Номер 11, страница 137, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Вопросы и задачи на повторение. Проверочная работа №1 - номер 11, страница 137.

Условие.

11. а) Является ли диагональ квадрата его осью симметрии?

б) Является ли точка пересечения диагоналей квадрата его центром симметрии?

Решение 1.

11.

а) диагональ квадрата является его осью симметрии

б) точка пересечения диагоналей квадрата является его центом симметрии

Решение 2.

а) Да, диагональ квадрата является его осью симметрии. Осью симметрии называется прямая, при отражении относительно которой фигура отображается сама на себя. Пусть дан квадрат $ABCD$. Рассмотрим его диагональ $AC$. При осевой симметрии относительно прямой $AC$ все точки, лежащие на этой прямой (включая вершины $A$ и $C$), остаются на месте. Вершина $B$ симметрична вершине $D$ относительно прямой $AC$, так как диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle BAD$ и $\angle BCD$, а также $AB=AD$ и $CB=CD$. Таким образом, треугольник $ABC$ симметрично отображается на треугольник $ADC$. Это означает, что весь квадрат $ABCD$ при симметрии относительно диагонали $AC$ отображается сам на себя. То же самое справедливо и для диагонали $BD$. У квадрата две оси симметрии, проходящие через его диагонали.

Ответ: да.

б) Да, точка пересечения диагоналей квадрата является его центром симметрии. Центром симметрии фигуры называется точка, при повороте на $180^\circ$ вокруг которой фигура отображается сама на себя (это преобразование также называют центральной симметрией). Пусть дан квадрат $ABCD$ и $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. По свойствам квадрата, его диагонали в точке пересечения делятся пополам, то есть $AO=OC$ и $BO=OD$. При центральной симметрии относительно точки $O$ (или повороте на $180^\circ$ вокруг $O$) вершина $A$ перейдет в вершину $C$, а вершина $C$ — в вершину $A$. Аналогично, вершина $B$ перейдет в вершину $D$, а $D$ — в $B$. Соответственно, сторона $AB$ отобразится на сторону $CD$, сторона $BC$ — на сторону $DA$, и так далее. Весь квадрат при таком преобразовании отобразится сам на себя. Следовательно, точка пересечения диагоналей является центром симметрии квадрата.

Ответ: да.

Решение 3.

Решение 4.