Страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Приведите пример двух противоположных утверждений.

Противоположные утверждения (в строгой логике — противоречащие утверждения) — это пара высказываний, которые не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными. Истинность одного из них с необходимостью означает ложность другого, и наоборот.

Ключевым свойством таких утверждений является то, что одно является полным отрицанием другого. Самый простой способ построить пару противоположных утверждений — это взять некоторое высказывание и добавить к нему частицу «не».

Рассмотрим в качестве примера следующие два утверждения:

1. Волга впадает в Каспийское море.

2. Волга не впадает в Каспийское море.

Первое утверждение является географическим фактом, то есть оно истинно. Второе утверждение, полученное путем добавления отрицания, соответственно, является ложным. Невозможно, чтобы оба эти утверждения были правдой одновременно. Также невозможно, чтобы оба они были ложью, поскольку река Волга либо впадает в Каспийское море, либо нет — третьего варианта не дано (согласно закону исключённого третьего).

Другой пример из математики:

1. Число 15 делится на 3 без остатка.

2. Число 15 не делится на 3 без остатка.

Здесь также первое утверждение истинно ( $15 / 3 = 5$ ), а второе, являясь его отрицанием, ложно.

Ответ: «Квадрат является прямоугольником» и «Квадрат не является прямоугольником».

2 Верно ли, что если исходное утверждение истинно, то противоположное ему ложно?

Да, это утверждение абсолютно верно в рамках классической логики, на которой основана большая часть математики и повседневных рассуждений.

Разберем это подробно:

В логике "противоположное" утверждение чаще всего понимается как его отрицание. Отрицание — это логическая операция, которая меняет истинностное значение утверждения на противоположное.

Пусть у нас есть исходное утверждение, которое мы обозначим буквой $A$. Его отрицание (противоположное утверждение) обозначается как $\neg A$ (читается как "не $A$").

По определению операции отрицания и согласно законам классической логики:

• Если утверждение $A$ истинно, то его отрицание $\neg A$ обязательно ложно.
• Если утверждение $A$ ложно, то его отрицание $\neg A$ обязательно истинно.

Это следует из двух фундаментальных принципов:

1. Закон непротиворечия: Утверждение не может быть одновременно истинным и ложным. То есть, $A$ и $\neg A$ не могут быть истинны в одно и то же время. Формально это записывается как $\neg(A \land \neg A)$.
2. Закон исключённого третьего: Любое утверждение либо истинно, либо ложно — третьего варианта нет. Формально: $A \lor \neg A$.

Таким образом, если мы принимаем, что исходное утверждение $A$ истинно, то по закону непротиворечия его отрицание $\neg A$ не может быть истинным, а значит, оно должно быть ложным (согласно закону исключённого третьего).

Пример 1:

• Исходное утверждение (истинно): "Земля вращается вокруг Солнца".
• Противоположное утверждение (отрицание): "Земля не вращается вокруг Солнца". Это утверждение очевидно ложно.

Пример 2 (математический):

• Исходное утверждение (истинно): "$5 > 3$".
• Противоположное утверждение (отрицание): "$5 \le 3$" (что является отрицанием строгого неравенства). Это утверждение ложно.

Следовательно, утверждение о том, что из истинности исходного высказывания следует ложность противоположного, является одним из ключевых столпов логики.

Ответ: Да, верно. Если исходное утверждение истинно, то противоположное ему (его отрицание) по определению ложно.

3 Верно ли, что если исходное утверждение истинно, то противоположное ему тоже истинно?

Нет, данное утверждение неверно. В классической логике, если исходное утверждение истинно, то противоположное ему (его отрицание) всегда будет ложным. Это следует из одного из фундаментальных законов логики — закона непротиворечия.

Закон непротиворечия гласит, что два противоречащих друг другу суждения не могут быть одновременно истинными. То есть, утверждение и его отрицание не могут быть истинны в одно и то же время и в одном и том же отношении.

Если обозначить исходное утверждение как $A$, то противоположное ему утверждение (отрицание) будет $¬A$ (читается как «не $A$»). Таким образом, если утверждение $A$ истинно, то его отрицание $¬A$ по определению должно быть ложным.

Пример:

Исходное утверждение: «Земля — третья планета от Солнца».

Это утверждение является истинным.

Противоположное утверждение: «Земля не является третьей планетой от Солнца».

Это утверждение, очевидно, является ложным.

Таким образом, истинность исходного утверждения исключает истинность противоположного ему утверждения.

Ответ: Нет, неверно. Если исходное утверждение истинно, то противоположное ему всегда ложно.

176 В магазине продаются булочки с яблочным джемом и с абрикосовым вареньем. Все булочки с яблочным джемом посыпаны корицей. Паша купил булочку без корицы. Докажите, что в ней абрикосовое варенье.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом логических рассуждений, основанным на данных из условия задачи.

Нам даны два факта:

1. В магазине продаются только два вида булочек: с яблочным джемом и с абрикосовым вареньем.
2. Все без исключения булочки с яблочным джемом посыпаны корицей.

Из второго факта можно сделать прямое логическое следствие (называемое контрапозицией): если булочка не посыпана корицей, то в ней не может быть яблочного джема. Ведь если бы в ней был яблочный джем, она, по условию, была бы обязательно посыпана корицей.

Теперь обратимся к покупке Паши. Нам известно, что Паша купил булочку без корицы.

Применив к этому факту наш логический вывод, мы приходим к заключению, что в булочке Паши точно нет яблочного джема.

Вспомним первый факт: в магазине есть только булочки с яблочным джемом и с абрикосовым вареньем. Поскольку мы доказали, что начинка в булочке Паши не яблочная, остается только один возможный вариант — абрикосовое варенье.

Таким образом, мы доказали, что в купленной Пашей булочке находится абрикосовое варенье.

Ответ: Так как все булочки с яблочным джемом посыпаны корицей, а Паша купил булочку без корицы, то в его булочке не может быть яблочного джема. Поскольку в магазине других видов булочек, кроме как с яблочным джемом и абрикосовым вареньем, нет, то в булочке Паши — абрикосовое варенье.

177 В ящике лежат 20 синих и 20 зелёных носков. Докажите, что если наугад вынуть из ящика три носка, хотя бы два из них окажутся одного цвета.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом, известным как принцип Дирихле (или принцип ящиков). Этот принцип гласит: если необходимо разместить $N$ объектов по $M$ ящикам, и количество объектов $N$ больше количества ящиков $M$ ($N > M$), то как минимум в одном ящике окажется более одного объекта.

Применим этот принцип к нашей задаче:

• «Объектами» являются носки, которые мы вынимаем из ящика. По условию, мы вынимаем $3$ носка. Следовательно, $N = 3$.
• «Ящиками» являются возможные цвета носков. У нас есть носки только двух цветов: синие и зелёные. Следовательно, $M = 2$.

Поскольку количество вынимаемых носков ($3$) больше, чем количество возможных цветов ($2$), то, согласно принципу Дирихле, как минимум два из вынутых носков обязательно окажутся одного цвета.

Можно также использовать рассуждение от противного (рассмотреть наихудший случай):

1. Допустим, мы хотим вынуть $3$ носка так, чтобы среди них не было двух одноцветных.
2. Берём первый носок. Он может быть, например, синим.
3. Берём второй носок. Чтобы он отличался по цвету от первого, он должен быть зелёным. Теперь у нас на руках один синий и один зелёный носок.
4. Берём третий носок. Поскольку в ящике есть только синие и зелёные носки, третий носок будет либо синим, либо зелёным.
   • Если он синий, у нас получится пара синих носков.
   • Если он зелёный, у нас получится пара зелёных носков.

Таким образом, в любом случае третий вынутый носок образует пару с одним из уже имеющихся. Это доказывает, что невозможно вынуть три носка так, чтобы все они были разных цветов. Следовательно, хотя бы два из них обязательно будут одного цвета. Количество носков каждого цвета ($20$) является избыточной информацией и не влияет на логику решения.

Ответ: Утверждение доказано. При извлечении трёх носков из ящика, в котором находятся носки двух цветов, по принципу Дирихле по крайней мере два носка гарантированно будут одного цвета.

178 Антип Петрович разорвал газетный лист пополам. Потом взял один из кусков и разорвал его пополам. Опять взял один из кусков и разорвал пополам. Антип Петрович может рвать газету таким образом сколько угодно много раз. Сможет ли он получить в результате 100 кусков?

Проанализируем, как изменяется количество кусков газеты при каждом действии.

Изначально имеется 1 целый лист. Когда Антип Петрович разрывает один кусок газеты пополам, этот кусок исчезает, а на его месте появляются два новых. Таким образом, общее количество кусков увеличивается на 1. Математически это можно записать так: если было $N$ кусков, то после разрыва одного из них станет $(N - 1) + 2 = N + 1$ кусков.

Каждое действие разрывания увеличивает общее количество кусков на единицу.

• В самом начале (0 разрывов) — 1 кусок.
• После первого разрыва — $1 + 1 = 2$ куска.
• После второго разрыва — $2 + 1 = 3$ куска.
• После третьего разрыва — $3 + 1 = 4$ куска.

Можно заметить, что после $n$ разрывов количество кусков будет равно $n + 1$.

Нам нужно узнать, сможет ли количество кусков стать равным 100. Для этого нужно проверить, существует ли такое целое число разрывов $n$, для которого выполняется равенство:

$n + 1 = 100$

Решив это уравнение, получаем:

$n = 100 - 1 = 99$

Поскольку $n = 99$ — это целое положительное число, это означает, что, совершив 99 разрывов, Антип Петрович получит ровно 100 кусков.

Ответ: Да, сможет.

179 Пётр Антипович разорвал газетный лист на три части. Потом взял один из кусков и разорвал его на три части. Опять взял один из кусков и разорвал на три части. Пётр Антипович может рвать газету таким образом сколь угодно много раз. Докажите, что Пётр Антипович не сможет получить в результате 100 кусков.

Чтобы доказать, что Пётр Антипович не сможет получить 100 кусков, проследим за изменением их количества на каждом шаге.

Изначально имеется 1 кусок (целый газетный лист).

Когда Пётр Антипович совершает первое действие, он разрывает этот лист на 3 части.

Далее, для каждого следующего действия, он берёт один из имеющихся кусков и разрывает его на три. Это означает, что один старый кусок исчезает, а вместо него появляются три новых. Таким образом, при каждом разрыве общее количество кусков увеличивается на 2.

Математически это можно записать так: если было $N$ кусков, то после разрыва одного из них их станет $(N-1) + 3 = N+2$.

Рассмотрим последовательность количества кусков:

• Изначально: 1 кусок
• После 1-го разрыва: $1+2=3$ куска
• После 2-го разрыва: $3+2=5$ кусков
• После 3-го разрыва: $5+2=7$ кусков
• и так далее.

Можно заметить, что количество кусков всегда является нечётным числом. Это происходит потому, что мы начинаем с нечётного числа (1) и на каждом шаге прибавляем чётное число (2). Сумма нечётного и чётного чисел всегда нечётна.

Число 100, которое мы хотим получить, является чётным. Поскольку в результате описанных действий можно получить только нечётное количество кусков, достичь 100 кусков невозможно.

Это также можно доказать алгебраически. Пусть $n$ — количество совершённых разрывов. Тогда общее количество кусков $K$ будет равно $K = 1 + 2n$. Проверим, может ли $K$ быть равным 100:

$1 + 2n = 100$
$2n = 100 - 1$
$2n = 99$
$n = 99 / 2 = 49.5$

Поскольку количество разрывов $n$ должно быть целым неотрицательным числом, а мы получили дробное значение, это подтверждает, что получить 100 кусков невозможно.

Ответ: Пётр Антипович не сможет получить 100 кусков, так как начальное количество кусков (1) является нечётным числом, и каждая последующая операция увеличивает общее количество кусков на 2, в результате чего количество кусков всегда остаётся нечётным. Число 100 — чётное.

180 Докажите, что существует только одно простое чётное число.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определениями простого и чётного чисел.
Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.
Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число $n$ можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число.

Рассмотрим число 2. Оно является чётным, так как $2 = 2 \cdot 1$. Делителями числа 2 являются только 1 и 2. Согласно определению, это означает, что 2 — простое число. Таким образом, мы нашли одно простое чётное число.

Теперь докажем, что оно единственное. Рассмотрим любое другое чётное число $N$, которое больше 2.
Поскольку $N$ — чётное, оно по определению делится на 2. Это означает, что 2 является делителем числа $N$.
Следовательно, у числа $N$ есть как минимум три различных делителя: 1 (любое натуральное число делится на 1), 2 (потому что $N$ чётное и $N>2$) и само число $N$.
По определению, простое число должно иметь ровно два делителя. Так как любое чётное число, большее двух, имеет по крайней мере один делитель (число 2), отличный от 1 и самого себя, такое число не может быть простым. Оно является составным.
Следовательно, 2 — это единственное чётное число, которое также является простым. Что и требовалось доказать.

Ответ: Единственное простое чётное число — это 2.

181 Сколько существует простых чисел, которые делятся:

а) на 5;

б) на 100?

а) Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: единицу и само себя. Пусть $p$ — это простое число, которое делится на 5. Это значит, что 5 является одним из делителей числа $p$. Поскольку у простого числа $p$ делителями могут быть только 1 и $p$, а 5 является его делителем, то 5 должно совпадать с одним из них. Так как $5 \neq 1$, то остается единственная возможность: $p=5$. Число 5 является простым, так как делится только на 1 и 5. Следовательно, существует только одно простое число, которое делится на 5.
Ответ: 1.

б) Пусть $p$ — это простое число, которое делится на 100. Если число делится на 100, то оно также делится на все делители числа 100, например, на 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. Простое число по определению имеет только два делителя. Любое число, которое делится на 100, автоматически имеет больше двух делителей, поэтому оно является составным. Например, если бы такое простое число $p$ существовало, то его делителями были бы как минимум 1, 100 и само число $p$. Это уже три различных делителя (так как $p$ должно быть не меньше 100, то $p \neq 1$), что противоречит определению простого числа. Следовательно, не существует простых чисел, которые делятся на 100.
Ответ: 0.

182 Матвей зашифровал пример на сложение с помощью числового ребуса. Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры: $АВ + БГ = ВЖГ$. Докажите, что Матвей в чём-то ошибся.

В данном числовом ребусе зашифровано равенство: $АВ + БГ = ВЖГТ$. По условию, одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры.

Здесь АВ и БГ — это двузначные числа, а ВЖГТ — четырёхзначное число.

Рассмотрим левую часть равенства — сумму двух двузначных чисел $АВ + БГ$. Поскольку $АВ$ и $БГ$ являются двузначными числами, каждое из них не может быть больше 99.

Найдём максимально возможное значение этой суммы. Самое большое двузначное число — 99. Самое большое двузначное число, составленное из других цифр, — 98. Их сумма равна: $99 + 98 = 197$.

Таким образом, сумма любых двух двузначных чисел, в записи которых использованы разные цифры, всегда меньше 200. То есть, $АВ + БГ \leq 197$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства — число $ВЖГТ$.

По условию, $ВЖГТ$ — это четырёхзначное число. Наименьшее возможное четырёхзначное число — это 1000.

Следовательно, $ВЖГТ \geq 1000$.

Сравнивая обе части равенства, мы приходим к противоречию. Левая часть равенства ($АВ + БГ$) не может быть больше 197, а правая часть ($ВЖГТ$) не может быть меньше 1000. Число, которое меньше 200, не может быть равно числу, которое больше или равно 1000.

Из этого следует, что равенство $АВ + БГ = ВЖГТ$ не может быть верным ни при каких значениях букв.

Ответ: Матвей ошибся, так как сумма двух двузначных чисел всегда является числом, меньшим 200 ($99+98=197$), и никак не может равняться четырёхзначному числу, которое по определению не меньше 1000.