Страница 144, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Какие точки называют симметричными относительно прямой? Как называют эту прямую?

Какие точки называют симметричными относительно данной точки?

Какую точку называют центром симметрии фигуры?

Равны ли симметричные фигуры при осевой симметрии; при центральной симметрии?

Приведите примеры изображений из окружающего мира, обладающих осевой, центральной или зеркальной симметриями.

22. Симметрия

Вопросы к параграфу

• Точки А и В называют симметричными относительно прямой m, если они лежат на прямой, проходящей под прямым углом к прямой m, по разные стороны от нее и на равных расстояниях он прямой m.
  Прямая m называется осью симметрии.

• Точки А и В называют симметричными относительно точки О, если точки А, О и В лежат на одной прямой, точка О лежит между А и В и АО = ОВ

• Точка О называется центром симметрии.

• Центрально-симметричные фигуры равны. Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

• Осевая симметрия: бабочка, шкаф, ракетка.
  Центральная симметрия: снежинка, цветок.
  Зеркальная симметрия: отражение в зеркале.

Какие точки называют симметричными относительно прямой? Как называют эту прямую?

Две точки $A$ и $A'$ называют симметричными относительно прямой $l$, если эта прямая проходит через середину отрезка $AA'$ и перпендикулярна ему. Иными словами, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти две точки. Если точка $B$ лежит на самой прямой $l$, то симметричной ей точкой относительно прямой $l$ считается сама точка $B$. Такое преобразование, при котором каждая точка фигуры заменяется на симметричную ей точку относительно прямой $l$, называется осевой симметрией. Прямая, относительно которой осуществляется симметрия, называется осью симметрии.

Ответ: Точки называют симметричными относительно прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Эту прямую называют осью симметрии.

Какие точки называют симметричными относительно данной точки?

Две точки $A$ и $A'$ называют симметричными относительно данной точки $O$ (центра симметрии), если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Это означает, что точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой, а расстояния $AO$ и $OA'$ равны. Сама точка $O$ считается симметричной самой себе. Преобразование, при котором каждая точка фигуры заменяется на симметричную ей точку относительно центра $O$, называется центральной симметрией или поворотом на 180 градусов вокруг точки $O$.

Ответ: Точки называют симметричными относительно данной точки $O$, если точка $O$ является серединой отрезка, соединяющего эти точки.

Какую точку называют центром симметрии фигуры?

Точку $O$ называют центром симметрии фигуры, если для каждой точки $A$ этой фигуры точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно точки $O$, также принадлежит этой фигуре. Иначе говоря, фигура при повороте на 180° вокруг своего центра симметрии переходит сама в себя. Например, центр окружности является ее центром симметрии. Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей.

Ответ: Центром симметрии фигуры называют такую точку, что каждая точка фигуры симметрична некоторой другой точке той же фигуры относительно неё.

Равны ли симметричные фигуры при осевой симметрии; при центральной симметрии?

Да, в обоих случаях симметричные фигуры равны. И осевая, и центральная симметрия являются видами движения (изометрии). Движение — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Поскольку при симметричном преобразовании все расстояния между соответствующими точками сохраняются, исходная фигура и ее образ полностью совпадают при наложении. Это означает, что они равны (конгруэнтны).

Ответ: Да, симметричные фигуры равны как при осевой, так и при центральной симметрии, так как оба этих преобразования являются движением.

Приведите примеры изображений из окружающего мира, обладающих осевой, центральной или зеркальной симметриями.

В окружающем мире встречается множество объектов с различными видами симметрии. Зеркальная симметрия является синонимом осевой симметрии в двумерном пространстве.

• Осевая (зеркальная) симметрия:
  • Природа: бабочка, стрекоза, лист клена, человеческое лицо (приблизительно), снежинка (имеет несколько осей симметрии), отражение гор в глади озера.
  • Архитектура и предметы: многие здания (например, Тадж-Махал), автомобили (вид спереди или сзади), гитара, скрипка, буквы алфавита (А, М, Т, П, Ш).
• Центральная симметрия:
  • Природа: снежинка (обладает и центральной, и осевой симметрией), морская звезда (приблизительно), некоторые цветы (например, вьюнок).
  • Предметы: пропеллер с двумя лопастями, знак "Инь-ян", игральные карты (валеты, дамы, короли, если рассматривать их как целое), буквы алфавита (S, N, Z, H, I, X), дорожный знак "пересечение равнозначных дорог", параллелограмм.

Ответ: Примеры осевой симметрии: бабочка, лист дерева, отражение в воде. Примеры центральной симметрии: снежинка, знак "Инь-ян", буква S.

3.128. а) Рассмотрите рисунок 3.28, а. Как проверить, что фигуры М и N на рисунке симметричны относительно данной прямой?

б) На рисунке 3.28, б изображены две окружности. Какая прямая служит их общей осью симметрии?

3.128

а) Если при перегибании листа бумаги по данной прямой фигуры совпадут, то они симметричны относительно данной прямой.

Можно соединить соответствующие точки фигур. Они должны лежать на прямой, проходящей под углом 90° к данной прямой и находиться на одинаковом расстоянии от нее.

б) Общей осью симметрии окружностей служит прямая, проходящая через точки О и С.

а) Чтобы проверить, что фигуры $M$ и $N$ на рисунке 3.28, а, симметричны относительно данной прямой (оси симметрии), необходимо убедиться, что каждая точка одной фигуры является зеркальным отражением соответствующей точки другой фигуры. Проверку можно осуществить следующими способами:

1. Практический способ: Мысленно или физически (если это возможно на листе бумаги) согнуть рисунок по данной прямой. Если при этом фигура $M$ полностью наложится на фигуру $N$, то они симметричны относительно этой прямой.

2. Геометрический способ (более строгий): Поскольку фигуры являются многоугольниками, достаточно проверить симметричность их вершин. Для этого для каждой вершины фигуры $M$ нужно выполнить следующие действия:

   • Провести из вершины перпендикуляр к оси симметрии.
   • Убедиться, что на продолжении этого перпендикуляра по другую сторону от оси лежит соответствующая вершина фигуры $N$.
   • Измерить расстояние от вершины фигуры $M$ до оси симметрии и расстояние от соответствующей вершины фигуры $N$ до оси. Эти расстояния должны быть равны.

   Если данное условие выполняется для всех пар соответствующих вершин, то фигуры $M$ и $N$ симметричны относительно данной прямой.

Ответ: Необходимо проверить, что для каждой вершины одной фигуры соответствующая вершина другой фигуры лежит на том же перпендикуляре к оси симметрии и на таком же расстоянии от нее, но с другой стороны.

б) На рисунке 3.28, б, изображены две окружности с центрами в точках $O$ и $C$.

Общей осью симметрии для двух окружностей является прямая, проходящая через их центры — прямая $OC$.

Обоснование:
Осью симметрии геометрической фигуры называется прямая, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части. При отражении относительно оси симметрии фигура переходит сама в себя.
Для любой отдельной окружности любая прямая, проходящая через её центр, является её осью симметрии.
Рассмотрим прямую, проходящую через центры обеих окружностей, $O$ и $C$. Эта прямая является осью симметрии для первой окружности (так как проходит через её центр $O$) и одновременно является осью симметрии для второй окружности (так как проходит через её центр $C$).
Таким образом, при отражении относительно прямой $OC$ каждая из окружностей переходит сама в себя. Это означает, что вся композиция из двух окружностей также переходит сама в себя, а значит, прямая $OC$ является их общей осью симметрии.

Ответ: Прямая, проходящая через центры двух окружностей (прямая $OC$).