Страница 145, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.129. Рассмотрите рисунок 3.29. Как проверить, что фигуры Р и R на рисунке симметричны относительно точки О.

3.129

Фигуры Р и R симметричны относительно точки О, т.к. каждая точка фигуры Р удалена на такое же расстояние от точки О, как и соответствующая точка фигуры R.

Чтобы проверить, симметричны ли фигуры P и R относительно точки O, необходимо убедиться, что преобразование центральной симметрии с центром в точке O переводит фигуру P в фигуру R. Это можно сделать двумя основными способами.

Способ 1: Геометрическая проверка по определению

По определению, две фигуры симметричны относительно центра O, если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры относительно O. Две точки A и A' называются симметричными относительно точки O, если O является серединой отрезка AA'. Исходя из этого, алгоритм проверки следующий:

1. Выбрать на фигуре P несколько произвольных, но характерных точек (например, кончик клюва, глаз, крайние точки крыльев и хвоста). Обозначим одну из них как точку A.
2. С помощью линейки провести прямую, проходящую через точку A и предполагаемый центр симметрии O.
3. На этой прямой, по другую сторону от точки O, найти точку A' так, чтобы расстояние от O до A' было равно расстоянию от A до O. То есть, должно выполняться равенство $|AO| = |OA'|$.
4. Проверить, принадлежит ли полученная точка A' фигуре R.
5. Повторить эту процедуру для нескольких других ключевых точек фигуры P.

Если для всех выбранных точек фигуры P соответствующие им симметричные точки лежат на фигуре R, можно заключить, что фигуры P и R симметричны относительно точки O. На самом рисунке 3.29 уже показаны такие построения: соответствующие точки соединены отрезками, проходящими через O, а их равенство отмечено одинаковым количеством штрихов.

Способ 2: Практическая проверка с помощью поворота

Центральная симметрия относительно точки O является частным случаем поворота, а именно — поворотом на 180° вокруг этой точки. Этот метод проверки очень нагляден:

1. Взять лист прозрачной бумаги (кальки) и наложить его на рисунок.
2. Аккуратно обвести на кальке контур фигуры P, а также отметить точку O.
3. Зафиксировать кальку в точке O (например, острием циркуля или карандаша), чтобы она могла вращаться вокруг этой точки.
4. Повернуть кальку на 180° (сделать пол-оборота) вокруг точки O.
5. Сравнить повернутое изображение фигуры P на кальке с фигурой R на исходном рисунке.

Если после поворота обведенное на кальке изображение полностью совпало с фигурой R, то фигуры P и R симметричны относительно точки O.

Ответ: Чтобы проверить симметричность фигур P и R относительно точки O, нужно для произвольной точки A на фигуре P построить точку A', симметричную ей относительно O. Для этого нужно провести прямую AO и на ее продолжении за точку O отложить отрезок OA', равный отрезку AO. Если точка A' окажется на фигуре R, и это будет верно для любой точки фигуры P, то фигуры симметричны. Альтернативно, можно повернуть фигуру P на 180° вокруг точки O; в случае симметрии она должна полностью совпасть с фигурой R.

3.130. а) На рисунке 3.30, а изображены фигуры. Какие из них имеют одну ось симметрии, две оси симметрии, более двух осей симметрии, имеют центр симметрии?

б) Сколько осей симметрии можно указать на фотографии морской звезды (рис. 3.30, б)? Есть ли у неё центр симметрии?

3.130

а) одну ось симметрии имеют: 1 фигура в виде шляпы и синий треугольник

две оси симметрии имеет красный ромб

более двух осей симметрии имеют: синий квадрат, красный треугольник, звезда

центр симметрии имеют: зеленый квадрат, ромб

б) у морской звезды 5 осей симметрии; центра симметрии нет.

а)

Проанализируем каждую из шести фигур, изображенных на рисунке 3.30, а, на наличие осей и центра симметрии.

1. Розовый шестиугольник на клетчатой бумаге: имеет одну вертикальную ось симметрии. Центра симметрии не имеет.
2. Синий равносторонний треугольник: имеет три оси симметрии (каждая проходит через вершину и середину противоположной стороны). Центра симметрии не имеет.
3. Зеленый квадрат: имеет четыре оси симметрии (две проходят через середины противоположных сторон, две другие — по диагоналям) и центр симметрии в точке пересечения диагоналей.
4. Оранжевый равносторонний треугольник: так же, как и синий, имеет три оси симметрии и не имеет центра симметрии.
5. Оранжевый ромб: имеет две оси симметрии (его диагонали) и центр симметрии в точке пересечения диагоналей.
6. Фиолетовая пятиконечная звезда: имеет пять осей симметрии (каждая проходит через одну из вершин). Центра симметрии не имеет.

На основе этого анализа сгруппируем фигуры:

Какие из них имеют одну ось симметрии:
Розовый шестиугольник на клетчатой бумаге.

Какие из них имеют две оси симметрии:
Оранжевый ромб.

Какие из них имеют более двух осей симметрии:
Синий равносторонний треугольник (3 оси), зеленый квадрат (4 оси), оранжевый равносторонний треугольник (3 оси) и фиолетовая пятиконечная звезда (5 осей).

Какие из них имеют центр симметрии:
Фигура имеет центр симметрии, если она совмещается сама с собой при повороте на $180^\circ$ вокруг этого центра. Такой центр имеют зеленый квадрат и оранжевый ромб.

Ответ: Одну ось симметрии имеет шестиугольник на клетчатой бумаге. Две оси симметрии имеет ромб. Более двух осей симметрии имеют равносторонние треугольники, квадрат и пятиконечная звезда. Центр симметрии имеют квадрат и ромб.

б)

Сколько осей симметрии можно указать на фотографии морской звезды (рис. 3.30, б)?
Морская звезда на фотографии имеет пять лучей, расположенных симметрично относительно центра. Это пример лучевой симметрии 5-го порядка. У такой звезды можно провести 5 осей симметрии. Каждая ось проходит через вершину одного из лучей и центр тела звезды.

Есть ли у неё центр симметрии?
Нет, у морской звезды нет центра симметрии. Центр симметрии — это точка, поворот вокруг которой на $180^\circ$ совмещает фигуру саму с собой. Морская звезда совмещается сама с собой при повороте на угол, кратный $360^\circ / 5 = 72^\circ$. Поскольку угол $180^\circ$ не является кратным $72^\circ$, у морской звезды с пятью лучами нет центра симметрии.

Ответ: У морской звезды 5 осей симметрии. Центра симметрии у нее нет.

3.131. Начертите в тетради четырёхугольник, изображённый на рисунке 3.31. Постройте фигуру, симметричную данной относительно оси m.

3.131

Для построения фигуры, симметричной четырёхугольнику $ABCD$ относительно оси $m$, необходимо для каждой вершины исходного четырёхугольника ($A, B, C, D$) построить симметричную ей точку ($A', B', C', D'$) относительно этой оси. Затем полученные точки нужно соединить отрезками в том же порядке.

Принцип построения симметричной точки $P'$ для точки $P$ относительно оси $m$ на клетчатой бумаге заключается в следующем: через точку $P$ проводится перпендикуляр к оси $m$, и на этом перпендикуляре по другую сторону от оси откладывается точка $P'$ на том же расстоянии от оси, что и точка $P$. Поскольку ось $m$ вертикальна, перпендикуляры к ней будут горизонтальными линиями сетки.

Построение
Выполним построение пошагово для каждой вершины, отмеряя расстояние в клетках:
1. Находим точку A', симметричную точке A. Точка $A$ расположена на расстоянии 1 клетки справа от оси $m$. Следовательно, симметричная ей точка $A'$ будет расположена на расстоянии 1 клетки слева от оси $m$ на той же горизонтальной линии.
2. Находим точку B', симметричную точке B. Точка $B$ расположена на расстоянии 5 клеток справа от оси $m$. Следовательно, симметричная ей точка $B'$ будет расположена на расстоянии 5 клеток слева от оси $m$ на той же горизонтальной линии.
3. Находим точку C', симметричную точке C. Точка $C$ расположена на расстоянии 6 клеток справа от оси $m$. Следовательно, симметричная ей точка $C'$ будет расположена на расстоянии 6 клеток слева от оси $m$ на той же горизонтальной линии.
4. Находим точку D', симметричную точке D. Точка $D$ расположена на расстоянии 4 клеток справа от оси $m$. Следовательно, симметричная ей точка $D'$ будет расположена на расстоянии 4 клеток слева от оси $m$ на той же горизонтальной линии.
5. Соединяем полученные точки. Последовательно соединяем точки отрезками: $A'$ с $B'$, $B'$ с $C'$, $C'$ с $D'$ и $D'$ с $A'$. Полученный четырёхугольник $A'B'C'D'$ является искомой фигурой.

Ответ: Чтобы построить фигуру, симметричную данному четырёхугольнику $ABCD$ относительно оси $m$, необходимо для каждой его вершины ($A, B, C, D$) найти симметричную точку. Для этого измеряется перпендикулярное расстояние (количество клеток по горизонтали) от каждой вершины до оси $m$ и откладывается такое же расстояние в противоположную сторону (влево) на той же высоте (на той же горизонтальной линии сетки). Так, точка $A'$, симметричная точке $A$, находится в 1 клетке слева от оси $m$; точка $B'$ — в 5 клетках слева; точка $C'$ — в 6 клетках слева; точка $D'$ — в 4 клетках слева. Соединив последовательно точки $A', B', C', D'$, получим искомый симметричный четырёхугольник.

3.132. Начертите ломаную из трёх звеньев. Постройте симметричную ей фигуру относительно прямой, проходящей через среднее звено этой ломаной.

3.132

Для решения задачи выполним следующие построения по шагам:

1. Построение исходной ломаной.
Начертим произвольную ломаную линию, состоящую из трёх звеньев. Для этого отметим четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ и соединим их последовательно отрезками. В результате получим ломаную $ABCD$, состоящую из трёх звеньев: $AB$, $BC$ и $CD$. По условию, звено $BC$ является средним.

2. Определение оси симметрии.
Осью симметрии является прямая, проходящая через среднее звено этой ломаной. Следовательно, осью симметрии будет прямая, содержащая отрезок $BC$. Обозначим эту прямую как $l$.

3. Построение симметричной фигуры.
Чтобы построить фигуру, симметричную ломаной $ABCD$ относительно прямой $l$, необходимо найти симметричные отображения для каждой из её вершин ($A$, $B$, $C$ и $D$).
- Так как точки $B$ и $C$ лежат на оси симметрии $l$, они отображаются сами в себя. То есть, симметричная точка для $B$ есть сама точка $B$ (обозначим её $B'$), и $B' = B$. Аналогично, $C' = C$.
- Для нахождения точки $A'$, симметричной точке $A$, нужно из точки $A$ провести перпендикуляр к прямой $l$ и на его продолжении отложить отрезок такой же длины. Конец этого отрезка и будет искомой точкой $A'$.
- Таким же образом строится точка $D'$, симметричная точке $D$ относительно прямой $l$.

4. Итоговая фигура.
Соединив полученные симметричные точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ последовательно, мы получим искомую ломаную $A'B'C'D'$. Поскольку $B' = B$ и $C' = C$, новая ломаная представляет собой ломаную $A'BCD'$. Она состоит из звеньев $A'B$, $BC$ и $CD'$.
Таким образом, среднее звено $BC$ является общим для исходной и построенной ломаных, а крайние звенья $A'B$ и $CD'$ являются симметричным отражением крайних звеньев $AB$ и $CD$.

Ответ:
Фигура, симметричная ломаной $ABCD$ относительно прямой, проходящей через её среднее звено $BC$, — это ломаная $A'BCD'$, где точки $A'$ и $D'$ являются симметричными отражениями точек $A$ и $D$ относительно прямой $BC$.

3.133. Симметричен ли на фотографии фасад здания Государственной Третьяковской галереи в Москве (рис. 3.32)? Если да, то как расположена ось симметрии фасада?

3.133

Фасад здания симметричен относительно прямой. Ось симметрии проходит снизу вверх по линии, где соединяются двери.

Чтобы определить, симметричен ли фасад здания, необходимо проверить, можно ли провести прямую линию (ось симметрии) так, чтобы она разделила фасад на две части, которые будут являться зеркальным отражением друг друга.

Рассматривая фотографию фасада Государственной Третьяковской галереи, можно заметить, что его основная архитектурная композиция построена по принципу симметрии. Центральный элемент — главный вход с большой аркой и высоким шатром над ним. По обе стороны от центрального входа расположены одинаковые по форме боковые пристройки с отдельными входами. Крыши, окна и декоративные элементы левой части фасада являются зеркальным отражением элементов правой части.

Несмотря на то, что на самой фотографии присутствуют мелкие асимметричные детали (например, мусорный бак слева или небольшое искажение перспективы), сама архитектура здания симметрична. Ось симметрии в данном случае — это воображаемая вертикальная линия.

Эта линия проходит ровно посередине здания: через центр главного входа, вершину треугольного фронтона над ним и центр самого верхнего декоративного элемента (кокошника).

Ответ: Да, фасад здания на фотографии симметричен. Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через центр главного входа и делящая фасад на две равные зеркальные половины.

3.134. Убедитесь, используя линейку, что точка А, лежащая на оси симметрии m, одинаково удалена от симметричных относительно прямой m точек М и N (рис. 3.33).

3.134

АМ = AN

точка А равноудалена от точек М и N

Чтобы убедиться, что точка А, находящаяся на оси симметрии m, равноудалена от точек M и N, симметричных относительно этой оси, мы можем воспользоваться геометрическим доказательством. Условие "используя линейку" — это предложение выполнить практическую проверку теоретического вывода.

По определению осевой симметрии, прямая m является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему симметричные точки M и N. Это означает, что прямая m пересекает отрезок MN в его середине и перпендикулярна ему. Обозначим точку пересечения прямой m и отрезка MN буквой O.

Из этого определения следуют два факта:
1. Отрезок $MO$ равен отрезку $NO$ ($MO = NO$), так как O — середина MN.
2. Угол $\angle AOM$ и угол $\angle AON$ — прямые, то есть $\angle AOM = \angle AON = 90^\circ$, так как $m \perp MN$.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AOM$ и $\triangle AON$.
- У них есть общая сторона (катет) $AO$.
- Их катеты $MO$ и $NO$ равны, как было показано выше.
Следовательно, треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle AON$ равны по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники равны ($\triangle AOM \cong \triangle AON$), то равны и их соответствующие стороны. Гипотенуза $AM$ треугольника $\triangle AOM$ равна гипотенузе $AN$ треугольника $\triangle AON$. Таким образом, мы доказали, что $AM = AN$.

Измерив расстояния $AM$ и $AN$ с помощью линейки, мы бы получили одинаковые значения, что и подтвердило бы наш вывод на практике.

Ответ: Точка А одинаково удалена от точек М и N. Это доказывается равенством прямоугольных треугольников $\triangle AOM$ и $\triangle AON$ (где O — точка пересечения MN и m) по двум катетам: $AO$ — общий катет, а катеты $MO$ и $NO$ равны по определению осевой симметрии. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AM = AN$.

3.135. а) Начертите окружность с центром Р и прямую k, не пересекающую эту окружность. Постройте окружность с центром О, симметричную этой окружности относительно оси k.

б) Постройте фигуру симметричную относительно точки С для четырёхугольника ABCD на рисунке 3.31.

3.135

а)

б)

a)

Чтобы построить окружность с центром $O$, симметричную данной окружности с центром $P$ относительно оси $k$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертим произвольную окружность с центром в точке $P$ и радиусом $r$.
2. Начертим прямую $k$ так, чтобы она не пересекала и не касалась этой окружности.
3. Построим точку $O$, которая будет центром новой окружности. Точка $O$ должна быть симметрична точке $P$ относительно прямой $k$. Для этого:
   • Из точки $P$ опускаем перпендикуляр на прямую $k$. Обозначим точку их пересечения как $H$.
   • На луче $PH$ откладываем за точкой $H$ отрезок $HO$, длина которого равна длине отрезка $PH$. Таким образом, $PH = HO$ и $PO \perp k$. Точка $O$ является симметричной точке $P$ относительно прямой $k$.
4. Фигура, симметричная окружности, является окружностью с тем же радиусом. Поэтому строим новую окружность с центром в найденной точке $O$ и радиусом $r$ (тем же, что и у исходной окружности).

Полученная окружность с центром $O$ и радиусом $r$ и будет искомой окружностью, симметричной данной относительно оси $k$.

Ответ: Для построения симметричной окружности нужно построить точку $O$, симметричную центру исходной окружности $P$ относительно оси $k$, и начертить новую окружность с центром $O$ и тем же радиусом, что и у исходной.

б)

Для построения фигуры, симметричной четырехугольнику $ABCD$ относительно точки $C$ (центральная симметрия), необходимо построить точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, симметричные каждой из вершин $A, B, C, D$ соответственно относительно центра $C$.

Правило центральной симметрии: точка $X'$ симметрична точке $X$ относительно центра $S$, если точка $S$ является серединой отрезка $XX'$.

1. Построение точки $A'$, симметричной точке $A$ относительно $C$. Соединяем точки $A$ и $C$ отрезком и продолжаем его за точку $C$ на такое же расстояние. На клетчатой бумаге это можно сделать, посчитав смещение по осям: чтобы попасть из $A$ в $C$, нужно сдвинуться на 6 клеток вправо и 1 клетку вниз. Чтобы найти $A'$, нужно выполнить такой же сдвиг из точки $C$.
2. Построение точки $B'$, симметричной точке $B$ относительно $C$. Соединяем точки $B$ и $C$ отрезком и продолжаем его за точку $C$ на такое же расстояние. Смещение от $B$ к $C$: 2 клетки вправо и 1 клетка вверх. Применяем этот же сдвиг от точки $C$, чтобы найти $B'$.
3. Построение точки $D'$, симметричной точке $D$ относительно $C$. Соединяем точки $D$ и $C$ отрезком и продолжаем его за точку $C$ на такое же расстояние. Смещение от $D$ к $C$: 3 клетки вправо и 3 клетки вниз. Применяем этот же сдвиг от точки $C$, чтобы найти $D'$.
4. Построение точки $C'$, симметричной точке $C$ относительно $C$. Точка, симметричная центру симметрии, совпадает с самим центром. Таким образом, $C' = C$.
5. Соединяем полученные точки $A'$, $B'$, $C'$ и $D'$ в том же порядке, чтобы получить искомый четырехугольник $A'B'C'D'$. Так как $C' = C$, то это будет четырехугольник $A'B'CD'$.

Ответ: Искомая фигура — это четырехугольник $A'B'CD'$, построенный путем нахождения вершин $A'$, $B'$, $D'$, симметричных вершинам $A$, $B$, $D$ исходного четырехугольника относительно точки $C$. Вершина $C$ при этом отображается сама на себя.