Страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

170 Выходя на улицу, Анна Дмитриевна обязательно надевает перчатки. Какие из следующих высказываний истинны:

а) «Если Анна Дмитриевна без перчаток, значит, она дома»;

б) «Если Анна Дмитриевна без перчаток, значит, она не на улице»;

в) «Если Анна Дмитриевна в перчатках, значит, она на улице»;

г) «Если Анна Дмитриевна на улице, значит, она в перчатках»;

д) «Если Анна Дмитриевна дома, значит, она без перчаток»?

Для решения этой задачи воспользуемся методами математической логики. Основное условие задачи: "Выходя на улицу, Анна Дмитриевна обязательно надевает перчатки".

Введем два логических высказывания:

• $У$: "Анна Дмитриевна на улице".
• $П$: "Анна Дмитриевна в перчатках".

Тогда исходное условие можно записать в виде импликации: $У \implies П$. Это означает: "Если Анна Дмитриевна на улице, то она в перчатках". Эта импликация является истинной по условию задачи. Проанализируем каждое из предложенных высказываний.

а) «Если Анна Дмитриевна без перчаток, значит, она дома»

Высказывание "Анна Дмитриевна без перчаток" является отрицанием высказывания $П$, то есть $\neg П$. Высказывание "она дома" является отрицанием высказывания $У$ (так как "дома" — это противоположность "на улице"), то есть $\neg У$. Таким образом, данное утверждение можно записать в виде импликации: $\neg П \implies \neg У$. В логике такая импликация называется контрапозицией исходной импликации $У \implies П$. Импликация и её контрапозиция всегда логически эквивалентны. Поскольку исходное утверждение $У \implies П$ истинно, то и контрапозиция $\neg П \implies \neg У$ также истинна.

Ответ: Истинно.

б) «Если Анна Дмитриевна без перчаток, значит, она не на улице»

Это высказывание по сути является переформулировкой высказывания (а). "Анна Дмитриевна без перчаток" — это $\neg П$. "Она не на улице" — это $\neg У$. Импликация: $\neg П \implies \neg У$. Как мы уже выяснили в предыдущем пункте, это контрапозиция исходного утверждения, и она истинна, так как логически эквивалентна истинному по условию утверждению.

Ответ: Истинно.

в) «Если Анна Дмитриевна в перчатках, значит, она на улице»

Это высказывание можно записать как $П \implies У$. Такая импликация называется обратной к исходной ($У \implies П$). Истинность прямой импликации не гарантирует истинность обратной. Из условия мы знаем, что если она на улице, то она точно в перчатках. Но это не исключает возможность того, что она может быть в перчатках и не на улице (например, дома, если ей холодно, или она просто решила их надеть). Следовательно, это утверждение не обязательно является истинным.

Ответ: Ложно.

г) «Если Анна Дмитриевна на улице, значит, она в перчатках»

Это высказывание является прямой словесной формулировкой исходного условия. "Анна Дмитриевна на улице" — это $У$. "Она в перчатках" — это $П$. Импликация: $У \implies П$. По условию задачи это утверждение истинно.

Ответ: Истинно.

д) «Если Анна Дмитриевна дома, значит, она без перчаток?»

Высказывание "Анна Дмитриевна дома" — это $\neg У$. Высказывание "она без перчаток" — это $\neg П$. Получаем импликацию $\neg У \implies \neg П$. Такая импликация называется противоположной (инверсией) к исходной ($У \implies П$). Истинность прямой импликации не гарантирует истинность противоположной. Как и в пункте (в), Анна Дмитриевна может быть дома ($\neg У$ истинно), но при этом носить перчатки ($П$ истинно, а значит $\neg П$ ложно). В этом случае из истинной посылки следует ложное заключение, что делает всю импликацию ложной. Следовательно, это утверждение не обязательно является истинным.

Ответ: Ложно.

171 Даны три высказывания:

A «Число $x$ делится на 3»,

B «Число $x$ делится на 6»,

C «Число $x$ чётно».

Какие из следующих высказываний истинны при любом значении $x$:

a) $A \to B$;

б) $B \to A$;

в) $B \to C$?

Для решения этой задачи проанализируем каждое логическое следование (импликацию) отдельно. Высказывание в форме $P \rightarrow Q$ (читается как "если P, то Q") истинно для всех случаев, кроме того, когда посылка P истинна, а следствие Q ложно. Нам нужно определить, какие из предложенных высказываний верны для любого целого числа $x$.

а) A → B

Данное высказывание означает: "Если число $x$ делится на 3, то оно делится на 6".
Чтобы проверить это утверждение, достаточно найти хотя бы один контрпример. Возьмем число $x = 9$.
Высказывание A: "Число 9 делится на 3" — это истина.
Высказывание B: "Число 9 делится на 6" — это ложь.
Поскольку мы нашли пример, где посылка (A) истинна, а следствие (B) ложно, то вся импликация $A \rightarrow B$ не является истинной для любого значения $x$.

Ответ: высказывание ложно.

б) B → A

Данное высказывание означает: "Если число $x$ делится на 6, то оно делится на 3".
Если число $x$ делится на 6, то его можно представить в виде $x = 6 \cdot k$, где $k$ — некоторое целое число. Это равенство можно переписать как $x = (3 \cdot 2) \cdot k = 3 \cdot (2k)$. Поскольку произведение $2k$ также является целым числом, это доказывает, что $x$ всегда делится на 3.
Не существует числа, которое делилось бы на 6, но не делилось бы на 3. Таким образом, из истинности B всегда следует истинность A. Высказывание $B \rightarrow A$ является истинным для любого $x$.

Ответ: высказывание истинно.

в) B → C

Данное высказывание означает: "Если число $x$ делится на 6, то оно чётно".
Высказывание C "Число $x$ чётно" эквивалентно утверждению "Число $x$ делится на 2".
Если число $x$ делится на 6, то $x = 6 \cdot k$ для некоторого целого $k$. Перепишем это равенство как $x = (2 \cdot 3) \cdot k = 2 \cdot (3k)$. Так как $3k$ — это целое число, то $x$ всегда делится на 2, то есть является чётным.
Невозможно найти число, которое делится на 6 и при этом является нечётным. Следовательно, из истинности B всегда следует истинность C. Высказывание $B \rightarrow C$ является истинным для любого $x$.

Ответ: высказывание истинно.