Страница 30, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

107 БЛИЦтурнир

Переведи условия задач на математический язык. Что общего и что различного в полученных выражениях? Запиши их в обобщённом виде, используя переменные $x$ и $y$.

1) Одна хозяйка купила на рынке 2 кг моркови по цене $a$ р. за килограмм и 3 кг картошки по цене $b$ р. за килограмм. Вторая хозяйка заплатила за 4 кг огурцов столько же денег, сколько первая за всю покупку. Чему равна цена одного килограмма огурцов?

2) Первый рабочий в течение первых 2 ч делал по $c$ деталей в час, а в следующие 3 ч – по $d$ деталей в час. Второй рабочий выполнил эту же работу за 4 ч, делая в каждый час одинаковое количество деталей. Чему равна производительность второго рабочего?

3) Велосипедист ехал первые 2 ч со скоростью $r$ км/ч, а следующие 3 ч – со скоростью $v$ км/ч. Мотоциклист, двигаясь равномерно, проехал это же расстояние за 4 ч. Чему равна скорость мотоциклиста?

4) На каждом этаже 2-этажного дома $m$ квартир, а 3-этажного дома – $n$ квартир. Рядом стоит 4-этажный дом, в котором столько же квартир, сколько в 2-этажном и 3-этажном домах вместе. Сколько квартир на одном этаже 4-этажного дома, если количество квартир на всех его этажах одинаковое?

5) Бассейн наполнялся через две трубы. Первая труба работала 2 ч с производительностью $k$ м$^3$/ч, а вторая – 3 ч с производительностью $p$ м$^3$/ч. Всю налитую воду спустили через третью трубу за 4 ч. Чему равна производительность третьей трубы, если она работала равномерно?

6) В первых двух вагонах поезда по $q$ человек, в следующих трёх – по $t$ человек, а в последних четырёх – столько пассажиров, сколько в первых пяти вагонах вместе. По сколько пассажиров в каждом из последних четырёх вагонов, если пассажиров в них поровну?

1)

Стоимость 2 кг моркови по цене $a$ рублей за килограмм составляет $2a$ рублей. Стоимость 3 кг картошки по цене $b$ рублей за килограмм составляет $3b$ рублей. Общая стоимость покупки первой хозяйки: $2a + 3b$ рублей. Вторая хозяйка заплатила за 4 кг огурцов столько же. Пусть цена одного килограмма огурцов равна $x$. Тогда стоимость её покупки составляет $4x$ рублей. Приравниваем стоимости: $4x = 2a + 3b$. Отсюда цена одного килограмма огурцов равна: $x = \frac{2a + 3b}{4}$.

Ответ: $\frac{2a + 3b}{4}$ рублей.

2)

За первые 2 часа первый рабочий сделал $2c$ деталей. За следующие 3 часа он сделал $3d$ деталей. Всего первый рабочий сделал $2c + 3d$ деталей. Второй рабочий выполнил эту же работу за 4 часа. Пусть его производительность равна $x$ деталей в час. Тогда за 4 часа он сделал $4x$ деталей. Приравниваем количество сделанных деталей: $4x = 2c + 3d$. Отсюда производительность второго рабочего равна: $x = \frac{2c + 3d}{4}$.

Ответ: $\frac{2c + 3d}{4}$ деталей в час.

3)

За первые 2 часа велосипедист проехал расстояние $2r$ км. За следующие 3 часа он проехал $3v$ км. Общее расстояние, которое проехал велосипедист: $2r + 3v$ км. Мотоциклист проехал это же расстояние за 4 часа. Пусть его скорость равна $x$ км/ч. Тогда за 4 часа он проехал $4x$ км. Приравниваем расстояния: $4x = 2r + 3v$. Отсюда скорость мотоциклиста равна: $x = \frac{2r + 3v}{4}$.

Ответ: $\frac{2r + 3v}{4}$ км/ч.

4)

В 2-этажном доме всего $2m$ квартир. В 3-этажном доме всего $3n$ квартир. Вместе в двух домах $2m + 3n$ квартир. В 4-этажном доме столько же квартир. Пусть на каждом этаже 4-этажного дома по $x$ квартир. Тогда всего в нём $4x$ квартир. Приравниваем общее количество квартир: $4x = 2m + 3n$. Отсюда количество квартир на одном этаже 4-этажного дома равно: $x = \frac{2m + 3n}{4}$.

Ответ: $\frac{2m + 3n}{4}$ квартир.

5)

Первая труба за 2 часа налила $2k$ м³ воды. Вторая труба за 3 часа налила $3p$ м³ воды. Общий объём налитой воды: $2k + 3p$ м³. Эту воду спустили через третью трубу за 4 часа. Пусть производительность третьей трубы равна $x$ м³/ч. Тогда за 4 часа она спустила $4x$ м³ воды. Приравниваем объёмы воды: $4x = 2k + 3p$. Отсюда производительность третьей трубы равна: $x = \frac{2k + 3p}{4}$.

Ответ: $\frac{2k + 3p}{4}$ м³/ч.

6)

В первых двух вагонах поезда ехало $2q$ человек. В следующих трёх вагонах ехало $3t$ человек. Всего в первых пяти вагонах было $2q + 3t$ пассажиров. В последних четырёх вагонах было столько же пассажиров. Пусть в каждом из этих вагонов было по $x$ человек. Тогда всего в них было $4x$ человек. Приравниваем количество пассажиров: $4x = 2q + 3t$. Отсюда количество пассажиров в каждом из последних четырёх вагонов равно: $x = \frac{2q + 3t}{4}$.

Ответ: $\frac{2q + 3t}{4}$ человек.

Общее во всех полученных выражениях — их математическая структура. Каждое выражение имеет вид $\frac{2 \cdot \text{переменная}_1 + 3 \cdot \text{переменная}_2}{4}$. Это означает, что все задачи решаются по одной и той же схеме: находится общая величина, составленная из двух частей, а затем эта величина делится на 4 для нахождения искомого среднего значения (цены, производительности, скорости и т.д.).

Различное заключается в сюжете задач и физическом смысле переменных. В каждой задаче речь идёт о разных ситуациях (покупки, работа, движение) и разных величинах (рубли, детали, километры, квартиры, кубометры, люди).

Обобщенный вид этого выражения, если использовать переменные $x$ и $y$, будет таким: $\frac{2x + 3y}{4}$.

107 БЛИЦтурнир.

Переведи условия задач на математический язык. Что общего и что различного в полученных выражениях? Запиши их в обобщенном виде, используя переменные x и y.

1) Одна хозяйка купила на рынке 2 кг моркови по цене a р. за килограмм и 3 кг картошки по цене b р. за килограмм. Вторая хозяйка заплатила за 4 кг огурцов столько же денег, сколько первая за всю покупку. Чему равна цена одного килограмма огурцов?

Цена одного килограмма огурцов: $ \frac{2a + 3b}{4} $

2) Первый рабочий в течение первых 2 ч делал по c деталей в час, а в следующие 3 ч – по d деталей в час. Второй рабочий выполнил эту же работу за 4 ч, делая в каждый час одинаковое количество деталей. Чему равна производительность второго рабочего?

Производительность второго рабочего: $ \frac{2c + 3d}{4} $

3) Велосипедист ехал первые 2 ч со скоростью r км/ч, а следующие 3 ч – со скоростью v км/ч. Мотоциклист, двигаясь равномерно, проехал это же расстояние за 4 ч. Чему равна скорость мотоциклиста?

Скорость мотоциклиста: $ \frac{2r + 3v}{4} $

4) На каждом этаже 2-этажного дома m квартир, а 3-этажного дома – n квартир. Рядом стоит 4-этажный дом, в котором столько же квартир, сколько в 2-этажном и 3-этажном домах вместе. Сколько квартир на одном этаже 4-этажного дома, если количество квартир на всех его этажах одинаковое?

Количество квартир на одном этаже 4-этажного дома: $ \frac{2m + 3n}{4} $

5) Бассейн наполнялся через две трубы. Первая труба работала 2 ч с производительностью k м³/ч, а вторая – 3 ч с производительностью p м³/ч. Всю налитую воду спустили через третью трубу за 4 ч. Чему равна производительность третьей трубы, если она работала равномерно?

Производительность третьей трубы: $ \frac{2k + 3p}{4} $

6) В первых двух вагонах поезда по q человек, в следующих трех – по t человек, а в последних четырех – столько пассажиров, сколько в первых пяти вагонах вместе. По скольку пассажиров в каждом из последних четырех вагонов, если пассажиров в них поровну?

Пассажиров в каждом из последних четырех вагонов: $ \frac{2q + 3t}{4} $

108 Переведи условие задачи на математический язык и найди ответ.

1) К числу прибавили $2\frac{1}{3}$ и получили $5\frac{2}{5}$. Какое это число?

2) Число разделили на $1\frac{7}{9}$ и получили $2\frac{1}{4}$. Какое это число?

3) Число вычли из $3\frac{3}{8}$ и получили $1\frac{1}{2}$. Какое число вычли?

4) $2\frac{13}{18}$ умножили на число и получили $3\frac{8}{9}$. На какое число умножили?

5) Из некоторого числа вычли $\frac{3}{8}$ и получили $4\frac{5}{6}$. Найди это число.

6) $5\frac{4}{7}$ разделили на неизвестное число и получили $\frac{3}{14}$. На какое число делили?

1) К числу прибавили $2\frac{1}{3}$ и получили $5\frac{2}{5}$. Какое это число?

Пусть искомое число — это $x$. Условие задачи можно записать в виде уравнения: $x + 2\frac{1}{3} = 5\frac{2}{5}$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$x = 5\frac{2}{5} - 2\frac{1}{3}$
Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$x = \frac{27}{5} - \frac{7}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю $15$:
$x = \frac{27 \cdot 3}{15} - \frac{7 \cdot 5}{15} = \frac{81}{15} - \frac{35}{15} = \frac{46}{15}$
Выделим целую часть:
$x = 3\frac{1}{15}$
Ответ: $3\frac{1}{15}$.

2) Число разделили на $1\frac{7}{9}$ и получили $2\frac{1}{4}$. Какое это число?

Пусть искомое число — это $x$. Условие задачи можно записать в виде уравнения: $x \div 1\frac{7}{9} = 2\frac{1}{4}$.
Чтобы найти делимое $x$, нужно частное умножить на делитель:
$x = 2\frac{1}{4} \cdot 1\frac{7}{9}$
Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$x = \frac{9}{4} \cdot \frac{16}{9}$
Сократим дроби и выполним умножение:
$x = \frac{16}{4} = 4$
Ответ: $4$.

3) Число вычли из $3\frac{3}{8}$ и получили $1\frac{1}{2}$. Какое число вычли?

Пусть число, которое вычли, — это $x$. Условие задачи можно записать в виде уравнения: $3\frac{3}{8} - x = 1\frac{1}{2}$.
Чтобы найти вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$x = 3\frac{3}{8} - 1\frac{1}{2}$
Переведем смешанные числа в неправильные дроби и приведем к общему знаменателю $8$:
$x = \frac{27}{8} - \frac{3}{2} = \frac{27}{8} - \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{27}{8} - \frac{12}{8} = \frac{15}{8}$
Выделим целую часть:
$x = 1\frac{7}{8}$
Ответ: $1\frac{7}{8}$.

4) $2\frac{13}{18}$ умножили на число и получили $3\frac{8}{9}$. На какое число умножили?

Пусть число, на которое умножили, — это $x$. Условие задачи можно записать в виде уравнения: $2\frac{13}{18} \cdot x = 3\frac{8}{9}$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$x = 3\frac{8}{9} \div 2\frac{13}{18}$
Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$x = \frac{35}{9} \div \frac{49}{18}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$x = \frac{35}{9} \cdot \frac{18}{49} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 9}{9 \cdot 7 \cdot 7} = \frac{10}{7}$
Выделим целую часть:
$x = 1\frac{3}{7}$
Ответ: $1\frac{3}{7}$.

5) Из некоторого числа вычли $\frac{3}{8}$ и получили $4\frac{5}{6}$. Найди это число.

Пусть искомое число — это $x$. Условие задачи можно записать в виде уравнения: $x - \frac{3}{8} = 4\frac{5}{6}$.
Чтобы найти уменьшаемое $x$, нужно к разности прибавить вычитаемое:
$x = 4\frac{5}{6} + \frac{3}{8}$
Переведем смешанное число в неправильную дробь и приведем дроби к общему знаменателю $24$:
$x = \frac{29}{6} + \frac{3}{8} = \frac{29 \cdot 4}{24} + \frac{3 \cdot 3}{24} = \frac{116}{24} + \frac{9}{24} = \frac{125}{24}$
Выделим целую часть:
$x = 5\frac{5}{24}$
Ответ: $5\frac{5}{24}$.

6) $5\frac{4}{7}$ разделили на неизвестное число и получили $\frac{3}{14}$. На какое число делили?

Пусть неизвестное число — это $x$. Условие задачи можно записать в виде уравнения: $5\frac{4}{7} \div x = \frac{3}{14}$.
Чтобы найти делитель $x$, нужно делимое разделить на частное:
$x = 5\frac{4}{7} \div \frac{3}{14}$
Переведем смешанное число в неправильную дробь:
$x = \frac{39}{7} \div \frac{3}{14}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$x = \frac{39}{7} \cdot \frac{14}{3} = \frac{13 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7}{7 \cdot 3} = 26$
Ответ: $26$.

108 Переведи условие задачи на математический язык и найди ответ:

1) К числу прибавили $2\frac{1}{3}$ и получили $5\frac{2}{5}$. Какое это число?

2) Число разделили на $1\frac{7}{9}$ и получили $2\frac{1}{4}$. Какое это число?

3) Число вычли из $3\frac{3}{8}$ и получили $1\frac{1}{2}$. Какое число вычли?

4) $2\frac{13}{18}$ умножили на число и получили $3\frac{8}{9}$. На какое число умножили?

5) Из некоторого числа вычли $\frac{3}{8}$ и получили $4\frac{5}{6}$. Найди это число.

6) $5\frac{4}{7}$ разделили на неизвестное число и получили $\frac{3}{14}$. На какое число делили?

117 Математическое исследование

1) В треугольнике ABC проведён отрезок MN, параллельный стороне AC.

Измерь длины отрезков AM, MB, BN и NC и составь пропорцию из полученных чисел. Повтори исследование для произвольного треугольника ABC и отрезка MN, параллельного его стороне AC. Сформулируй гипотезу.

2) Используй преобразования пропорций, чтобы, исходя из гипотезы, получить новые свойства данной фигуры.

Можно ли на основании проведённых построений и измерений считать гипотезу и её следствия верными для общего случая? Почему?

1) Проведём исследование, как предложено в задании. Сначала начертим произвольный треугольник $ABC$. Затем проведём в нём отрезок $MN$, параллельный стороне $AC$, так, чтобы точка $M$ лежала на стороне $AB$, а точка $N$ — на стороне $BC$.
Далее, с помощью линейки измерим длины отрезков, на которые точки $M$ и $N$ делят стороны $AB$ и $BC$ соответственно: $AM, MB, BN$ и $NC$.
Например, в результате измерений мы могли бы получить следующие значения: $MB = 2$ см, $AM = 3$ см, $BN = 2.4$ см, $NC = 3.6$ см.
Теперь составим отношения длин отрезков для каждой стороны и сравним их:
$\frac{MB}{AM} = \frac{2}{3}$
$\frac{BN}{NC} = \frac{2.4}{3.6} = \frac{24}{36} = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{2}{3}$
Мы видим, что отношения равны. Повторив этот эксперимент для нескольких разных треугольников и различного положения отрезка $MN$, мы будем наблюдать ту же самую закономерность. Это позволяет нам сформулировать гипотезу.
Гипотеза: Если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает две другие его стороны, то она делит эти стороны на пропорциональные отрезки. Математически для нашего случая это можно записать в виде пропорции: $\frac{BM}{MA} = \frac{BN}{NC}$.
Ответ: Гипотеза: прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, делит эти стороны на пропорциональные отрезки. Для треугольника $ABC$ и прямой $MN$, параллельной $AC$ ($M \in AB, N \in BC$), это выражается пропорцией $\frac{BM}{MA} = \frac{BN}{NC}$.

2) Используя сформулированную гипотезу $\frac{BM}{MA} = \frac{BN}{NC}$ и свойства пропорций, выведем новые свойства данной фигуры.
Воспользуемся производной пропорцией: если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$. Применим это свойство к пропорции $\frac{MA}{BM} = \frac{NC}{BN}$ (полученной из исходной путём обращения):
$\frac{MA+BM}{BM} = \frac{NC+BN}{BN}$
Поскольку $MA+BM = AB$ и $NC+BN = BC$, мы получаем новое соотношение: $\frac{AB}{BM} = \frac{BC}{BN}$.
Это свойство можно также записать в виде $\frac{BM}{AB} = \frac{BN}{BC}$.
Аналогично, применив свойство к исходной пропорции $\frac{BM}{MA} = \frac{BN}{NC}$, получим: $\frac{BM+MA}{MA} = \frac{BN+NC}{NC}$, что даёт нам ещё одно свойство: $\frac{AB}{MA} = \frac{BC}{NC}$.
Все эти пропорции являются следствиями из подобия треугольников $MBN$ и $ABC$. Так как $MN || AC$, то $\angle BMN = \angle BAC$ и $\angle BNM = \angle BCA$ (как соответственные), следовательно, $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ по двум углам. Из подобия следует: $\frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}$.

Теперь ответим на вопрос, можно ли на основании проведённых построений и измерений считать гипотезу и её следствия верными для общего случая.
Нет, нельзя. Математическое исследование, основанное на измерениях, является эмпирическим. Оно позволяет выдвинуть гипотезу, но не доказать её. Во-первых, любые реальные измерения производятся с некоторой погрешностью, поэтому мы можем получить лишь приблизительное равенство, но не доказать его абсолютную точность. Во-вторых, эксперимент можно провести лишь для конечного числа частных случаев, в то время как гипотеза претендует на истинность для бесконечного множества всех возможных треугольников. Для того чтобы утверждение считалось математически доказанным, оно должно быть выведено логически из аксиом и ранее доказанных теорем (в данном случае, через подобие треугольников).
Ответ: Новые свойства, полученные из гипотезы: $\frac{AB}{BM} = \frac{BC}{BN}$ и $\frac{AB}{MA} = \frac{BC}{NC}$. Считать гипотезу и её следствия верными для общего случая на основании только измерений нельзя, так как измерения неточны и охватывают лишь частные случаи, в то время как математическое доказательство требует строгой логической аргументации для всех возможных случаев.

117 Математическое исследование.

1) В треугольнике $ABC$ проведен отрезок $MN$, параллельный стороне $AC$:

Измерь длины отрезков $AM$, $MB$, $BN$ и $NC$ и составь пропорцию из полученных чисел. Повтори исследование для произвольного треугольника $ABC$ и отрезка $MN$, параллельного его стороне $AC$. Сформулируй гипотезу.

2) Используй преобразования пропорций, чтобы, исходя из гипотезы, получить новые свойства данной фигуры.

Можно ли на основании проведенных построений и измерений считать гипотезу и ее следствия верными для общего случая? Почему?

118 Две трети учащихся класса поехали на экскурсию, а оставшиеся $25\%$ учащихся и 3 человека пошли в кино. Сколько всего учащихся в классе?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — общее количество учащихся в классе.

1. Найдем количество учащихся, поехавших на экскурсию.

Согласно условию, на экскурсию поехали две трети учащихся класса. В виде дроби это $\frac{2}{3}$. Значит, на экскурсию поехало $\frac{2}{3}x$ учащихся.

2. Найдем, какая часть учащихся осталась.

Если на экскурсию поехало $\frac{2}{3}$ всех учащихся, то в классе осталась $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ всех учащихся. То есть, количество оставшихся учеников равно $\frac{1}{3}x$.

3. Выразим количество учащихся, пошедших в кино.

В условии сказано, что в кино пошли "оставшиеся 25% учащихся и 3 человека". Это означает, что группа, которая пошла в кино, и есть та самая оставшаяся треть класса. Количество пошедших в кино составляет 25% от общего числа учащихся плюс еще 3 человека.Переведем проценты в десятичную дробь: $25\% = 0.25$.Таким образом, количество учеников, пошедших в кино, равно $0.25x + 3$.

4. Составим и решим уравнение.

Мы знаем, что количество оставшихся учеников ($\frac{1}{3}x$) равно количеству учеников, пошедших в кино ($0.25x + 3$). Приравняем эти два выражения:

$\frac{1}{3}x = 0.25x + 3$

Для удобства вычислений представим $0.25$ в виде обыкновенной дроби: $0.25 = \frac{1}{4}$.

$\frac{1}{3}x = \frac{1}{4}x + 3$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть уравнения:

$\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 3$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 12:

$\frac{4}{12}x - \frac{3}{12}x = 3$

$\frac{1}{12}x = 3$

Теперь найдем $x$, умножив обе части уравнения на 12:

$x = 3 \cdot 12$

$x = 36$

Таким образом, всего в классе 36 учащихся.

5. Проверка.

Всего учащихся: 36.

• Поехали на экскурсию: $\frac{2}{3} \cdot 36 = 2 \cdot 12 = 24$ человека.
• Осталось в классе: $36 - 24 = 12$ человек.
• Пошли в кино: 25% от всех учащихся ($0.25 \cdot 36 = 9$) и еще 3 человека. Итого: $9 + 3 = 12$ человек.

Количество оставшихся учеников совпадает с количеством учеников, пошедших в кино (12 = 12). Расчеты верны.

Ответ: 36 учащихся.

118 Две трети учащихся класса поехали на экскурсию, а оставшиеся 25% учащихся и 3 человека пошли в кино. Сколько всего учащихся в классе?

119 При какой месячной процентной ставке (простой процентный рост) вклад на сумму 5000 р. возрастёт за 6 месяцев до 5225 р.? Чему равна в этом случае годовая процентная ставка (то есть процент роста вклада за год)?

При какой месячной процентной ставке (простой процентный рост) вклад на сумму 5000 р. возрастёт за 6 месяцев до 5225 р.?

Для решения задачи воспользуемся формулой простого процентного роста, которая связывает начальную и конечную сумму вклада:

$S = P \cdot (1 + n \cdot r)$

где:
$S$ — конечная сумма вклада (по условию 5225 р.),
$P$ — начальная сумма вклада (по условию 5000 р.),
$n$ — количество периодов начисления процентов (по условию 6 месяцев),
$r$ — месячная процентная ставка, выраженная в виде десятичной дроби (искомая величина).

Подставим известные значения в формулу:

$5225 = 5000 \cdot (1 + 6 \cdot r)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $r$. Сначала разделим обе части на 5000:

$\frac{5225}{5000} = 1 + 6r$

$1.045 = 1 + 6r$

Далее вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$1.045 - 1 = 6r$

$0.045 = 6r$

Наконец, найдем $r$, разделив 0.045 на 6:

$r = \frac{0.045}{6} = 0.0075$

Это значение представляет собой месячную ставку в виде десятичной дроби. Чтобы выразить ее в процентах, необходимо умножить на 100:

$0.0075 \cdot 100\% = 0.75\%$

Ответ: месячная процентная ставка равна 0.75%.

Чему равна в этом случае годовая процентная ставка (то есть процент роста вклада за год)?

Поскольку речь идет о простом процентном росте, годовая процентная ставка прямо пропорциональна месячной. Для ее нахождения нужно умножить месячную ставку на количество месяцев в году, то есть на 12.

Годовая ставка = Месячная ставка $\cdot$ 12

$0.75\% \cdot 12 = 9\%$

Ответ: годовая процентная ставка равна 9%.

119 При какой месячной процентной ставке (простой процентный рост) вклад на сумму 5000 р. возрастет за 6 месяцев до 5225 р.? Чему равна в этом случае годовая процентная ставка (то есть процент роста вклада за год)?

120 Задуманное число удвоили, а затем уменьшили на 6. В результате оказалось, что полученное число так относится к 9, как 4 относится к 4,5. Какое число задумали?

Для решения задачи составим уравнение, обозначив задуманное число через $x$.

1. Задуманное число удвоили.

Это действие можно записать как $2 \cdot x$ или просто $2x$.

2. Затем уменьшили на 6.

Результат первого действия уменьшаем на 6, получаем выражение $2x - 6$.

3. В результате оказалось, что полученное число так относится к 9, как 4 относится к 4,5.

Это утверждение можно записать в виде пропорции. Отношение полученного числа $(2x - 6)$ к 9 равно отношению 4 к 4,5.

$\frac{2x - 6}{9} = \frac{4}{4,5}$

Теперь решим полученное уравнение. Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$(2x - 6) \cdot 4,5 = 9 \cdot 4$

Вычислим правую часть уравнения:

$9 \cdot 4 = 36$

Уравнение принимает вид:

$(2x - 6) \cdot 4,5 = 36$

Разделим обе части уравнения на 4,5:

$2x - 6 = \frac{36}{4,5}$

Для удобства вычисления избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$\frac{36}{4,5} = \frac{360}{45} = 8$

Теперь уравнение стало проще:

$2x - 6 = 8$

Прибавим 6 к обеим частям уравнения:

$2x = 8 + 6$

$2x = 14$

Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{14}{2}$

$x = 7$

Таким образом, задуманное число — это 7.

Проверим решение. Удвоим 7, получим 14. Уменьшим 14 на 6, получим 8. Проверим, верно ли отношение: $\frac{8}{9} = \frac{4}{4,5}$. Умножив числитель и знаменатель второй дроби на 2, получим $\frac{8}{9}$, что подтверждает верность равенства.

Ответ: 7.

120 Задуманное число удвоили, а затем уменьшили на 6. В результате оказалось, что полученное число так относится к 9, как 4 относится к 4,5. Какое число задумали?

C 121* 1) Разрежь фигуру А по линиям сетки на три одинаковые части.

2) Разрежь фигуру В по линиям сетки на 8 одинаковых по площади частей так, чтобы в каждой части был один кружок.

Сначала проанализируем фигуру А. Она состоит из 10 одинаковых квадратов (3 полных ряда по 3 квадрата и один квадрат в последнем ряду). По условию, фигуру нужно разрезать на три одинаковые (то есть равные по форме и площади) части. Для этого общая площадь фигуры должна делиться на 3 без остатка. Однако, 10 не делится на 3 нацело ($10 \div 3 = 3.33...$). Это означает, что невозможно разрезать данную фигуру на три части с одинаковой целочисленной площадью, а следовательно, и на три одинаковые по форме части, если резать только по линиям сетки.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка в изображении фигуры. Если предположить, что фигура должна была состоять из 12 квадратов (например, прямоугольник 4x3, который похож на исходную фигуру по габаритам), то задача становится решаемой. Площадь каждой из трех одинаковых частей будет равна $12 \div 3 = 4$ квадрата.

Ниже представлено решение для исправленной фигуры — прямоугольника размером 4x3 клетки. Его можно разрезать на три одинаковые части, представляющие собой L-образные тетрамино.

Ответ: В исходной формулировке задача не имеет решения. Для исправленной фигуры (прямоугольник 4x3) решение представлено на рисунке выше. Каждая цветная область (1, 2 и 3) — это одна из трех одинаковых частей.

Проанализируем фигуру B и условие задачи. Фигура представляет собой прямоугольник 4x5, его общая площадь составляет $4 \times 5 = 20$ квадратов. На фигуре изображено 7 кружков. По условию, фигуру нужно разрезать на 8 частей, и в каждой части должен быть один кружок. Здесь мы сталкиваемся с двумя противоречиями:

1. Количество частей (8) не совпадает с количеством кружков (7).
2. Площадь фигуры (20 квадратов) не делится нацело на требуемое количество частей (8). Площадь каждой части должна была бы быть $20 \div 8 = 2.5$ квадрата, что невозможно при разрезании по линиям сетки.

Таким образом, задача в предложенном виде не имеет решения из-за опечаток в условии. Предложим один из возможных исправленных вариантов задачи, который сохраняет ее суть.

Исправленное условие: Фигура представляет собой квадрат 4x4 (16 клеток). На ней расположены 8 кружков. Требуется разрезать фигуру на 8 одинаковых по площади частей (по $16 \div 8 = 2$ клетки в каждой) так, чтобы в каждой части был один кружок. Каждая часть будет представлять собой домино.

Ниже показан пример такого исправленного задания и его решение.

Возможный вариант исправленной задачи:

Решение для исправленной задачи:

Ответ: Исходная задача не имеет решения из-за противоречий в условии. Для предложенного исправленного варианта (поле 4x4, 8 кружков, 8 частей по 2 клетки) решение показано на рисунке выше, где каждая цветная пара клеток является одной из искомых частей.

C 121 1) Разрежь фигуру А по линиям сетки на три одинаковые части.

2) Разрежь фигуру В по линиям сетки на 8 одинаковых по площади частей так, чтобы в каждой части был один кружок.

122* Взяв у сестрёнки по одной карточке с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Гена разложил их по две на столе и вдруг увидел, что полученные двузначные числа относятся как $1 : 2 : 3 : 4 : 5$. Когда вечером он захотел показать этот интересный результат отцу, то обнаружил, что отсутствует карточка с цифрой 0. Однако, подумав, он из оставшихся карточек сложил пять чисел, отношение которых вновь было равно $1 : 2 : 3 : 4 : 5$. Как он раскладывал карточки в первый и во второй раз?

В первый раз

Изначально у Гены было 10 карточек с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Он составил из них пять двузначных чисел. Это означает, что все 10 карточек были использованы, и каждая цифра в полученных числах встречается ровно один раз.

Пусть наименьшее из этих чисел равно $x$. Тогда все пять чисел равны $x$, $2x$, $3x$, $4x$ и $5x$. Так как все числа двузначные, должны выполняться два условия:

1. $x \ge 10$ (так как $x$ — наименьшее двузначное число в ряду).
2. $5x \le 99$ (так как $5x$ — наибольшее число в ряду, и оно должно быть двузначным). Отсюда $x \le 19.8$.

Таким образом, значение $x$ находится в диапазоне от 10 до 19. Проверим все возможные значения $x$, чтобы найти набор чисел, состоящий из 10 уникальных цифр от 0 до 9.

• Если $x = 12$, числа: 12, 24, 36, 48, 60. Набор цифр: {1, 2, 2, 4, 3, 6, 4, 8, 6, 0}. Цифры 2, 4, 6 повторяются. Не подходит.
• Если $x = 17$, числа: 17, 34, 51, 68, 85. Набор цифр: {1, 7, 3, 4, 5, 1, 6, 8, 8, 5}. Цифры 1, 5, 8 повторяются. Не подходит.
• Если $x = 18$, числа: 18, 36, 54, 72, 90. Набор цифр: {1, 8, 3, 6, 5, 4, 7, 2, 9, 0}. Все цифры от 0 до 9 использованы по одному разу. Это и есть искомый набор.
• Если $x = 19$, числа: 19, 38, 57, 76, 95. Набор цифр: {1, 9, 3, 8, 5, 7, 7, 6, 9, 5}. Цифры 5, 7, 9 повторяются. Не подходит.

Перебор остальных вариантов также не дает нужного результата.

Ответ: в первый раз Гена разложил карточки, получив числа 18, 36, 54, 72, 90.

Во второй раз

Во второй раз у Гены не было карточки с цифрой 0. У него остались 9 карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ему снова нужно было сложить пять чисел, отношение которых равно $1:2:3:4:5$.

Поскольку в наличии всего 9 карточек (то есть 9 цифр), невозможно составить пять двузначных чисел, так как для этого потребовалось бы $5 \times 2 = 10$ карточек. Это означает, что хотя бы одно из чисел должно быть однозначным.

Пусть наименьшее число равно $y$. Тогда ряд чисел: $y, 2y, 3y, 4y, 5y$. Если $y$ — однозначное число, то для составления всех пяти чисел потребуется 9 цифр (одно однозначное и четыре двузначных). Это как раз соответствует количеству имеющихся карточек.

Проверим возможные значения для однозначного числа $y$. При этом ни одно из чисел $y, 2y, 3y, 4y, 5y$ не должно содержать цифру 0.

• Если $y = 7$, числа: 7, 14, 21, 28, 35. Набор цифр: {7, 1, 4, 2, 1, 2, 8, 3, 5}. Цифры 1 и 2 повторяются. Не подходит.
• Если $y = 8$, числа: 8, 16, 24, 32, 40. Число 40 содержит 0, которого нет. Не подходит.
• Если $y = 9$, числа: 9, 18, 27, 36, 45. Набор цифр: {9, 1, 8, 2, 7, 3, 6, 4, 5}. Все цифры от 1 до 9 уникальны. Это решение подходит.

Ответ: во второй раз Гена разложил карточки, получив числа 9, 18, 27, 36, 45.

122 Взяв у сестренки по одной карточке с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Гена разложил их по две на столе и вдруг увидел, что полученные двузначные числа относятся как $1 : 2 : 3 : 4 : 5$. Когда вечером он захотел показать этот интересный результат отцу, то обнаружил, что отсутствует карточка с цифрой 0. Однако, подумав, он из оставшихся карточек сложил пять чисел, отношение которых вновь было равно $1 : 2 : 3 : 4 : 5$. Как он раскладывал карточки в первый и во второй раз?

122. a) В двух пакетах 5 кг сахара. После того как из первого пакета отсыпали $\frac{2}{3}$ части, а из второго $\frac{1}{7}$ часть, в обоих пакетах сахара стало поровну. Сколько сахара было в каждом пакете первоначально?

б) В первом вагоне трамвая ехало в 1,2 раза меньше пассажиров, чем во втором. На остановке из первого вагона вышел 1 человек, а вошли 6. Из второго вагона вышли 4 человека, а вошли 3, и во втором вагоне стало на 8 % меньше пассажиров, чем в первом. Сколько пассажиров стало в каждом вагоне?

а)

Пусть в первом пакете первоначально было $x$ кг сахара, а во втором — $y$ кг сахара. Согласно условию, общая масса сахара составляет 5 кг, что дает нам первое уравнение:

$x + y = 5$

Из первого пакета отсыпали $\frac{2}{3}$ его содержимого, значит, в нем осталось $x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x$ кг сахара. Из второго пакета отсыпали $\frac{1}{7}$ его содержимого, значит, в нем осталось $y - \frac{1}{7}y = \frac{6}{7}y$ кг сахара. После этого количество сахара в пакетах стало равным. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{1}{3}x = \frac{6}{7}y$

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ \frac{1}{3}x = \frac{6}{7}y \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 5 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{1}{3}x = \frac{6}{7}(5 - x)$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 21 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 7):

$21 \cdot \frac{1}{3}x = 21 \cdot \frac{6}{7}(5 - x)$

$7x = 3 \cdot 6(5 - x)$

$7x = 18(5 - x)$

$7x = 90 - 18x$

$7x + 18x = 90$

$25x = 90$

$x = \frac{90}{25} = \frac{18}{5} = 3,6$

Итак, в первом пакете первоначально было 3,6 кг сахара. Теперь найдем массу сахара во втором пакете:

$y = 5 - x = 5 - 3,6 = 1,4$

В втором пакете первоначально было 1,4 кг сахара.

Ответ: первоначально в первом пакете было 3,6 кг сахара, а во втором — 1,4 кг сахара.

б)

Пусть в первом вагоне первоначально было $x$ пассажиров. Так как в нем было в 1,2 раза меньше пассажиров, чем во втором, то во втором вагоне было $1,2x$ пассажиров.

На остановке в первом вагоне число пассажиров изменилось: вышел 1 человек, а вошли 6. Новое количество пассажиров в первом вагоне стало:

$x - 1 + 6 = x + 5$

Во втором вагоне число пассажиров также изменилось: вышли 4 человека, а вошли 3. Новое количество пассажиров во втором вагоне стало:

$1,2x - 4 + 3 = 1,2x - 1$

По условию, после остановки во втором вагоне стало на 8% меньше пассажиров, чем в первом. Это означает, что количество пассажиров во втором вагоне составило $100\% - 8\% = 92\%$ от количества пассажиров в первом вагоне. Составим уравнение:

$1,2x - 1 = 0,92(x + 5)$

Решим это уравнение:

$1,2x - 1 = 0,92x + 4,6$

$1,2x - 0,92x = 4,6 + 1$

$0,28x = 5,6$

$x = \frac{5,6}{0,28} = \frac{560}{28} = 20$

Таким образом, первоначально в первом вагоне было 20 пассажиров. Вопрос задачи — сколько пассажиров стало в каждом вагоне после остановки.

В первом вагоне стало: $x + 5 = 20 + 5 = 25$ пассажиров.

Во втором вагоне стало: $1,2x - 1 = 1,2 \cdot 20 - 1 = 24 - 1 = 23$ пассажира.

Ответ: в первом вагоне стало 25 пассажиров, во втором — 23 пассажира.

122 а) В двух пакетах 5 кг сахара. После того как из первого пакета отсыпали
$ \frac{2}{3} $ части, а из второго - $ \frac{1}{7} $ часть, в обоих пакетах сахара стало поровну.
Сколько сахара было в каждом пакете первоначально?

б) В первом вагоне трамвая ехало в 1,2 раза меньше пассажиров, чем во втором. На остановке из первого вагона вышел 1 человек, а вошли 6. Из второго вагона вышли 4 человека, а вошли 3, и во втором вагоне стало на 8% меньше пассажиров, чем в первом. Сколько пассажиров стало в каждом вагоне?

123 a) В одном классе на 5 учеников меньше, чем во втором. Когда в первом классе число учеников увеличилось на 8 %, а во втором уменьшилось на 10 %, в обоих классах учеников стало поровну. Сколько учеников стало в каждом классе?

б) На просмотр художественного фильма из двух классов в кинотеатр пошло одинаковое число учеников. Девочек из первого класса было 12, а из второго – на 25 % больше. Мальчиков из первого класса было на $33\frac{1}{3}\ %$ больше, чем из второго. Сколько учеников каждого класса посмотрели этот фильм?

а)

Пусть $x$ — первоначальное количество учеников в первом классе. Тогда во втором классе было $x + 5$ учеников.

Когда число учеников в первом классе увеличилось на 8%, в нем стало $x + 0.08x = 1.08x$ учеников.

Когда число учеников во втором классе уменьшилось на 10%, в нем стало $(x+5) - 0.1(x+5) = 0.9(x+5)$ учеников.

По условию, после этих изменений число учеников в классах стало равным. Составим и решим уравнение:

$1.08x = 0.9(x+5)$

$1.08x = 0.9x + 4.5$

$1.08x - 0.9x = 4.5$

$0.18x = 4.5$

$x = \frac{4.5}{0.18} = \frac{450}{18} = 25$

Итак, в первом классе изначально было 25 учеников.

Теперь найдем, сколько учеников стало в каждом классе. Так как их количество стало одинаковым, достаточно посчитать для одного из классов:

$1.08 \times 25 = 27$

Проверим для второго класса: $0.9 \times (25+5) = 0.9 \times 30 = 27$.

Ответ: в каждом классе стало по 27 учеников.

б)

Пусть $Д_1$ и $М_1$ — количество девочек и мальчиков из первого класса, которые пошли в кино.

Пусть $Д_2$ и $М_2$ — количество девочек и мальчиков из второго класса, которые пошли в кино.

По условию, из первого класса было 12 девочек: $Д_1 = 12$.

Девочек из второго класса было на 25% больше, чем из первого:

$Д_2 = Д_1 + 0.25 \times Д_1 = 1.25 \times 12 = 15$ девочек.

Мальчиков из первого класса было на $33\frac{1}{3}\%$ больше, чем из второго. Переведем проценты в дробь: $33\frac{1}{3}\% = \frac{100}{3}\% = \frac{1}{3}$.

Значит, $М_1 = М_2 + \frac{1}{3}М_2 = \frac{4}{3}М_2$.

По условию, из двух классов в кинотеатр пошло одинаковое число учеников. Значит:

$Д_1 + М_1 = Д_2 + М_2$

Подставим известные значения и выражения:

$12 + \frac{4}{3}М_2 = 15 + М_2$

$\frac{4}{3}М_2 - М_2 = 15 - 12$

$\frac{1}{3}М_2 = 3$

$М_2 = 9$

Итак, из второго класса было 9 мальчиков.

Тогда мальчиков из первого класса было: $М_1 = \frac{4}{3} \times 9 = 12$.

Найдем общее количество учеников из каждого класса, посмотревших фильм:

Ученики из первого класса: $Д_1 + М_1 = 12 + 12 = 24$.

Ученики из второго класса: $Д_2 + М_2 = 15 + 9 = 24$.

Ответ: по 24 ученика из каждого класса посмотрели этот фильм.

123 а) В одном классе на 5 учеников меньше, чем во втором. Когда в первом классе число учеников увеличилось на 8%, а во втором – уменьшилось на 10%, в обоих классах учеников стало поровну. Сколько учеников стало в каждом классе?

б) На просмотр фильма «Сибирский цирюльник» из двух классов пошло одинаковое число учеников. Девочек из первого класса было 12, а из второго – на 25% больше. Мальчиков из первого класса было на $33 \frac{1}{3}\%$ больше, чем из второго. Сколько учеников каждого класса посмотрели этот фильм?

124 а) Чайник и 6 чашек стоят вместе 480 р. Чайник стоит на $50 \%$ дороже чашки. Сколько стоит чайник с 2 чашками?

б) Футболка, шорты и жакет стоят 792 р. Футболка на $20 \%$ дешевле, чем шорты, а жакет на $20 \%$ дороже, чем шорты и футболка вместе. Сколько стоят футболка вместе с жакетом?

а) Пусть $x$ р. — стоимость одной чашки, а $y$ р. — стоимость чайника.
Согласно первому условию, чайник и 6 чашек стоят вместе 480 р. Составим уравнение:
$y + 6x = 480$
По второму условию, чайник стоит на 50% дороже чашки. Это значит, что его стоимость составляет 150% от стоимости чашки. Выразим стоимость чайника через стоимость чашки:
$y = x + 0.5x = 1.5x$
Теперь подставим это выражение в первое уравнение, чтобы найти стоимость чашки:
$1.5x + 6x = 480$
$7.5x = 480$
$x = 480 / 7.5 = 64$ р.
Итак, одна чашка стоит 64 р. Теперь найдем стоимость чайника:
$y = 1.5 * 64 = 96$ р.
Нам нужно найти, сколько стоит чайник с 2 чашками. Для этого сложим их стоимости:
Стоимость = (стоимость чайника) + 2 * (стоимость чашки) = $96 + 2 * 64 = 96 + 128 = 224$ р.
Ответ: 224 р.

б) Пусть $Ш$ — стоимость шорт, $Ф$ — стоимость футболки, а $Ж$ — стоимость жакета.
По условию, их общая стоимость составляет 792 р.:
$Ф + Ш + Ж = 792$
Футболка на 20% дешевле, чем шорты. Это значит, что ее стоимость составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от стоимости шорт:
$Ф = 0.8Ш$
Жакет на 20% дороже, чем шорты и футболка вместе. Это значит, что его стоимость составляет $100\% + 20\% = 120\%$ от их суммарной стоимости:
$Ж = 1.2 * (Ш + Ф)$
Подставим выражение для $Ф$ в формулу для $Ж$, чтобы выразить все через $Ш$:
$Ж = 1.2 * (Ш + 0.8Ш) = 1.2 * (1.8Ш) = 2.16Ш$
Теперь подставим выражения для $Ф$ и $Ж$ в самое первое уравнение:
$0.8Ш + Ш + 2.16Ш = 792$
$3.96Ш = 792$
$Ш = 792 / 3.96 = 200$ р.
Стоимость шорт — 200 р. Теперь найдем стоимости футболки и жакета:
Стоимость футболки: $Ф = 0.8 * 200 = 160$ р.
Стоимость жакета: $Ж = 2.16 * 200 = 432$ р.
Вопрос задачи — сколько стоят футболка вместе с жакетом. Сложим их стоимости:
$Ф + Ж = 160 + 432 = 592$ р.
Ответ: 592 р.

124 a) Чайник и 6 чашек стоят вместе 480 р. Чайник стоит на 50% дороже чашки. Сколько стоит чайник с 2 чашками?

б) Футболка, шорты и жакет стоят 792 р. Футболка на 20% дешевле, чем шорты, а жакет на 20% дороже, чем шорты и футболка вместе. Сколько стоят футболка вместе с жакетом?

125 а) За контрольную работу $\frac{1}{6}$ часть класса получила пятёрки, $\frac{8}{15}$ – четвёрки, троек было на 10 меньше, чем четвёрок, а двоек – 3. Какой процент учеников класса написал контрольную работу на «4» и «5»? Сколько было четвёрок, а сколько – пятёрок?

б) Первое число больше второго на 3. Если меньшее число увеличить на 50 %, а большее уменьшить на 40 %, то их сумма не изменится. На сколько процентов первое число больше второго? На сколько процентов второе число меньше первого?

Пусть $x$ — общее количество учеников в классе. Исходя из условия задачи, выразим количество учеников, получивших каждую из оценок:

• Количество учеников, получивших пятёрки: $\frac{1}{6}x$

• Количество учеников, получивших четвёрки: $\frac{8}{15}x$

• Количество учеников, получивших тройки: $\frac{8}{15}x - 10$

• Количество учеников, получивших двойки: 3

Сумма всех учеников, написавших контрольную, равна общему числу учеников в классе. Составим и решим уравнение:

$\frac{1}{6}x + \frac{8}{15}x + (\frac{8}{15}x - 10) + 3 = x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые значения — в правой:

$\frac{1}{6}x + \frac{8}{15}x + \frac{8}{15}x - x = 10 - 3$

$\frac{1}{6}x + \frac{16}{15}x - x = 7$

Приведём дроби к общему знаменателю 30 (наименьшее общее кратное для 6 и 15):

$\frac{5}{30}x + \frac{32}{30}x - \frac{30}{30}x = 7$

Выполним сложение и вычитание дробей в левой части:

$\frac{5 + 32 - 30}{30}x = 7$

$\frac{7}{30}x = 7$

Теперь найдём $x$:

$x = 7 \cdot \frac{30}{7}$

$x = 30$

Всего в классе 30 учеников.

Теперь ответим на вопросы задачи.

1. Какой процент учеников класса написал контрольную работу на «4» и «5»?

Найдём количество учеников, получивших «5» и «4»:

Пятёрки: $\frac{1}{6} \cdot 30 = 5$ учеников.

Четвёрки: $\frac{8}{15} \cdot 30 = 16$ учеников.

Всего учеников с оценками «4» и «5»: $5 + 16 = 21$ ученик.

Чтобы найти процент, разделим это количество на общее число учеников и умножим на 100%:

$\frac{21}{30} \cdot 100\% = 0.7 \cdot 100\% = 70\%$

2. Сколько было четвёрок, а сколько – пятёрок?

Как мы уже посчитали, было 16 четвёрок и 5 пятёрок.

Ответ: 70% учеников написали работу на «4» и «5»; было 16 четвёрок и 5 пятёрок.

Пусть первое число — $a$, а второе — $b$.

Из условия «Первое число больше второго на 3» следует, что $a = b + 3$. Это означает, что $a$ — большее число, а $b$ — меньшее.

Первоначальная сумма чисел: $S_1 = a + b$.

Далее, меньшее число ($b$) увеличивают на 50%, а большее ($a$) уменьшают на 40%. Найдём новые значения чисел:

Новое меньшее число: $b' = b + 0.5b = 1.5b$.

Новое большее число: $a' = a - 0.4a = 0.6a$.

Новая сумма чисел: $S_2 = a' + b' = 0.6a + 1.5b$.

По условию, сумма не изменилась, то есть $S_1 = S_2$. Получаем второе уравнение:

$a + b = 0.6a + 1.5b$

Упростим это уравнение:

$a - 0.6a = 1.5b - b$

$0.4a = 0.5b$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} a = b + 3 \\ 0.4a = 0.5b \end{cases}$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$0.4(b + 3) = 0.5b$

$0.4b + 1.2 = 0.5b$

$1.2 = 0.5b - 0.4b$

$1.2 = 0.1b$

$b = \frac{1.2}{0.1} = 12$

Теперь найдём $a$:

$a = b + 3 = 12 + 3 = 15$

Итак, первое число равно 15, а второе — 12.

Теперь ответим на вопросы задачи.

1. На сколько процентов первое число больше второго?

Чтобы найти, на сколько процентов одно число больше другого, нужно их разность разделить на число, с которым сравниваем (в данном случае — на второе), и умножить на 100%.

$\frac{a - b}{b} \cdot 100\% = \frac{15 - 12}{12} \cdot 100\% = \frac{3}{12} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$

2. На сколько процентов второе число меньше первого?

Аналогично, чтобы найти, на сколько процентов одно число меньше другого, нужно их разность разделить на число, с которым сравниваем (в данном случае — на первое), и умножить на 100%.

$\frac{a - b}{a} \cdot 100\% = \frac{15 - 12}{15} \cdot 100\% = \frac{3}{15} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$

Ответ: Первое число больше второго на 25%, а второе число меньше первого на 20%.

125 а) За контрольную работу $\frac{1}{6}$ часть класса получила пятерки, $\frac{8}{15}$ – четверки, троек было на 10 меньше, чем четверок, а двоек – 3. Какой процент учеников класса написал контрольную работу на «4» и «5»? Сколько было четверок, а сколько – пятерок?

б) Первое число больше второго на 3. Если меньшее число увеличить на 50%, а большее уменьшить на 40%, то их сумма не изменится. На сколько процентов первое число больше второго? На сколько процентов второе число меньше первого?

126 а) Трём братьям вместе 45 лет. Возраст младшего брата на $60 \%$ меньше возраста среднего брата, а возраст старшего брата – на $60 \%$ больше возраста среднего. Сколько лет каждому?

б) В библиотеке книги на французском языке составляют $48 \%$ от числа книг на английском языке, а вместе они составляют $5 \%$ числа всех книг в библиотеке. Сколько всего книг в библиотеке, если книг на английском языке на 260 больше, чем на французском?

Пусть возраст среднего брата равен $x$ лет. Согласно условию, возраст младшего брата на 60% меньше, то есть составляет $100\% - 60\% = 40\%$ от возраста среднего. Выразим это в виде десятичной дроби: $0.4x$ лет. Возраст старшего брата на 60% больше возраста среднего, то есть составляет $100\% + 60\% = 160\%$. Выразим это так: $1.6x$ лет.

Сумма возрастов всех трёх братьев равна 45 годам. Составим уравнение на основе этих данных:

$0.4x + x + 1.6x = 45$

Сложим все члены с переменной $x$:

$3x = 45$

Решим уравнение, чтобы найти возраст среднего брата:

$x = 45 / 3$

$x = 15$

Итак, возраст среднего брата — 15 лет. Теперь можем найти возраст младшего и старшего братьев:

Возраст младшего брата: $0.4 \times 15 = 6$ лет.

Возраст старшего брата: $1.6 \times 15 = 24$ года.

Проверим, равна ли сумма их возрастов 45: $6 + 15 + 24 = 45$. Условие выполняется.

Ответ: младшему брату 6 лет, среднему – 15 лет, старшему – 24 года.

Пусть $А$ — это количество книг на английском языке, а $Ф$ — количество книг на французском языке. Из условия задачи мы знаем, что:

1. Книг на французском языке ($Ф$) составляет 48% от числа книг на английском ($А$): $Ф = 0.48А$.

2. Книг на английском языке на 260 больше, чем на французском: $А = Ф + 260$ или $А - Ф = 260$.

Подставим первое выражение во второе, чтобы найти количество книг на английском языке:

$А - 0.48А = 260$

$0.52А = 260$

$А = 260 / 0.52 = 500$

В библиотеке 500 книг на английском языке. Теперь найдём количество книг на французском языке:

$Ф = 0.48 \times 500 = 240$

Проверим разницу: $500 - 240 = 260$. Условие выполняется.

Суммарное количество книг на английском и французском языках:

$А + Ф = 500 + 240 = 740$

Это количество составляет 5% от общего числа всех книг в библиотеке ($Т$). Составим пропорцию:

$0.05Т = 740$

Теперь найдём общее количество книг:

$Т = 740 / 0.05 = 14800$

Ответ: всего в библиотеке 14800 книг.

126 a) Трем братьям вместе 45 лет. Возраст младшего брата на 60% меньше возраста среднего брата, а возраст старшего брата — на 60% больше возраста среднего. Сколько лет каждому?

б) В библиотеке книги на французском языке составляют 48% от числа книг на английском языке, а вместе они составляют 5% числа всех книг в библиотеке. Сколько всего книг в библиотеке, если книг на английском языке на 260 больше, чем на французском?