Страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Для некоторого утверждения $A$ высказывание «$\text{не } A$» ложно. Истинно или ложно $A$?

1 В математической логике каждое утверждение может быть либо истинным, либо ложным. Операция логического отрицания, выраженная словом «не», инвертирует истинностное значение утверждения. Если исходное утверждение истинно, то его отрицание ложно, и наоборот, если исходное утверждение ложно, то его отрицание истинно.

Обозначим утверждение $A$. Его отрицание — это «не $A$», что в логике записывается как $\neg A$.

По условию задачи, высказывание «не $A$» (то есть $\neg A$) является ложным.

Согласно определению логического отрицания, если $\neg A$ ложно, то утверждение $A$ должно быть истинным. Это можно проиллюстрировать таблицей истинности для отрицания:

Мы находимся в ситуации, описанной в первой строке таблицы (читая справа налево): нам дано, что $\neg A$ ложно. Из этой же строки следует, что $A$ истинно.

Таким образом, если высказывание «не $A$» ложно, то само утверждение $A$ является истинным.

Ответ: истинно.

2 Для некоторого утверждения $A$ высказывание «неверно, что не $A$» ложно. Истинно или ложно $A$?

Данная задача решается с помощью законов математической логики. Давайте проанализируем условие.

1. Пусть у нас есть некоторое утверждение $A$. Оно может быть либо истинным, либо ложным.

2. Высказывание «не А» является отрицанием утверждения $A$. В логике оно обозначается как $\neg A$. Если $A$ истинно, то $\neg A$ ложно, и наоборот.

3. Высказывание «неверно, что не А» является отрицанием высказывания «не А». То есть, это отрицание отрицания $A$, что в логике записывается как $\neg (\neg A)$.

4. В классической логике действует закон двойного отрицания, который гласит, что двойное отрицание утверждения эквивалентно самому утверждению. Формально: $\neg (\neg A) \equiv A$. Это означает, что высказывания «неверно, что не А» и $A$ всегда имеют одно и то же значение истинности.

5. По условию задачи, высказывание «неверно, что не А» является ложным.

6. Поскольку $\neg (\neg A)$ ложно, а $\neg (\neg A)$ эквивалентно $A$, то и утверждение $A$ также должно быть ложным.

Ответ: Утверждение А ложно.

3 Постройте отрицание к высказыванию «Сейчас на улице солнечно».

Отрицанием (или инверсией) некоторого высказывания $A$ называется новое высказывание, которое истинно, когда $A$ ложно, и ложно, когда $A$ истинно. Отрицание обычно обозначается как $\neg A$ (читается «не A»).

В данном случае исходное высказывание $A$: «Сейчас на улице солнечно».

Чтобы построить отрицание, нам нужно сформулировать такое высказывание $\neg A$, которое будет правдивым, если на улице на самом деле не солнечно (например, пасмурно, идет дождь, снег, или сейчас ночь), и ложным, если на улице солнечно.

В русском языке этого можно достичь несколькими способами:

1. Добавить частицу «не» к сказуемому. В нашем случае сказуемое выражено словом «солнечно». Получаем высказывание:
«Сейчас на улице не солнечно».

2. Использовать речевой оборот «Неверно, что...» перед исходным высказыванием. Получаем:
«Неверно, что сейчас на улице солнечно».

Оба варианта являются логически правильными отрицаниями. Первый вариант является более естественным и часто используемым в речи.

Важно отметить, что высказывание «Сейчас на улице пасмурно» не является отрицанием исходного, так как это лишь один из частных случаев, когда на улице не солнечно. Логическое отрицание должно охватывать все возможные альтернативы.

Ответ: «Сейчас на улице не солнечно».

158 Постройте отрицание утверждения:

а) «Число 5 делится на 2»;

б) «Прямые $a$ и $b$ имеют общую точку»;

в) «Юпитер — планета Солнечной системы».

Отрицание (инверсия) логического высказывания — это высказывание, которое является истинным, когда исходное высказывание ложно, и ложным, когда исходное высказывание истинно. Для построения отрицания простого утверждения обычно используется частица «не» или фраза «неверно, что...».

а) Исходное утверждение: «Число 5 делится на 2».
Это утверждение является ложным, так как 5 — нечетное число.
Отрицанием будет утверждение, которое образуется путем добавления частицы «не» к сказуемому: «Число 5 не делится на 2».
Данное отрицание является истинным.
Ответ: Число 5 не делится на 2.

б) Исходное утверждение: «Прямые $a$ и $b$ имеют общую точку».
Это означает, что прямые пересекаются. Математически это можно записать как $a \cap b \neq \emptyset$.
Отрицанием будет утверждение: «Прямые $a$ и $b$ не имеют общей точки».
Это означает, что пересечение множества точек этих прямых пусто ($a \cap b = \emptyset$), то есть прямые либо параллельны, либо скрещиваются.
Ответ: Прямые $a$ и $b$ не имеют общей точки.

в) Исходное утверждение: «Юпитер — планета Солнечной системы».
Это утверждение является истинным фактом.
Отрицанием будет утверждение: «Юпитер — не планета Солнечной системы».
Данное отрицание является ложным. Альтернативная формулировка: «Неверно, что Юпитер — планета Солнечной системы».
Ответ: Юпитер — не планета Солнечной системы.

159 Дано уравнение $(x - 1)(x - 2) = 0$. Истинны или ложны высказывания:

а) «Любое значение $x$ удовлетворяет данному уравнению»;

б) «Ни одно значение $x$ не удовлетворяет данному уравнению»;

в) «Существует число, которое является решением данного уравнения»;

г) «Некоторые числа являются решениями данного уравнения»?

Постройте отрицания для ложных утверждений.

Для начала решим уравнение $(x-1)(x-2)=0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда следует, что либо $x-1=0$, либо $x-2=0$.

Решениями уравнения являются $x=1$ и $x=2$.

Теперь проанализируем истинность данных высказываний.

а) «Любое значение x удовлетворяет данному уравнению»

Это высказывание ложно. Уравнение имеет только два корня. Например, если подставить $x=3$, то получим $(3-1)(3-2) = 2 \cdot 1 = 2$, что не равно нулю. Следовательно, не любое значение $x$ удовлетворяет уравнению.

Отрицание для ложного утверждения: «Существует значение $x$, которое не удовлетворяет данному уравнению».

Ответ: ложно.

б) «Ни одно значение x не удовлетворяет данному уравнению»

Это высказывание ложно. Мы нашли два решения: $x=1$ и $x=2$. Поскольку решения существуют, утверждение об их отсутствии неверно.

Отрицание для ложного утверждения: «Существует значение $x$, которое удовлетворяет данному уравнению».

Ответ: ложно.

в) «Существует число, которое является решением данного уравнения»

Это высказывание истинно. Мы нашли два числа ($1$ и $2$), которые являются решениями. Для истинности этого утверждения достаточно наличия хотя бы одного решения.

Ответ: истинно.

г) «Некоторые числа являются решениями данного уравнения»

Это высказывание истинно. В логике «некоторые» означает «существует хотя бы одно». Поскольку у уравнения есть решения ($x=1$ и $x=2$), то и утверждение является истинным.

Ответ: истинно.

160 Рассмотрим утверждение «Число 72 делится на число $x$». Истинны или ложны высказывания:

а) «Это утверждение истинно для всех натуральных $x$»;

б) «Это утверждение не является истинным ни при одном натуральном $x$»;

в) «Это утверждение истинно для всех натуральных $x$, которые меньше 5»;

г) «Это утверждение ложно при некоторых натуральных $x$»;

д) «Это утверждение истинно для некоторых трёхзначных чисел $x$»?

Постройте отрицания к ложным высказываниям.

Рассмотрим утверждение $P(x)$: «Число 72 делится на число $x$». Это означает, что $x$ является натуральным делителем числа 72. Для решения задачи найдем все натуральные делители числа 72: $D(72) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\}$.

а) «Это утверждение истинно для всех натуральных $x$»

Данное высказывание означает, что число 72 должно делиться на любое натуральное число $x$. Однако это не так. Чтобы доказать ложность этого высказывания, достаточно привести один контрпример. Например, возьмем натуральное число $x=5$. Число 72 не делится на 5 без остатка ($72 \div 5 = 14$ (ост. 2)). Следовательно, высказывание ложно.

Отрицание: «Существует натуральное число $x$, на которое число 72 не делится».

Ответ: Ложно.

б) «Это утверждение не является истинным ни при одном натуральном $x$»

Данное высказывание означает, что не существует ни одного натурального числа $x$, на которое делится 72. Это неверно, так как мы нашли множество делителей числа 72. Например, при $x=1$ утверждение истинно, так как 72 делится на 1. Следовательно, высказывание ложно.

Отрицание: «Существует натуральное число $x$, на которое число 72 делится».

Ответ: Ложно.

в) «Это утверждение истинно для всех натуральных $x$, которые меньше 5»

Натуральные числа $x$, которые меньше 5, — это 1, 2, 3, 4. Проверим, является ли каждое из них делителем числа 72:

$72 \div 1 = 72$ (истинно)

$72 \div 2 = 36$ (истинно)

$72 \div 3 = 24$ (истинно)

$72 \div 4 = 18$ (истинно)

Поскольку утверждение «Число 72 делится на число $x$» верно для всех натуральных $x \in \{1, 2, 3, 4\}$, данное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

г) «Это утверждение ложно при некоторых натуральных $x$»

Данное высказывание означает, что существуют такие натуральные числа $x$, для которых утверждение «Число 72 делится на число $x$» будет ложным. Иными словами, существуют натуральные числа, которые не являются делителями 72. Как мы показали в пункте а), такое число существует (например, $x=5$). Следовательно, высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

д) «Это утверждение истинно для некоторых трёхзначных чисел $x$?»

Переформулируем вопрос в утверждение: «Существует трёхзначное число $x$, на которое делится 72». Это означает, что среди делителей числа 72 есть хотя бы одно трёхзначное число. Наибольшим делителем числа 72 является само число 72, которое является двузначным. Все остальные делители еще меньше. Таким образом, у числа 72 нет трёхзначных делителей. Следовательно, высказывание ложно.

Отрицание: «Не существует трёхзначного числа $x$, на которое делится 72» (или «Число 72 не делится ни на одно трёхзначное число $x$»).

Ответ: Ложно.

161 Определите, истинны или ложны следующие высказывания, и постройте отрицания:

a) «Любое число является решением неравенства $x > 0$»;

б) «Все положительные числа являются решениями неравенства $x > 0$»;

в) «Существует положительное решение неравенства $x > 0$».

а) «Любое число является решением неравенства $x > 0$»

Это высказывание ложно. Чтобы опровергнуть утверждение, использующее слово «любое» (квантор всеобщности), достаточно найти один пример, который ему противоречит (контрпример). Например, число 0 не является решением неравенства $x > 0$, так как утверждение $0 > 0$ ложно. Аналогично, любое отрицательное число, например -2, не является решением, так как $-2 \ngtr 0$.

Отрицанием для высказывания «Любой элемент обладает свойством P» является высказывание «Существует элемент, который не обладает свойством P». Таким образом, отрицание: «Существует число, которое не является решением неравенства $x > 0$» (или «Найдется число $x$ такое, что $x \le 0$»).

Ответ: высказывание ложно; отрицание: «Существует число, которое не является решением неравенства $x > 0$».

б) «Все положительные числа являются решениями неравенства $x > 0$»

Это высказывание истинно. По определению, положительными называются числа, которые больше нуля. Следовательно, любое положительное число $x$ по определению удовлетворяет условию $x > 0$.

Отрицанием для высказывания «Все элементы из множества А обладают свойством P» является высказывание «Существует элемент из множества А, который не обладает свойством P». Таким образом, отрицание: «Существует положительное число, которое не является решением неравенства $x > 0$».

Ответ: высказывание истинно; отрицание: «Существует положительное число, которое не является решением неравенства $x > 0$».

в) «Существует положительное решение неравенства $x > 0$»

Это высказывание истинно. Чтобы доказать истинность утверждения, использующего слово «существует» (квантор существования), достаточно привести хотя бы один пример, удовлетворяющий условию. Например, число 5 является положительным ($5 > 0$), и оно является решением неравенства $x > 0$.

Отрицанием для высказывания «Существует элемент, обладающий свойством P» является высказывание «Ни один элемент не обладает свойством P» (или «Все элементы не обладают свойством P»). Таким образом, отрицание: «Не существует положительного решения неравенства $x > 0$».

Ответ: высказывание истинно; отрицание: «Не существует положительного решения неравенства $x > 0$».

162 Сформулируйте отрицание для утверждения:

а) «При бросании игрального кубика выпало менее 3 очков»;

б) «При бросании игрального кубика выпало простое число очков».

а)

Исходное утверждение: «При бросании игрального кубика выпало менее 3 очков».

Чтобы сформулировать отрицание, нужно рассмотреть все возможные исходы и найти те, которые не удовлетворяют исходному условию. При бросании игрального кубика могут выпасть следующие числа очков: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Условие «выпало менее 3 очков» означает, что количество очков, обозначим его $x$, строго меньше трех: $x < 3$. Этому условию удовлетворяют исходы, когда выпадает 1 или 2 очка.

Отрицанием этого утверждения будет событие, при котором данное условие не выполняется. Если условие $x < 3$ неверно, то верно обратное неравенство: $x \ge 3$. Это означает, что выпало «не менее 3 очков», то есть 3 очка или больше.

Этому новому условию соответствуют исходы, когда выпадает $3, 4, 5$ или $6$ очков.

Таким образом, отрицанием исходного утверждения будет: «При бросании игрального кубика выпало не менее 3 очков».

Ответ: При бросании игрального кубика выпало не менее 3 очков.

б)

Исходное утверждение: «При бросании игрального кубика выпало простое число очков».

Сначала определим, какие из возможных исходов ($1, 2, 3, 4, 5, 6$) являются простыми числами. Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

• 1 — не является простым числом (у него только один делитель).
• 2 — простое число.
• 3 — простое число.
• 4 — составное число ($4 = 2 \cdot 2$).
• 5 — простое число.
• 6 — составное число ($6 = 2 \cdot 3$).

Таким образом, исходное утверждение истинно, если выпало 2, 3 или 5 очков.

Отрицанием этого утверждения будет событие, при котором выпавшее число очков не является простым. К таким числам из нашего набора относятся 1, 4 и 6.

Следовательно, отрицание можно сформулировать как: «При бросании игрального кубика выпало не простое число очков». Также можно уточнить: «При бросании игрального кубика выпало составное число очков или единица».

Ответ: При бросании игрального кубика выпало не простое число очков.

163 Игральную кость бросили 2 раза. Сформулируйте отрицание для следующих утверждений:

a) «Четыре очка не выпало ни разу»;

б) «Оба раза выпало 5 очков».

а)

Исходное утверждение: «Четыре очка не выпало ни разу».

Это утверждение означает, что при первом броске не выпало 4 очка и при втором броске не выпало 4 очка. Если событие $A$ — «выпало 4 очка», то исходное утверждение можно описать как «не $A$ при первом броске И не $A$ при втором броске».

Отрицание утверждения — это утверждение, которое истинно тогда и только тогда, когда исходное утверждение ложно. Противоположным событию «четыре не выпало ни разу» является событие «четыре выпало хотя бы один раз». Это означает, что 4 могло выпасть при первом броске, или при втором, или при обоих сразу.

Формально, пусть $A_1$ — событие «при первом броске выпало 4 очка», а $A_2$ — «при втором броске выпало 4 очка». Исходное утверждение: $\neg A_1 \land \neg A_2$. Отрицанием по закону де Моргана будет: $\neg (\neg A_1 \land \neg A_2) = A_1 \lor A_2$. Это означает «выпало 4 очка при первом броске ИЛИ выпало 4 очка при втором броске», что эквивалентно фразе «четыре очка выпало хотя бы один раз».

Ответ: Четыре очка выпало хотя бы один раз.

б)

Исходное утверждение: «Оба раза выпало 5 очков».

Это утверждение означает, что при первом броске выпало 5 очков и при втором броске выпало 5 очков.

Отрицанием будет утверждение, что это событие не произошло. То есть, неверно, что и в первый, и во второй раз выпало 5 очков. Это случится, если хотя бы в одном из бросков выпало число, отличное от пяти. Например, 5 выпало в первый раз, но не во второй; или не выпало в первый раз, но выпало во второй; или 5 не выпало ни разу.

Формально, пусть $B_1$ — событие «при первом броске выпало 5 очков», а $B_2$ — «при втором броске выпало 5 очков». Исходное утверждение: $B_1 \land B_2$. Отрицанием будет: $\neg(B_1 \land B_2) = \neg B_1 \lor \neg B_2$. Это означает «не выпало 5 очков при первом броске ИЛИ не выпало 5 очков при втором броске», что эквивалентно фразе «хотя бы один раз не выпало 5 очков».

Ответ: Хотя бы один раз не выпало 5 очков.

164 Симметричную монету бросили трижды. Сформулируйте отрицание для следующих утверждений:

a) «Орёл не выпал ни разу»;

б) «Все три раза выпал орёл».

а) Исходное утверждение: «Орёл не выпал ни разу». Это утверждение означает, что в результате трёх бросков монеты каждый раз выпадала решка. Отрицанием является утверждение, которое будет истинным, если исходное ложно. Исходное утверждение «Орёл не выпал ни разу» будет ложным в том случае, если орёл выпадет хотя бы один раз (то есть один, два или все три раза).

Ответ: «Орёл выпал хотя бы один раз».

б) Исходное утверждение: «Все три раза выпал орёл». Это утверждение означает, что в результате каждого из трёх бросков монеты выпадал орёл. Отрицанием является утверждение, которое будет истинным, если исходное ложно. Исходное утверждение «Все три раза выпал орёл» будет ложным, если не все три раза выпал орёл. Это, в свою очередь, означает, что хотя бы один раз результатом броска была решка. Эквивалентной формулировкой отрицания также является «Орёл выпал менее трёх раз».

Ответ: «Хотя бы один раз выпала решка».

1 Приведите примеры проявления закона больших чисел.

Закон больших чисел — это фундаментальный принцип теории вероятностей, который утверждает, что среднее значение результатов, полученных в ходе большого количества независимых испытаний, будет стремиться к теоретическому среднему значению (математическому ожиданию). Иными словами, чем больше раз повторяется случайный эксперимент, тем ближе фактическая частота события к его теоретической вероятности.

Математически, если $X_1, X_2, ..., X_n$ — это последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с конечным математическим ожиданием $E[X]$, то их среднее арифметическое $\bar{X}_n = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$ сходится к $E[X]$ при $n \to \infty$.

Это классический пример. Теоретическая вероятность выпадения «орла» для симметричной монеты равна $p = 0.5$. Если подбросить монету всего 10 раз, результат может быть далек от этого значения — например, 3 «орла» (частота 0.3) или 7 «орлов» (частота 0.7). Однако, если провести серию из 10 000 подбрасываний, количество «орлов», скорее всего, будет очень близко к 5000, и относительная частота $\frac{\text{число орлов}}{10000}$ будет стремиться к 0.5. Таким образом, при большом числе испытаний случайные отклонения в ту или иную сторону компенсируют друг друга, и средний результат стабилизируется.

Ответ: При многократном подбрасывании монеты частота выпадения «орла» приближается к его теоретической вероятности, равной 0.5.

Страховые компании строят свою деятельность на законе больших чисел. Невозможно предсказать, попадет ли конкретный водитель в аварию в следующем году. Однако, имея статистику по миллионам водителей, компания может с высокой точностью оценить вероятность наступления страхового случая (например, 0.05 или 5% для определенной группы клиентов). На основе этой вероятности рассчитывается ожидаемый размер выплат на одного клиента. Когда компания страхует огромное количество людей (сотни тысяч или миллионы), фактическое количество страховых случаев и общая сумма выплат оказываются очень близки к прогнозируемым. Это позволяет устанавливать страховые премии, которые покрывают расходы и приносят прибыль.

Ответ: Страховая компания использует статистику по большой группе клиентов, чтобы точно предсказать среднее количество страховых случаев и рассчитать рентабельные тарифы.

Казино зарабатывают благодаря закону больших чисел. Каждая игра (рулетка, блэкджек, игровые автоматы) спроектирована так, чтобы у казино было небольшое математическое преимущество. Например, в европейской рулетке 37 ячеек (1-36 и 0). Ставка на конкретное число в случае выигрыша оплачивается в размере 35 к 1. Математическое ожидание выигрыша для игрока при ставке в $1 доллар составляет: $E(X) = 35 \times \frac{1}{37} + (-1) \times \frac{36}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0.027$. Это означает, что в среднем казино зарабатывает 2.7 цента с каждого поставленного доллара. Для одного игрока за один вечер результат случаен — он может как выиграть, так и проиграть. Но за день через казино проходят тысячи игроков, делающие миллионы ставок. Закон больших чисел гарантирует, что фактическая прибыль казино будет очень близка к этим теоретическим 2.7% от общего оборота.

Ответ: Долгосрочная прибыль казино обеспечивается не удачей, а небольшим математическим преимуществом в каждой игре, которое реализуется на огромном количестве ставок от всех игроков.

Проверить каждую единицу продукции (например, каждую лампочку или микросхему) на долговечность или брак часто невозможно или экономически нецелесообразно. Вместо этого производители используют статистический контроль качества. Из большой партии продукции случайным образом отбирается выборка (например, 1000 единиц). В этой выборке подсчитывается доля бракованных изделий. Согласно закону больших чисел, если выборка достаточно велика и случайна, то доля брака в ней будет являться надежной оценкой доли брака во всей партии. Это позволяет принять решение: принять партию, отправить на доработку или забраковать.

Ответ: Проверяя большую случайную выборку, производитель с высокой точностью оценивает процент брака во всей партии продукции.

Чтобы узнать мнение населения большой страны (например, электоральный рейтинг кандидата), не обязательно опрашивать всех граждан. Исследовательские центры формируют репрезентативную (случайную) выборку из нескольких тысяч человек. Закон больших чисел утверждает, что доля людей в этой выборке, придерживающихся определенного мнения, будет близка к истинной доле таких людей во всей популяции. Чем больше размер выборки, тем меньше «погрешность», то есть отклонение результата опроса от реального положения дел.

Ответ: Результаты опроса большой случайной выборки людей позволяют с высокой степенью достоверности судить о мнении всего населения.

2 Как оценивают математическое ожидание случайной величины?

Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины $X$, обозначаемое как $E[X]$ или $\mu$, является одной из важнейших ее числовых характеристик. Она описывает центральное значение, вокруг которого распределены значения случайной величины.

На практике истинное значение $\mu$ генеральной совокупности (например, средний рост всех людей на планете) часто неизвестно. Для его определения пришлось бы измерить каждый объект совокупности, что невозможно. Поэтому математическое ожидание оценивают на основе данных, полученных из выборки – ограниченного набора наблюдений случайной величины $X_1, X_2, \dots, X_n$. Существует два основных вида оценок: точечная и интервальная.

В качестве точечной (одночисловой) оценки математического ожидания $E[X]$ используется выборочное среднее $\bar{X}$. Оно вычисляется как среднее арифметическое наблюдений в выборке:

$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$

где $X_i$ – это $i$-е наблюдение в выборке, а $n$ – объем выборки.

Выборочное среднее является предпочтительной оценкой, так как обладает важными статистическими свойствами:

• Несмещенность. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру. Для выборочного среднего это свойство выполняется: $E[\bar{X}] = \mu$. Это означает, что в среднем оценка не завышает и не занижает истинное значение, и при многократном повторении эксперимента среднее значение оценок будет стремиться к истинному среднему.
• Состоятельность. С увеличением объема выборки ($n \rightarrow \infty$) выборочное среднее сходится по вероятности к истинному математическому ожиданию. Это следует из закона больших чисел. Проще говоря, чем больше у нас данных, тем точнее наша оценка.
• Эффективность. Среди всех линейных несмещенных оценок выборочное среднее имеет наименьшую дисперсию, что делает его наиболее точной (устойчивой) оценкой в этом классе.

Точечная оценка дает лишь одно число, которое почти никогда не совпадает в точности с истинным значением $\mu$. Поэтому на практике чаще используют интервальную оценку, или доверительный интервал. Это диапазон значений, который с заданной высокой вероятностью (надежностью), например 95% или 99%, накрывает истинное значение параметра.

Формула для доверительного интервала зависит от того, известна ли дисперсия $\sigma^2$ генеральной совокупности.

1. Если дисперсия $\sigma^2$ известна (что бывает редко):

Доверительный интервал строится с использованием нормального распределения:

$\bar{X} \pm z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

где $\bar{X}$ – выборочное среднее, $\sigma$ – известное стандартное отклонение, $n$ – объем выборки, а $z_{1-\alpha/2}$ – квантиль стандартного нормального распределения, соответствующий уровню доверия $1-\alpha$ (например, для 95% доверительного интервала $\alpha=0.05$, и $z_{0.975} \approx 1.96$).

2. Если дисперсия $\sigma^2$ неизвестна (наиболее частый случай):

Дисперсию приходится оценивать по той же выборке с помощью несмещенной выборочной дисперсии $s^2$:

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$

В этом случае для построения интервала используется распределение Стьюдента (t-распределение):

$\bar{X} \pm t_{1-\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$

где $s$ – выборочное стандартное отклонение (корень из $s^2$), а $t_{1-\alpha/2, n-1}$ – квантиль распределения Стьюдента с $n-1$ степенями свободы. При больших объемах выборки ($n > 30$) распределение Стьюдента становится очень близким к нормальному.

Ответ: Математическое ожидание случайной величины оценивают с помощью выборочного среднего $\bar{X}$, которое является его точечной оценкой. Для получения более полной информации о возможном расположении истинного значения строят доверительный интервал, который представляет собой диапазон значений, с высокой вероятностью содержащий истинное математическое ожидание.

3 Нужно ли знать общую численность всех жителей России, чтобы с помощью выборочного метода установить, какая доля жителей предпочитает по утрам чай, а какая — кофе?

Нет, для того чтобы с помощью выборочного метода установить долю жителей, предпочитающих чай или кофе, знать общую численность всех жителей России необязательно. Это связано с ключевыми принципами математической статистики, применяемыми к большим (практически бесконечным) генеральным совокупностям.

Суть выборочного метода заключается в том, что выводы обо всей интересующей нас группе (генеральной совокупности, в данном случае — всех жителях России) делаются на основе изучения её небольшой, но правильно составленной, репрезентативной части — выборки. Точность оценки, которую мы получим (например, доля любителей чая), зависит в первую очередь от абсолютного размера выборки ($n$), а не от её размера относительно всей генеральной совокупности ($N$).

Формула для расчета доверительного интервала (или погрешности) для доли в генеральной совокупности выглядит следующим образом:

$E = z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

где $E$ — предельная ошибка выборки, $z$ — z-оценка, зависящая от выбранного уровня доверия (например, $z \approx 1.96$ для 95% доверия), $\hat{p}$ — доля признака в выборке (например, доля пьющих чай), а $n$ — объем (размер) выборки. Как видно из формулы, общая численность населения $N$ в ней не фигурирует.

Существует специальная поправка на конечный размер генеральной совокупности (Finite Population Correction, FPC), которая применяется, когда выборка составляет значительную часть совокупности (как правило, более 5%, то есть когда $n/N > 0.05$). С учетом этой поправки формула выглядит так:

$E = z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$

Однако население России ($N$) — это очень большая величина (более 140 миллионов человек). Любой реалистичный размер выборки для социологического опроса ($n$), например, 1600 или 2500 человек, будет составлять ничтожно малую долю от $N$. В этом случае поправочный множитель $\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$ будет настолько близок к 1, что его влиянием можно полностью пренебречь. Например, если $N = 145\,000\,000$ и $n = 2000$, то поправочный коэффициент будет равен $\sqrt{\frac{145\,000\,000 - 2000}{145\,000\,000 - 1}} \approx 0.999993$.

Таким образом, для получения статистически надежного результата гораздо важнее обеспечить репрезентативность выборки (чтобы она адекватно отражала структуру всего населения по ключевым признакам, таким как пол, возраст, география и т.д.) и достаточный абсолютный размер этой выборки, а не знать точное число всех жителей страны.

Ответ: Нет, знать общую численность всех жителей России для проведения такого исследования не нужно. При оценке долей в очень больших совокупностях точность результата зависит от абсолютного размера выборки, а не от общей численности населения.

4 Как можно увеличить точность не очень точных измерений?

Точность измерений — это степень близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Не очень точные измерения обычно содержат значительные случайные или систематические погрешности. Существует несколько основных способов увеличить точность таких измерений.

1. Метод многократных измерений и усреднения

Этот метод является основным способом борьбы со случайными погрешностями, которые возникают из-за множества неконтролируемых факторов (колебания воздуха, дрожание рук, ошибки при считывании показаний и т.д.). Суть метода заключается в следующем:

• Провести измерение одной и той же величины несколько раз (чем больше, тем лучше, обычно 3-10 раз).
• Вычислить среднее арифметическое всех полученных результатов. Это значение будет наиболее вероятным и близким к истинному.

Среднее арифметическое $x_{ср}$ для $n$ измерений ($x_1, x_2, ..., x_n$) вычисляется по формуле:

$x_{ср} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

При усреднении случайные отклонения в большую и меньшую сторону частично компенсируют друг друга, и итоговый результат становится более точным.

Пример: При измерении длины стола рулеткой были получены значения: 120.2 см, 120.4 см, 120.1 см, 120.3 см. Среднее значение будет $(120.2 + 120.4 + 120.1 + 120.3) / 4 = 120.25$ см, что является более точной оценкой длины, чем любое из отдельных измерений.

Ответ: Для увеличения точности необходимо провести серию измерений и найти их среднее арифметическое, что позволяет уменьшить влияние случайных погрешностей.

2. Метод рядов (измерение нескольких одинаковых величин)

Этот метод особенно эффективен, когда нужно измерить очень малую величину, и погрешность одного измерения сопоставима с самой измеряемой величиной. Суть метода — измерить суммарную величину для большого количества ($N$) одинаковых объектов или процессов, а затем разделить результат на их количество.

• Пример 1: Определение толщины листа бумаги. Измерить толщину одного листа с помощью линейки практически невозможно с приемлемой точностью. Вместо этого можно измерить толщину стопки из 100 листов ($L$), а затем разделить полученное значение на 100. Толщина одного листа $l$ будет равна $l = L/100$. Погрешность измерения при этом также "делится" на 100, что значительно повышает точность результата.
• Пример 2: Определение периода колебаний маятника. Измерять время одного полного колебания ($T$) секундомером неточно из-за погрешности реакции человека при запуске и остановке. Гораздо точнее измерить общее время $t$ для $N=30-50$ полных колебаний и затем вычислить период по формуле $T = t/N$.

Ответ: Для повышения точности измерения малых величин следует измерить суммарное значение для большого их количества (ряда) и разделить результат на это количество.

3. Использование более точных измерительных приборов

Точность измерения напрямую зависит от точности прибора. Основная характеристика точности прибора — его класс точности или цена деления шкалы. Погрешность измерения, как правило, принимают равной половине цены деления прибора.

• Цена деления обычной школьной линейки — 1 мм. Погрешность — 0.5 мм.
• Цена деления штангенциркуля — 0.1 мм или 0.05 мм. Погрешность — 0.05 мм или 0.025 мм.
• Цена деления микрометра — 0.01 мм. Погрешность — 0.005 мм.

Таким образом, для измерения диаметра проволоки следует использовать микрометр, а не линейку. Выбор прибора, соответствующего требуемой точности, — ключевой шаг в проведении измерений.

Ответ: Следует выбирать измерительный прибор с наименьшей возможной ценой деления (и наименьшей инструментальной погрешностью), подходящий для данной задачи.

4. Учет и устранение систематических погрешностей

Систематические погрешности — это погрешности, которые остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях. Они могут быть вызваны:

• Неисправностью или неточностью самого прибора (например, весы, которые всегда показывают на 10 г больше).
• Неправильной установкой прибора.
• Влиянием внешних условий (температура, давление, влажность).
• Ошибками наблюдателя (например, ошибка параллакса — считывание показаний под углом к шкале).

Способы борьбы с систематическими погрешностями:

• Калибровка и поверка приборов: Сравнение показаний прибора с эталонными значениями для внесения поправок.
• Контроль условий эксперимента: Поддержание постоянной температуры, влажности, исключение вибраций.
• Внесение поправок: Если величина систематической погрешности известна, ее можно вычесть из результата измерений.
• Правильная методика измерений: Например, для устранения ошибки параллакса нужно смотреть на шкалу прибора строго перпендикулярно.

Ответ: Для увеличения точности необходимо выявлять источники систематических погрешностей, устранять их путем калибровки приборов, контроля условий эксперимента и применения правильных методик измерений, а также вносить поправки в результаты, если величина погрешности известна.