Страница 138, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.111. Четыре пятых от четырёх пятых числа равны четырём пятым. Какое это число?

3.111

$\frac{4}{5} \mathrm{от} \frac{4}{5} = \frac{4}{5}.$

Пусть х – искомое число, тогда $\frac{4}{5}х$. Зная, что $\frac{4}{5} \mathrm{от} \frac{4}{5} = \frac{4}{5}$ составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{4}{5} · \frac{4}{5} х = \frac{4}{5}; \\ \frac{16}{25} х = \frac{4}{5}; \\ х = \frac{4}{5} : \frac{16}{25}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{5}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{25}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{16}}}}; \\ х = \frac{5}{4}; \\ х = 1\frac{1}{4} - \mathrm{искомое} \mathrm{число}. \end{gathered}$$

Ответ: $1\frac{1}{4}.$

Для решения задачи обозначим искомое число переменной $x$.

Словесное условие задачи можно перевести на язык математики, составив уравнение.

Первый шаг: Найдём "четыре пятых числа". Это записывается как произведение: $\frac{4}{5} \cdot x$.

Второй шаг: Найдём "четыре пятых от" полученного выражения. Это означает, что нужно предыдущий результат умножить ещё раз на $\frac{4}{5}$:

Третий шаг: Согласно условию, это выражение "равны четырём пятым". Приравняем его к $\frac{4}{5}$ и получим полное уравнение:

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Упростим левую часть:

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $\frac{16}{25}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевёрнутую) дробь:

Сократим дроби для упрощения вычислений. Число 4 в числителе и 16 в знаменателе сокращаются на 4. Число 25 в числителе и 5 в знаменателе сокращаются на 5.

Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа $1\frac{1}{4}$ или десятичной дроби $1.25$.

Проверка:
Четыре пятых от $\frac{5}{4}$ это $\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4} = 1$.
Четыре пятых от $1$ это $\frac{4}{5} \cdot 1 = \frac{4}{5}$.
Результат $\frac{4}{5}$ совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: $\frac{5}{4}$ (или 1,25).

3.112. От числителя и знаменателя дроби 1739 отняли число и получили дробь, равную 415. Какое число отняли?

3.112

Пусть х – искомое число, тогда

$\frac{17 - х}{39 - х} = {\frac{4}{15}}^{\overline{)·2}};$

$$\begin{gathered} \frac{17 - х}{39 - х} = \frac{8}{30}; \\ х = 9. \end{gathered}$$

Ответ: 9.

Какое число отняли?

Пусть $x$ – это неизвестное число, которое отняли от числителя и знаменателя исходной дроби.

Исходная дробь по условию задачи равна $\frac{17}{39}$.

После вычитания числа $x$ из числителя и знаменателя мы получаем новую дробь: $\frac{17 - x}{39 - x}$.

В условии сказано, что эта новая дробь равна $\frac{4}{15}$. Следовательно, мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для дроби:

$\frac{17 - x}{39 - x} = \frac{4}{15}$

Чтобы решить данное уравнение, воспользуемся основным свойством пропорции, которое гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов (правило перекрестного умножения):

$15 \cdot (17 - x) = 4 \cdot (39 - x)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив число перед скобкой на каждый член внутри скобок:

$15 \cdot 17 - 15 \cdot x = 4 \cdot 39 - 4 \cdot x$

$255 - 15x = 156 - 4x$

Далее сгруппируем все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а все постоянные члены — в другой. Перенесем $-15x$ в правую часть (знак изменится на "+"), а 156 — в левую часть (знак изменится на "−"):

$255 - 156 = 15x - 4x$

Выполним вычитание в обеих частях:

$99 = 11x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 11:

$x = \frac{99}{11}$

$x = 9$

Таким образом, отняли число 9. Выполним проверку для подтверждения результата. Отнимем 9 от числителя и знаменателя исходной дроби $\frac{17}{39}$:

$\frac{17 - 9}{39 - 9} = \frac{8}{30}$

Теперь сократим полученную дробь $\frac{8}{30}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2:

$\frac{8 \div 2}{30 \div 2} = \frac{4}{15}$

Результат совпадает с условием задачи, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: 9

3.113. Составьте четыре пропорции из отношений:

а) 27 : 3 и 72 : 9;
б) 1,02 : 0,34 и 7,5 : 2,5;
в) 3,6 · 36 и 5,4 · 24;
г) 0,8 · 1,17 и 5,2 · 0,18.

3.113

$\mathbf{а}\mathbf{)} 27 : 3 \ne 72 : 9 – \mathrm{пропорцию} \mathrm{составить} \mathrm{нельзя}.$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 1,02 : 0,34 = 7,5 : 2,5 \\ 1,02 : 7,5 = 0,34 : 2,5 \\ 2,5 : 0,34 = 7,5 : 1,02 \\ 2,5 : 7,5 = 0,34 : 1,02 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} 3,6 : 5,4 = 24 : 36 \\ 3,6 : 24 = 5,4 : 36 \\ 36 : 5,4 = 24 : 3,6 \\ 36 : 24 = 5,4 : 3,6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0,8 : 5,2 = 0,18 : 1,17 \\ 0,8 : 0,18 = 5,2 : 1,17 \\ 1,17 : 5,2 = 0,18 : 0,8 \\ 1,17 : 0,18 = 5,2 : 0,8. \end{gathered}$$

а) Рассмотрим отношения $27:3$ и $72:9$.

Сначала вычислим значения этих отношений: $27:3 = 9$
$72:9 = 8$
Поскольку $9 \neq 8$, данные отношения не равны, и из них невозможно составить верную пропорцию. В условии задачи, по всей видимости, допущена опечатка. Наиболее вероятный верный вариант — $72:8$, так как $72:8 = 9$, что равно первому отношению. Будем исходить из равенства $27:3 = 72:8$.

Из верной пропорции $a:b=c:d$ можно составить другие верные пропорции, меняя местами ее члены. Составим четыре пропорции из равенства $27:3 = 72:8$:
1. $27:3 = 72:8$ (основная пропорция)
2. $27:72 = 3:8$ (поменяв местами средние члены)
3. $8:3 = 72:27$ (поменяв местами крайние члены)
4. $3:27 = 8:72$ (обратив оба отношения)

Ответ: (с исправлением опечатки) $27:3 = 72:8$; $27:72 = 3:8$; $8:3 = 72:27$; $3:27 = 8:72$.

б) Проверим, равны ли отношения $1,02:0,34$ и $7,5:2,5$.

Вычислим значения отношений:
$1,02:0,34 = 102:34 = 3$
$7,5:2,5 = 75:25 = 3$
Отношения равны, поэтому из них можно составить пропорцию $1,02:0,34 = 7,5:2,5$.

Составим четыре пропорции:
1. $1,02:0,34 = 7,5:2,5$
2. $1,02:7,5 = 0,34:2,5$
3. $2,5:0,34 = 7,5:1,02$
4. $0,34:1,02 = 2,5:7,5$

Ответ: $1,02:0,34 = 7,5:2,5$; $1,02:7,5 = 0,34:2,5$; $2,5:0,34 = 7,5:1,02$; $0,34:1,02 = 2,5:7,5$.

в) В данном пункте даны произведения $3,6 \cdot 36$ и $5,4 \cdot 24$. Проверим, равны ли они.

Вычислим значения произведений:
$3,6 \cdot 36 = 129,6$
$5,4 \cdot 24 = 129,6$
Произведения равны. Это соответствует основному свойству пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних ($a \cdot d = b \cdot c$). Мы можем составить пропорцию, взяв, например, $a=3,6$, $d=36$ в качестве крайних членов и $b=5,4$, $c=24$ в качестве средних. Тогда пропорция будет иметь вид $a:b=c:d$.

Составим четыре пропорции из этих чисел:
1. $3,6:5,4 = 24:36$
2. $3,6:24 = 5,4:36$
3. $36:5,4 = 24:3,6$
4. $5,4:3,6 = 36:24$

Ответ: $3,6:5,4 = 24:36$; $3,6:24 = 5,4:36$; $36:5,4 = 24:3,6$; $5,4:3,6 = 36:24$.

г) Аналогично предыдущему пункту, проверим равенство произведений $0,8 \cdot 1,17$ и $5,2 \cdot 0,18$.

Вычислим произведения:
$0,8 \cdot 1,17 = 0,936$
$5,2 \cdot 0,18 = 0,936$
Произведения равны. Используя основное свойство пропорции ($a \cdot d = b \cdot c$), составим пропорции. Пусть $a=0,8, d=1,17$ — крайние члены, а $b=5,2, c=0,18$ — средние члены. Основная пропорция: $a:b=c:d$.

Составим четыре пропорции:
1. $0,8:5,2 = 0,18:1,17$
2. $0,8:0,18 = 5,2:1,17$
3. $1,17:5,2 = 0,18:0,8$
4. $5,2:0,8 = 1,17:0,18$

Ответ: $0,8:5,2 = 0,18:1,17$; $0,8:0,18 = 5,2:1,17$; $1,17:5,2 = 0,18:0,8$; $5,2:0,8 = 1,17:0,18$.

3.114. Сколько:

а) метров в 1 мм; б) аров в 1 м²; в) суток в 1 ч; г) литров в 1 см³?

3.114

а) 1 м = 1000 мм, поэтому 1 мм = 0,001 м

б) 1ар = 100 м², поэтому 1 м² = 0,01 а

в) 1 сутки = 24 ч, поэтому 1 ч = $\frac{1}{24}$ суток

г) 1 л = 1 дм³ = 1000 см³, поэтому 1 дм³ = 0,001 л

а) Чтобы найти, сколько метров в одном миллиметре, нужно вспомнить соотношение этих единиц длины. В одном метре содержится 1000 миллиметров: $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$. Следовательно, один миллиметр составляет одну тысячную часть метра: $1 \text{ мм} = \frac{1}{1000} \text{ м} = 0.001 \text{ м}$.
Ответ: $0.001 \text{ м}$.

б) Ар (также называемый "сотка") — это единица измерения площади, равная площади квадрата со стороной 10 метров. Таким образом, один ар равен $10 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 100 \text{ м}^2$. Чтобы найти, сколько аров в одном квадратном метре, нужно разделить 1 на 100: $1 \text{ м}^2 = \frac{1}{100} \text{ ар} = 0.01 \text{ ар}$.
Ответ: $0.01 \text{ ар}$.

в) Сутки — это единица измерения времени, равная 24 часам. Чтобы выразить один час в сутках, нужно разделить 1 на 24. Таким образом, один час составляет одну двадцать четвертую часть суток: $1 \text{ ч} = \frac{1}{24} \text{ суток}$.
Ответ: $\frac{1}{24} \text{ суток}$.

г) Литр — это единица измерения объёма. Один литр равен одному кубическому дециметру: $1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$. В одном дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$), следовательно, в одном кубическом дециметре содержится $10^3$ или 1000 кубических сантиметров: $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$. Таким образом, $1 \text{ л} = 1000 \text{ см}^3$. Отсюда следует, что один кубический сантиметр составляет одну тысячную часть литра: $1 \text{ см}^3 = \frac{1}{1000} \text{ л} = 0.001 \text{ л}$.
Ответ: $0.001 \text{ л}$.

3.115. Объём призмы в 3 раза больше объёма пирамиды, у которой высота и основание равны высоте и основанию призмы (рис. 3.8). Найдите объём четырёхугольной пирамиды, в основании которой прямоугольник со сторонами 34 м и 89 м, а высота равна 9 м.

3.115

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3}{4} · \frac{8}{9} · 9 = \frac{3 · {\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{8}}} · \cancel{9}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{4}}} · \cancel{9}} = \frac{3 · 2 · 1}{1 · 1} =6$ (м³) – объем четырехугольной призмы;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 6 : 3 = 2$(м³) – объем четырехугольной пирамиды.

Ответ: 2 м³.

Для решения задачи необходимо найти объём четырёхугольной пирамиды. Первая часть условия ("Объём призмы в 3 раза больше объёма пирамиды...") является теоретическим утверждением, которое служит подсказкой. Формула для вычисления объёма пирамиды как раз и содержит коэффициент $\frac{1}{3}$ по сравнению с формулой объёма призмы с теми же основанием и высотой.

Формула для объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота.

1. Найдём площадь основания пирамиды

В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами $a = \frac{3}{4}$ м и $b = \frac{8}{9}$ м. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон:

$S_{осн} = a \cdot b = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}$

Умножим дроби, предварительно сократив их для упрощения вычислений:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 9} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$ м².

2. Найдём объём пирамиды

Высота пирамиды дана в условии и равна $h = 9$ м. Теперь подставим значения площади основания и высоты в формулу для объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot 9$

Выполним вычисление:

$V = \frac{1 \cdot 2 \cdot 9}{3 \cdot 3} = \frac{18}{9} = 2$ м³.

Ответ: 2 м³.

3.116. Для приготовления гарнира из 0,2 кг гречневой крупы нужно взять 600 мл воды. Сколько воды потребуется, чтобы приготовить гарнир из 0,7 кг крупы?

3.116

$\frac{0,2}{0,7} = \frac{600}{х};$

$х = \frac{0,7 · 600}{0,2} = \frac{7 · {\displaystyle \stackrel{300}{\cancel{600}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} = \frac{7 · 300}{1} = 2100$ (мл) – воды потребуется.

Ответ: 2100 мл.

Для решения этой задачи нужно установить зависимость между количеством гречневой крупы и количеством воды. Так как для большего количества крупы требуется больше воды, эта зависимость является прямой пропорциональностью.

Из условия задачи мы знаем:

• На 0,2 кг гречневой крупы требуется 600 мл воды.
• Нам нужно найти, сколько воды потребуется для 0,7 кг гречневой крупы.

Обозначим искомое количество воды через $x$ (в мл). Теперь мы можем составить пропорцию:
0,2 кг крупы относится к 600 мл воды так же, как 0,7 кг крупы относится к $x$ мл воды.

Математически это можно записать в виде равенства двух отношений:
$ \frac{0.2}{600} = \frac{0.7}{x} $

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции ($x$), нужно перемножить средние члены (600 и 0,7) и разделить на известный крайний член (0,2).
$ x = \frac{600 \cdot 0.7}{0.2} $

Выполним вычисления:
1. Сначала вычислим произведение в числителе:
$ 600 \cdot 0.7 = 420 $
2. Теперь разделим результат на знаменатель:
$ x = \frac{420}{0.2} $
Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, можно умножить и числитель, и знаменатель на 10:
$ x = \frac{4200}{2} = 2100 $

Таким образом, для приготовления гарнира из 0,7 кг гречневой крупы потребуется 2100 мл воды. Это количество эквивалентно 2,1 литра.

Ответ: 2100 мл.

3.117. С первого поля площадью 4,5 га собрали 15,3 т ячменя. Какова площадь второго поля, если при одинаковой урожайности с него собрали 18,7 т ячменя?

3.117

$\frac{4,5}{х} = \frac{15,3}{18,7};$

$х = \frac{4,5 · 18,7}{15,3} = \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{45}}} · 18,7}{{\displaystyle \underset{17}{\cancel{153}}}} =\frac{5 ·{\displaystyle \stackrel{1,1}{\cancel{ 18,7}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{17}}}} =$

$= \frac{5 · 1,1}{1}= 5,5$ (га) – площадь второго поля.

Ответ: 5,5 га.

Для решения этой задачи необходимо сначала определить урожайность ячменя, то есть количество тонн, собираемых с одного гектара. По условию, урожайность на обоих полях одинаковая.

Сначала вычислим урожайность, используя данные по первому полю. Для этого разделим массу собранного ячменя на площадь этого поля:

$15,3 \text{ т} \div 4,5 \text{ га} = 3,4$ т/га.

Таким образом, урожайность составляет $3,4$ тонны с гектара.

Теперь, зная урожайность и массу ячменя, собранного со второго поля ($18,7$ т), мы можем найти его площадь. Для этого разделим массу урожая со второго поля на вычисленную урожайность:

$18,7 \text{ т} \div 3,4 \text{ т/га} = 5,5$ га.

Эту задачу можно также решить с помощью пропорции. Пусть $S_2$ — искомая площадь второго поля. Поскольку урожайность (отношение массы к площади) одинакова, можно составить следующее равенство:

$\frac{\text{масса}_1}{\text{площадь}_1} = \frac{\text{масса}_2}{\text{площадь}_2}$

$\frac{15,3}{4,5} = \frac{18,7}{S_2}$

Чтобы найти $S_2$, выразим его из пропорции:

$S_2 = \frac{18,7 \times 4,5}{15,3} = \frac{84,15}{15,3} = 5,5$ га.

Ответ: площадь второго поля составляет $5,5$ га.

3.118. Постройте развёрнутый угол и проведите внутри него из вершины два луча, угол между которыми 144º. Закрасьте угол между этими лучами. Какая часть развёрнутого угла окажется закрашенной и какая часть останется незакрашенной?

3.118

$144 : 180 = \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{144}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{180}}}} = \frac{4}{5}$ развернутого угла – закрашено 

$1 - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ развернутого угла – не закрашено.

Развёрнутый угол по определению равен $180^\circ$. Эта величина принимается за целое.

Согласно условию, внутри этого угла был построен и закрашен другой угол, равный $144^\circ$.

Какая часть развёрнутого угла окажется закрашенной

Чтобы определить, какую часть закрашенный угол составляет от развёрнутого, необходимо найти отношение их градусных мер.

$\frac{\text{Закрашенный угол}}{\text{Развёрнутый угол}} = \frac{144^\circ}{180^\circ}$

Теперь нужно сократить полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 144 и 180 равен 36. Разделим числитель и знаменатель на 36:

$\frac{144 \div 36}{180 \div 36} = \frac{4}{5}$

Следовательно, закрашенная часть составляет $\frac{4}{5}$ от всего развёрнутого угла.

Ответ: $\frac{4}{5}$

и какая часть останется незакрашенной?

Незакрашенная часть — это разность между всем развёрнутым углом и его закрашенной частью.

Сначала найдём градусную меру незакрашенной части:

$180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$

Теперь определим, какую долю этот угол ($36^\circ$) составляет от развёрнутого угла ($180^\circ$):

$\frac{36^\circ}{180^\circ} = \frac{36 \div 36}{180 \div 36} = \frac{1}{5}$

Также можно было найти эту часть, вычтя долю закрашенной части из единицы (целого):

$1 - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

Таким образом, незакрашенной осталась $\frac{1}{5}$ развёрнутого угла.

Ответ: $\frac{1}{5}$

3.119. 1) Сумма двух чисел равна 6,5. Найдите эти числа, если меньшее число равно 14 большего числа.

2) Разность двух чисел равна 3,2. Найдите эти числа, если меньшее число равно 13 большего числа.

3.119

1) Пусть х – больше число, тогда $\frac{1}{4} х$ – меньшее число. Зная, что их сумма равна 6,5 составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 1) х + \frac{1}{4} х = 6,5; \\ 1\frac{1}{4} х = 6\frac{1}{2}; \\ \frac{5}{4} х = \frac{13}{2}; \\ х = \frac{13}{2} : \frac{5}{4}; \\ х = \frac{13}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}}{5}; \\ х = \frac{13 · 2}{1 · 5}; \\ х = \frac{26}{5}; \\ х = 5\frac{1}{5} - \mathrm{большее} \mathrm{число}. \\ 2) 5\frac{1}{5} · \frac{1}{4} = \frac{{\displaystyle \stackrel{13}{\cancel{26}}}}{5} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{4}}}} = \frac{13}{10} = 1,3 - \mathrm{меньшее} \mathrm{число}. \end{gathered}$$

Ответ: $5\frac{1}{5}; 1,3.$

2) Пусть х – большее число, тогда $\frac{1}{3} х$ – меньшее число. Зная, что их разность равна 3,2 составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} 1) х - \frac{1}{3} х = 3,2; \\ \frac{2}{3} х = 3\frac{1}{5}; \\ \frac{2}{3} х = \frac{16}{5}; \\ х = \frac{16}{5} : \frac{2}{3}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{16}}}}{5} · \frac{3}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}; \\ х = \frac{8 · 3}{5}; \\ х = \frac{24}{5}; \\ х = 4\frac{4}{5} - \mathrm{большее} \mathrm{число}. \\ 2) \frac{1}{3} · 4\frac{4}{5} = \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\cancel{24}}}}{5} = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} - \mathrm{меньшее} \mathrm{число}. \end{gathered}$$

Ответ: $4\frac{4}{5}; 1\frac{3}{5}.$

1) Обозначим большее число как $x$, а меньшее как $y$.

Согласно условию задачи, у нас есть система из двух уравнений:

1. Сумма чисел равна 6,5: $x + y = 6,5$

2. Меньшее число равно $\frac{1}{4}$ большего: $y = \frac{1}{4}x$

Подставим второе уравнение в первое:

$x + \frac{1}{4}x = 6,5$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{4}{4}x + \frac{1}{4}x = 6,5$

$\frac{5}{4}x = 6,5$

Теперь найдем $x$:

$x = 6,5 \div \frac{5}{4} = 6,5 \times \frac{4}{5} = \frac{26}{5} = 5,2$

Мы нашли большее число. Теперь найдем меньшее, подставив значение $x$ во второе уравнение:

$y = \frac{1}{4} \times 5,2 = \frac{5,2}{4} = 1,3$

Проверим: сумма $5,2 + 1,3 = 6,5$. Условие выполняется.

Ответ: 5,2 и 1,3.

2) Обозначим большее число как $x$, а меньшее как $y$.

Составим систему уравнений на основе условий задачи:

1. Разность чисел равна 3,2: $x - y = 3,2$

2. Меньшее число равно $\frac{1}{3}$ большего: $y = \frac{1}{3}x$

Подставим второе уравнение в первое:

$x - \frac{1}{3}x = 3,2$

Упростим выражение в левой части:

$\frac{3}{3}x - \frac{1}{3}x = 3,2$

$\frac{2}{3}x = 3,2$

Найдем $x$:

$x = 3,2 \div \frac{2}{3} = 3,2 \times \frac{3}{2} = \frac{9,6}{2} = 4,8$

Теперь найдем меньшее число $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение:

$y = \frac{1}{3} \times 4,8 = \frac{4,8}{3} = 1,6$

Проверим: разность $4,8 - 1,6 = 3,2$. Условие выполняется.

Ответ: 4,8 и 1,6.

3.120. Решите пропорцию:

1) 2712615 = y2,2; 2) 234418 = 1,6t.

3.120

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2{\displaystyle \frac{7}{12}}}{6{\displaystyle \frac{1}{5}}}\mathbf{ }= \frac{у}{2,2}; \\ 6\frac{1}{5} · у = 2\frac{7}{12} · 2,2; \\ у = 2\frac{7}{12} · 2,2 : 6\frac{1}{5}; \\ у = \frac{31}{12} · \frac{22}{10} : \frac{31}{5}; \\ у = \frac{\cancel{31}}{{\displaystyle \underset{6}{\sout{12}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{11}{\sout{22}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{\cancel{31}}; \\ у = \frac{1 · 11 · 1}{6 · 2 · 1}; \\ у = \frac{11}{12}. \\ \mathrm{Ответ}: \frac{11}{12}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2{\displaystyle \frac{3}{4}}}{4{\displaystyle \frac{1}{8}} } = \frac{1,6}{t}; \\ 2\frac{3}{4} · t = 4\frac{1}{8} · 1,6; \\ t = 4\frac{1}{8} · 1,6 : 2\frac{3}{4}; \\ t = \frac{33}{8} · \frac{16}{10} : \frac{11}{4}; \\ t = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{33}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{8}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\bcancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\sout{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\sout{4}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}}; \\ t = \frac{3 · 2 · 2}{1 · 5 · 1}; \\ t = \frac{12}{5}; \\ t = 2\frac{2}{5}. \\ \mathrm{Ответ}: 2\frac{2}{5}. \end{gathered}$$

1) Дана пропорция: $\frac{2\frac{7}{12}}{6\frac{1}{5}} = \frac{y}{2,2}$

Для решения преобразуем смешанные числа и десятичную дробь в более удобный для вычислений вид. Проще всего работать с неправильными дробями.

Преобразуем числа:

$2\frac{7}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{24 + 7}{12} = \frac{31}{12}$

$6\frac{1}{5} = \frac{6 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{30 + 1}{5} = \frac{31}{5}$

$2,2 = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$

Теперь упростим левую часть пропорции (отношение двух смешанных чисел):

$\frac{2\frac{7}{12}}{6\frac{1}{5}} = \frac{\frac{31}{12}}{\frac{31}{5}} = \frac{31}{12} \div \frac{31}{5} = \frac{31}{12} \cdot \frac{5}{31} = \frac{5}{12}$

После упрощения пропорция принимает вид:

$\frac{5}{12} = \frac{y}{2,2}$

Согласно основному свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), имеем:

$12 \cdot y = 5 \cdot 2,2$

$12y = 11$

Отсюда находим $y$:

$y = \frac{11}{12}$

Ответ: $y = \frac{11}{12}$

2) Дана пропорция: $\frac{2\frac{3}{4}}{4\frac{1}{8}} = \frac{1,6}{t}$

Аналогично первому пункту, преобразуем все числа в неправильные дроби.

$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{8 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

$4\frac{1}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{32 + 1}{8} = \frac{33}{8}$

$1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$

Упростим левую часть пропорции:

$\frac{2\frac{3}{4}}{4\frac{1}{8}} = \frac{\frac{11}{4}}{\frac{33}{8}} = \frac{11}{4} \div \frac{33}{8} = \frac{11}{4} \cdot \frac{8}{33} = \frac{11 \cdot 8}{4 \cdot 33} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$

Теперь пропорция выглядит так:

$\frac{2}{3} = \frac{1,6}{t}$

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции $t$, нужно перемножить средние члены ($3$ и $1,6$) и разделить на известный крайний член ($2$):

$t = \frac{3 \cdot 1,6}{2}$

$t = \frac{4,8}{2}$

$t = 2,4$

Ответ: $t = 2,4$

3.121. Найдите по карте расстояние от Москвы до Екатеринбурга.

3.121

$\frac{5,8}{1} = \frac{х}{30 000 000};$

$х = \frac{5,8 · 30 000 000}{1} = 174 000 000 \left(\mathrm{см}\right) = 1740 \left(\mathrm{км}\right)$

Ответ: 1740 км.

Для решения этой задачи требуется карта с указанным на ней масштабом, поскольку в условии сказано «Найдите по карте». Так как сама карта отсутствует, выполнить точное вычисление на основе предоставленных данных невозможно.

Вместо этого можно привести общий алгоритм для решения подобных задач и использовать справочные данные для получения приблизительного ответа.

Общий алгоритм решения

1. Найдите на карте города Москва и Екатеринбург.

2. С помощью линейки измерьте расстояние между центрами этих городов на карте. Обозначим это расстояние как $d_{карта}$ (например, в сантиметрах).

3. Определите численный масштаб карты, который обычно указывается в легенде (например, $1:20\,000\,000$). Масштаб $1:M$ означает, что 1 см на карте соответствует $M$ см в реальности.

4. Рассчитайте реальное расстояние $D_{реальное}$, умножив измеренное на карте расстояние на знаменатель масштаба: $D_{реальное} = d_{карта} \times M$.

5. Переведите полученное расстояние в километры. Для этого необходимо разделить значение в сантиметрах на 100 000, так как $1 \text{ км} = 100\,000 \text{ см}$.

Пример расчета

Допустим, мы используем учебную карту России с масштабом $1:25\,000\,000$. Измерив расстояние на этой карте, мы получили $d_{карта} \approx 5,7 \text{ см}$.

1. Рассчитаем реальное расстояние в сантиметрах:$D_{реальное} = 5,7 \text{ см} \times 25\,000\,000 = 142\,500\,000 \text{ см}$

2. Переведем это расстояние в километры:$D_{реальное} = \frac{142\,500\,000 \text{ см}}{100\,000 \text{ см/км}} = 1425 \text{ км}$

Полученное значение является приблизительным и зависит от конкретной карты и точности измерений. Расстояние по прямой (по воздуху) между Москвой и Екатеринбургом составляет около 1416 км, а по автомобильным дорогам — около 1780 км. Результат нашего расчета близок к реальному расстоянию по прямой.

Ответ: Для точного решения задачи необходима карта, не приложенная к условию. Используя гипотетическую карту с масштабом $1:25\,000\,000$, расчетное расстояние между Москвой и Екатеринбургом составляет примерно 1425 км.

3.122. Начертите план одной из комнат в вашей квартире, доме, измерив её длину и ширину. Выберите масштаб 1100.

3.122

$$\begin{gathered} \frac{х}{1} = \frac{3}{100}; \\ х = \frac{3 · 1 }{100} = 0,03 \left(\mathrm{м}\right) = 3 \left(\mathrm{см}\right) - \mathrm{ширина}; \\ \frac{\mathrm{х}}{1} = \frac{2}{100}; \\ \mathrm{х} = \frac{2 · 1 }{100} = 0,02 \left(\mathrm{м}\right) = 2 \left(\mathrm{см}\right) - \mathrm{длина}; \end{gathered}$$

Ответ: 3 см; 2 см.

Данная задача является практической. Для её решения необходимо последовательно выполнить несколько действий. Поскольку у меня нет возможности измерить реальную комнату, я продемонстрирую ход решения на примере комнаты с гипотетическими размерами.

1. Измерение длины и ширины комнаты

Первый шаг — это измерение фактических размеров комнаты. Воспользуемся рулеткой и измерим длину и ширину. Предположим, измерения дали следующие результаты:
- Длина комнаты: 5 метров.
- Ширина комнаты: 3.5 метра.

Ответ: Реальные размеры комнаты: длина — 5 м, ширина — 3.5 м.

2. Расчет размеров для плана в масштабе $\frac{1}{100}$

Масштаб $1:100$ (или $\frac{1}{100}$) означает, что каждый 1 см на плане соответствует 100 см в реальности. Поскольку 100 см — это 1 метр, можно сказать, что 1 см на плане равен 1 метру в действительности.

Чтобы найти размеры сторон комнаты на плане, нужно её реальные размеры перевести в сантиметры и затем разделить на 100.
Переведем метры в сантиметры:
Длина: $ 5 \text{ м} = 5 \times 100 \text{ см} = 500 \text{ см} $.
Ширина: $ 3.5 \text{ м} = 3.5 \times 100 \text{ см} = 350 \text{ см} $.

Теперь рассчитаем размеры для плана:
Длина на плане: $ \frac{500 \text{ см}}{100} = 5 \text{ см} $.
Ширина на плане: $ \frac{350 \text{ см}}{100} = 3.5 \text{ см} $.

Ответ: Размеры комнаты на плане: длина — 5 см, ширина — 3.5 см.

3. Построение плана комнаты

Заключительный шаг — начертить план на бумаге с помощью линейки и карандаша, используя рассчитанные размеры.
1. Начертите отрезок длиной 5 см. Это будет длина комнаты на плане.
2. Из концов этого отрезка под прямым углом ($90^\circ$) проведите два отрезка длиной 3.5 см каждый. Это будет ширина комнаты.
3. Соедините свободные концы двух новых отрезков. В результате должен получиться прямоугольник со сторонами 5 см и 3.5 см.

Этот прямоугольник и является планом комнаты, выполненным в масштабе $1:100$. Рекомендуется также указать на чертеже масштаб и реальные размеры.

Ответ: Итоговый план комнаты представляет собой прямоугольник со сторонами 5 см и 3.5 см, начерченный на бумаге.

3.123. Играя в пиратов, ребята закопали сокровища в 3,5 м от рябины, изобразив на карте это расстояние отрезком, равным 4 см. Каков масштаб на карте ребят?

3.123

$$\begin{gathered} \frac{4}{1} = \frac{350}{х}; \\ х = \frac{1 · 350}{4} = 8 \left(\mathrm{см}\right) = 87,5 \end{gathered}$$

Ответ: 1 : 87,5.

Масштаб карты — это отношение длины отрезка на карте к соответствующей ему длине на реальной местности. Для вычисления масштаба необходимо, чтобы обе длины были выражены в одинаковых единицах измерения.

По условию задачи, расстояние на местности составляет 3,5 м, а на карте это расстояние изображено отрезком в 4 см.

Сначала переведем расстояние на местности из метров в сантиметры, чтобы единицы измерения совпадали. Мы знаем, что в 1 метре 100 сантиметров:
$3,5 \text{ м} = 3,5 \times 100 \text{ см} = 350 \text{ см}$.

Теперь мы можем найти масштаб, составив отношение длины отрезка на карте к реальному расстоянию на местности:
Масштаб $= \frac{\text{расстояние на карте}}{\text{расстояние на местности}} = \frac{4 \text{ см}}{350 \text{ см}}$.

Обычно масштаб представляют в виде $1:N$. Чтобы привести полученное отношение к такому виду, нужно разделить и числитель, и знаменатель дроби на число, стоящее в числителе (в данном случае на 4):
$\frac{4}{350} = \frac{4 \div 4}{350 \div 4} = \frac{1}{87,5}$.

Таким образом, масштаб карты составляет 1:87,5. Это означает, что 1 сантиметр на карте соответствует 87,5 сантиметрам на местности.

Ответ: 1:87,5.

3.124. Расстояние между двумя соседними станциями метро на плане города 5 см. Чему равно это расстояние на местности, если масштаб плана 1 : 90 000?

3.124

$$\begin{gathered} \frac{5}{1} = \frac{х}{90 000}; \\ х = \frac{5 · 90 000}{1} = 450 000 \left(\mathrm{см}\right) = 4,5 \left(\mathrm{км}\right). \end{gathered}$$

Ответ: 4,5 км.

Масштаб плана 1 : 90 000 означает, что 1 сантиметр на плане соответствует 90 000 сантиметрам на местности. В задаче дано, что расстояние между станциями на плане равно 5 см.

Чтобы найти реальное расстояние на местности, нужно умножить расстояние на плане на знаменатель масштаба. Сначала вычислим искомое расстояние в сантиметрах:

$5 \text{ см} \times 90000 = 450000 \text{ см}$

Теперь переведем полученное значение в более удобные единицы измерения. Сначала в метры, зная, что в 1 метре 100 сантиметров:

$450000 \text{ см} \div 100 = 4500 \text{ м}$

Затем переведем метры в километры, зная, что в 1 километре 1000 метров:

$4500 \text{ м} \div 1000 = 4,5 \text{ км}$

Таким образом, реальное расстояние между двумя соседними станциями метро составляет 4,5 километра.

Ответ: 4,5 км.

3.125. Расстояние между озёрами равно 13 км. Каким отрезком будет изображено это расстояние на карте, масштаб которой 1 : 100 000?

3.125

$$\begin{gathered} \frac{х}{1} = \frac{13}{100 000}; \\ х = \frac{1 · 13}{100 00} = 0,00013 \left(\mathrm{км}\right) = 13 \left(\mathrm{см}\right). \end{gathered}$$

Ответ: 13 см.

Масштаб карты $1 : 100 \, 000$ означает, что 1 сантиметр на карте соответствует $100 \, 000$ сантиметрам на местности.

Чтобы найти, каким отрезком будет изображено расстояние на карте, необходимо сначала перевести реальное расстояние в сантиметры.

1. Переведем километры в сантиметры. В одном километре $100 \, 000$ сантиметров, так как $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$ и $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, следовательно $1 \text{ км} = 1000 \times 100 = 100 \, 000 \text{ см}$.
Реальное расстояние между озёрами составляет 13 км, что в сантиметрах будет:
$13 \text{ км} = 13 \times 100 \, 000 \text{ см} = 1 \, 300 \, 000 \text{ см}$.

2. Теперь, зная реальное расстояние в сантиметрах, найдем соответствующую ему длину отрезка на карте. Для этого разделим реальное расстояние на знаменатель масштаба:
Длина отрезка на карте = $\frac{1 \, 300 \, 000}{100 \, 000} = 13 \text{ см}$.

Ответ: 13 см.

3.126. Один из размеров детали на чертеже, сделанном в тетради ученика в масштабе 1 : 2, равен 9,6 см. Найдите, чему равен этот же размер детали на чертеже, сделанном учителем на доске в масштабе 5 : 1.

3.126

$$\begin{gathered} \frac{9,6}{1} = \frac{х}{2}; \\ х = \frac{2 · 9,6}{1} = 19,2 \left(\mathrm{см}\right) - \mathrm{размер} \mathrm{детали}. \end{gathered}$$

$\frac{х}{5} = \frac{19,2}{1};$

$х = \frac{5 · 19,2}{1} = 96 \left(\mathrm{см}\right)$– сторона детали в масштабе 5:1;

Ответ: 96 см.

Для решения этой задачи нужно выполнить два шага: сначала найти реальный размер детали, используя данные чертежа ученика, а затем, зная реальный размер, вычислить, каким он будет на чертеже учителя.

Масштаб чертежа ученика $1:2$ означает, что размер детали на чертеже в 2 раза меньше ее реального размера. Размер на чертеже ученика равен 9,6 см. Найдем реальный размер детали (обозначим его как $L_{реал}$):
$L_{реал} = 9,6 \text{ см} \times 2 = 19,2 \text{ см}$

Таким образом, реальный размер детали составляет 19,2 см.

Теперь используем реальный размер детали для нахождения ее размера на чертеже учителя. Масштаб чертежа учителя $5:1$ означает, что размер детали на чертеже в 5 раз больше ее реального размера. Найдем размер на чертеже учителя (обозначим его как $L_{учитель}$):
$L_{учитель} = L_{реал} \times 5 = 19,2 \text{ см} \times 5 = 96 \text{ см}$

Ответ: 96 см.

1. Упростите выражение:

а) −с + с; б) −с − с; в) −с − (−с); г) 0 − (−с); д) 0 + (−с); е) −с · (−1); ж) −с · 0; з) −с : (−с), с ≠ 0; и) с : (−с), с ≠ 0.

Проверочная работа (итоговая) № 2

1.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }– \mathrm{с} + \mathrm{с} = 0 \\ \mathbf{ }\mathbf{б}\mathbf{)} – \mathrm{с} – \mathrm{с} = -2\mathrm{с} \\ \mathbf{в}\mathbf{)} –\mathrm{с} – (-\mathrm{с}) = -\mathrm{с} + \mathrm{с} = 0 \\ \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0 – (-\mathrm{с}) = 0 + \mathrm{с} = \mathrm{с} \\ \mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }0 + (-\mathrm{с}) = -\mathrm{с} \\ \mathbf{е}\mathbf{)}\mathbf{ }–\mathrm{с} · (-1) = \mathrm{с}, \mathrm{с} \ne 0 \\ \mathbf{ж}\mathbf{)} –\mathrm{с} · 0 = 0 \\ \mathbf{з}\mathbf{)}\mathbf{ }–\mathrm{с} : (-\mathrm{с}) = 1 \\ \mathbf{и}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{с} : (-\mathrm{с}) = -1, \mathrm{с} \ne 0 \end{gathered}$$

а) Данное выражение представляет собой сумму двух противоположных чисел: $-c$ и $c$. По определению, сумма противоположных чисел всегда равна нулю.
$-c + c = 0$.
Ответ: 0

б) Выражение $-c - c$ можно представить как сложение двух подобных слагаемых: $-c + (-c)$. Складывая коэффициенты при переменной $c$, получаем:
$-c - c = (-1)c + (-1)c = (-1 - 1)c = -2c$.
Ответ: $-2c$

в) В выражении $-c - (-c)$ происходит вычитание отрицательного числа. Вычитание отрицательного числа эквивалентно прибавлению противоположного ему положительного числа.
$-c - (-c) = -c + c$.
Как и в пункте а), мы получили сумму противоположных чисел, которая равна нулю.
Ответ: 0

г) В выражении $0 - (-c)$ из нуля вычитается отрицательное число. Это действие равносильно прибавлению к нулю противоположного числа, то есть $c$.
$0 - (-c) = 0 + c$.
Прибавление нуля не изменяет число.
$0 + c = c$.
Ответ: $c$

д) В выражении $0 + (-c)$ к нулю прибавляется число $-c$. Сложение с нулём не изменяет исходное число.
$0 + (-c) = -c$.
Ответ: $-c$

е) В выражении $-c \cdot (-1)$ перемножаются два числа с отрицательными знаками. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом ("минус" на "минус" даёт "плюс").
$-c \cdot (-1) = c \cdot 1 = c$.
Ответ: $c$

ж) Выражение $-c \cdot 0$ представляет собой произведение числа на ноль. Согласно свойству умножения, произведение любого числа на ноль всегда равно нулю.
$-c \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

з) В выражении $-c : (-c)$ выполняется деление числа на само себя. Условие $c \neq 0$ гарантирует, что делитель не равен нулю, поэтому деление возможно. Любое ненулевое число, делённое на само себя, равно 1.
$-c : (-c) = 1$.
Ответ: 1

и) В выражении $c : (-c)$ выполняется деление числа на противоположное ему число. Условие $c \neq 0$ гарантирует, что делитель не равен нулю. При делении чисел с разными знаками результат отрицателен. Так как абсолютные величины (модули) делимого и делителя равны, частное будет равно -1.
$c : (-c) = -1$.
Ответ: -1

2. В магазин поступило 600 учебников. В первый день продали 25, а на следующий день 38 всего количества учебников. Сколько учебников осталось?

2.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{2}{5}}^{\overline{)·8}} + {\frac{3}{8}}^{\overline{)·5}} = \frac{16}{40} + \frac{15}{40} = \frac{31}{40}$всех учебников – продали за два дня;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }1 - \frac{31}{40} = \frac{40}{40} - \frac{31}{40} = \frac{9}{40}$ всех учебников – осталось;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\stackrel{15}{ \cancel{600} }· \frac{9}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{40}}}} = 15 · \frac{9}{1} = 135$ (уч.) – осталось.

Ответ: 135 учебников.

Для решения задачи необходимо выполнить последовательные вычисления в несколько этапов.

1. Найдём количество учебников, проданных в первый день.
В первый день было продано $\frac{2}{5}$ от общего числа учебников (600). Чтобы найти эту величину, нужно общее количество умножить на соответствующую дробь:
$600 \cdot \frac{2}{5} = \frac{600 \cdot 2}{5} = 120 \cdot 2 = 240$ (учебников).

2. Найдём количество учебников, проданных на следующий день.
На следующий день было продано $\frac{3}{8}$ от общего числа учебников. Выполним аналогичный расчёт:
$600 \cdot \frac{3}{8} = \frac{600 \cdot 3}{8} = 75 \cdot 3 = 225$ (учебников).

3. Найдём общее количество проданных учебников за два дня.
Для этого сложим количество учебников, проданных в первый и во второй день:
$240 + 225 = 465$ (учебников).

4. Найдём количество оставшихся учебников.
Теперь вычтем из общего количества поступивших учебников общее количество проданных за два дня:
$600 - 465 = 135$ (учебников).

Ответ: 135 учебников.

3. Разность двух чисел составляет 45 уменьшаемого. На сколько процентов уменьшаемое больше вычитаемого?

3.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }1 -\frac{4}{5} = \frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$– составляет вычитаемое от уменьшаемого;

$\frac{1}{5} = 0,2 \mathrm{или} 20\%$

$\mathbf{2}\mathbf{)} 100\% – 20\% = 80\%$- уменьшаемое больше вычитаемого

Ответ: на 80%.

Обозначим уменьшаемое как $a$, а вычитаемое как $b$.

Согласно условию задачи, разность двух чисел составляет $\frac{4}{5}$ от уменьшаемого. Запишем это в виде математического уравнения:

$a - b = \frac{4}{5}a$

Наша цель — найти, на сколько процентов уменьшаемое ($a$) больше вычитаемого ($b$). Для этого нам нужно вычислить значение выражения $\frac{a - b}{b} \cdot 100\%$.

Сначала найдем соотношение между $a$ и $b$ из исходного уравнения. Выразим $b$ через $a$:

$b = a - \frac{4}{5}a$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$b = \frac{5a - 4a}{5}$

$b = \frac{1}{5}a$

Из этого соотношения следует, что $a = 5b$.

Теперь мы можем найти, на сколько процентов $a$ больше $b$. Для этого подставим полученное соотношение в формулу процентного различия. За основу для сравнения (100%) мы берем вычитаемое $b$.

Процентное различие $= \frac{a - b}{b} \cdot 100\%$

Подставим $a = 5b$ в числитель:

Процентное различие $= \frac{5b - b}{b} \cdot 100\% = \frac{4b}{b} \cdot 100\%$

Сократим $b$ в числителе и знаменателе:

Процентное различие $= 4 \cdot 100\% = 400\%$

Таким образом, уменьшаемое больше вычитаемого на 400%.

Ответ: на 400%.

4. Сумма двух чисел равна 9,1 и одно из них составляет 25 другого. Найдите эти числа.

4.

Пусть х – одно число, тогда $\frac{2}{5}х$ – другое число. Зная, что их сумма равна 9,1, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} х + \frac{2}{5} х =9,1; \\ 1\frac{2}{5} х =9,1; \\ \frac{7}{5} х = \frac{91}{10}; \\ х = \frac{91}{10} : \frac{7}{5}; \\ х = \frac{{\displaystyle \stackrel{13}{\cancel{91}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\bcancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\bcancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}}; \\ х = \frac{13}{2} · \frac{1}{1}; \end{gathered}$$

х = 6,5 – одно число

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } 9,1 – 6,5 = 2,6$ – другое число.

Ответ: 2,6 и 6,5.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть одно число будет $x$, а второе — $y$.

Исходя из условия задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Сумма двух чисел равна 9,1:

$x + y = 9,1$

2. Одно из них составляет $\frac{2}{5}$ другого. Пусть $x$ будет этим числом:

$x = \frac{2}{5}y$

Теперь решим эту систему уравнений. Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$\frac{2}{5}y + y = 9,1$

Сложим слагаемые с $y$. Для этого представим $y$ в виде дроби со знаменателем 5, то есть $y = \frac{5}{5}y$:

$\frac{2}{5}y + \frac{5}{5}y = 9,1$

$\frac{7}{5}y = 9,1$

Чтобы найти $y$, разделим 9,1 на $\frac{7}{5}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь ($\frac{5}{7}$):

$y = 9,1 \div \frac{7}{5} = 9,1 \times \frac{5}{7}$

Проведем вычисление:

$y = \frac{9,1 \times 5}{7} = \frac{45,5}{7} = 6,5$

Итак, мы нашли второе число: $y = 6,5$.

Теперь найдем первое число $x$, подставив значение $y$ во второе уравнение $x = \frac{2}{5}y$:

$x = \frac{2}{5} \times 6,5$

Для удобства вычислений можно перевести дробь $\frac{2}{5}$ в десятичную форму: $\frac{2}{5} = 0,4$.

$x = 0,4 \times 6,5 = 2,6$

Мы нашли оба числа: 2,6 и 6,5.

Проверка:

1. Найдем сумму чисел: $2,6 + 6,5 = 9,1$. Это соответствует условию.

2. Проверим, составляет ли одно число $\frac{2}{5}$ другого: $\frac{2}{5} \times 6,5 = 0,4 \times 6,5 = 2,6$. Это также соответствует условию.

Ответ: искомые числа — 2,6 и 6,5.

5. За 6 ч студенты собрали 40 % клубники. За какое время они соберут остальную клубнику, если будут работать с той же производительностью?

5.

$\mathbf{1}\mathbf{)} 100\% – 40\% = 60\%$клубники – осталось собрать;

$\frac{6}{х} = \frac{40}{60}$

$х = \frac{6 · {\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{60}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{40}}}} = \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{6}}} · 3}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{2}}}} = \frac{3 · 3}{1} = 9$ (ч) – соберут остальную клубнику.

Ответ: за 9 часов.

Для решения задачи сначала определим, какой процент клубники осталось собрать. Поскольку весь урожай составляет 100%, а студенты уже собрали 40%, то оставшаяся часть работы равна:

$100\% - 40\% = 60\%$

По условию, производительность студентов постоянна. Это означает, что время, затраченное на работу, прямо пропорционально объему выполненной работы. Мы можем составить пропорцию, чтобы найти неизвестное время. Пусть $x$ — это время в часах, которое потребуется для сбора оставшихся 60% клубники.

Составим пропорцию:

40% работы соответствуют 6 часам.
60% работы соответствуют $x$ часам.

Математически это можно записать в виде уравнения:

$\frac{40}{6} = \frac{60}{x}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$40 \cdot x = 60 \cdot 6$
$40x = 360$
$x = \frac{360}{40}$
$x = 9$

Следовательно, чтобы собрать оставшуюся клубнику, студентам потребуется 9 часов.

Ответ: 9 часов.

6. Резервуар водонапорной башни наполняется за 4 ч. На рисунке 3 приведён график наполнения резервуара. Какая часть резервуара наполнилась за первые 3 ч? Выберите ответ.

а) 80 %; б) 90 %; в) 87,5 %; г) другой ответ.

6.

За первые 3 ч наполнится 350 л, весь резервуар 400 л

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{35\cancel{0}}{40\cancel{0}} · 100\%=\frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{35}}}}{{\displaystyle \underset{8}{\cancel{40}}}} ·100\%={\frac{7}{8}}^{\overline{)·125}} · 100\% =$

$=0,875 · 100\% = 87,5 \%$ резурвуара

Ответ: в) 87,5 % резурвуара

Для решения задачи необходимо определить по графику полный объем резервуара, а также объем, набранный за первые 3 часа. Затем следует найти их отношение и выразить его в процентах.

1. Определение полного объема резервуара. Из условия задачи следует, что резервуар наполняется за 4 часа. На графике (Рис. 3) находим на горизонтальной оси времени $t$ отметку "4 ч". Соответствующая точка на кривой имеет координату по вертикальной оси объема $V$, равную 400 л. Следовательно, полный объем резервуара составляет $V_{полный} = 400$ л. Этот объем соответствует 100%.

2. Определение объема за 3 часа. На оси времени $t$ находим отметку "3 ч". Соответствующая точка на графике по оси объема $V$ находится ровно посередине между отметками "300 л" и "400 л". Таким образом, объем воды, набранный за 3 часа, равен $V_{3ч} = 350$ л.

3. Расчет процентного наполнения. Чтобы найти, какую часть полного объема составляет объем, набранный за 3 часа, вычисляем их отношение в процентах: $$ \text{Процент} = \frac{V_{3ч}}{V_{полный}} \times 100\% $$ Подставляем найденные значения: $$ \frac{350}{400} \times 100\% = \frac{35}{40} \times 100\% = \frac{7}{8} \times 100\% $$ Для вычисления переведем дробь $\frac{7}{8}$ в десятичный формат: $7 \div 8 = 0,875$. $$ 0,875 \times 100\% = 87,5\% $$

Следовательно, за первые 3 часа резервуар наполнился на 87,5%. Этот результат совпадает с вариантом ответа в).

Ответ: в) 87,5 %.

7. На рисунке 4 приведён график движения пешехода в течение трёх часов. Чему равна средняя скорость пешехода с 14.00 до 16.00? Выберите ответ.

а) 3,5 км/ч;
б) 4,5 км/ч;
в) 4 км/ч;
г) другой ответ.

7.

Чтобы найти среднюю скорость, нужно общее расстояние поделить на общее время. В промежутке с 14 до 16 часов расстояние равно 8 км, а время 2 часа, тогда:

$\mathrm{V} = \frac{8}{2} = 4 (\mathrm{км}/\mathrm{ч}).$

Ответ: в) 4 км/ч.

Для того чтобы найти среднюю скорость пешехода на определённом участке пути, необходимо общее расстояние, пройденное за этот промежуток времени, разделить на общее время движения.

Формула для расчёта средней скорости ($V_{ср}$) выглядит следующим образом:

$V_{ср} = \frac{S}{t}$

где $S$ — пройденное расстояние, а $t$ — время, за которое это расстояние было пройдено.

Рассмотрим график движения пешехода (Рис. 4) в промежутке времени с 14.00 до 16.00.

1. Найдём пройденное расстояние ($S$).

• В начальный момент времени $t_1 = 14.00$ ч, пешеход находился в точке с координатой $s_1 = 0$ км (согласно графику, это начало движения).
• В конечный момент времени $t_2 = 16.00$ ч, найдём соответствующее значение на оси расстояния ($s$). Для этого на оси времени ($t$) находим отметку 16, поднимаемся вертикально до пересечения с графиком и затем движемся горизонтально к оси расстояния ($s$). Точка на оси $s$ соответствует 8 км. Таким образом, $s_2 = 8$ км.

Пройденное расстояние $S$ равно разности конечного и начального положений:

$S = s_2 - s_1 = 8 \text{ км} - 0 \text{ км} = 8$ км.

2. Найдём затраченное время ($t$).

Время движения $t$ равно разности конечного и начального моментов времени:

$t = t_2 - t_1 = 16.00 \text{ ч} - 14.00 \text{ ч} = 2$ ч.

3. Рассчитаем среднюю скорость ($V_{ср}$).

Подставим найденные значения расстояния и времени в формулу средней скорости:

$V_{ср} = \frac{8 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 4$ км/ч.

Полученный результат 4 км/ч соответствует варианту ответа в).

Ответ: в) 4 км/ч.

8. Решите пропорцию:

а) 25 : 75 = х : 27,3; б) х : 14 = 1 : 0,25.

8.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }25 : 75 = \mathrm{х} : 27,3; \\ 75\mathrm{х} = 25 · 27,3; \\ \mathrm{х} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{25}}} · 27,3}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{75}}}} = \frac{1 · 27,3}{3} = 9,1; \\ \mathrm{х} = 9,1. \\ \mathrm{Ответ}: 9,1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{х} : \frac{1}{4} = 1 : 0,25; \\ 0,25 \mathrm{х} = \frac{1}{4} · 1; \\ \mathrm{х} = \frac{{{\displaystyle \frac{1}{4}}}^{\overline{)·25}} · 1}{0,25} = \frac{{\displaystyle 0,25 · 1}}{0,25} = \frac{0,25}{0,25} =1; \\ \mathrm{х} = 1. \\ \mathrm{Ответ}: 1. \end{gathered}$$

а) Решим пропорцию $25 : 75 = x : 27,3$.

Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. Для пропорции вида $a : b = c : d$ это свойство записывается как равенство $a \cdot d = b \cdot c$.

В данном случае крайние члены — это $25$ и $27,3$, а средние — $75$ и $x$. Применим основное свойство пропорции:

$25 \cdot 27,3 = 75 \cdot x$

Чтобы найти неизвестный средний член $x$, нужно произведение крайних членов разделить на известный средний член:

$x = \frac{25 \cdot 27,3}{75}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $25$:

$x = \frac{1 \cdot 27,3}{3}$

$x = \frac{27,3}{3}$

Выполним деление:

$x = 9,1$

Ответ: $9,1$

б) Решим пропорцию $x : \frac{1}{4} = 1 : 0,25$.

Для удобства вычислений приведем все числа к одному виду. Заметим, что обыкновенная дробь $\frac{1}{4}$ равна десятичной дроби $0,25$.

$\frac{1}{4} = 1 \div 4 = 0,25$

Теперь мы можем переписать исходную пропорцию, заменив $\frac{1}{4}$ на $0,25$:

$x : 0,25 = 1 : 0,25$

Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов ($x$ и $0,25$) равно произведению средних членов ($0,25$ и $1$).

$x \cdot 0,25 = 0,25 \cdot 1$

$0,25x = 0,25$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $0,25$:

$x = \frac{0,25}{0,25}$

$x = 1$

Ответ: $1$

9. Площадь круглого журнального столика равна 188,4 см². Найдите площадь круглого обеденного стола, радиус которого в 2 раза больше радиуса журнального столика. Принять π равным 3,14.

9.

S = 188,4 см²; π≈3,14

S = πr²

188,4 = 3,14 • r²

$r^2 = \frac{188,4}{3,14}$

$\mathrm{S} = 3,14 · {\left(2\mathrm{r}\right)}^2 = 3,14 · 4{\mathrm{r}}^2 = \cancel{3,14} · 4 · \frac{188,4}{\cancel{3,14}} =$

$= 1 · 4 · \frac{188,4}{1} = 4 · 188,4 = 753,6 \left({\mathrm{см}}^2\right)$ – площадь обеденного стола.

Ответ: 753,6 см2

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу площади круга: $S = \pi r^2$, где $S$ — это площадь, а $r$ — это радиус круга.

Обозначим площадь и радиус журнального столика как $S_{журн}$ и $r_{журн}$ соответственно. Площадь и радиус обеденного стола обозначим как $S_{обед}$ и $r_{обед}$.

Согласно условию задачи:
1. Площадь журнального столика $S_{журн} = 188,4 \text{ см}^2$.
2. Радиус обеденного стола в 2 раза больше радиуса журнального столика, то есть $r_{обед} = 2 \cdot r_{журн}$.
3. Значение $\pi$ принимается равным $3,14$.

Наша цель — найти площадь обеденного стола $S_{обед}$.

Площадь обеденного стола вычисляется по формуле:
$S_{обед} = \pi \cdot r_{обед}^2$

Подставим в эту формулу выражение для $r_{обед}$ через $r_{журн}$:
$S_{обед} = \pi \cdot (2 \cdot r_{журн})^2$

Раскроем скобки:
$S_{обед} = \pi \cdot 4 \cdot r_{журн}^2 = 4 \cdot (\pi \cdot r_{журн}^2)$

Обратим внимание, что выражение в скобках $(\pi \cdot r_{журн}^2)$ является формулой для площади журнального столика $S_{журн}$. Таким образом, мы можем сделать замену:
$S_{обед} = 4 \cdot S_{журн}$

Это означает, что если радиус круга увеличить в 2 раза, его площадь увеличится в $2^2 = 4$ раза. Теперь мы можем легко найти искомую площадь, подставив известное значение $S_{журн}$:
$S_{обед} = 4 \cdot 188,4 \text{ см}^2 = 753,6 \text{ см}^2$.

Ответ: $753,6 \text{ см}^2$.