4) $a : c + b : c.$

114 Вычисли, найди закономерность в последовательности ответов и запиши следующие 2 числа:

1) $0,07 \cdot 30 + 2,8 : 0,56 - 6,08$

$0,4 \cdot (10 - 6,3 : 0,9 \cdot 0,7)$

$9,1 - (32 : 0,8 + 606 \cdot 0,1) \cdot 0,05$

$(2,4 - 2,4) : (48602,7 : 54,003) + 811 : 100$

$[(48,69 \cdot 39,57 - 1925,6633) \cdot 53,0048] : 3,28.$

2) $5 : 1\frac{1}{5} - (1 : 6 + 1\frac{5}{9} \cdot 2)$

$(10\frac{1}{5} - 0 : 4\frac{6}{7} \cdot 3\frac{1}{2}) : (2\frac{2}{5} + 3\frac{3}{5})$

$3\frac{1}{2} : [1\frac{3}{8} : 1\frac{3}{8} \cdot 1\frac{3}{8} + \frac{5}{8} \cdot (5\frac{2}{9} - 5\frac{2}{9})]$

$(7 - 3\frac{1}{9}) : \frac{5}{6} - [2\frac{3}{16} : 1 - (\frac{11}{12} + 2\frac{5}{6}) \cdot \frac{1}{4}]$

1)

Сначала вычислим значения для каждого выражения, чтобы получить последовательность ответов.

$0,07 \cdot 30 + 2,8 : 0,56 - 6,08 = 2,1 + 5 - 6,08 = 7,1 - 6,08 = 1,02$

$0,4 \cdot (10 - 6,3 : 0,9 \cdot 0,7) = 0,4 \cdot (10 - 7 \cdot 0,7) = 0,4 \cdot (10 - 4,9) = 0,4 \cdot 5,1 = 2,04$

$9,1 - (32 : 0,8 + 606 \cdot 0,1) \cdot 0,05 = 9,1 - (40 + 60,6) \cdot 0,05 = 9,1 - 100,6 \cdot 0,05 = 9,1 - 5,03 = 4,07$

$(2,4 - 2,4) : (48602,7 : 54,003) + 811 : 100 = 0 + 8,11 = 8,11$

$[(48,69 \cdot 39,57 - 1925,6633) \cdot 53,0048] : 3,28 = [(1926,6633 - 1925,6633) \cdot 53,0048] : 3,28 = [1 \cdot 53,0048] : 3,28 = 53,0048 : 3,28 = 16,16$

Получилась следующая последовательность ответов: $1,02; 2,04; 4,07; 8,11; 16,16$.

В этой последовательности можно заметить закономерность, близкую к геометрической прогрессии с коэффициентом 2. Первые два члена ($1,02$ и $2,04$) точно соответствуют этому правилу. Последующие члены незначительно отклоняются, что, вероятно, связано с опечатками в условиях примеров. Если предположить, что имелась в виду именно геометрическая прогрессия, то последовательность должна была быть: $1,02; 2,04; 4,08; 8,16; 16,32$.

Продолжая эту закономерность (умножение на 2), найдем следующие два числа:

Шестой член: $16,32 \cdot 2 = 32,64$.

Седьмой член: $32,64 \cdot 2 = 65,28$.

Ответ: следующие два числа — 32,64 и 65,28.

2)

Сначала вычислим значения для каждого выражения, чтобы получить последовательность ответов.

$5 : 1\frac{1}{5} - (1 : 6 + 1\frac{5}{9} \cdot 2) = 5 : \frac{6}{5} - (\frac{1}{6} + \frac{14}{9} \cdot 2) = \frac{25}{6} - (\frac{1}{6} + \frac{28}{9}) = \frac{25}{6} - (\frac{3}{18} + \frac{56}{18}) = \frac{75}{18} - \frac{59}{18} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$

$(10\frac{1}{5} - 0 : 4\frac{6}{7} \cdot 3\frac{1}{2}) : (2\frac{2}{5} + 3\frac{3}{5}) = (10\frac{1}{5} - 0) : (5 + \frac{5}{5}) = 10\frac{1}{5} : 6 = \frac{51}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{17}{10} = 1\frac{7}{10}$

$3\frac{1}{2} : [1\frac{3}{8} : 1\frac{3}{8} \cdot 1\frac{3}{8} + \frac{5}{8} \cdot (5\frac{2}{9} - 5\frac{2}{9})] = \frac{7}{2} : [1 \cdot 1\frac{3}{8} + \frac{5}{8} \cdot 0] = \frac{7}{2} : 1\frac{3}{8} = \frac{7}{2} : \frac{11}{8} = \frac{7}{2} \cdot \frac{8}{11} = \frac{28}{11} = 2\frac{6}{11}$

$(7 - 3\frac{1}{9}) : \frac{5}{6} - [2\frac{3}{16} : 1 - (\frac{11}{12} + 2\frac{5}{6}) \cdot \frac{1}{4}] = 3\frac{8}{9} : \frac{5}{6} - [\frac{35}{16} - (\frac{11}{12} + \frac{17}{6}) \cdot \frac{1}{4}] = \frac{35}{9} \cdot \frac{6}{5} - [\frac{35}{16} - \frac{45}{12} \cdot \frac{1}{4}] = \frac{14}{3} - [\frac{35}{16} - \frac{15}{16}] = \frac{14}{3} - \frac{20}{16} = \frac{14}{3} - \frac{5}{4} = \frac{56-15}{12} = \frac{41}{12} = 3\frac{5}{12}$

Получилась следующая последовательность ответов: $\frac{8}{9}; 1\frac{7}{10}; 2\frac{6}{11}; 3\frac{5}{12}$.

Запишем члены последовательности в виде неправильных дробей, чтобы найти закономерность: $\frac{8}{9}; \frac{17}{10}; \frac{28}{11}; \frac{41}{12}$.

Знаменатели дробей образуют арифметическую прогрессию: $9, 10, 11, 12, \dots$ . Каждый следующий знаменатель на 1 больше предыдущего.

Числители дробей образуют последовательность: $8, 17, 28, 41, \dots$ . Разность между соседними членами увеличивается на 2: $17-8=9$, $28-17=11$, $41-28=13$. Следующие разности будут $15, 17$ и так далее.

Найдем следующие два члена последовательности, используя найденную закономерность:

Пятый член: следующий числитель $41 + 15 = 56$, следующий знаменатель $12 + 1 = 13$. Дробь: $\frac{56}{13} = 4\frac{4}{13}$.

Шестой член: следующий числитель $56 + 17 = 73$, следующий знаменатель $13 + 1 = 14$. Дробь: $\frac{73}{14} = 5\frac{3}{14}$.

Ответ: следующие два числа — $4\frac{4}{13}$ и $5\frac{3}{14}$.

Вычисли, найди закономерность в последовательности ответов и запиши следующие 2 числа:

1) $0,07 \cdot 30 + 2,8 : 0,56 - 6,08;$

$0,4 \cdot (10 - 6,3 : 0,9 \cdot 0,7);$

$9,1 - (32 : 0,8 + 606 \cdot 0,1) \cdot 0,05;$

$(2,4 - 2,4) : (48602,7 : 54,003) + 811 : 100;$

$(48,69 \cdot 39,57 - 1925,6633) \cdot 53,0048] : 3,28.$

2) $5 : 1 \frac{1}{5} - (1 : 6 + 1 \frac{5}{9} \cdot 2);$

$(10 \frac{1}{5} - 0 : 4 \frac{6}{7} \cdot 3 \frac{1}{2}) : (2 \frac{2}{5} + 3 \frac{3}{5});$

$3 \frac{1}{2} : [1 \frac{3}{8} : 1 \frac{3}{8} \cdot 1 \frac{3}{8} + \frac{5}{8} \cdot (5 \frac{2}{9} - 5 \frac{2}{9})];$

$(7 - 3 \frac{1}{9}) : \frac{5}{6} - [2 \frac{3}{16} : 1 - (\frac{11}{12} + 2 \frac{5}{6}) \cdot \frac{1}{4}].$

115 Придумай 3 задачи, решением которых является выражение $(a - a : 4) : 2$.

1. У Пети было $a$ конфет. Он съел четверть своих конфет. Оставшиеся конфеты он разделил поровну между двумя друзьями. Сколько конфет досталось каждому другу?

2. В бочке было $a$ литров воды. Из нее отлили четверть всей воды. Оставшуюся воду разлили поровну в две одинаковые канистры. Сколько литров воды в одной канистре?

3. Длина отрезка составляет $a$ см. От него отрезали часть, длина которой равна четверти всей длины отрезка. Оставшуюся часть отрезка разделили на две равные части. Какова длина каждой из этих двух частей?

Задача 1

У Маши было $a$ рублей. Четверть всех денег она потратила на покупку книги. Оставшиеся деньги она разделила поровну между собой и своим братом. Сколько денег досталось брату?

Решение:

1) Сначала найдем, сколько денег Маша потратила на книгу. Это четверть от $a$, то есть $a : 4$ рублей.

2) Затем найдем, сколько денег у нее осталось. Для этого вычтем потраченную сумму из начальной: $a - a : 4$ рублей.

3) Оставшиеся деньги она разделила поровну на двоих (себе и брату). Значит, нужно разделить оставшуюся сумму на 2: $(a - a : 4) : 2$ рублей.

Ответ: $(a - a : 4) : 2$

Задача 2

Длина ленты была $a$ сантиметров. От ленты отрезали её четвертую часть. Оставшуюся часть разрезали на 2 равные части, чтобы сделать два банта. Какова длина ленты для одного банта?

Решение:

1) Найдем длину отрезанной части ленты. Это одна четвертая от общей длины: $a : 4$ см.

2) Вычислим длину оставшейся части ленты: $a - a : 4$ см.

3) Оставшуюся часть разделили на 2 равные части. Длина каждой части будет: $(a - a : 4) : 2$ см.

Ответ: $(a - a : 4) : 2$

Задача 3

В корзине было $a$ яблок. Четвертую часть всех яблок взяли для приготовления компота. Оставшиеся яблоки разложили поровну в 2 вазы. Сколько яблок в каждой вазе?

Решение:

1) Узнаем, сколько яблок взяли для компота. Это четверть от общего количества: $a : 4$ яблок.

2) Найдем, сколько яблок осталось в корзине: $a - a : 4$ яблок.

3) Оставшиеся яблоки разложили поровну в 2 вазы. Количество яблок в каждой вазе будет: $(a - a : 4) : 2$ яблок.

Ответ: $(a - a : 4) : 2$

115 Придумай 3 задачи, решением которых является выражение $(a - a \div 4) \div 2$.

116 Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом проб и ошибок.

В одной коробке на 5 шаров больше, чем в другой, а произведение числа шаров в обеих коробках равно 24. Сколько шаров в каждой коробке?

Перевод условия задачи на математический язык

Пусть в одной коробке $x$ шаров, а в другой $y$ шаров. Поскольку количество шаров не может быть отрицательным или дробным, $x$ и $y$ являются натуральными числами.
Исходя из условия, что в одной коробке на 5 шаров больше, чем в другой, мы можем составить первое уравнение:
$x - y = 5$
Из условия, что произведение числа шаров в обеих коробках равно 24, мы можем составить второе уравнение:
$x \cdot y = 24$
Таким образом, условие задачи на математическом языке представляет собой систему двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} x - y = 5 \\ x \cdot y = 24 \end{cases}$

Ответ: Условие задачи на математическом языке можно представить в виде системы уравнений $\begin{cases} x - y = 5 \\ x \cdot y = 24 \end{cases}$, где $x$ и $y$ — количество шаров в коробках.

Решение методом проб и ошибок

Нам нужно найти два натуральных числа, произведение которых равно 24, а разность равна 5. Для этого найдём все пары натуральных множителей числа 24 и проверим их разность.
Пары множителей числа 24:
1) 1 и 24. Проверяем разность: $24 - 1 = 23$. Эта пара не подходит.
2) 2 и 12. Проверяем разность: $12 - 2 = 10$. Эта пара не подходит.
3) 3 и 8. Проверяем разность: $8 - 3 = 5$. Эта пара удовлетворяет условию задачи.
4) 4 и 6. Проверяем разность: $6 - 4 = 2$. Эта пара не подходит.
Таким образом, единственная подходящая пара чисел — это 3 и 8.

Ответ: В одной коробке 3 шара, а в другой 8 шаров.

116 Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом проб и ошибок.

В одной коробке на 5 шаров больше, чем в другой, а произведение числа шаров в обеих коробках равно 24. Сколько шаров в каждой коробке?

117 Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом перебора.

Произведение двух однозначных натуральных чисел на 7 больше их суммы. $xy = x+y+7$

Найти эти числа.

Пусть искомые однозначные натуральные числа — это $a$ и $b$. Поскольку числа натуральные и однозначные, они могут принимать целые значения от 1 до 9.

Перевод условия задачи на математический язык

Согласно условию, произведение чисел ($a \cdot b$) на 7 больше их суммы ($a + b$). Составим уравнение на основе этого условия: $a \cdot b = a + b + 7$.

Нахождение решения методом перебора

Для нахождения чисел $a$ и $b$ будем использовать метод перебора. Чтобы не рассматривать одни и те же пары дважды (например, 2 и 9, а потом 9 и 2), примем, что $a \le b$. Будем последовательно подставлять значения для $a$ от 1 до 9 и находить соответствующее значение $b$.

Если $a = 1$, то уравнение принимает вид $1 \cdot b = 1 + b + 7$, или $b = b + 8$. Это равенство неверно ($0=8$), поэтому решений нет.

Если $a = 2$, то $2 \cdot b = 2 + b + 7$, откуда $2b = b + 9$, и $b = 9$. Пара (2, 9) удовлетворяет всем условиям: оба числа однозначные натуральные, и $a \le b$. Проверка: произведение $2 \cdot 9 = 18$, сумма $2+9=11$. Разница $18 - 11 = 7$. Эта пара является решением.

Если $a = 3$, то $3 \cdot b = 3 + b + 7$, откуда $3b = b + 10$, $2b=10$, и $b = 5$. Пара (3, 5) удовлетворяет всем условиям. Проверка: произведение $3 \cdot 5 = 15$, сумма $3+5=8$. Разница $15 - 8 = 7$. Эта пара также является решением.

Если $a = 4$, то $4 \cdot b = 4 + b + 7$, откуда $4b = b + 11$, и $3b = 11$. Значение $b = \frac{11}{3}$ не является натуральным числом, поэтому эта пара не является решением.

Если $a = 5$, то мы получим $b=3$. Это та же пара чисел (3, 5), но она не удовлетворяет нашему предположению $a \le b$. Это означает, что дальнейший перебор не даст новых пар, так как для $a > b$ все пары уже были бы найдены.

Таким образом, существуют две пары чисел, удовлетворяющие условию задачи.
Ответ: 2 и 9; 3 и 5.

117 Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом перебора.

Произведение двух однозначных натуральных чисел на 7 больше их суммы. Найти эти числа.

C 118*

Найди два одинаковых рисунка. Сколько отличий от них ты сможешь найти у каждого из оставшихся рисунков?

А

Б

В

Г

Д

Е

Найди два одинаковых рисунка.

Для того чтобы найти одинаковые рисунки, необходимо внимательно сравнить закрашенные части линз у каждого из шести биноклей, обозначенных буквами от А до Е.

Проанализируем каждый рисунок:

• Рисунок А: у обеих линз закрашена левая половина.
• Рисунок Б: у левой линзы закрашена левая половина, а у правой — правая.
• Рисунок В: у обеих линз закрашена правая половина.
• Рисунок Г: у обеих линз закрашена левая половина.
• Рисунок Д: у обеих линз закрашена правая половина.
• Рисунок Е: у левой линзы закрашена правая половина, а у правой — левая.

При сравнении всех рисунков становится видно, что есть две пары полностью идентичных:

1. Рисунок А полностью совпадает с рисунком Г.
2. Рисунок В полностью совпадает с рисунком Д.

Ответ: Одинаковые рисунки — это А и Г (также одинаковыми являются В и Д).

Сколько отличий от них ты сможешь найти у каждого из оставшихся рисунков?

Возьмем в качестве эталона пару А и Г (у которой у обеих линз закрашена левая половина). Теперь посчитаем количество отличий для каждого из оставшихся рисунков (Б, В, Д, Е). Отличием будем считать каждую линзу, закрашенная половина которой не совпадает с эталоном.

• Рисунок Б: Левая линза совпадает с эталоном (закрашена левая половина). Правая линза отличается (закрашена правая половина). Итого: 1 отличие.
• Рисунок В: Левая линза отличается (закрашена правая половина). Правая линза отличается (закрашена правая половина). Итого: 2 отличия.
• Рисунок Д: Левая линза отличается (закрашена правая половина). Правая линза отличается (закрашена правая половина). Итого: 2 отличия.
• Рисунок Е: Левая линза отличается (закрашена правая половина). Правая линза совпадает с эталоном (закрашена левая половина). Итого: 1 отличие.

Примечание: если бы мы выбрали в качестве эталона пару В и Д, результаты были бы симметричными: у рисунков А и Г было бы по 2 отличия, а у рисунков Б и Е — по 1 отличию.

Ответ: У рисунков Б и Е по одному отличию; у рисунков В и Д по два отличия.

C 118 Найди два одинаковых рисунка. Сколько отличий от них ты сможешь найти у каждого из оставшихся рисунков?

А Б В Г Д Е

119 При делении натурального числа на 8 получился остаток 5. Число увеличили в 2 раза. Каким станет остаток при делении удвоенного числа на 8?

Пусть исходное натуральное число — это $a$.

По условию задачи, при делении числа $a$ на 8 в остатке получается 5. Это можно записать с помощью формулы деления с остатком:

$a = 8 \cdot k + 5$, где $k$ — это неполное частное (целое неотрицательное число).

Затем исходное число увеличили в 2 раза, то есть умножили на 2. Получим новое число $2a$.

Чтобы найти, каким будет остаток от деления нового числа на 8, подставим в выражение $2a$ формулу для $a$:

$2a = 2 \cdot (8 \cdot k + 5)$

Раскроем скобки:

$2a = 2 \cdot 8 \cdot k + 2 \cdot 5$

$2a = 16 \cdot k + 10$

Теперь нам нужно найти остаток от деления выражения $16 \cdot k + 10$ на 8.

Рассмотрим каждое слагаемое. Слагаемое $16 \cdot k$ можно представить как $8 \cdot (2k)$, оно очевидно делится на 8 без остатка.

Значит, остаток от деления всей суммы на 8 будет равен остатку от деления второго слагаемого, 10, на 8.

Разделим 10 на 8 с остатком:

$10 \div 8 = 1$ (ост. $2$)

Это можно записать как $10 = 8 \cdot 1 + 2$.

Таким образом, остаток от деления удвоенного числа на 8 будет равен 2.

Объединим всё в одно выражение:

$2a = 16k + 10 = 8 \cdot (2k) + 8 \cdot 1 + 2 = 8 \cdot (2k + 1) + 2$

Из этой записи видно, что при делении $2a$ на 8 получается неполное частное $(2k+1)$ и остаток 2.

Ответ: 2

119 При делении натурального числа на 8 получился остаток 5. Число увеличили в 2 раза. Каким станет остаток при делении удвоенного числа на 8?

132 а) Из двух пунктов, расстояние между которыми 2 км, одновременно навстречу друг другу отправились пешеход и всадник. Чему равна скорость каждого из них, если всадник ехал на 12 км/ч быстрее пешехода и они встретились через 5 мин?

б) Пассажирский и товарный поезд вышли одновременно в одном направлении с двух станций, расстояние между которыми 256 км. Скорость пассажирского поезда была на 50 % больше скорости товарного, и через 8 ч после выхода пассажирский поезд догнал товарный. С какими скоростями они шли?

а)

Пусть скорость пешехода равна $v_п$ км/ч, а скорость всадника — $v_в$ км/ч. По условию, скорость всадника на 12 км/ч быстрее скорости пешехода. Это можно записать в виде уравнения:
$v_в = v_п + 12$

Пешеход и всадник движутся навстречу друг другу. Их общая скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_п + v_в$

Расстояние между ними $S = 2$ км. Они встретились через время $t = 5$ минут. Переведем время в часы, чтобы единицы измерения были согласованы:
$t = 5 \text{ мин} = \frac{5}{60} \text{ ч} = \frac{1}{12} \text{ ч}$

Расстояние, которое они прошли вместе до встречи, равно начальному расстоянию между ними. Используем формулу $S = v_{сбл} \cdot t$:
$2 = (v_п + v_в) \cdot \frac{1}{12}$

Из этого уравнения найдем сумму их скоростей:
$v_п + v_в = 2 \div \frac{1}{12} = 2 \cdot 12 = 24$ км/ч

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $v_в = v_п + 12$
2) $v_п + v_в = 24$

Подставим выражение для $v_в$ из первого уравнения во второе:
$v_п + (v_п + 12) = 24$
$2v_п + 12 = 24$
$2v_п = 24 - 12$
$2v_п = 12$
$v_п = 6$ км/ч

Теперь найдем скорость всадника, подставив найденную скорость пешехода в первое уравнение:
$v_в = 6 + 12 = 18$ км/ч

Проверка: Скорость сближения равна $6 + 18 = 24$ км/ч. За $1/12$ часа они пройдут расстояние $24 \cdot \frac{1}{12} = 2$ км. Условия задачи выполнены.

Ответ: скорость пешехода — 6 км/ч, скорость всадника — 18 км/ч.

б)

Пусть скорость товарного поезда равна $v_т$ км/ч, а скорость пассажирского — $v_п$ км/ч. По условию, скорость пассажирского поезда на 50% больше скорости товарного. Это означает:
$v_п = v_т + 0.5 \cdot v_т = 1.5 \cdot v_т$

Поезда движутся в одном направлении, причем пассажирский поезд догоняет товарный. Скорость их сближения равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_п - v_т$

Начальное расстояние между поездами $S = 256$ км. Пассажирский поезд догнал товарный за время $t = 8$ часов. Чтобы догнать, пассажирский поезд должен сократить начальное расстояние до нуля. Используем формулу $S = v_{сбл} \cdot t$:
$256 = (v_п - v_т) \cdot 8$

Из этого уравнения найдем разность скоростей (скорость сближения):
$v_п - v_т = 256 \div 8 = 32$ км/ч

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $v_п = 1.5 \cdot v_т$
2) $v_п - v_т = 32$

Подставим выражение для $v_п$ из первого уравнения во второе:
$1.5 \cdot v_т - v_т = 32$
$0.5 \cdot v_т = 32$
$v_т = 32 \div 0.5 = 64$ км/ч

Теперь найдем скорость пассажирского поезда, подставив найденную скорость товарного в первое уравнение:
$v_п = 1.5 \cdot 64 = 96$ км/ч

Проверка: Скорость пассажирского поезда (96 км/ч) на $96 - 64 = 32$ км/ч больше скорости товарного (64 км/ч). $32$ км/ч — это 50% от $64$ км/ч. За 8 часов пассажирский поезд пройдет на $32 \cdot 8 = 256$ км больше, что равно начальному расстоянию. Условия задачи выполнены.

Ответ: скорость товарного поезда — 64 км/ч, скорость пассажирского поезда — 96 км/ч.

132 а) Из двух пунктов, расстояние между которыми 2 км, одновременно навстречу друг другу отправились пешеход и всадник. Чему равна скорость каждого из них, если всадник ехал на 12 км/ч быстрее пешехода и они встретились через 5 мин?

б) Пассажирский и товарный поезд вышли одновременно в одном направлении с двух станций, расстояние между которыми 256 км. Скорость пассажирского поезда была на 50% больше скорости товарного, и через 8 ч после выхода пассажирский поезд догнал товарный. С какими скоростями они шли?

133 а) Грузовик и легковой автомобиль ехали по шоссе навстречу друг другу. Через 20 мин после встречи расстояние между ними стало равно 54 км. Скорость грузовика относится к скорости автомобиля как $4 : 5$. За сколько времени каждый из них пройдёт расстояние, равное 324 км?

б) От автобусной станции отъехал междугородный автобус, а через 15 мин вслед за ним в том же направлении – рейсовый. Скорость междугородного автобуса на $20\%$ больше скорости рейсового. С какими скоростями они ехали, если через 30 мин после выхода рейсового автобуса расстояние между ними было равно 20 км?

а) Пусть скорость грузовика равна $v_г$, а скорость легкового автомобиля – $v_а$. После встречи они движутся в противоположных направлениях, поэтому скорость их удаления друг от друга (скорость расхождения) равна сумме их скоростей: $v_{уд} = v_г + v_а$. За время $t = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3}$ часа расстояние между ними стало $S = 54$ км. Найдем суммарную скорость, используя формулу $S = v_{уд} \cdot t$:
$v_г + v_а = \frac{S}{t} = \frac{54}{1/3} = 54 \cdot 3 = 162$ км/ч.
По условию, отношение скоростей грузовика и автомобиля составляет $4:5$. Обозначим одну часть скорости как $x$. Тогда скорость грузовика $v_г = 4x$, а скорость автомобиля $v_а = 5x$.
Подставим эти значения в уравнение для суммы скоростей:
$4x + 5x = 162$
$9x = 162$
$x = \frac{162}{9} = 18$ км/ч.
Теперь найдем скорости каждого транспортного средства:
Скорость грузовика: $v_г = 4 \cdot 18 = 72$ км/ч.
Скорость автомобиля: $v_а = 5 \cdot 18 = 90$ км/ч.
Наконец, определим, за какое время каждый из них пройдет расстояние, равное $324$ км, по формуле $t = \frac{S}{v}$:
Время для грузовика: $t_г = \frac{324}{72} = 4,5$ часа.
Время для автомобиля: $t_а = \frac{324}{90} = 3,6$ часа.
Ответ: грузовик пройдет 324 км за 4,5 часа, а легковой автомобиль – за 3,6 часа.

б) Пусть скорость рейсового автобуса равна $v_р$, а скорость междугородного – $v_м$. По условию, скорость междугородного автобуса на 20% больше скорости рейсового. Это означает:
$v_м = v_р + 0,2 \cdot v_р = 1,2 v_р$.
Междугородный автобус выехал на 15 минут раньше рейсового. Расстояние между ними измеряется через 30 минут после выезда рейсового автобуса.
Таким образом, время в пути для рейсового автобуса составляет $t_р = 30 \text{ мин} = 0,5$ ч.
А время в пути для междугородного автобуса составляет $t_м = 15 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 45 \text{ мин} = 0,75$ ч.
За это время автобусы проехали следующие расстояния:
$S_р = v_р \cdot t_р = v_р \cdot 0,5$
$S_м = v_м \cdot t_м = v_м \cdot 0,75$
Так как они движутся в одном направлении и междугородный автобус выехал раньше, расстояние между ними равно разности пройденных ими путей: $S_м - S_р = 20$ км.
Подставим выражения для расстояний в это уравнение:
$v_м \cdot 0,75 - v_р \cdot 0,5 = 20$.
Теперь заменим $v_м$ через $v_р$, используя соотношение $v_м = 1,2 v_р$:
$(1,2 v_р) \cdot 0,75 - v_р \cdot 0,5 = 20$
$0,9 v_р - 0,5 v_р = 20$
$0,4 v_р = 20$
$v_р = \frac{20}{0,4} = 50$ км/ч.
Теперь найдем скорость междугородного автобуса:
$v_м = 1,2 \cdot v_р = 1,2 \cdot 50 = 60$ км/ч.
Ответ: скорость междугородного автобуса 60 км/ч, а скорость рейсового автобуса 50 км/ч.

133 а) Грузовик и легковой автомобиль ехали по шоссе навстречу друг другу. Через 20 минут после встречи расстояние между ними стало равно 54 км. Скорость грузовика относится к скорости автомобиля как $4 : 5$. За сколько времени каждый из них пройдет расстояние, равное 324 км?

б) От автобусной станции отъехал междугородный автобус, а через 15 мин вслед за ним в том же направлении – рейсовый. Скорость междугородного автобуса на $20\%$ больше скорости рейсового. С какими скоростями они ехали, если через 30 мин после выхода рейсового автобуса расстояние между ними было равно 20 км?

П 134 Счёт-тест (записываются только ответы)

Тест 1 (2 мин)

$-0,4 + 1,2;$ $-4,6 - 1,3;$ $-0,9 - 0,6;$ $-1,4 - 3,6;$ $2 - 0,05;$
$0,7 - 3;$ $-2,5 + 4,9;$ $3,5 - 1,7;$ $1,6 - 5,2;$ $-0,8 + 1,58.$

Тест 2 (2 мин)

$-0,5 \cdot 0,9;$ $-7,8 : (-100);$ $2,6 : (-0,01);$ $-3 : (-5);$ $(-\text{0,3})^2;$
$3,2 : (-0,4);$ $-2,5 \cdot 0,1;$ $-1,9 : (-10);$ $0,7 \cdot (-80);$ $(-\text{0,2})^3.$

Тест 3 (3 мин)

$\frac{1}{2} \cdot (-0,3);$ $-\frac{1}{9} \cdot 5,4;$ $-0,4 \cdot (-2,5);$ $\frac{5}{7} \cdot (-0,2);$ $(-\text{0,8}) : \frac{8}{9};$
$-0,9 : (-\frac{1}{3});$ $1 : (-0,6);$ $-0,125 \cdot 0,64;$ $-2\frac{1}{3} \cdot (-3);$ $0,5 : (-15).$

$ -0,4 + 1,2 = 1,2 - 0,4 = 0,8 $
Ответ: 0,8

$ -4,6 - 1,3 = -(4,6 + 1,3) = -5,9 $
Ответ: -5,9

$ -0,9 - 0,6 = -(0,9 + 0,6) = -1,5 $
Ответ: -1,5

$ -1,4 - 3,6 = -(1,4 + 3,6) = -5 $
Ответ: -5

$ 2 - 0,05 = 1,95 $
Ответ: 1,95

$ 0,7 - 3 = -(3 - 0,7) = -2,3 $
Ответ: -2,3

$ -2,5 + 4,9 = 4,9 - 2,5 = 2,4 $
Ответ: 2,4

$ 3,5 - 1,7 = 1,8 $
Ответ: 1,8

$ 1,6 - 5,2 = -(5,2 - 1,6) = -3,6 $
Ответ: -3,6

$ -0,8 + 1,58 = 1,58 - 0,8 = 0,78 $
Ответ: 0,78

$ -0,5 \cdot 0,9 = -0,45 $
Ответ: -0,45

$ -7,8 : (-100) = 0,078 $
Ответ: 0,078

$ 2,6 : (-0,01) = 2,6 : (-\frac{1}{100}) = -2,6 \cdot 100 = -260 $
Ответ: -260

$ -3 : (-5) = \frac{3}{5} = 0,6 $
Ответ: 0,6

$ (-0,3)^2 = (-0,3) \cdot (-0,3) = 0,09 $
Ответ: 0,09

$ 3,2 : (-0,4) = -(32 : 4) = -8 $
Ответ: -8

$ -2,5 \cdot 0,1 = -0,25 $
Ответ: -0,25

$ -1,9 : (-10) = 0,19 $
Ответ: 0,19

$ 0,7 \cdot (-80) = -(7 \cdot 8) = -56 $
Ответ: -56

$ (-0,2)^3 = (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) = 0,04 \cdot (-0,2) = -0,008 $
Ответ: -0,008

$ \frac{1}{2} \cdot (-0,3) = 0,5 \cdot (-0,3) = -0,15 $
Ответ: -0,15

$ -\frac{1}{9} \cdot 5,4 = -\frac{1}{9} \cdot \frac{54}{10} = -\frac{54}{90} = -\frac{6}{10} = -0,6 $
Ответ: -0,6

$ -0,4 \cdot (-2,5) = 0,4 \cdot 2,5 = 1 $
Ответ: 1

$ \frac{5}{7} \cdot (-0,2) = \frac{5}{7} \cdot (-\frac{2}{10}) = \frac{5}{7} \cdot (-\frac{1}{5}) = -\frac{1}{7} $
Ответ: $-\frac{1}{7}$

$ (-0,8) : \frac{8}{9} = -\frac{8}{10} : \frac{8}{9} = -\frac{8}{10} \cdot \frac{9}{8} = -\frac{9}{10} = -0,9 $
Ответ: -0,9

$ -0,9 : (-\frac{1}{3}) = \frac{9}{10} \cdot 3 = \frac{27}{10} = 2,7 $
Ответ: 2,7

$ 1 : (-0,6) = 1 : (-\frac{6}{10}) = 1 \cdot (-\frac{10}{6}) = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} $
Ответ: $-1\frac{2}{3}$

$ -0,125 \cdot 0,64 = -\frac{1}{8} \cdot \frac{64}{100} = -\frac{8}{100} = -0,08 $
Ответ: -0,08

$ -2\frac{1}{3} \cdot (-3) = -\frac{7}{3} \cdot (-3) = 7 $
Ответ: 7

$ 0,5 : (-15) = \frac{1}{2} : (-15) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{15}) = -\frac{1}{30} $
Ответ: $-\frac{1}{30}$

Π 134 Счет-тест (записываются только ответы).

Тест 1 (2 мин).

$-0,4 + 1,2$; $-4,6 - 1,3$; $-0,9 - 0,6$; $-1,4 - 3,6$; $2 - 0,05$;

$0,7 - 3$; $-2,5 + 4,9$; $3,5 - 1,7$; $1,6 - 5,2$; $-0,8 + 1,58$.

Тест 2 (2 мин).

$-0,5 \cdot 0,9$; $-7,8 : (-100)$; $2,6 : (-0,01)$; $-3 : (-5)$; $(-0,3)^2$;

$3,2 : (-0,4)$; $-2,5 \cdot 0,1$; $-1,9 : (-10)$; $0,7 \cdot (-80)$; $(-0,2)^3$.

Тест 3 (3 мин).

$\frac{1}{2} \cdot (-0,3)$; $-\frac{1}{9} \cdot 5,4$; $-0,4 \cdot (-2,5)$; $\frac{5}{7} \cdot (-0,2)$; $(-0,8) : \frac{8}{9}$;

$-0,9 : (-\frac{1}{3})$; $1 : (-0,6)$; $-0,125 \cdot 0,64$; $-2\frac{1}{3} \cdot (-3)$; $0,5 : (-15)$.

135. Как найти часть от числа, выраженную дробью? Как найти число по его части, выраженной дробью? Найди:

а) $ \frac{2}{3} $ от числа 4,5;

б) 18 % от числа 60;

в) $ \frac{5}{6} $ от числа a;

г) 140 % от числа b;

д) число, $ \frac{4}{9} $ которого равны 2,4;

е) число, 3 % которого равны 5,25;

ж) число, $ \frac{1}{3} $ которого равна c;

з) число, 250 % которого равны d.

Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь. Например, чтобы найти $\frac{m}{n}$ от числа $A$, нужно вычислить $A \cdot \frac{m}{n}$.

Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, нужно эту часть разделить на дробь, которой она выражена. Например, если известно, что $\frac{m}{n}$ от числа $X$ равны $B$, то число $X$ находят так: $X = B : \frac{m}{n}$.

а) Чтобы найти $\frac{2}{3}$ от числа 4,5, нужно умножить число на дробь. Сначала представим 4,5 в виде обыкновенной дроби: $4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$.
Вычисляем: $4,5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 3} = 3$.
Ответ: 3.

б) Чтобы найти 18 % от числа 60, сначала представим проценты в виде десятичной дроби: $18 \% = \frac{18}{100} = 0,18$. Затем умножим число на эту дробь: $60 \cdot 0,18 = 10,8$.
Ответ: 10,8.

в) Чтобы найти $\frac{5}{6}$ от числа $a$, нужно умножить число на дробь: $a \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6}a$.
Ответ: $\frac{5}{6}a$.

г) Чтобы найти 140 % от числа $b$, представим проценты в виде десятичной дроби: $140 \% = \frac{140}{100} = 1,4$. Затем умножим число на эту дробь: $b \cdot 1,4 = 1,4b$.
Ответ: $1,4b$.

д) Чтобы найти число, $\frac{4}{9}$ которого равны 2,4, нужно разделить известную часть (2,4) на дробь ($\frac{4}{9}$). Представим 2,4 в виде обыкновенной дроби: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.
Вычисляем: $2,4 : \frac{4}{9} = \frac{12}{5} : \frac{4}{9} = \frac{12}{5} \cdot \frac{9}{4} = \frac{12 \cdot 9}{5 \cdot 4} = \frac{3 \cdot 9}{5} = \frac{27}{5} = 5,4$.
Ответ: 5,4.

е) Чтобы найти число, 3 % которого равны 5,25, представим проценты в виде десятичной дроби ($3 \% = 0,03$) и разделим известную часть (5,25) на эту дробь: $5,25 : 0,03 = 525 : 3 = 175$.
Ответ: 175.

ж) Чтобы найти число, $\frac{1}{3}$ которого равна $c$, нужно разделить известную часть ($c$) на дробь ($\frac{1}{3}$): $c : \frac{1}{3} = c \cdot 3 = 3c$.
Ответ: $3c$.

з) Чтобы найти число, 250 % которого равны $d$, представим проценты в виде десятичной дроби ($250 \% = 2,5$) и разделим известную часть ($d$) на эту дробь: $d : 2,5 = d : \frac{5}{2} = d \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}d$.
Ответ: $\frac{2}{5}d$.

135 Как найти часть от числа, выраженную дробью? Как найти число по его части, выраженной дробью? Найди:

а) $\frac{2}{3}$ от числа 4,5;

б) 18% от числа 60;

в) $\frac{5}{6}$ от числа $a$;

г) 140% от числа $b$;

д) число, $\frac{4}{9}$ которого равны 2,4;

е) число, 3% которого равны 5,25;

ж) число, $\frac{1}{3}$ которого равна $c$;

з) число, 250% которого равны $d$.