Страница 137, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.101. Расстояние между Москвой и Владимиром 180 км. Найдите масштаб карты, если на ней это расстояние равно:

а) 72 мм; б) 4,5 см; в) 12 см.

3.101

а)

$\frac{х}{180 000 000} = \frac{1}{72;}$

$х = \frac{1 · 180 000 000}{72} = 2 500 000$ – масштаб карты

Ответ: 1 : 2 500 000

б)

$\frac{х}{180 000 000} = \frac{1}{4,5};$

$х = \frac{1 · 180 000 000}{4,5} = \frac{1 · 1 800 000 000}{45} = 4 000 000$ – масштаб карты

Ответ: 1 : 4000000

в)

$\frac{х}{180 000 000} = \frac{1}{12};$

$х = \frac{1 · 180 000 000}{12} = 1 500 000$ – масштаб карты

Ответ: 1 : 1500000

Масштаб карты — это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Масштаб показывает, во сколько раз расстояние на карте меньше соответствующего расстояния на реальной местности.

Чтобы найти масштаб, необходимо выразить реальное расстояние и расстояние на карте в одинаковых единицах измерения, а затем найти их отношение.

Реальное расстояние между Москвой и Владимиром составляет 180 км. Переведем это расстояние в сантиметры (см) и миллиметры (мм).

В 1 километре 1000 метров ($1 \ км = 1000 \ м$).
В 1 метре 100 сантиметров ($1 \ м = 100 \ см$).
В 1 сантиметре 10 миллиметров ($1 \ см = 10 \ мм$).

Перевод в сантиметры:
$180 \ км = 180 \times 1000 \ м = 180 \ 000 \ м$
$180 \ 000 \ м = 180 \ 000 \times 100 \ см = 18 \ 000 \ 000 \ см$

Перевод в миллиметры:
$18 \ 000 \ 000 \ см = 18 \ 000 \ 000 \times 10 \ мм = 180 \ 000 \ 000 \ мм$

Теперь рассчитаем масштаб для каждого из предложенных случаев.

а)

Расстояние на карте равно 72 мм. Реальное расстояние равно 180 000 000 мм.Масштаб — это отношение длины на карте к реальной длине:

$Масштаб = \frac{72}{180 \ 000 \ 000}$

Чтобы представить масштаб в стандартном виде 1:N, нужно сократить дробь так, чтобы в числителе была 1. Для этого разделим и числитель, и знаменатель на 72:

$\frac{72 \div 72}{180 \ 000 \ 000 \div 72} = \frac{1}{2 \ 500 \ 000}$

Таким образом, масштаб карты 1:2 500 000.

Ответ: 1:2 500 000.

б)

Расстояние на карте равно 4,5 см. Реальное расстояние равно 18 000 000 см.Найдем отношение:

$Масштаб = \frac{4,5}{18 \ 000 \ 000}$

Приведем дробь к виду 1:N. Для этого разделим знаменатель на числитель:

$N = \frac{18 \ 000 \ 000}{4,5} = \frac{180 \ 000 \ 000}{45} = 4 \ 000 \ 000$

Следовательно, масштаб карты 1:4 000 000.

Ответ: 1:4 000 000.

в)

Расстояние на карте равно 12 см. Реальное расстояние равно 18 000 000 см.Найдем отношение:

$Масштаб = \frac{12}{18 \ 000 \ 000}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:

$\frac{12 \div 12}{18 \ 000 \ 000 \div 12} = \frac{1}{1 \ 500 \ 000}$

Масштаб карты составляет 1:1 500 000.

Ответ: 1:1 500 000.

3.102. а) Определите по карте (рис. 3.6) расстояния от леса (точка А) до посёлков Лесное (точка В) и Ягодное (точка С).

б) Определите размеры божьей коровки по рисунку 3.5.

3.102

а)

$\frac{х}{100 000}= \frac{2,2}{1};$

$х = \frac{100 000 · 2,2}{1} = 220 000 \mathrm{см} = 2,2 \mathrm{км}$ – расстояние от леса до поселка Лесное.

$\frac{х}{100 000}= \frac{1}{1};$

$х = \frac{100 000 · 1}{1} = 100 000 \mathrm{см} = 1 \mathrm{км}$ – расстояние от леса до поселка Ягодное

Ответ: 2,2 км; 1 км.

б)

2,1 см – длина божьей коровки на рисунке

1,4 см – ширина божьей коровки на рисунке

$\frac{х}{1} = \frac{2,1}{7};$

$х = \frac{{\displaystyle \stackrel{0,3}{\cancel{2,1}}} · 1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = 0,3$ (см) – длина божьей коровки;

$\frac{х}{1} = \frac{1,4}{7};$

$х = \frac{{\displaystyle \stackrel{0,2}{\cancel{1,4 }}}· 1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = 0,2$ (см) – ширина божьей коровки.

Ответ: 0,3 см; 0,2 см.

Для определения расстояний на местности по карте необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить масштаб карты. Масштаб указан в нижней части карты (рис. 3.6) и составляет 1:100 000. Это означает, что 1 см на карте соответствует 100 000 см на местности.

2. Перевести численный масштаб в именованный для удобства расчетов. Зная, что в 1 метре 100 сантиметров, а в 1 километре 1000 метров, получаем:

   $100 000 \text{ см} = 1000 \text{ м} = 1 \text{ км}$.

   Таким образом, 1 см на карте соответствует 1 км на местности.

3. Измерить расстояния на карте с помощью линейки. Измеряем по прямой отрезки, соединяющие точку А с точками B и C. При измерении линейкой на оригинальном изображении в учебнике получаются следующие значения:

   • Расстояние на карте от точки А до точки B (посёлок Лесное) составляет примерно 3,0 см.

   • Расстояние на карте от точки А до точки C (расположенной у посёлка Ягодное) составляет примерно 1,8 см.

4. Рассчитать реальные расстояния. Умножаем измеренные на карте длины на значение масштаба (1 км в 1 см).

   • Расстояние от леса (точка А) до посёлка Лесное (точка В):

     $S_{AB} = 3.0 \text{ см} \times 1 \frac{\text{км}}{\text{см}} = 3.0 \text{ км}$.

   • Расстояние от леса (точка А) до точки С у посёлка Ягодное:

     $S_{AC} = 1.8 \text{ см} \times 1 \frac{\text{км}}{\text{см}} = 1.8 \text{ км}$.

Ответ: расстояние от леса (точка А) до посёлка Лесное (точка В) составляет 3,0 км; расстояние до точки С у посёлка Ягодное составляет 1,8 км.

Для решения данной задачи требуется рисунок 3.5, на котором, согласно условию, изображена божья коровка. В предоставленном материале есть только карта (рис. 3.6). Без рисунка 3.5 определить размеры божьей коровки невозможно.

Ответ: определить размеры божьей коровки невозможно, так как отсутствует необходимый для этого рисунок 3.5.

3.103. Расстояние между населёнными пунктами на карте равно 6,5 см. Найдите расстояние между этими пунктами на местности, если масштаб карты 1100 000.

3.103

$\frac{6,5}{1} = \frac{х}{100 000};$

$х = \frac{6,5 · 100 000}{1} = 650 000 \mathrm{см} = 6,5 \mathrm{км}$ – расстояние на местности

Ответ: 6,5 км.

Масштаб карты, представленный как $ \frac{1}{100 \, 000} $ (или 1:100 000), означает, что 1 сантиметр на карте соответствует 100 000 сантиметрам на реальной местности.

Чтобы найти фактическое расстояние между населёнными пунктами, необходимо расстояние на карте умножить на знаменатель масштаба.

1. Вычисление расстояния в сантиметрах
Умножаем расстояние на карте (6,5 см) на 100 000:$6,5 \text{ см} \times 100 \, 000 = 650 \, 000 \text{ см}$

2. Перевод в метры
Поскольку в 1 метре содержится 100 сантиметров, для перевода в метры разделим полученное значение на 100:$650 \, 000 \text{ см} \div 100 = 6 \, 500 \text{ м}$

3. Перевод в километры
Поскольку в 1 километре содержится 1000 метров, для перевода в километры разделим полученное значение на 1000:$6 \, 500 \text{ м} \div 1000 = 6,5 \text{ км}$

Ответ: 6,5 км.

3.104. Протяжённость территории России с запада на восток составляет примерно 10 000 км. Уместится ли на одной странице тетради это расстояние в масштабе одна десятимиллионная?

3.104

$\frac{х}{1} = \frac{10 000}{10 000 000};$

$х = \frac{1 · 10 000}{10 000 000}= 0,001 \left(\mathrm{км}\right) = 1 \left(\mathrm{м}\right) = 100 \left(\mathrm{см}\right).$

Ответ: не уместится.

Чтобы определить, уместится ли расстояние на странице тетради, необходимо рассчитать, какой длине на бумаге будет соответствовать реальная протяженность территории России при заданном масштабе.

Масштаб «одна десятимиллионная» означает, что 1 единица длины на карте (на странице) соответствует $10\;000\;000$ таким же единицам на местности. Масштаб записывается как $1:10\;000\;000$.

Для удобства расчетов переведем реальное расстояние из километров в сантиметры, так как размеры тетради обычно измеряются в сантиметрах.
В одном километре $1\;000$ метров, а в одном метре $100$ сантиметров.
$1 \text{ км} = 1\;000 \text{ м} = 1\;000 \times 100 \text{ см} = 100\;000 \text{ см}$.

Теперь переведем протяженность России в сантиметры:
$10\;000 \text{ км} = 10\;000 \times 100\;000 \text{ см} = 1\;000\;000\;000 \text{ см}$.

Далее, чтобы найти длину отрезка на странице, нужно реальное расстояние в сантиметрах разделить на число в знаменателе масштаба:
Длина на странице = $\frac{\text{Реальное расстояние}}{\text{Масштаб}} = \frac{1\;000\;000\;000}{10\;000\;000} = 100 \text{ см}$.

Итак, в масштабе $1:10\;000\;000$ протяженность России с запада на восток будет изображена отрезком длиной 100 см.

Стандартная школьная тетрадь имеет размеры примерно $17 \text{ см} \times 21 \text{ см}$. Даже если взять большую тетрадь или альбом формата А4, его размеры будут примерно $21 \text{ см} \times 29,7 \text{ см}$.

Поскольку полученная длина в $100 \text{ см}$ (что равно 1 метру) значительно больше, чем любая из сторон страницы тетради ($100 \text{ см} > 29,7 \text{ см}$), изобразить это расстояние на одной странице невозможно.

Ответ: нет, не уместится, так как в указанном масштабе это расстояние будет равно 100 см, что превышает размеры стандартной тетрадной страницы.

3.105. На рисунке 3.7 изображены два участка земли в масштабе 1 : 50 000. Найдите их действительные размеры, периметр и площадь.

3.105

1 участок : ширина – 3 см, длина - 2 см.

$$\begin{gathered} \frac{3}{1} = \frac{х}{50 000}; \\ х = \frac{3 · 50 000}{1} = 150 000 \left(\mathrm{см}\right) = 1500 \left(\mathrm{м}\right) - \mathrm{ширина}; \\ \frac{2}{1} = \frac{\mathrm{х}}{50 000}; \\ \mathrm{х} = \frac{2 · 50 000}{1} = 100 000 \left(\mathrm{см}\right) = 1000 \left(\mathrm{м}\right) - \mathrm{длина}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Р} = 1500 + 1500 + 1000 + 1000 = 5000 \left(\mathrm{м}\right); \\ \mathrm{S} = 1500 · 1000 = 1500000 \left(\mathrm{м}2\right) = 150 \left(\mathrm{га}\right). \end{gathered}$$

Ответ: 5000 м; 150 га.

2 участок : ширина – 1,5 см, длина – 1,5см.

$$\begin{gathered} \frac{1,5}{1} = \frac{х}{50 000}; \\ х = \frac{1,5 · 50 000}{1} = 75 000 \left(\mathrm{см}\right) = 750 \left(\mathrm{м}\right) - \mathrm{ширина} \mathrm{и} \mathrm{длина}; \\ \mathrm{Р} = 750 · 4 = 3000 \left(\mathrm{м}\right); \\ \mathrm{S} = 750 · 750 = 562500 \left({\mathrm{м}}^2\right) = 5625 \mathrm{а}. \end{gathered}$$

Ответ: 3000 м; 5625 а.

Для решения задачи сначала определим, какому расстоянию на местности соответствует 1 см на карте. Масштаб 1:50 000 означает, что 1 см на карте равен 50 000 см в действительности.

Переведем сантиметры в метры, зная, что в 1 метре 100 сантиметров:

$1 \text{ см на карте} = 50 000 \text{ см на местности} = \frac{50 000}{100} \text{ м} = 500 \text{ м}$.

Теперь, используя этот коэффициент, найдем действительные размеры, периметр и площадь для каждого участка.

Для первого участка (прямоугольник 3 см × 2 см):

Действительные размеры:

• Длина участка на местности: $3 \text{ см} \times 500 \text{ м/см} = 1500 \text{ м}$ (или $1,5 \text{ км}$).
• Ширина участка на местности: $2 \text{ см} \times 500 \text{ м/см} = 1000 \text{ м}$ (или $1 \text{ км}$).

Периметр:

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \times (\text{длина} + \text{ширина})$.

$P = 2 \times (1500 \text{ м} + 1000 \text{ м}) = 2 \times 2500 \text{ м} = 5000 \text{ м}$ (или $5 \text{ км}$).

Площадь:

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = \text{длина} \times \text{ширина}$.

$S = 1500 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1 500 000 \text{ м}^2$.

Площадь также можно выразить в гектарах ($1 \text{ га} = 10 000 \text{ м}^2$) или квадратных километрах ($1 \text{ км}^2 = 1 000 000 \text{ м}^2$).

$S = 150 \text{ га}$ или $S = 1,5 \text{ км}^2$.

Ответ: Действительные размеры первого участка — 1500 м на 1000 м, его периметр — 5000 м, а площадь — 1 500 000 м² (150 га или 1,5 км²).

Для второго участка (квадрат 1,5 см × 1,5 см):

Действительные размеры:

Длина стороны квадрата на местности: $1,5 \text{ см} \times 500 \text{ м/см} = 750 \text{ м}$ (или $0,75 \text{ км}$).

Периметр:

Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4 \times \text{сторона}$.

$P = 4 \times 750 \text{ м} = 3000 \text{ м}$ (или $3 \text{ км}$).

Площадь:

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = \text{сторона}^2$.

$S = (750 \text{ м})^2 = 562 500 \text{ м}^2$.

В других единицах:

$S = 56,25 \text{ га}$ или $S = 0,5625 \text{ км}^2$.

Ответ: Действительные размеры второго участка — 750 м на 750 м, его периметр — 3000 м, а площадь — 562 500 м² (56,25 га или 0,5625 км²).

3.106. На плане садового участка изображена схема водопровода. Протяжённость трубы, идущей от колодца по участку, равна 36 м, что соответствует на плане 5,3 см. Чему равно расстояние от дома до колодца, если на карте это расстояние равно 7,8 см?

3.106

$\frac{5,3}{7,8} = \frac{36}{х};$

$х = \frac{7,8 · 36}{5,3} = \frac{280,8}{5,3}=\frac{2808}{53} = 52\frac{52}{53}$ (м) – от дома до колодца

Ответ: $52\frac{52}{53} \mathrm{м}.$

Для решения данной задачи мы будем использовать пропорцию, поскольку масштаб на плане является постоянной величиной. Это означает, что отношение реального расстояния к расстоянию на плане одинаково для всех измерений.

Введем переменную $x$ для обозначения искомого реального расстояния от дома до колодца в метрах.

Нам известны следующие соотношения:

1. Реальная протяженность трубы – $36$ м, что на плане соответствует $5,3$ см.

2. Расстояние от дома до колодца на плане – $7,8$ см, что в реальности соответствует $x$ м.

Составим пропорцию, приравнивая отношения реальных расстояний к соответствующим им расстояниям на плане:

$\frac{36}{5,3} = \frac{x}{7,8}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Для этого умножим обе части уравнения на $7,8$:

$x = \frac{36 \cdot 7,8}{5,3}$

Выполним вычисления в числителе:

$36 \cdot 7,8 = 280,8$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для $x$:

$x = \frac{280,8}{5,3}$

Разделим числитель на знаменатель:

$x \approx 52,9811...$

Так как исходные данные имеют два значащих числа ($36$, $5,3$, $7,8$), будет уместно округлить результат до двух значащих цифр.

$x \approx 53$ м

Ответ: реальное расстояние от дома до колодца равно примерно 53 м.

3.107. Длина Байкало–Амурской магистрали 4324 км. Какой длины получится линия, изображающая эту магистраль на карте, сделанной в масштабе:

1) 1 : 20 000 000; 2) 1 : 25 000 000?

3.107

1)

$\frac{х}{1} = \frac{4 324 000}{20 000 000};$

$$\begin{gathered} х = \frac{1 · 4 324 000}{20 000 000} =\frac{1 · 4 324}{20 000} =\frac{4 324}{20 000} = \\ = 0,2162 \left(\mathrm{м}\right) = 21,62 \left(\mathrm{см}\right) \end{gathered}$$

2)

$\frac{х}{1} = \frac{4 324 000}{20 000 000};$

$$\begin{gathered} х = \frac{1 · 4 324 000}{25 000 000} =\frac{1 · 4 324}{25 000} =\frac{4 324}{25 000} = \\ = 0,17296 \left(\mathrm{м}\right) = 17,296 \left(\mathrm{см}\right) \end{gathered}$$

Ответ: 21,62 см; 17,296 см.

Для решения задачи необходимо перевести реальную длину Байкало-Амурской магистрали в сантиметры и затем разделить на знаменатель масштаба, чтобы найти длину соответствующей линии на карте.

Сначала переведем километры в сантиметры. В одном километре 1000 метров, а в одном метре 100 сантиметров, следовательно:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 1000 \times 100 \text{ см} = 100 000 \text{ см}$

Теперь найдем длину магистрали в сантиметрах:

$4324 \text{ км} = 4324 \times 100 000 \text{ см} = 432 400 000 \text{ см}$

1)

Масштаб карты 1:20 000 000 означает, что 1 см на карте соответствует 20 000 000 см на местности. Чтобы найти длину линии на карте, разделим реальную длину магистрали в сантиметрах на 20 000 000.

Длина на карте = $\frac{432 400 000 \text{ см}}{20 000 000}$

Сократим нули в числителе и знаменателе:

$\frac{4324}{200} = 21,62 \text{ см}$

Ответ: 21,62 см.

2)

Масштаб карты 1:25 000 000 означает, что 1 см на карте соответствует 25 000 000 см на местности. Чтобы найти длину линии на карте, разделим реальную длину магистрали в сантиметрах на 25 000 000.

Длина на карте = $\frac{432 400 000 \text{ см}}{25 000 000}$

Сократим нули в числителе и знаменателе:

$\frac{4324}{250} = 17,296 \text{ см}$

Ответ: 17,296 см.

3.108. Расстояние между Солнцем и Землёй равно 149,6 млн км и изображено на схеме отрезком, равным 6 см. Чему равно на этой схеме расстояние между Солнцем и Марсом, если между ними 227,9 млн км? Какое расстояние от Солнца до Юпитера, если на схеме оно равно 31 см? Результаты округлите до десятых.

3.108

$\frac{6}{х} = \frac{149,6}{227,9};$

$х = \frac{6 · 227,9}{149,6} = \frac{6 · 2279}{1496} = \frac{13674}{1496} \approx 9,1$ (см) – расстояние на схеме между Солнцем и Марсом.

$\frac{6}{31} = \frac{149,6}{х};$

$х = \frac{31 · 149,6}{6} = \frac{4637,6}{6} = \frac{46376}{60} \approx 772,9$ млн км - расстояние между Солнцем и Юпитером.

Ответ: ≈ 9,1 см; ≈ 772,9 млн км.

Эта задача решается с помощью пропорции. Нам дано соответствие между реальным расстоянием и его изображением на схеме: $149,6 \text{ млн км}$ в реальности соответствуют $6 \text{ см}$ на схеме. Будем использовать это соотношение для нахождения неизвестных величин.

Чему равно на этой схеме расстояние между Солнцем и Марсом

Пусть $x$ — искомое расстояние на схеме в сантиметрах, соответствующее реальному расстоянию между Солнцем и Марсом в $227,9 \text{ млн км}$. Составим пропорцию:

$\frac{6 \text{ см}}{149,6 \text{ млн км}} = \frac{x \text{ см}}{227,9 \text{ млн км}}$

Выразим $x$ из этой пропорции:

$x = \frac{6 \text{ см} \times 227,9 \text{ млн км}}{149,6 \text{ млн км}}$

$x = \frac{1367,4}{149,6} \text{ см} \approx 9,14037 \text{ см}$

Согласно условию, результат необходимо округлить до десятых:

$x \approx 9,1 \text{ см}$

Ответ: на схеме расстояние между Солнцем и Марсом равно 9,1 см.

Какое расстояние от Солнца до Юпитера

Пусть $y$ — искомое реальное расстояние от Солнца до Юпитера в миллионах километров, соответствующее расстоянию на схеме в $31 \text{ см}$. Составим аналогичную пропорцию:

$\frac{6 \text{ см}}{149,6 \text{ млн км}} = \frac{31 \text{ см}}{y \text{ млн км}}$

Выразим $y$ из этой пропорции:

$y = \frac{31 \text{ см} \times 149,6 \text{ млн км}}{6 \text{ см}}$

$y = \frac{4637,6}{6} \text{ млн км} \approx 772,9333... \text{ млн км}$

Округлим результат до десятых:

$y \approx 772,9 \text{ млн км}$

Ответ: расстояние от Солнца до Юпитера равно 772,9 млн км.

3.109. Рёбро куба на развёртке, сделанной в масштабе 1 : 4, равно 11,25 см. Чему будет равно ребро этого же куба на развёртках, сделанных в масштабах 1 : 3, 1 : 5?

3.109

$\frac{11,25}{1} = \frac{х}{4};$

$х = \frac{4 · 11,25}{1} = 45$ (см) – ребро куба.

$\frac{х}{1} = \frac{45}{3};$

$х = \frac{1 · 45}{3} = 15$ (см) – сторона куба в масштабе 1:3;

$\frac{х}{1} = \frac{45}{5};$

$х = \frac{1 · 45}{5} = 9$ (см) – сторона куба в масштабе 1:5;

Ответ: 45 см; 15 см; 9 см.

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить два действия: сначала определить реальный размер ребра куба, а затем рассчитать его длину на развёртках в заданных масштабах.

1. Нахождение реального размера ребра куба.

Масштаб 1 : 4 означает, что любой размер на развёртке в 4 раза меньше соответствующего реального размера. В условии дано, что длина ребра на развёртке в этом масштабе составляет 11,25 см. Чтобы найти реальную длину ребра куба (обозначим ее как $A$), необходимо умножить длину на развёртке на 4.

$A = 11,25 \text{ см} \times 4 = 45 \text{ см}$.

Таким образом, фактическая длина ребра куба равна 45 см.

2. Расчёт длины ребра для других масштабов.

Теперь, зная реальную длину ребра куба ($A = 45$ см), можно найти его длину на развёртках в других масштабах.

Для масштаба 1 : 3:

Длина ребра на развёртке в масштабе 1 : 3 (обозначим $a_{1:3}$) будет в 3 раза меньше реальной длины:

$a_{1:3} = \frac{A}{3} = \frac{45 \text{ см}}{3} = 15 \text{ см}$.

Ответ: 15 см.

Для масштаба 1 : 5:

Длина ребра на развёртке в масштабе 1 : 5 (обозначим $a_{1:5}$) будет в 5 раз меньше реальной длины:

$a_{1:5} = \frac{A}{5} = \frac{45 \text{ см}}{5} = 9 \text{ см}$.

Ответ: 9 см.

3.110. Вычислите.

3.110

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }320 + 180 = 500; \\ 500 : 20 = 25; \\ 25 · 6 = 150; \\ 150 – 80 = 70; \\ 70 · 13 = 910. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 630 : 90 = 7; \\ 7 · 60 = 420; \\ 420 + 180 = 600; \\ 600 : 15 = 40; \\ 40 · 25 = 1000. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }3,5 + 4,5 = 8; \\ 8 : 10 = 0,8; \\ 0,8 – 0,3 = 0,5; \\ 0,5 · 17 = 8,5; \\ 8,5 + 2,5 = 11. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }0,5 · 1,8 = 0,9; \\ 0,9 – 0,15 = 0,75; \\ 0,75 : 0,3 = 7,5 : 3 = 2,5; \\ 2,5 + 5,5 = 8; \\ 8 : 1,6 = 80 : 16 = 5. \end{gathered}$$

а)
Для вычисления значения выражения выполним действия по порядку:
1) $320 + 180 = 500$
2) $500 : 20 = 25$
3) $25 \cdot 6 = 150$
4) $150 - 80 = 70$
5) $70 \cdot 13 = 910$
Ответ: 910.

б)
Для вычисления значения выражения выполним действия по порядку:
1) $630 : 90 = 7$
2) $7 \cdot 60 = 420$
3) $420 + 180 = 600$
4) $600 : 15 = 40$
5) $40 \cdot 25 = 1000$
Ответ: 1000.

в)
Для вычисления значения выражения выполним действия по порядку:
1) $3,5 + 4,5 = 8$
2) $8 : 10 = 0,8$
3) $0,8 - 0,3 = 0,5$
4) $0,5 \cdot 17 = 8,5$
5) $8,5 + 2,5 = 11$
Ответ: 11.

г)
Для вычисления значения выражения выполним действия по порядку:
1) $0,5 \cdot 1,8 = 0,9$
2) $0,9 - 0,15 = 0,75$
3) $0,75 : 0,3 = 2,5$
4) $2,5 + 5,5 = 8$
5) $8 : 1,6 = 5$
Ответ: 5.

П.112. Среднее арифметическое пяти чисел равно 23. Каждое следующее число на 4 больше предыдущего. Найдите эти числа.

П.112

Пусть х – первое число, тогда (х + 4) – второе число, (х + 8) – третье число, (х + 12) – четвертое число, (х + 16) – пятое число. Зная, что среднее арифметическое этих чисел равно 23, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} (х + х + 4 + х + 8 + х + 12 + х + 16) : 5 = 23; \\ (х + х + 4 + х + 8 + х + 12 + х + 16) = 23 · 5; \\ х + х + 4 + х + 8 + х + 12 + х + 16 = 115; \\ 5х + 40 = 115; \\ 5х = 115 – 40; \\ 5х = 75; \end{gathered}$$

х = 15 – первое число;

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } 15 + 4 = 19$ – второе число;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ } 19 + 4 = 23$ – третье число;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 23 + 4 = 27$ – четвертое число;

$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }27 + 4 = 31$ – третье число.

Ответ: 15, 19, 23, 27, 31

Поскольку каждое следующее число на 4 больше предыдущего, эти пять чисел образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=4$.

Обозначим первое из этих чисел через $x$. Тогда все пять чисел можно выразить следующим образом:
Первое число: $x$
Второе число: $x + 4$
Третье число: $x + 4 + 4 = x + 8$
Четвертое число: $x + 8 + 4 = x + 12$
Пятое число: $x + 12 + 4 = x + 16$

Среднее арифметическое чисел — это их сумма, деленная на их количество. По условию, среднее арифметическое пяти чисел равно 23. Составим уравнение:
$\frac{x + (x + 4) + (x + 8) + (x + 12) + (x + 16)}{5} = 23$

Найдем сумму чисел в числителе дроби:
$x + x + 4 + x + 8 + x + 12 + x + 16 = (x+x+x+x+x) + (4+8+12+16) = 5x + 40$

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение и решим его:
$\frac{5x + 40}{5} = 23$
Можно умножить обе части уравнения на 5:
$5x + 40 = 23 \times 5$
$5x + 40 = 115$
Перенесем 40 в правую часть уравнения:
$5x = 115 - 40$
$5x = 75$
Найдем $x$:
$x = \frac{75}{5}$
$x = 15$

Мы нашли первое число, оно равно 15. Теперь найдем остальные числа, последовательно прибавляя 4:
Первое число: $15$
Второе число: $15 + 4 = 19$
Третье число: $19 + 4 = 23$
Четвертое число: $23 + 4 = 27$
Пятое число: $27 + 4 = 31$

Таким образом, искомые числа — это 15, 19, 23, 27 и 31.

Ответ: 15, 19, 23, 27, 31.

П.113. Начертите прямоугольный треугольник и разделите его на четыре равных треугольника.

П.113

Для решения этой задачи мы начнем с произвольного прямоугольного треугольника. Обозначим его вершины как A, B и C, где угол C — прямой (равен $90^\circ$). Стороны, противолежащие этим вершинам, обозначим как a (сторона BC), b (сторона AC) и c (гипотенуза AB).

Ключевая идея заключается в использовании свойства средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине.

Выполним следующие построения:

1. Найдем середину катета AC и обозначим её точкой F. Таким образом, $AF = FC = b/2$.
2. Найдем середину катета BC и обозначим её точкой E. Таким образом, $BE = EC = a/2$.
3. Найдем середину гипотенузы AB и обозначим её точкой D. Таким образом, $AD = DB = c/2$.
4. Соединим точки D, E и F отрезками. В результате исходный треугольник ABC разделится на четыре меньших треугольника: △ADF, △BDE, △CFE и центральный △DEF.

Ниже представлен результат этого построения:

Теперь докажем, что все четыре полученных треугольника равны между собой (то есть конгруэнтны).

Рассмотрим стороны каждого из четырех треугольников:

• Треугольник △CFE: У него угол C прямой ($90^\circ$). Длины его катетов: $CF = AC/2 = b/2$ и $CE = BC/2 = a/2$. Отрезок EF является средней линией треугольника ABC, так как соединяет середины сторон AC и BC. Следовательно, EF параллелен гипотенузе AB и $EF = AB/2 = c/2$.
• Треугольник △ADF: Длина стороны $AF = AC/2 = b/2$. Длина стороны $AD = AB/2 = c/2$. Отрезок DF является средней линией, соединяющей середины сторон AB и AC. Следовательно, DF параллелен стороне BC и $DF = BC/2 = a/2$.
• Треугольник △BDE: Длина стороны $BE = BC/2 = a/2$. Длина стороны $BD = AB/2 = c/2$. Отрезок DE является средней линией, соединяющей середины сторон AB и BC. Следовательно, DE параллелен стороне AC и $DE = AC/2 = b/2$.
• Треугольник △DEF: Мы уже определили длины его сторон, исходя из того, что они являются средними линиями: $DF = a/2$, $DE = b/2$, и $EF = c/2$.

Таким образом, мы видим, что все четыре треугольника (△ADF, △BDE, △CFE, △DEF) имеют одинаковый набор длин сторон: $a/2$, $b/2$ и $c/2$.

Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, △ADF = △BDE = △CFE = △DEF.

Задача решена: мы разделили прямоугольный треугольник на четыре равных (конгруэнтных) треугольника.

Ответ:

Чтобы разделить прямоугольный треугольник на четыре равных треугольника, необходимо найти середины каждой из трех его сторон (двух катетов и гипотенузы) и соединить эти точки отрезками. В результате образуются четыре конгруэнтных треугольника, так как по свойству средней линии стороны каждого малого треугольника будут равны половинам сторон исходного большого треугольника.

1. Вычислите:
а) 6,8 + 2,6;
б) 8,4 − 3,7;
в) 7,7 · 0,53;
г) 67,2 : 0,48;
д) (3,72 + 4,56) + 6,28;
е) 4,33 · 7,92 + 4,33 · 2,18.

Проверочная работа (итоговая) № 1

1.

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }6,8 + 2,6 = 9,4$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }8,4 – 3,7 = 4,7$

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }7,7 · 0,53 = 4,081$

$\mathit{г}\mathbf{)} 67,2 : 0,48 = 6720 : 48 = 140$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} (3,72 + 4,56) + 6,28 = (3,72 + 6,28) + \\ + 4,56 = 10 + 4,56 = 14,56 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)} 4,33 · 7,92 + 4,33 · 2,18 = 4,33 · (7,92 + 2,18) = \\ = 4,33 · 10,1 = 43,733 \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить десятичные дроби, нужно записать их так, чтобы запятая находилась под запятой, и выполнить сложение как с натуральными числами, не обращая внимания на запятую. В результате поставить запятую под запятыми в исходных числах. Сначала сложим десятые доли: $8 + 6 = 14$. $4$ записываем в разряд десятых, а $1$ (десять десятых, то есть одна целая) запоминаем и прибавляем к целым. Затем сложим целые части с учётом запомненной единицы: $6 + 2 + 1 = 9$.

$6,8 + 2,6 = 9,4$

Ответ: 9,4

б) Вычитание десятичных дробей выполняется аналогично сложению. Дроби записываются друг под другом, запятая под запятой, и производится вычитание. Из $4$ десятых нельзя вычесть $7$ десятых, поэтому занимаем одну единицу из целой части (из $8$). Получаем $14$ десятых. $14 - 7 = 7$. Записываем $7$ в разряд десятых. В разряде целых у нас осталось $7$ вместо $8$. Вычитаем целые части: $7 - 3 = 4$.

$8,4 - 3,7 = 4,7$

Ответ: 4,7

в) Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно выполнить умножение натуральных чисел, не обращая внимания на запятые. Затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Умножим $77$ на $53$: $77 \cdot 53 = 4081$. В первом множителе ($7,7$) одна цифра после запятой, во втором ($0,53$) — две. Всего $1+2=3$ цифры после запятой. Отделяем три цифры справа в результате.

$7,7 \cdot 0,53 = 4,081$

Ответ: 4,081

г) Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делимом и делителе вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, и после этого выполнить деление на натуральное число. В делителе $0,48$ две цифры после запятой. Переносим запятую на две цифры вправо и в делимом ($67,2$), и в делителе ($0,48$). Получаем $6720$ и $48$.

$67,2 : 0,48 = 6720 : 48$

Теперь выполним деление столбиком. $6720$ делим на $48$. Сначала $67$ делим на $48$, получаем $1$ и остаток $19$. Сносим $2$, получаем $192$. Делим $192$ на $48$, получаем $4$. Сносим $0$, делим $0$ на $48$, получаем $0$.

$6720 : 48 = 140$

Ответ: 140

д) В этом примере для удобства вычислений можно использовать переместительное и сочетательное свойства сложения. Это позволит сгруппировать слагаемые так, чтобы их сумма была "круглым" числом.

$(3,72 + 4,56) + 6,28 = 3,72 + 4,56 + 6,28$

Сгруппируем первое и третье слагаемые:

$(3,72 + 6,28) + 4,56 = 10 + 4,56 = 14,56$

Ответ: 14,56

е) Здесь удобно применить распределительное свойство умножения относительно сложения, которое позволяет вынести общий множитель за скобки: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$. Общим множителем является число $4,33$.

$4,33 \cdot 7,92 + 4,33 \cdot 2,18 = 4,33 \cdot (7,92 + 2,18)$

Сначала выполним действие в скобках:

$7,92 + 2,18 = 10,1$

Теперь умножим результат на вынесенный множитель:

$4,33 \cdot 10,1 = 43,733$

Ответ: 43,733

2. Найдите:

а) 10 % от 82,6;
б) 25 % от 23,14.

2.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 10\% = 0,1 \\ 82,6 · 0,1 = 8,26 \\ \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }25\% = 0,25 \\ 23,14 · 0,25 = 5,785 \end{gathered}$$

а) 10 % от 82,6

Чтобы найти процент от числа, необходимо представить проценты в виде десятичной дроби, а затем умножить исходное число на эту дробь.

1. Переведем 10% в десятичную дробь: $10\% = \frac{10}{100} = 0,1$.

2. Умножим число 82,6 на полученную десятичную дробь: $82,6 \times 0,1 = 8,26$.

Чтобы умножить число на 0,1, достаточно перенести в нем запятую на один знак влево.

Ответ: 8,26

б) 25 % от 23,14

Воспользуемся тем же методом.

1. Представим 25% в виде десятичной дроби: $25\% = \frac{25}{100} = 0,25$.

2. Умножим число 23,14 на 0,25: $23,14 \times 0,25 = 5,785$.

Также можно заметить, что 25% — это одна четвертая часть ($1/4$) от целого. Поэтому для нахождения ответа можно было разделить исходное число на 4: $23,14 \div 4 = 5,785$.

Ответ: 5,785

3. Найдите число, если:
а) 40 % числа равно 59,5;
б) 16 % числа равно 47,4.

3.

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 40\% = 0,4 \\ 59,5 : 0,4 = 595 : 4 = 148,75 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)} 16\% = 0,16 \\ 47,4 : 0,16 = 4740 : 16 = 296,25 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти число, зная его процент, нужно значение этого процента разделить на сам процент, выраженный в виде дроби.
Пусть искомое число — это $x$. По условию, 40% от этого числа равны 59,5.
Сначала представим проценты в виде десятичной дроби: $40\% = \frac{40}{100} = 0,4$.
Теперь мы можем составить уравнение:
$0,4 \cdot x = 59,5$
Чтобы найти $x$, разделим 59,5 на 0,4:
$x = \frac{59,5}{0,4}$
Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{59,5 \cdot 10}{0,4 \cdot 10} = \frac{595}{4}$
Выполним деление:
$x = 148,75$
Таким образом, искомое число равно 148,75.
Ответ: 148,75.

б) Действуем аналогично предыдущему пункту. Пусть искомое число — это $y$. По условию, 16% от этого числа равны 47,4.
Представим 16% в виде десятичной дроби: $16\% = \frac{16}{100} = 0,16$.
Составим уравнение:
$0,16 \cdot y = 47,4$
Найдем $y$, разделив 47,4 на 0,16:
$y = \frac{47,4}{0,16}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим числитель и знаменатель на 100:
$y = \frac{47,4 \cdot 100}{0,16 \cdot 100} = \frac{4740}{16}$
Выполним деление:
$y = 296,25$
Следовательно, искомое число равно 296,25.
Ответ: 296,25.

4. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел:

а) 16 и 12; б) 18 и 24.

4.

а)

$$\begin{gathered} 16 = 2 · 2 · 2 · 2 \\ 12 = 2 · 2 · 3 \\ \mathrm{НОД} (16; 12) = 2 · 2 = 4 \\ \mathrm{НОК} (16; 12) = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 48 \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} 18 = 2 · 3 · 3 \\ 24 = 2 · 2 · 2 · 3 \\ \mathrm{НОД} (18; 24) = 2 · 3 = 6 \\ \mathrm{НОК} (18; 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72 \end{gathered}$$

а) 16 и 12

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) чисел 16 и 12, разложим их на простые множители.

Разложение числа 16 на простые множители:
$16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Разложение числа 12 на простые множители:
$12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1$

Нахождение наибольшего общего делителя (НОД)
Чтобы найти НОД, необходимо взять общие для обоих разложений простые множители с наименьшей степенью и перемножить их. Общий множитель — это 2. Наименьшая степень, в которой он встречается в разложениях, — 2.

НОД(16, 12) = $2^2 = 4$.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК)
Чтобы найти НОК, необходимо взять все простые множители из обоих разложений, каждый с наибольшей степенью, и перемножить их. В разложениях встречаются множители 2 и 3. Наибольшая степень для 2 — это 4, для 3 — это 1.

НОК(16, 12) = $2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$.

Ответ: НОД(16, 12) = 4; НОК(16, 12) = 48.

б) 18 и 24

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) чисел 18 и 24, разложим их на простые множители.

Разложение числа 18 на простые множители:
$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^1 \cdot 3^2$

Разложение числа 24 на простые множители:
$24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1$

Нахождение наибольшего общего делителя (НОД)
Берём общие простые множители (2 и 3) с наименьшими степенями (1 для двойки и 1 для тройки) и перемножаем их.

НОД(18, 24) = $2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6$.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК)
Берём все простые множители из разложений (2 и 3) с наибольшими степенями (3 для двойки и 2 для тройки) и перемножаем их.

НОК(18, 24) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Ответ: НОД(18, 24) = 6; НОК(18, 24) = 72.

5. Найдите значение выражения:

а) 715 + 310; б) 715 – 310; в) 512 · 920; г) 512 : 920; д) (57 + 31418) + 27; е) 161940 – (13 + 11940).

5.

$\mathit{а}\mathbf{)} {\frac{7}{15}}^{\overline{)·2}} + {\frac{3}{10}}^{\overline{)·3}} = \frac{14}{30} + \frac{9}{30} = \frac{23}{30}$

$\mathit{б}\mathbf{)} {\frac{7}{15}}^{\overline{)·2}} - {\frac{3}{10}}^{\overline{)·3}} = \frac{14}{30} - \frac{9}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$

$\mathit{в}\mathbf{)} \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{5}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\bcancel{12}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{ 9}}}}{{\displaystyle \underset{4}{\cancel{20}}}} = \frac{1}{4} · \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{5}{12} : \frac{9}{20} = \frac{5}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{12}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{20}}}}{9} = \frac{5}{3} · \frac{5}{9} = \frac{25}{27}$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)} \left(\frac{5}{7} + 3 \frac{14}{18}\right) + \frac{2}{7} = \left(\frac{5}{7} + \frac{2}{7}\right) + 3 \frac{14}{18} = \\ = \frac{7}{7} + 3 \frac{14}{18} = 1 + 3 \frac{14}{18} = 4\frac{14}{18} = 4\frac{7}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }16\frac{19}{40} - \left(13 + 1\frac{19}{40} \right) = 16\frac{19}{40} - 13 - 1\frac{19}{40} = \\ = \left(16\frac{19}{40} - 1\frac{19}{40}\right) - 13 = 15 - 13 = 2 \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 15 и 10 равно 30.
Приводим дроби к знаменателю 30:
$\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{14}{30}$
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$
Теперь складываем полученные дроби:
$\frac{14}{30} + \frac{9}{30} = \frac{14 + 9}{30} = \frac{23}{30}$
Ответ: $\frac{23}{30}$

б) Вычитание дробей производится аналогично сложению. Приводим дроби к общему знаменателю 30.
$\frac{7}{15} - \frac{3}{10} = \frac{14}{30} - \frac{9}{30} = \frac{14 - 9}{30} = \frac{5}{30}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 5:
$\frac{5 \div 5}{30 \div 5} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$

в) Чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели. Перед умножением можно сократить дроби для упрощения вычислений.
$\frac{5}{12} \cdot \frac{9}{20} = \frac{5 \cdot 9}{12 \cdot 20}$
Сокращаем: 5 и 20 на 5; 9 и 12 на 3.
$\frac{5 \cdot 9}{12 \cdot 20} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{3}{16}$
Ответ: $\frac{3}{16}$

г) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).
$\frac{5}{12} : \frac{9}{20} = \frac{5}{12} \cdot \frac{20}{9}$
Сокращаем 12 и 20 на их общий делитель 4:
$\frac{5 \cdot 20}{12 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 9} = \frac{25}{27}$
Ответ: $\frac{25}{27}$

д) Для удобства вычислений можно сгруппировать слагаемые с одинаковыми знаменателями, используя переместительное и сочетательное свойства сложения. Также упростим дробную часть смешанного числа.
$(\frac{5}{7} + 3\frac{14}{18}) + \frac{2}{7} = (\frac{5}{7} + \frac{2}{7}) + 3\frac{14 \div 2}{18 \div 2} = (\frac{5+2}{7}) + 3\frac{7}{9}$
$\frac{7}{7} + 3\frac{7}{9} = 1 + 3\frac{7}{9} = 4\frac{7}{9}$
Ответ: $4\frac{7}{9}$

е) Сначала выполним действие в скобках, а затем вычитание.
$13 + 1\frac{19}{40} = 14\frac{19}{40}$
Теперь выполним вычитание:
$16\frac{19}{40} - 14\frac{19}{40} = (16-14) + (\frac{19}{40} - \frac{19}{40}) = 2 + 0 = 2$
Или можно раскрыть скобки и сгруппировать:
$16\frac{19}{40} - (13 + 1\frac{19}{40}) = 16\frac{19}{40} - 13 - 1\frac{19}{40} = (16\frac{19}{40} - 1\frac{19}{40}) - 13 = 15 - 13 = 2$
Ответ: $2$

6. Представьте обыкновенные дроби в виде десятичных:

18, 120, 54, 1530, 8568, 17625.

6.

$\frac{1}{8} = \frac{1 · 125}{8 · 125} = \frac{125}{1000} = 0,125$

$\frac{1}{20} = \frac{1 · 5}{20 · 5} = \frac{5}{100} = 0,05$

$\frac{5}{4} = \frac{5 · 25}{4 · 25} = \frac{125}{100} = 1,25$

$\frac{15}{30} = \frac{1}{2} = \frac{1 · 5}{2 · 5} = \frac{5}{10} = 0,5$

$\frac{85}{68} = \frac{5}{4} = \frac{5 · 25}{4 · 25} = \frac{125}{100} = 1,25$

$\frac{17}{625} = \frac{17 · 16}{625 · 16} = \frac{272}{10 000} = 0,0272$

$\frac{1}{8}$: Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, нужно разделить числитель на знаменатель. Другой способ — привести знаменатель к степени числа 10 (например, 10, 100, 1000). Для дроби $\frac{1}{8}$ удобно привести знаменатель к 1000. Для этого умножим числитель и знаменатель на 125.
$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{125}{1000} = 0,125$
Ответ: 0,125.

$\frac{1}{20}$: Приведем знаменатель к 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5.
$\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{5}{100} = 0,05$
Ответ: 0,05.

$\frac{5}{4}$: Это неправильная дробь, так как числитель больше знаменателя. Приведем знаменатель к 100, умножив числитель и знаменатель на 25.
$\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{125}{100} = 1,25$
Ответ: 1,25.

$\frac{15}{30}$: Сначала сократим дробь. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 15.
$\frac{15}{30} = \frac{15 \div 15}{30 \div 15} = \frac{1}{2}$
Теперь представим дробь $\frac{1}{2}$ в виде десятичной. Умножим числитель и знаменатель на 5.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0,5$
Ответ: 0,5.

$\frac{85}{68}$: Сначала сократим дробь. Наибольший общий делитель чисел 85 и 68 равен 17. Разделим числитель и знаменатель на 17.
$\frac{85}{68} = \frac{85 \div 17}{68 \div 17} = \frac{5}{4}$
Полученную дробь $\frac{5}{4}$ преобразуем в десятичную, умножив числитель и знаменатель на 25.
$\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{125}{100} = 1,25$
Ответ: 1,25.

$\frac{17}{625}$: Знаменатель 625 — это $5^4$. Чтобы получить в знаменателе степень десяти ($10^4=10000$), нужно умножить его на $2^4=16$. Умножим числитель и знаменатель на 16.
$17 \cdot 16 = 272$
$625 \cdot 16 = 10000$
$\frac{17}{625} = \frac{17 \cdot 16}{625 \cdot 16} = \frac{272}{10000} = 0,0272$
Ответ: 0,0272.

7. Во сколько раз 14 ч меньше 18 сут?

7.

1 сутки = 24 ч

$\frac{1}{8} · 24 = \frac{24}{8} = 3 \mathrm{ч}$

$3 : \frac{1}{4} = 3 · 4 = 12$ (раз) меньше

Ответ: в 12 раз

Чтобы определить, во сколько раз одна величина меньше другой, необходимо большую величину разделить на меньшую. Для этого сначала нужно привести обе величины к одинаковым единицам измерения. В данном случае удобнее всего перевести обе величины в часы.

1. Переведем $\frac{1}{8}$ суток в часы.

Мы знаем, что в одних сутках содержится 24 часа. Чтобы найти, сколько часов в $\frac{1}{8}$ суток, нужно умножить 24 на $\frac{1}{8}$:

$\frac{1}{8} \text{ суток} = \frac{1}{8} \times 24 \text{ ч} = \frac{24}{8} \text{ ч} = 3 \text{ ч}$

Итак, $\frac{1}{8}$ суток равняется 3 часам.

2. Сравним полученные величины.

Теперь нам нужно выяснить, во сколько раз $\frac{1}{4}$ часа меньше, чем 3 часа. Для этого разделим большую величину на меньшую:

$3 \div \frac{1}{4}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$3 \times \frac{4}{1} = 12$

Следовательно, $\frac{1}{4}$ часа в 12 раз меньше, чем $\frac{1}{8}$ суток.

Ответ: в 12 раз.

8. На сколько 15 км больше 110 м?

8.

1 км = 1000 м

$\frac{1}{5} \mathrm{км} = \frac{1}{5} · 1000 = \frac{1000}{5} = 200 \mathrm{м}$

$200 - \frac{1}{10} = 199\frac{10}{10} - \frac{1}{10} = 199\frac{9}{10} = 199,9$ м больше

Ответ: на 199,9 м.

Для того чтобы найти, на сколько одна величина больше другой, необходимо их сравнить. Так как величины даны в разных единицах измерения (километры и метры), сначала приведем их к одной общей единице. Удобнее всего перевести километры в метры.

Вспомним, что в одном километре содержится 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$). Теперь вычислим, сколько метров составляет $\frac{1}{5}$ километра:
$\frac{1}{5} \text{ км} = \frac{1}{5} \times 1000 \text{ м} = \frac{1000}{5} \text{ м} = 200 \text{ м}$.

Теперь, когда обе величины выражены в метрах ($200 \text{ м}$ и $\frac{1}{10} \text{ м}$), найдем их разность. Для этого из большего значения вычтем меньшее:
$200 \text{ м} - \frac{1}{10} \text{ м}$.

Это вычисление можно выполнить, представив дробь в десятичном виде: $\frac{1}{10} \text{ м} = 0,1 \text{ м}$.
$200 \text{ м} - 0,1 \text{ м} = 199,9 \text{ м}$.

Либо можно выполнить вычитание, работая с обыкновенными дробями:
$200 - \frac{1}{10} = 199 + 1 - \frac{1}{10} = 199 + \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = 199\frac{9}{10} \text{ м}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$ км больше $\frac{1}{10}$ м на 199,9 м (или на $199\frac{9}{10}$ м).

9. Выполните действия:

а) –4 + 1,3; б) –5,6 – (–8); в) –634 – (–0,75) ; г) –0,3 · (–0,3); д) –5 ·20; е) 234 · (–3,7) · 0; ж) (–42) : 6; з) –36 : (–0,6); и) (–12311) : (–3).

9.

$\mathit{а}\mathbf{)} -4 + 1,3 = -(4 – 1,3) = -2,7$

$\mathit{б}\mathbf{)} -5,6 – (-8) = -5,6 + 8 = 8 – 5,6 = 2,4$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)} -6\frac{3}{4} - \left(-0,75\right) = -6\frac{3}{4} + 0,75 = -6\frac{3}{4} + \frac{75}{100}= \\ = -6\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = -6 \end{gathered}$$

$\mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-0,3 · (-0,3) = 0,09$

$\mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }-5 · 20 = -100$

$\mathit{е}\mathbf{)} 2\frac{3}{4} · (-3,7) · 0 = 0$

$\mathit{ж}\mathbf{)}\mathbf{ }(-42) : 6 = -7$

$\mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }-36 : (-0,6) = -360 : (-6) = 60$

$$\begin{gathered} \mathit{и}\mathbf{)} \left(-12\frac{3}{11}\right) : (-3) = \frac{{\displaystyle \stackrel{45}{\cancel{135}}}}{11} · \frac{1}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} = \frac{45}{11} · \frac{1}{1} = \\ = \frac{45}{11} =4\frac{1}{11} \end{gathered}$$

а) $-4 + 1,3$

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего по модулю числа вычесть меньшее по модулю и поставить перед результатом знак числа с большим модулем. В данном случае $|-4| > |1,3|$, поэтому результат будет отрицательным.

$-4 + 1,3 = -(4 - 1,3) = -2,7$

Ответ: $-2,7$

б) $-5,6 - (-8)$

Вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного числа.

$-5,6 - (-8) = -5,6 + 8$

Теперь, как и в предыдущем примере, из большего модуля вычитаем меньший и ставим знак большего модуля. $|8| > |-5,6|$, результат будет положительным.

$8 - 5,6 = 2,4$

Ответ: $2,4$

в) $-6\frac{3}{4} - (-0,75)$

Для удобства вычислений представим оба числа в виде десятичных дробей. Дробь $\frac{3}{4}$ равна $0,75$.

$-6\frac{3}{4} = -6,75$

Теперь выражение выглядит так:

$-6,75 - (-0,75)$

Вычитание отрицательного числа заменяем сложением:

$-6,75 + 0,75 = -(6,75 - 0,75) = -6$

Ответ: $-6$

г) $-0,3 \cdot (-0,3)$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

$-0,3 \cdot (-0,3) = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09$

Ответ: $0,09$

д) $-5 \cdot 20$

Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом.

$-5 \cdot 20 = -(5 \cdot 20) = -100$

Ответ: $-100$

е) $2\frac{3}{4} \cdot (-3,7) \cdot 0$

Согласно свойству умножения, произведение любого выражения на ноль равно нулю.

$2\frac{3}{4} \cdot (-3,7) \cdot 0 = 0$

Ответ: $0$

ж) $(-42) : 6$

Частное от деления отрицательного числа на положительное является отрицательным числом.

$(-42) : 6 = -(42 : 6) = -7$

Ответ: $-7$

з) $-36 : (-0,6)$

Частное от деления двух отрицательных чисел является положительным числом.

$-36 : (-0,6) = 36 : 0,6$

Для деления на десятичную дробь, умножим делимое и делитель на 10:

$(36 \cdot 10) : (0,6 \cdot 10) = 360 : 6 = 60$

Ответ: $60$

и) $(-12\frac{3}{11}) : (-3)$

Частное от деления двух отрицательных чисел является положительным числом. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную.

$-12\frac{3}{11} = -\frac{12 \cdot 11 + 3}{11} = -\frac{132 + 3}{11} = -\frac{135}{11}$

Выполним деление:

$(-\frac{135}{11}) : (-3) = \frac{135}{11} : 3$

Деление на 3 эквивалентно умножению на $\frac{1}{3}$:

$\frac{135}{11} \cdot \frac{1}{3} = \frac{135}{11 \cdot 3} = \frac{45}{11}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанную:

$\frac{45}{11} = 4\frac{1}{11}$

Ответ: $4\frac{1}{11}$

10. Вычислите.

а) |27,8| − |−27,8|; б) |79| · |−214|; в) 0,36 : |−0,18|.

10.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }|27,8| - |-27,8| = 27,8 – 27,8 = 0 \\ \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left|\frac{7}{9}\right| · \left|-2\frac{1}{4}\right| = \frac{7}{9} · 2\frac{1}{4} = \frac{7}{\cancel{9}} · \frac{\cancel{9}}{4} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} \\ \mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }0,36 : |-0,18| = 36 : 18 = 2 \end{gathered}$$

а) $|27,8| - |-27,8|$

Модуль (абсолютная величина) числа — это неотрицательное число, равное расстоянию от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала координат. Модуль положительного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа — противоположному ему положительному числу.

Исходя из определения модуля:

$|27,8| = 27,8$

$|-27,8| = 27,8$

Подставим полученные значения в исходное выражение и вычислим разность:

$27,8 - 27,8 = 0$

Ответ: 0

б) $|\frac{7}{9}| \cdot |-2\frac{1}{4}|$

Сначала найдем модули каждого из множителей:

$|\frac{7}{9}| = \frac{7}{9}$

$|-2\frac{1}{4}| = 2\frac{1}{4}$

Теперь выражение принимает вид: $\frac{7}{9} \cdot 2\frac{1}{4}$.

Для выполнения умножения преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Выполним умножение дробей, предварительно сократив их:

$\frac{7}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{7 \cdot \cancel{9}}{\cancel{9} \cdot 4} = \frac{7}{4}$

Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$

Ответ: $1\frac{3}{4}$

в) $0,36 : |-0,18|$

Найдем модуль делителя:

$|-0,18| = 0,18$

Выражение принимает вид: $0,36 : 0,18$.

Для удобства деления десятичных дробей можно умножить и делимое, и делитель на такое число (10, 100, 1000 и т.д.), чтобы делитель стал целым числом. В данном случае умножим оба числа на 100:

$0,36 \cdot 100 = 36$

$0,18 \cdot 100 = 18$

Теперь выполним деление целых чисел:

$36 : 18 = 2$

Ответ: 2

11. а) Является ли диагональ квадрата его осью симметрии?

б) Является ли точка пересечения диагоналей квадрата его центром симметрии?

11.

а) диагональ квадрата является его осью симметрии

б) точка пересечения диагоналей квадрата является его центом симметрии

а) Да, диагональ квадрата является его осью симметрии. Осью симметрии называется прямая, при отражении относительно которой фигура отображается сама на себя. Пусть дан квадрат $ABCD$. Рассмотрим его диагональ $AC$. При осевой симметрии относительно прямой $AC$ все точки, лежащие на этой прямой (включая вершины $A$ и $C$), остаются на месте. Вершина $B$ симметрична вершине $D$ относительно прямой $AC$, так как диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle BAD$ и $\angle BCD$, а также $AB=AD$ и $CB=CD$. Таким образом, треугольник $ABC$ симметрично отображается на треугольник $ADC$. Это означает, что весь квадрат $ABCD$ при симметрии относительно диагонали $AC$ отображается сам на себя. То же самое справедливо и для диагонали $BD$. У квадрата две оси симметрии, проходящие через его диагонали.

Ответ: да.

б) Да, точка пересечения диагоналей квадрата является его центром симметрии. Центром симметрии фигуры называется точка, при повороте на $180^\circ$ вокруг которой фигура отображается сама на себя (это преобразование также называют центральной симметрией). Пусть дан квадрат $ABCD$ и $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. По свойствам квадрата, его диагонали в точке пересечения делятся пополам, то есть $AO=OC$ и $BO=OD$. При центральной симметрии относительно точки $O$ (или повороте на $180^\circ$ вокруг $O$) вершина $A$ перейдет в вершину $C$, а вершина $C$ — в вершину $A$. Аналогично, вершина $B$ перейдет в вершину $D$, а $D$ — в $B$. Соответственно, сторона $AB$ отобразится на сторону $CD$, сторона $BC$ — на сторону $DA$, и так далее. Весь квадрат при таком преобразовании отобразится сам на себя. Следовательно, точка пересечения диагоналей является центром симметрии квадрата.

Ответ: да.

12. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 12 см, 4,5 дм и 0,4 м.

12.

4,5 дм = 45 см

0,4 м = 40 см

$\mathrm{V} = 12 · 45· 40 = 480· 45 =$

$= 21600 \left({\mathrm{см}}^3\right)$ – объем прямоугольного параллелепипеда

Ответ: 21600 см³

Для того чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, необходимо перемножить три его измерения: длину, ширину и высоту. Формула для расчёта объёма $V$ выглядит следующим образом:

$V = a \cdot b \cdot c$

В условии задачи измерения даны в разных единицах: $12$ см, $4,5$ дм и $0,4$ м. Чтобы выполнить вычисления, необходимо привести все три величины к одной единице измерения. Удобнее всего перевести всё в сантиметры (см).

Вспомним соотношения единиц длины:
$1$ дециметр (дм) = $10$ сантиметров (см)
$1$ метр (м) = $100$ сантиметров (см)

Теперь выполним перевод измерений:
1. Первое измерение уже дано в сантиметрах: $a = 12 \text{ см}$.
2. Второе измерение переведём из дециметров в сантиметры: $b = 4,5 \text{ дм} = 4,5 \cdot 10 \text{ см} = 45 \text{ см}$.
3. Третье измерение переведём из метров в сантиметры: $c = 0,4 \text{ м} = 0,4 \cdot 100 \text{ см} = 40 \text{ см}$.

Теперь, когда все измерения выражены в сантиметрах, мы можем вычислить объём, подставив значения в формулу:

$V = 12 \text{ см} \cdot 45 \text{ см} \cdot 40 \text{ см}$

Выполним умножение по шагам:
$12 \cdot 45 = 540$
$540 \cdot 40 = 21600$

Таким образом, объём параллелепипеда равен $21600$ кубическим сантиметрам.

$V = 21600 \text{ см}^3$

Этот же результат можно представить в других единицах. Например, в кубических дециметрах (1 дм³ = 1000 см³) или в кубических метрах (1 м³ = 1 000 000 см³):
$21600 \text{ см}^3 = \frac{21600}{1000} \text{ дм}^3 = 21,6 \text{ дм}^3$
$21600 \text{ см}^3 = \frac{21600}{1000000} \text{ м}^3 = 0,0216 \text{ м}^3$

Ответ: $21600 \text{ см}^3$ (или $21,6 \text{ дм}^3$, или $0,0216 \text{ м}^3$).